新高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)考點(diǎn)歸納與演練專題3-10 導(dǎo)數(shù)與數(shù)列導(dǎo)數(shù)與概率統(tǒng)計(jì)（含解析）

專題3-10導(dǎo)數(shù)與數(shù)列，導(dǎo)數(shù)與概率統(tǒng)計(jì)目錄TOC\o"1-1"\h\u專題3-10導(dǎo)數(shù)與數(shù)列，導(dǎo)數(shù)與概率統(tǒng)計(jì) 1 1題型一：利用放縮通項(xiàng)公式解決數(shù)列求和中的不等問題 1題型二：導(dǎo)數(shù)與概率統(tǒng)計(jì) 10 22題型一：利用放縮通項(xiàng)公式解決數(shù)列求和中的不等問題【典例分析】例題1．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知正項(xiàng)數(shù)列SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0．(1)求證：SKIPIF1<0；(2)求證：SKIPIF1<0．【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析（1）∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．（2）∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0.下面證明：SKIPIF1<0.令SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，因此SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調(diào)遞減，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，又∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0例題2．（2022·福建·三明一中高三階段練習(xí)）已知函數(shù)SKIPIF1<0．(1)證明：函數(shù)SKIPIF1<0的圖象與直線SKIPIF1<0只有一個公共點(diǎn)．(2)證明：對任意的SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析（1）要證函數(shù)SKIPIF1<0的圖象與直線SKIPIF1<0只有一個交點(diǎn)，只需證方程SKIPIF1<0只有一個根，即證SKIPIF1<0只有一個根，即SKIPIF1<0只有一個根．令SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0．SKIPIF1<0當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0；當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0；SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調(diào)遞增，在SKIPIF1<0上單調(diào)遞減，SKIPIF1<0．SKIPIF1<0SKIPIF1<0恒成立，當(dāng)且僅當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0方程SKIPIF1<0只有一個根，即函數(shù)SKIPIF1<0的圖象與直線SKIPIF1<0只有一個公共點(diǎn)．（2）由（1）知：SKIPIF1<0恒成立，即SKIPIF1<0恒成立（在SKIPIF1<0時等號成立）．SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，…，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0．【提分秘籍】常見的放縮不等式如下：①SKIPIF1<0，當(dāng)且僅當(dāng)SKIPIF1<0時取等號；②SKIPIF1<0，當(dāng)且僅當(dāng)SKIPIF1<0時取等號；③當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，當(dāng)且僅當(dāng)SKIPIF1<0時取等號；④當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0當(dāng)且僅當(dāng)SKIPIF1<0時取等號；⑤當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0⑥SKIPIF1<0當(dāng)且僅當(dāng)SKIPIF1<0時取等號；【變式演練】1．（2022·廣西·高三階段練習(xí)（理））已知函數(shù)SKIPIF1<0．(1)當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0恒成立，求實(shí)數(shù)SKIPIF1<0的取值范圍；(2)設(shè)SKIPIF1<0，求證：SKIPIF1<0．【答案】(1)SKIPIF1<0(2)證明見解析(1)SKIPIF1<0的定義域?yàn)镾KIPIF1<0，SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0當(dāng)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0遞增；當(dāng)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0遞減，當(dāng)SKIPIF1<0時,因?yàn)镾KIPIF1<0,則SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調(diào)遞增,所以SKIPIF1<0恒成立,當(dāng)SKIPIF1<0時,因?yàn)镾KIPIF1<0,則SKIPIF1<0在區(qū)間SKIPIF1<0單調(diào)遞增,在區(qū)間SKIPIF1<0單調(diào)遞減.