學習數(shù)學模型的感受

學習數(shù)學模型的感受一轉(zhuǎn)眼就大三了，在數(shù)學科學學院已經(jīng)度過了三年的光陰了，也學習了專業(yè)必修、專業(yè)選修有十幾門課了，例如，數(shù)學分析，實變函數(shù)這類基礎數(shù)學學科，還有矩陣論初步，運籌學這列統(tǒng)計數(shù)學類學科，但對于我們所學專業(yè)“數(shù)學與應用數(shù)學”中的“應用數(shù)學”類學科接觸的就比較少，而“數(shù)學模型”就是一門典型的用用數(shù)學學科。學習了數(shù)學模型，給與我的第一個收獲就是，對于問題的全面分析能力，所謂“全面”，對于一些問題的條件，變量全面的限定，也就是“建模假設”就拿上課講的一個例子來說，“雙層玻璃的功效”如圖所示：兩層厚度為d的玻璃家這一層厚度為l的空氣，這樣是為了保暖，即減少室內(nèi)向室外的熱量流失，我們要建立來描述熱量通過窗戶的竄到過程，并講雙層玻璃窗御用同樣的單層玻璃窗，如圖所示，玻璃厚度為2d的熱量傳導進行對比。對于這個問題，我們在建立模型之前首先要進行建模問題假設，而在我認為這類數(shù)學模型的建模假設最重要的變量的設定。就這道題來說，要假設熱量的傳播過程只有傳到，沒有對流，而且要假定傳呼的莫風行良好，兩層玻璃之間的空氣是不流動的；假設室內(nèi)溫度為T1，室外溫度為T2，且室外溫度保持不變。且假設熱量傳導過程為穩(wěn)定狀態(tài)，即沿熱量傳導方向，單位時間通過單位面積的熱量為常數(shù)；假設玻璃材料均勻，熱傳導系數(shù)為常數(shù)。這類實際問題的研究對生活有很大幫助，而這些條件的確定也也是對于生活質(zhì)量的保證。例如l與d分別取多少熱的傳導最小，也就是保溫效果最好的條件。學習“數(shù)學模型”給予我的第二個收獲就是鍛煉了思維的邏輯性而且使我們分析問提的嚴謹性。用一個例子，例如，過濾嘴的作用與它的材料和長度有什么關系；人體吸入的毒物量與哪些因素有關，其中哪些因素影響大，哪些因素影響小。模型假設：1）l1~煙草長，l2~過濾嘴長，l=l1+l2，毒物量M均勻分布，密度w0=M/l12）點燃處毒物隨煙霧進入空氣和沿香煙穿行的數(shù)量比是a′:a,a′+a=13）未點燃的煙草和過濾嘴對隨煙霧穿行的毒物的(單位時間)吸收率分別是b和b4）煙霧沿香煙穿行速度是常數(shù)v，燃燒速度是常數(shù)u，v>>u問題的假設鍛煉的是全面的分析能力，而提升分析能力嚴謹性能力的步驟也就是下一步，定性分析（1）（2）（3）這個步驟要求模型建立者根據(jù)上一步“模型假設”，通過分析確定上一步假設所的變量的各種變化引發(fā)結果的如何變化，這就鍛煉了模型建立者思維的嚴謹性，就比如以上式子（1），B，l2的增加同時M，a,v的減少才會導致Q的減少，如果思維不嚴謹，分析的不透徹多算或者少算一個或幾個變量都會引起對下一步的影響，從而影響整個模型的建立。所以建立數(shù)學模型能很好的鍛煉思維的嚴謹性。學習數(shù)學模型給我的第三個收獲，也是最大的一個收獲就是，能幫助我解決一些生活中我所關心的問題。就比如說女人永遠的問題——減肥問題。下面就減肥問題建立一個模型具體說明一下。問題的提出：隨著社會的進步和發(fā)展，人們的生活水平不斷提高。由于飲食營養(yǎng)攝入量的不斷改善和提高，“肥胖”已經(jīng)成為全社會關注的一個重要問題。無論從健康角度還是從審美角度，人們越來越重視自己形體的健美，從而就導致目前社會上出現(xiàn)了各種各樣的減肥食品（或營養(yǎng)素）、減肥飲料、減肥服裝、減肥藥和名目繁多的健美中心，讓人目不暇接，不知所措，上當受騙者也不在少數(shù).以至各種媒體經(jīng)常提醒人們減肥一定要慎重，如何對待減肥是我們一定要正確對待的問題，于是了解減肥的機理成為減肥的關鍵。此外，對于從事某些體育項目的運動員（例如：舉重、體操、游泳等）來說，在比賽前也有都一個正確減肥的問題。