2024年中職高考數學計算訓練 專題11 平面向量的基本計算（含答案解析）

2024年中職高考數學計算訓練專題11平面向量的基本計算一、單選題1．已知，，且，則的坐標為（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】由題意，設出點的坐標，結合向量的坐標表示以及平行關系，建立方程，可得答案.【詳解】設，則，，由，則，解得，所以.故選：D.2．已知向量，，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據向量減法的坐標運算可得答案.【詳解】，.故選：A.3．已知向量，，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據平面向量線性運算的坐標運算法則計算可得.【詳解】因為，，則.故選：B4．已知點，，向量，，則與的夾角的余弦值為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據向量運算法則以及夾角公式直接計算即可.【詳解】因為點，，向量，，所以，，所以與的夾角的余弦值.故選：A5．設向量，，則（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】利用平面向量模的運算，平面數量積的運算，平面向量平行、垂直的判斷方法可得答案.【詳解】對于A：因為，，所以，.對于B：，因為，所以.對于C：由B可知，所以C不正確.對于D：因為，所以D不正確.故選：B.6．化簡（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據向量加法運算律即可求解.【詳解】.故選：B.7．已知向量，，則（

）A．0 B．1 C． D．2【答案】B【分析】根據向量數量積的坐標運算即可.【詳解】由題意，，，因此.故選：B8．已知向量，，且，則（

）A．9 B．3 C．6 D．5【答案】C【分析】根據平面向量共線的坐標表示計算可得.【詳解】因為，，且，所以，解得.故選：C9．已知向量、的夾角為，，，則（

）A．4 B． C．5 D．【答案】C【分析】利用向量數量積和向量模的定義解決本題.【詳解】由向量、的夾角為，，，得出.則.故選：C10．若向量，，則（

）A． B． C．40 D．46【答案】D【分析】計算出，從而利用向量數量積運算公式進行計算.【詳解】因為，所以．故選：D11．已知單位向量，且，則（

）A．3 B． C． D．2【答案】B【分析】利用垂直關系的向量表示，結合數量積的運算律求解作答.【詳解】單位向量滿足，則，即，所以.故選：B12．已知空間向量，，且，，，則一定共線的三點是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】A選項，設，得到，無解，A錯誤；B選項，設，得到方程組，無解，B錯誤；C選項，先得到，設，得到方程組，無解，C錯誤；D選項，計算出，得到，得到三點共線.【詳解】A選項，設，即，故，無解，三點不共線，A錯誤；B選項，設，即，故，無解，三點不共線，B錯誤；C選項，，設，即，故，無解，三點不共線，C錯誤；D選項，，由于，故三點共線，D正確.故選：D13．已知向量，則“”是“”的（

）A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件【答案】A【分析】根據垂直時得到，解出值，再根據充分不必要條件的判定即可得到答案.【詳解】若，則，則.若，則，解得或.故“”是“”的充分不必要條件.故選：A.14．已知，，與的夾角為45°，要使與垂直，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據題意，由平面向量的數量積運算，代入計算，即可得到結果.【詳解】若與垂直，則，即，所以.故選：A15．已知向量，，，則實數k的值為（

）A． B． C． D．1【答案】B【分析】根據平面向量數量積的坐標表示計算即可.【詳解】由題意可得：，所以.故選：B16．中，點為上的點，且，若，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據題意，利用向量的線性運算法則，準確化簡，即可求解.【詳解】如圖所示，因為，由向量的線性運算法則,可得因為，所以，所以.故選：D.17．設向量、滿足，且，若為在方向上的投影向量，并滿足，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用投影向量的定義可求得的值.【詳解】因為向量、滿足，且，若為在方向上的投影向量，則，故.故選：C.18．如圖，在等腰梯形中，，，點為線段的中點，點是線段上的一點，且，則（

）

A． B． C． D．【答案】D【分析】根據題意，利用向量的線性運算法則，準確化簡、運算，即可求解.【詳解】由題意，點為的中點，點是線段上的一點，且，則，因為，且，則有.故選：D.19．在平面斜坐標系中，，平面上任一點關于斜坐標系的斜坐標是這樣定義的：若（其中，分別為，軸方向相同的單位向量），則的坐標為，若關于斜坐標系的坐標為，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據題意得到，平方后得到，求出.【詳解】由題意得，故，故.故選：C20．已知向量，，若，則（

）A． B．1 C．2或 D．1或【答案】D【分析】根據向量平行的坐標表示，列方程求解，可得答案.【詳解】由題意知，故，即或，故選：D21．兩個單位向量與滿足，則向量與的夾角為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由題意可得，，根據可得，設與的夾角為，利用即可求解.【詳解】由題意可得，，且，所以.設與的夾角為，，則,所以.故選；D.22．已知空間向量且，，，則一定共線的三點是（