又SKIPIF1<0,與SKIPIF1<0恒成立相矛盾.綜上,實(shí)數(shù)SKIPIF1<0的取值范圍為SKIPIF1<0.(2)由（1）知當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0即SKIPIF1<0令SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0SKIPIF1<02．（2022·福建省龍巖第一中學(xué)高二階段練習(xí)）已知函數(shù)SKIPIF1<0在SKIPIF1<0處取得極值(1)求函數(shù)SKIPIF1<0的單調(diào)性；(2)證明：對于任意的正整數(shù)SKIPIF1<0，不等式SKIPIF1<0都成立.【答案】(1)增區(qū)間是SKIPIF1<0，減區(qū)間是SKIPIF1<0(2)證明見解析(1)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的極值點(diǎn)SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0＋－SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0的增區(qū)間是SKIPIF1<0，減區(qū)間是SKIPIF1<0；(2)由（1）知當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0令SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0SKIPIF1<0，即SKIPIF1<03．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)f(x)＝lnx－ax＋1在x＝2處的切線斜率為－SKIPIF1<0.(1)求實(shí)數(shù)a的值及函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)設(shè)g(x)＝SKIPIF1<0，對?x1SKIPIF1<0(0，＋∞)，?x2SKIPIF1<0(－∞，0)使得f(x1)≤g(x2)成立，求正實(shí)數(shù)k的取值范圍；(3)證明：SKIPIF1<0＋SKIPIF1<0＋…＋SKIPIF1<0(n∈N*，n≥2).【答案】(1)a＝1，增區(qū)間為SKIPIF1<0，單調(diào)遞減區(qū)間為SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0(3)證明見解析(1)由已知得f′(x)＝SKIPIF1<0－a，∴f′(2)＝SKIPIF1<0－a＝－SKIPIF1<0，解得a＝1.于是f′(x)＝SKIPIF1<0－1＝SKIPIF1<0，當(dāng)xSKIPIF1<0(0，1)時，f′(x)>0，f(x)為增函數(shù)，當(dāng)xSKIPIF1<0(1，＋∞)時，f′(x)<0，f(x)為減函數(shù)，即f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0，1)，單調(diào)遞減區(qū)間為(1，＋∞).(2)由(1)知x1SKIPIF1<0(0，＋∞)，f(x1)≤f(1)＝0，即f(x1)的最大值為0，由題意知：對?x1SKIPIF1<0(0，＋∞)，?x2SKIPIF1<0(－∞，0)使得f(x1)≤g(x2)成立，只需f(x)max≤g(x)max.∵g(x)＝SKIPIF1<0SKIPIF1<0，（SKIPIF1<0等號成立）∴只需SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0.(3)證明：要證明SKIPIF1<0(nSKIPIF1<0N*，n≥2).只需證SKIPIF1<0，只需證SKIPIF1<0.由(1)當(dāng)xSKIPIF1<0(1，＋∞)時，f′(x)<0，f(x)為減函數(shù)，f(x)＝lnx－x＋1≤0，即lnx≤x－1，∴當(dāng)n≥2時，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0＝SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0.4．（2022·湖南張家界·高二期末）已知函數(shù)SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0．(1)當(dāng)SKIPIF1<0時，求函數(shù)SKIPIF1<0的單調(diào)區(qū)間；(2)①若SKIPIF1<0恒成立，求SKIPIF1<0的最小值；②證明：SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0.【答案】(1)單調(diào)遞增區(qū)間為SKIPIF1<0，單調(diào)遞減區(qū)間為SKIPIF1<0(2)①1；②證明見解析(1)由已知條件得SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0的定義域?yàn)镾KIPIF1<0，則SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，綜上所述可知：SKIPIF1<0的單調(diào)遞增區(qū)間為SKIPIF1<0，單調(diào)遞減區(qū)間為SKIPIF1<0；(2)①由SKIPIF1<0恒成立，即SKIPIF1<0恒成立，令SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調(diào)遞增，SKIPIF1<0上單調(diào)遞減，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0