問題分析與模型假設人體的脂肪是存儲和提供能量的主要方式，而且也是減肥的主要目標。對于一個成年人來說體重主要有三部分組成：骨骼、水和脂肪。骨骼和水大體上可以認為是不變的，我們不妨以人體脂肪的重量作為體重的標志。已知脂肪的能量轉(zhuǎn)換率為100%，每千克脂肪可以轉(zhuǎn)換為4.2*10^7J的能量。記D=4.2*10^7J/kg，成為脂肪的能量轉(zhuǎn)換系數(shù)。人的體重僅僅看成是時間t的函數(shù)w(t)，而與其它因素無關，這意味著在研究減肥過程中，我們忽略了個體的差異(年齡、性別、健康狀況等)對減肥的影響。體重隨時間是連續(xù)變化的，即w(t)是連續(xù)函數(shù)且充分光滑，因此可以認為能量的攝取和消耗是隨時發(fā)生的。不同的活動對能量的消耗是不同的，例如：踢足球和打羽毛球；而且能量的消耗與體重有關，例如：體重分別為50kg和100kg的人都跑1000m，所耗的能量顯然不同?？梢姡顒訉δ芰康南囊膊皇且粋€簡單的問題，但考慮到減肥的人會為自己制定一個合理且相對穩(wěn)定的減肥計劃，我們可以假設在單位時間(1日)內(nèi)人體活動所消耗的能量與其體重成正比，記B為每1kg體重每天因活動所消耗的能量。單位時間內(nèi)人體用于基礎代謝和食物特殊動力作用所消耗的能量成正比于人的體重。記C為1kg體重每天消耗的能量。減肥者一般對自己的飲食有相對嚴格的控制，在本問題中，為簡單計，我們可以假設人體每天攝入的能量是一定的，記為A?？紤]區(qū)間內(nèi)能量的改變，根據(jù)能量守恒定律有由積分中值定理有其中所以有取取極限得，（*）這就是在一定花間層次上的減肥數(shù)學模型，我們知道模型的某些假設不十分合理，但我們希望求解模型（*），下面繼續(xù)求解。模型的求解當t=0為模型的初始時刻，這是人的體重為w(0)=w0,接下來用積分法求解（*）式，兩邊同乘得，進一步得下一步從0到t積分，并利用初始值w(0)=w0得，下面進行模型的分析與修改推廣：1）a/b是模型中的一個重要參數(shù)。A=A/D是每天由于能量的攝入而增加的體重。b=(B+C)/D是每天由于能量的消耗而失去的體重。2)假設a=0,即停止進食，無任何能量攝入，體重的變化（減少）完全是脂肪的消耗而產(chǎn)生。此時，不進食的節(jié)食減肥法是很危險的。因為limw(t)=0，即體重（脂肪）都消耗盡了，如何能活命！實際上，媒體報道過很多例子，都是產(chǎn)生厭食癥從而身體抵抗力減弱，導致其它并發(fā)疾病而死亡。當a=0時，由解式得，，這表明在【0,t】內(nèi)，體重減少的百分比率為，稱之為[0，t]內(nèi)的消耗量率。特別的，是單位時間內(nèi)體重的消耗率，從而可以推出e^(-bt)=w(t)/w0為[0,t]內(nèi)體重保存率，它表明t時刻體重占初始體重的百分率?；谏厦娴姆治觯纸馐娇芍?，t時刻的體重由兩部分組成：一部分是初始體重中由于能量消耗而被保存下來的部分，另一部分是攝取能量而獲得的補充量，這一解釋從直觀上理解也是合理的。（3）另外，對于此模型容易證明，當且僅當w*<w0時有dw/dt<0，這表明w*<w0時才可能產(chǎn)生減肥效果。由解式，limw(t)=a/b=A/(B+C)=w*，所以得到（*）為最終減肥指標。到這里減肥的數(shù)學模型就已建立完成。這個模型能夠運用數(shù)學的方式直觀的向我們展示出如何減肥是有效果的，而且是無害的。數(shù)學模型不僅僅對我們的生活有幫助，而且對于生產(chǎn)以及經(jīng)濟的發(fā)展也有很大的幫助。就比如我們所學的“奶制品的生產(chǎn)與銷售”這一模型，就是從企業(yè)以及消費者的雙重利益來出發(fā)，在工廠級，從企業(yè)外部需求和內(nèi)部設備、人力原料等條件，以最大利潤為目標指定產(chǎn)品生產(chǎn)計劃