同構(gòu)式在高中數(shù)學(xué)中的應(yīng)用

同構(gòu)式在高中數(shù)學(xué)中的應(yīng)用【類(lèi)型1】同構(gòu)式在不等式中的應(yīng)用如果不等式的兩側(cè)呈現(xiàn)同構(gòu)特征，則可將相同的結(jié)構(gòu)構(gòu)造成一個(gè)函數(shù)，進(jìn)而利用函數(shù)的單調(diào)性，可以比較大小或解不等式。為增函數(shù)⑵為減函數(shù)。含有地位同等的兩個(gè)變量或等不等式，如果整理（即同構(gòu)）后不等式兩邊具有結(jié)構(gòu)的一致性，往往暗示單調(diào)性（需要預(yù)先設(shè)定兩個(gè)變量的大?。纠?】設(shè)，滿足，則【思路分析】本題研究對(duì)象并非，而是，進(jìn)而可變形為，觀察上下兩個(gè)式子左邊結(jié)構(gòu)相同，進(jìn)而可將相同結(jié)構(gòu)視為一個(gè)函數(shù)，而等式右邊兩個(gè)結(jié)果互為相反數(shù)，可聯(lián)想到函數(shù)的奇偶性，從而利用函數(shù)性質(zhì)求解?！窘馕觥?，設(shè)，易知是奇函數(shù)，由題可知，，，?！纠?】不等式的解集為【解析】不等式可以變形為，，令，，顯然在上單調(diào)遞增，，故不等式的解集為【例3】如果，那么的取值范圍是【思路分析】本題很難去直接解不等式，觀察式子特點(diǎn)可發(fā)現(xiàn)若將關(guān)于的項(xiàng)分居在不等號(hào)兩側(cè)，則左右呈現(xiàn)同構(gòu)的特點(diǎn)，將相同的結(jié)構(gòu)設(shè)為函數(shù)?！窘馕觥?，設(shè)，易知是奇函數(shù)且單調(diào)遞增，故等價(jià)于，結(jié)合正弦函數(shù)圖像與余弦函數(shù)圖像，易得?！纠?】若，則（）【思路分析】本題從選項(xiàng)出發(fā)可發(fā)現(xiàn)，每個(gè)選項(xiàng)通過(guò)不等式變形將分居在不等式兩側(cè)后都具備同構(gòu)的特點(diǎn)，所以考慮將相同的形式構(gòu)造為函數(shù)，從而只需判斷函數(shù)在上的單調(diào)性即可?！窘馕觥窟x項(xiàng)：，設(shè)，，，而，，，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以在不單調(diào)，不等式不會(huì)恒成立;選項(xiàng)：，設(shè)，易知在單調(diào)遞增，所以，故錯(cuò)誤;選項(xiàng)：，設(shè)，，則在恒成立，所以在單調(diào)遞減，故成立;選項(xiàng)：由選項(xiàng)分析過(guò)程易知選項(xiàng)錯(cuò)誤綜上所述，答案選?！纠?】若函數(shù)在區(qū)間上的值域?yàn)?，則實(shí)數(shù)的取值范圍為【思路分析】注意到是增函數(shù)，從而得到，即，發(fā)現(xiàn)兩個(gè)式子為的同構(gòu)式，進(jìn)而將同構(gòu)式視為一個(gè)方程，而為該方程的兩個(gè)根，的取值只需要保證方程有兩根即可。【解析】是增函數(shù)，，即，為方程在上的兩根，即有兩個(gè)不同的根。令，得，所以方程變形為，結(jié)合圖像可得?！纠?】設(shè)，則“”是“”的（）充分不必要條件必要不充分條件充要條件既不充分也不必要條件【思路分析】觀察可發(fā)現(xiàn)其同構(gòu)的特點(diǎn)，所以將這種結(jié)構(gòu)設(shè)為函數(shù)，分析其單調(diào)性?！窘馕觥吭O(shè)，結(jié)合圖像可知，函數(shù)為增函數(shù)，所以，即“”是“”的充要條件?！纠?】已知函數(shù)，若對(duì)任意兩個(gè)不相等的正實(shí)數(shù)，都有恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為【解析】法一：易知函數(shù)定義域?yàn)?，，?duì)任意兩個(gè)不相等的正實(shí)數(shù)，都有恒成立，故在上恒成立，即，故實(shí)數(shù)的取值范圍為。法二：易知函數(shù)定義域?yàn)?，?duì)任意兩個(gè)不相等的正實(shí)數(shù)，都有恒成立，不妨設(shè)，則有，即，令，則在上單調(diào)遞增，在上恒成立，故在上恒成立，即，故實(shí)數(shù)的取值范圍為?！纠?】已知，其中是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，則的大小關(guān)系是（

）【解析】對(duì)兩邊都取自然對(duì)數(shù)得，令得，設(shè)得，在單調(diào)遞減，，，在單調(diào)遞減，又，?！纠?】若對(duì)于任意的都有，則實(shí)數(shù)的最大值為（）【解析】，兩邊同時(shí)除以，得，即，構(gòu)造函數(shù)，則。令得，故實(shí)數(shù)的最大值為?！纠?0】已知函數(shù)是定義在實(shí)數(shù)集上的不恒為零的偶函數(shù)，且對(duì)任意實(shí)數(shù)都有，則的值為（）【解析】觀察條件可變?yōu)?，從而得到等式左右的結(jié)構(gòu)均為的形式，且括號(hào)內(nèi)的數(shù)間隔為，，是定義在實(shí)數(shù)集上的不恒為零的偶函數(shù)，故，進(jìn)而?！纠?1】已知函數(shù)，是正常數(shù)，若，且對(duì)任意都有，求實(shí)數(shù)的取值范圍?！