高等數(shù)學(xué)B（下）：ch7-3 三重積分的計算

二重積分在直角坐標(biāo)下的計算公式（在積分中要正確選擇積分次序）［y－型］［x－型］（在積分中注意使用對稱性）

ch7-2復(fù)習(xí)二重積分在極坐標(biāo)下的計算公式（在積分中注意使用對稱性）(OD)

(O

D)

(OD)

第三節(jié)三重積分的計算一、三重積分的定義二、利用直角坐標(biāo)計算三重積分三、利用柱面坐標(biāo)計算三重積分四、利用球面坐標(biāo)計算三重積分

第七章

定義.

設(shè)存在,稱為體積元素,

若對

作任意分割:任意取點則稱此極限為函數(shù)在

上的三重積分.在直角坐標(biāo)系下常寫作下列“乘積和式”極限記作一、三重積分的定義回顧二、利用直角坐標(biāo)系計算三重積分如圖，1、坐標(biāo)面投影法“穿針法”這種坐標(biāo)面投影法.(物理解釋)得若由直角坐標(biāo)系中將三重積分化為三次積分．

yz

型空間區(qū)域

zx

型空間區(qū)域說明:

①具體計算時應(yīng)根據(jù)被積函數(shù)及積分域的特點靈活選擇

zx

型空間區(qū)域

xy

型空間區(qū)域yz

型空間區(qū)域坐標(biāo)面投影法②交換積分次序歸納(另：作業(yè)P40二4)(書P161題4)解故

：2、坐標(biāo)軸投影法(截面法)坐標(biāo)軸投影法(截面法)的一般步驟:即

f(x,y,z)

C()不要寫成Dxy!回顧別漏!回顧別漏!解原式１)積分區(qū)域關(guān)于坐標(biāo)面的對稱性；２)被積函數(shù)在積分區(qū)域上的關(guān)于三個坐標(biāo)軸的奇偶性．3、利用對稱性化簡三重積分計算使用對稱性時應(yīng)注意：若

關(guān)于xoy面對稱，f(x,y,z)C()，則類似考慮其它情況.注：若域

關(guān)于xoy

面對稱,則在被積函數(shù)中要將x、y看作常量,僅僅考慮關(guān)于z

的奇偶情況)如：書P160習(xí)題七1(4)解積分域關(guān)于三個坐標(biāo)面都對稱，被積函數(shù)是的奇函數(shù),

解截面法.(作業(yè)P45二1

)38

xy

型空間區(qū)域坐標(biāo)面投影法小結(jié)坐標(biāo)軸投影法(截面法)

z

型空間區(qū)域(x

型區(qū)域)思考題1.選擇題:DI解II解：坐標(biāo)面投影法另:書P162.4x+y=1z=x+yz=xz=y投到y(tǒng)oz面投到xoz面作業(yè)(截面法)P40x+y=1z=x+yz=xz=yzzx+y=z解如圖,將投影到平面得

,先對積分，上二重積分,再求課后練習(xí)

xy

型空間區(qū)域坐標(biāo)面投影法復(fù)習(xí)坐標(biāo)軸投影法

z

型空間區(qū)域

x

型區(qū)域三、利用柱面坐標(biāo)計算三重積分規(guī)定：(也可取負(fù)值)柱面坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的關(guān)系為如圖，三坐標(biāo)面分別為圓柱面；(半)平面；平面．如圖，柱面坐標(biāo)系中的體積元素為進行積分計算解知交線為就稱為點M

的球面坐標(biāo).直角坐標(biāo)與球面坐標(biāo)的關(guān)系坐標(biāo)面分別為球面圓錐面半平面四、利用球面坐標(biāo)計算三重積分其柱面坐標(biāo)為規(guī)定：球面坐標(biāo)的坐標(biāo)面

Cr=常數(shù):

=常數(shù):S球面S半平面P動點M(r,,

)M

yz

x0

P

=常數(shù):圓錐面C規(guī)定：如圖所示,在球面坐標(biāo)系中體積元素為？見本書P146r

drd

xz

y0

d

rd

元素區(qū)域由六個坐標(biāo)面圍成：rsin

d

球面坐標(biāo)下的體積元素.圓錐面

及

+d

；

半徑為r及r+dr的球面；半平面

及

+d

r2sin

drd

d

dVdV=因此有球面坐標(biāo)系進行積分計算=中體積元素為若是包圍原點在內(nèi)的閉曲面，其球面方程為注：例2.設(shè)

由錐面和球面所圍成,計算提示:利用對稱性用球坐標(biāo)改：拋物面能否用球坐標(biāo)？例3

設(shè)f(x,y,z)連續(xù)，則求的柱坐標(biāo)形式與球坐標(biāo)形式.不同坐標(biāo)系下轉(zhuǎn)換還如：作業(yè)P45一4

思考：作業(yè)P45一.5

40三重積分的定義和計算在直角坐標(biāo)系下的體積元素（計算時將三重積分化為三次積分）五、小結(jié)（1）柱面坐標(biāo)的體積元素（2）球面坐標(biāo)的體積元素（3）對稱性簡化運算三重積分換元法柱面坐標(biāo)球面坐標(biāo)設(shè)f(t)在[0,1]上連續(xù)，求證:思考題(2013年4月21期中考)解所圍成的立體如圖，注意：用兩體積差,

不能直接用柱面坐標(biāo)！所圍成立體的投影區(qū)域如圖，課后練習(xí)題五.計算其中解:利用對稱性六.七.解注：練習(xí)題答案質(zhì)點有質(zhì)量但不存在體積與形狀的點即不考慮形狀質(zhì)平面有質(zhì)量但不存在體積的平面即不考慮厚度(物理解釋)“穿針法”ABC垂直壓縮垂直壓縮(質(zhì)平面上)單位點(質(zhì)點)的質(zhì)量