∴SKIPIF1<0的最小值為1.②由①知：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0時取“=”，令SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，

∴SKIPIF1<0SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0.7．（2022·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)函數(shù)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.(1)若函數(shù)SKIPIF1<0在定義域內(nèi)單調(diào)遞減，求SKIPIF1<0的取值范圍；(2)設(shè)SKIPIF1<0，證明：SKIPIF1<0（SKIPIF1<0為自然對數(shù)的底數(shù)）.【答案】(1)SKIPIF1<0(2)證明見解析(1)解：函數(shù)SKIPIF1<0的定義域?yàn)镾KIPIF1<0，且SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，由于SKIPIF1<0在SKIPIF1<0內(nèi)單調(diào)遞減，則SKIPIF1<0對SKIPIF1<0恒成立，即SKIPIF1<0對SKIPIF1<0恒成立，從而SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0的取值范圍為SKIPIF1<0(2)證明：取SKIPIF1<0，由第（1）問可知SKIPIF1<0在SKIPIF1<0為單調(diào)遞減函數(shù)，從而SKIPIF1<0；則SKIPIF1<0對SKIPIF1<0成立，令SKIPIF1<0，有SKIPIF1<0；從而SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0.題型二：導(dǎo)數(shù)與概率統(tǒng)計(jì)【典例分析】例題1．（2022·江蘇南通·高二期末）某大型養(yǎng)雞場流行一種傳染病，雞的感染率為SKIPIF1<0．(1)若SKIPIF1<0，從中隨機(jī)取出SKIPIF1<0只雞，記取到病雞的只數(shù)為SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的概率分布及數(shù)學(xué)期望SKIPIF1<0(2)對該養(yǎng)雞場所有雞進(jìn)行抽血化驗(yàn)，以期查出所有病雞SKIPIF1<0方案如下：按每SKIPIF1<0只雞一組分組，并把同組的SKIPIF1<0只雞的血混合在一起化驗(yàn)，若發(fā)現(xiàn)有問題，再分別對該組SKIPIF1<0只雞逐只化驗(yàn)SKIPIF1<0設(shè)每只雞的化驗(yàn)次數(shù)為隨機(jī)變量SKIPIF1<0，當(dāng)且僅當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0的數(shù)學(xué)期望SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的取值范圍【答案】(1)分布列見解析，1.8(2)SKIPIF1<0(1)依題意，SKIPIF1<0的所有可能取值為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的概率分布表為SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0；(2)設(shè)SKIPIF1<0．若同一組的SKIPIF1<0只雞無感染，則SKIPIF1<0否則，SKIPIF1<0．所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．所以SKIPIF1<0．又當(dāng)且僅當(dāng)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以當(dāng)且僅當(dāng)SKIPIF1<0且SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0．所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調(diào)遞增，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調(diào)遞減．由SKIPIF1<0知，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的取值范圍是SKIPIF1<0例題2．（2022·山東·曹縣一中高二階段練習(xí)）垃圾分類，是指按一定標(biāo)準(zhǔn)將垃圾分類儲存、分類投放和分類搬運(yùn)，從而轉(zhuǎn)變成公共資源的一系列活動的總稱，分類的目的是提高垃圾的資源價值和經(jīng)濟(jì)價值，為爭物盡其用.垃圾分類后，大部分運(yùn)往垃圾處理廠進(jìn)行處理.為了監(jiān)測垃圾處理過程中對環(huán)境造成的影響，某大型垃圾處理廠為此建立了5套環(huán)境監(jiān)測系統(tǒng)，并制定如下方案：每年工廠的環(huán)境監(jiān)測費(fèi)用預(yù)算定為80萬元，日常全天候開啟3套環(huán)境監(jiān)測系統(tǒng)，若至少有2套系統(tǒng)監(jiān)測出排放超標(biāo)，則立即檢查污染處理系統(tǒng)；若有且只有1套系統(tǒng)監(jiān)測出排放超標(biāo)，則立即同時啟動另外兩套系統(tǒng)進(jìn)行1小時的監(jiān)測，且后啟動的這2套監(jiān)測系統(tǒng)中只要有1套系統(tǒng)監(jiān)測出排放超標(biāo)，也立即檢查污染處理系統(tǒng).