舅悸贩治觥坑^察到已知不等式為輪換對(duì)稱式，所以考慮定序以便于化簡(jiǎn)，令，則不等式變形為，將相同變量放在一側(cè)，可發(fā)現(xiàn)左右具備同構(gòu)特點(diǎn)，所以將相同結(jié)構(gòu)視為函數(shù)，從而由且可知，只需為增函數(shù)即可，只需不等式即可，從而求出實(shí)數(shù)的范圍?！窘馕觥坑深}可知，，，不妨設(shè)，則，即。設(shè)，，恒成立，則在上單調(diào)遞增，即在恒成立。，則，即恒成立，所以只需要。令，，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，，實(shí)數(shù)的取值范圍為?！绢?lèi)型2】指對(duì)跨階同構(gòu)★指對(duì)跨階同構(gòu)的基礎(chǔ)⑴;⑵;⑶;⑷;⑸;⑹;⑺★對(duì)跨階同構(gòu)三種基本模式：⑴積型：如：;【注意】在對(duì)”積型“進(jìn)行同構(gòu)時(shí)，取對(duì)數(shù)時(shí)最快捷的，同構(gòu)出的函數(shù)，其單調(diào)性一看便知。⑵商型：⑶和差型：如：從以上三種模型可以看出，對(duì)于指對(duì)跨階型同構(gòu)，主要抓住一點(diǎn):★同構(gòu)變形技巧：，后面的轉(zhuǎn)化為積型結(jié)構(gòu);⑵，后面的轉(zhuǎn)化為積型結(jié)構(gòu)【注意】由于兩邊互為反函數(shù)，所以還可以這樣化為對(duì)于某些不等式，兩邊互為反函數(shù)是比較隱蔽的，若能發(fā)現(xiàn)，則難者亦易矣。如：，左右兩邊互為反函數(shù)，所以只需，即，所以可得?！锍Ｒ?jiàn)的一些同構(gòu)變形:①可以構(gòu)造函數(shù)來(lái)進(jìn)行研究;②,可以構(gòu)造來(lái)進(jìn)行研究;③,可以構(gòu)造來(lái)進(jìn)行研究④，可以構(gòu)造來(lái)進(jìn)行研究⑤，可以構(gòu)造來(lái)進(jìn)行研究【例12】設(shè)實(shí)數(shù)，若對(duì)任意的，關(guān)于的不等式恒成立，則的最小值為【解析】，令，顯然在上單調(diào)遞增，。令，當(dāng)時(shí)，在區(qū)間單調(diào)遞減，，故的最小值為【例13】設(shè)，若對(duì)任意的，不等式恒成立，則的最小值為（） 【解析】法1：與互為反函數(shù)，，只需要即可，即，則，設(shè)，，令，得，令，得，故，，則的最小值為。法2：由，即，令，則，顯然在上單調(diào)遞增，。令，，令可得，令可得，故?！纠?4】已知實(shí)數(shù)滿足，其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，則【解析】由已知可得，設(shè)，則，當(dāng)然在上單調(diào)遞增，，得又【例15】已知，不等式對(duì)任意的實(shí)數(shù)恒成立，則實(shí)數(shù)的最小值為【分析】，構(gòu)造函數(shù)顯然，在上單調(diào)遞增，故，易得，故實(shí)數(shù)的最小值為。【例16】已知函數(shù)，若關(guān)于的不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為【解析】法一：恒成立，，，，令，易得在上單調(diào)遞增，，，，，實(shí)數(shù)的取值范圍為。法二：，即，，構(gòu)造函數(shù)，，顯然在上單調(diào)遞增，，設(shè)，，令可得，令可得，故，實(shí)數(shù)的取值范圍為?！纠?7】已知不等式對(duì)恒成立，則實(shí)數(shù)的最小值為（）【解析】，構(gòu)造函數(shù)，，，易得在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減。當(dāng)時(shí)，與的大小不定，但當(dāng)實(shí)數(shù)最小時(shí)，只需考慮其為負(fù)數(shù)的情況，此時(shí);當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，故，兩邊取對(duì)數(shù)，，令，則，在上單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，，故的最小值是?！纠?8】若函數(shù)沒(méi)有零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的最大值為【解析】注意到時(shí)，，要使函數(shù)沒(méi)有零點(diǎn)，只需在上恒成立，而，令得，且上面不等式取等時(shí)，記其零點(diǎn)為，當(dāng)時(shí)，，顯然不合題意，綜上所述，，故實(shí)數(shù)的最大值為?！纠?9】已知對(duì)任意給定的，存在使得成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為【解析】①當(dāng)，即時(shí)，，顯然成立;②當(dāng)，即時(shí)，構(gòu)造函數(shù)，顯然在上單調(diào)遞增。設(shè)，令在上單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，，故實(shí)數(shù)的取值范圍為?！菊f(shuō)明】本題邏輯關(guān)聯(lián)詞較多，首先處理邏輯關(guān)聯(lián)詞我們遵循就近原則優(yōu)先處理，即優(yōu)先處理離較近的邏輯關(guān)聯(lián)詞，按照邏輯關(guān)聯(lián)詞出現(xiàn)的相反順序進(jìn)行處理，比如本題，我們要先處理存在一方