）A．A，B，D B．A，B，CC．B，C，D D．A，C，D【答案】A【分析】A選項，計算出，A正確；B選項，設，得到方程組，無解；C選項，設，得到方程組，無解；D選項，計算出，設，得到方程組，無解.【詳解】A選項，，所以A，B，D三點共線，A正確；B選項，設，則，即，無解，B錯誤；C選項，設，則，即，無解，C錯誤；D選項，，設，即，即，無解，D錯誤.故選：A23．已知向量與的夾角為，，，則向量在方向上的投影向量的模長為（

）A．3 B． C．2 D．【答案】D【分析】由已知求出，根據投影向量的公式求解.【詳解】向量與的夾角為，，，，則向量在方向上的投影向量的模長為.故選：D二、多選題24．下列向量組中，能作為平面內所有向量的基底的是（

）A． B．C． D．【答案】ABC【分析】利用向量共線定理判斷兩向量是否共線，不共線則可以作為基底，對四個選項一一進行判斷即可.【詳解】能作為平面內的基底，則兩向量不共線，A選項，，∴不共線，可作為基底，A正確；B選項，，∴不共線，可作為基底，B正確；C選項，，∴不共線，可作為基底，C正確；D選項，，∴共線，不能作為基底，D錯誤．故選：ABC三、填空題25．已知，與的夾角為，則.【答案】【分析】根據向量數量積運算求得正確答案.【詳解】因為，與的夾角為，所以.故答案為：26．已知向量,,若,則.【答案】【分析】根據向量的數量積坐標公式求出的值,再由模長坐標公式求解即可.【詳解】∵,,,∴,即,∴,則,∴,則.故答案為:.27．已知向量與的夾角為，且，則．【答案】【分析】根據平面向量數量積定義即可得到答案.【詳解】，則，.故答案為：.28．已知，，若||＝12，||＝5，且90°，則的值為．【答案】13【分析】把平方再開方，結合題中條件計算即可.【詳解】90°,，又||＝12，||＝5則，故答案為：29．已知P是所在平面內一點，，，，則的最大值是.【答案】【分析】利用平面向量數量積的運算法則將轉化為，從而得解.【詳解】因為，，，所以，，當且僅當時，等號成立，所以的最大值是.故答案為：.30．向量，，，，若，則.【答案】6或【分析】根據設，通過驗證得到共線，結合向量共線的坐標公式計算即可.【詳解】因為，所以設，則，若不共線，則，則，無實根，不符合題意；則共線，因為向量，，所以，解得或.故答案為：6或四、雙空題31．已知向量，滿足，且，與的夾角為，則.在方向上的投影數量為.【答案】42【分析】由向量的數量積運算法則求出，根據投影數量的定義由數量積直接計算即可.【詳解】，在方向上的投影數量為故答案為：4；2.五、解答題32．如圖，在中，是邊上的中線，為的中點．

(1)用，表示；(2)用，表示．【答案】(1)(2)【分析】（1）（2）根據圖形，利用向量的線性運算即可.【詳解】（1）因為是邊上的中線，所以.（2）因為為的中點，所以.33．如圖所示，M是內一點，且滿足，BM的延長線與AC的交點為N.

(1)設，，請用，表示；(2)設，求的值.【答案】(1)(2)【分析】（1）利用基底表示向量即可；（2）利用向量的的分解和共線向量的線性關系表示即可.【詳解】（1）∵，則，解得，即.（2）過M作交AB于P，過M作交于Q，則，因為，則，又因為相似于，所以,所以，即.

34．已知，．(1)若，，且、、三點共線，求的值(2)當為何值時，有與垂直【答案】(1)(2)【分析】（1）首先求出、的坐標，由、、三點共線，可得與共線，列出方程即可得到的值；（2）依題意可得，根據數量積的坐標表示計算可得．【詳解】（1），，，，，，三點共線，與共線，，解得；（2），，與垂直，，解得．35．已知向量，，.(1)求的最小值及相應t的值；(2)若，，其中O為坐標原點，點D在BC的延長線上，且，求點D坐標.【答案】(1)的最小值為，相應t的值為1(2)【分析】（1）根據向量加法運算法則和模的坐標計算公式直接求解；（2）根據向量線性運算法則以及圖形關系直接求解.【詳解】（1）因為向量，，所以，所以，當時，取得最小值為；（2）由題意知，，，即，，因為點D在BC的延長線上，且，所以，設，則，所以，所以，所以36．如圖，在中，，E是AD的中點，設，.

(1)試用，表示；(2)若，與的夾角為，求【答案】(1),(2)【分析】（1）利用向量加法減法的三角形法則及數乘運算即可求解；（2）根據（1）的結論，