設(shè)每個時間段（以1小時為計(jì)量單位）被每套系統(tǒng)監(jiān)測出排放超標(biāo)的概率均為SKIPIF1<0，且各個時間段每套系統(tǒng)監(jiān)測出排放超標(biāo)情況相互獨(dú)立.(1)當(dāng)SKIPIF1<0時，求某個時間段需要檢查污染處理系統(tǒng)的概率；(2)若每套環(huán)境監(jiān)測系統(tǒng)運(yùn)行成本為20元/小時（不啟動則不產(chǎn)生運(yùn)行費(fèi)用），除運(yùn)行費(fèi)用外，所有的環(huán)境監(jiān)測系統(tǒng)每年的維修和保養(yǎng)費(fèi)用需要6萬元.現(xiàn)以此方案實(shí)施，問該工廠的環(huán)境監(jiān)測費(fèi)用是否會超過預(yù)算（全年按9000小時計(jì)算）？并說明理由.【答案】(1)SKIPIF1<0；(2)不會超過預(yù)算，理由見解析.(1)設(shè)某個時間段在開啟3套系統(tǒng)時就被確定需要檢查污染源處理系統(tǒng)的事件為A，則SKIPIF1<0，設(shè)某個時間段需要開啟另外2套環(huán)境監(jiān)測系統(tǒng)才能確定需要檢查污染源處理系統(tǒng)的事件為B，則SKIPIF1<0．所以某個時間段需要檢查污染源處理系統(tǒng)的概率為SKIPIF1<0．(2)設(shè)某個時間段環(huán)境監(jiān)測系統(tǒng)的運(yùn)行費(fèi)用為X元，則X的所有可能取值為60，100．且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．SKIPIF1<0．令SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0單調(diào)遞增，當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0單調(diào)遞減，所以SKIPIF1<0的最大值為SKIPIF1<0．所以實(shí)施此方案的最高費(fèi)用為SKIPIF1<0（萬元）．因?yàn)镾KIPIF1<0，所以不會超過預(yù)算．【提分秘籍】構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)函數(shù)求最值【變式演練】1．（2022·全國·高一）根據(jù)社會人口學(xué)研究發(fā)現(xiàn)，一個家庭有X個孩子的概率模型為：X1230概率SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0其中SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．每個孩子的性別是男孩還是女孩的概率均為SKIPIF1<0且相互獨(dú)立，事件SKIPIF1<0表示一個家庭有i個孩子SKIPIF1<0，事件B表示一個家庭的男孩比女孩多(例如：一個家庭恰有一個男孩，則該家庭男孩多．)(1)若SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0，并根據(jù)全概率公式SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0；(2)為了調(diào)控未來人口結(jié)構(gòu)，其中參數(shù)p受到各種因素的影響(例如生育保險(xiǎn)的增加，教育、醫(yī)療福利的增加等)．①若希望SKIPIF1<0增大，如何調(diào)控p的值？②是否存在p的值使得SKIPIF1<0，請說明理由．【答案】(1)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；(2)①增加p的取值；②不存在，理由見解析.（1）由題意得：SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．由全概率公式，得SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0；（2）①由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，記SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，記SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0在SKIPIF1<0單調(diào)遞減．∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0單調(diào)遞減．因此增加p的取值，SKIPIF1<0會減小，SKIPIF1<0增大，即SKIPIF1<0增大．②假設(shè)存在p使SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，將上述兩式相乘，得SKIPIF1<0，化簡得，SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0在SKIPIF1<0單調(diào)遞減，在SKIPIF1<0單調(diào)遞增，SKIPIF1<0的最小值為SKIPIF1<0，∴不存在SKIPIF1<0使得SKIPIF1<0．2．（2022·全國·高三專題練習(xí)）甲、乙兩人進(jìn)行對抗比賽，每場比賽均能分出勝負(fù)．已知本次比賽的主辦方提供8000元獎金并規(guī)定：①若有人先贏4場，則先贏4場者獲得全部獎金同時比賽終止；②若無人先贏4場且比賽意外終止，則甲、乙便按照比賽繼續(xù)進(jìn)行各自贏得全部獎金的概率之比分配獎金．已知每場比賽甲贏的概率為p（0＜p＜1），乙贏的概率為1-p，且每場比賽相互獨(dú)立．（1）當(dāng)SKIPIF1<0時，假設(shè)比賽不會意外終止，記比賽場次為隨機(jī)變量Y，求Y的分布列；（2）當(dāng)SKIPIF1<0時，若已進(jìn)行了5場比賽，其中甲贏了3場，乙贏了2場，此時比賽因意外終止，主辦方?jīng)Q定頒發(fā)獎金，求甲獲得的獎金金額；（3）規(guī)定：若隨機(jī)事件發(fā)生的概率小于0.05，則稱該隨機(jī)事件為小概率事件，我們可以認(rèn)為該事件不可能發(fā)生，否則認(rèn)為該事件有可能發(fā)生．若本次比賽SKIPIF1<0，且在已進(jìn)行的3場比賽中甲贏2場、乙贏1場，請判斷：比賽繼續(xù)進(jìn)行乙贏得全部獎金是否有可能發(fā)生，并說明理由．【答案】（1）分布列見解析；（2）6000元；（3）不可能發(fā)生，理由見解析.【詳解】（1）SKIPIF1<0的可能取值為4，5，6，7SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0的分布列為SKIPIF1<04567SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0（2）5場比賽甲勝3局，則繼續(xù)比賽甲勝的概率為SKIPIF1<0；繼續(xù)比賽乙勝的概率為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0甲獲得獎金金額為SKIPIF1<0（元）（3）設(shè)繼續(xù)進(jìn)行SKIPIF1<0場比賽乙贏得全部獎金，SKIPIF1<0可能取值為3，4.SKIPIF1<0;SKIPIF1<0設(shè)乙贏得全部獎金為事件SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0設(shè)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0SKIPIF1<0在SKIPIF1<0單調(diào)遞減，SKIPIF1<0SKIPIF1<0認(rèn)為比賽繼續(xù)進(jìn)行乙贏得全部獎金不可能發(fā)生.3．（2022·福建·廈門雙十中學(xué)高三階段練習(xí)）一疫苗生產(chǎn)單位通過驗(yàn)血方法檢驗(yàn)?zāi)撤N疫苗產(chǎn)生抗體情況，需要檢驗(yàn)血液是否有抗體現(xiàn)有SKIPIF1<0份血液樣本每份樣本取到的可能性均等有以下兩種檢驗(yàn)方式：（1）逐份檢驗(yàn)，則需要檢驗(yàn)n次；（2）混合檢驗(yàn)將其中SKIPIF1<0（SKIPIF1<0且SKIPIF1<0）份血液樣本分別取樣混合在一起檢驗(yàn)若檢驗(yàn)結(jié)果無抗體，則這k份的血液全無抗體，因而這k份血液樣本只需檢驗(yàn)一次就夠了，若檢驗(yàn)結(jié)果有抗體，為了明確這k份血液究竟哪幾份有抗體就要對這k份再逐份檢驗(yàn)，此時這k份血液的檢驗(yàn)總次數(shù)為k+1次假設(shè)在接受檢驗(yàn)的血液樣本中，每份樣本的檢驗(yàn)結(jié)果有無抗體都是相互獨(dú)立的，且每份樣本有抗體的概率均為SKIPIF1<0．（1）假設(shè)有5份血液樣本，其中只有2份血液樣本有抗體，若采用逐份檢驗(yàn)方式，求恰好經(jīng)過3次檢驗(yàn)就能把有抗體的血液樣本全部檢驗(yàn)出來的概率；（2）現(xiàn)取其中SKIPIF1<0（SKIPIF1<0且SKIPIF1<0）份血液樣本，記采用逐份檢驗(yàn)方式，樣本需要檢驗(yàn)的總次數(shù)為SKIPIF1<0，采用混合檢驗(yàn)方式樣本需要檢驗(yàn)的總次數(shù)為SKIPIF1<0．若SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0關(guān)于k的函數(shù)關(guān)系式SKIPIF1<0，并證明SKIPIF1<0．【答案】（1）SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0；證明見解析．【詳解】解：（1）設(shè)恰好經(jīng)過3次檢驗(yàn)?zāi)馨延锌贵w血液樣本全部檢驗(yàn)出來為事件A，所以SKIPIF1<0，所以恰好經(jīng)過3次檢驗(yàn)就能把有抗體的血液樣本全部檢驗(yàn)出來的概率為SKIPIF1<0．（2）由已知得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的所有可能取值為1，SKIPIF1<0．所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以p關(guān)于k的函數(shù)關(guān)系式為SKIPIF1<0（SKIPIF1<0且SKIPIF1<0）證明：令SKIPIF1<0（SKIPIF1<0且SKIPIF1<0）所以SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0單調(diào)遞減，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0單調(diào)遞增所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0且SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．4．（2022·全國·高三專題練習(xí)）某醫(yī)院為篩查冠狀病毒，需要檢驗(yàn)血液是不是陽性，現(xiàn)有SKIPIF1<0份血液樣本，有以下兩種檢驗(yàn)方式：方式一：逐份檢驗(yàn)，則需要檢驗(yàn)SKIPIF1<0次．方式二：混合檢驗(yàn)，將其中SKIPIF1<0（SKIPIF1<0且SKIPIF1<0）份血液樣本分別取樣混合在一起檢驗(yàn)．若檢驗(yàn)結(jié)果為陰性，這SKIPIF1<0份血液樣本全為陰性，因而這SKIPIF1<0份血液樣本只要檢驗(yàn)一次就夠了；若檢驗(yàn)結(jié)果為陽性，為了明確這SKIPIF1<0份血液樣本究竟哪幾份為陽性，就要對這SKIPIF1<0份血液樣本再逐份檢驗(yàn)，此時這SKIPIF1<0份血液樣本的檢驗(yàn)次數(shù)總共為SKIPIF1<0．假設(shè)在接受檢驗(yàn)的血液樣本中，每份樣本的檢驗(yàn)結(jié)果是陽性還是陰性都是獨(dú)立的，且每份樣本是陽性結(jié)果的概率為SKIPIF1<0．現(xiàn)取其中SKIPIF1<0份血液樣本，記采用逐份檢驗(yàn)方式，需要檢驗(yàn)的總次數(shù)為SKIPIF1<0，采用混合檢驗(yàn)方式，需要檢驗(yàn)的總次數(shù)為SKIPIF1<0．（1）若SKIPIF1<0，試求SKIPIF1<0關(guān)于SKIPIF1<0的函數(shù)關(guān)系式SKIPIF1<0；（2）若SKIPIF1<0與干擾素計(jì)量SKIPIF1<0相關(guān)，其中SKIPIF1<0是不同的正整數(shù)，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0都有SKIPIF1<0成立．①求證：數(shù)列SKIPIF1<0是等比數(shù)列；②當(dāng)SKIPIF1<0時，采用混合檢驗(yàn)方式可以使樣本需要檢驗(yàn)的總次數(shù)的期望值比采用逐份檢驗(yàn)方式的檢驗(yàn)總次數(shù)的期望值更少，求SKIPIF1<0的最大值．參考數(shù)據(jù)：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．【答案】（1）SKIPIF1<0；（2）①證明見詳解；②SKIPIF1<0.【詳解】（1）由已知，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0；SKIPIF1<0的可能取值為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由題意SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0；又SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0關(guān)于SKIPIF1<0的函數(shù)關(guān)系式為SKIPIF1<0；（2）①證明：當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0；因?yàn)镾KIPIF1<0，所以下面證明對任意的正整數(shù)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；（i）當(dāng)SKIPIF1<0時，顯然成立；（ii）假設(shè)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0成立；當(dāng)SKIPIF1<0時，由SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因此SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0（負(fù)值舍去），所以SKIPIF1<0；由（i）（ii）可知，SKIPIF1<0，即數(shù)列SKIPIF1<0是等比數(shù)列；②由①知，SKIPIF1<0，因?yàn)椴捎没旌蠙z驗(yàn)方式可以使樣本需要檢驗(yàn)的總次數(shù)的期望值比采用逐份檢驗(yàn)方式的檢驗(yàn)總次數(shù)的期望值更少，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0；設(shè)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0單調(diào)遞減；當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0單調(diào)遞增；所以SKIPIF1<0；又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以使SKIPIF1<0的最大整數(shù)SKIPIF1<0的取值為SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0的最大值為SKIPIF1<0；綜上，SKIPIF1<0的最大值為SKIPIF1<0.1．（2022·河北邯鄲·模擬預(yù)測）設(shè)函數(shù)SKIPIF1<0(1)求曲線SKIPIF1<0在SKIPIF1<0處的切線方程；(2)證明：當(dāng)SKIPIF1<0且SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0.【答案】(1)SKIPIF1<0(2)證明見解析(1)顯然，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0故切線方程為SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0(2)令SKIPIF1<0，SKIPIF1<0當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0單調(diào)遞增故SKIPIF1<0，即當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0令SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0即SKIPIF1<0由此可得，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，……SKIPIF1<0，將以上SKIPIF1<0個式子相加，得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0且SKIPIF1<02．（2022·全國·高三專題練習(xí)）證明：SKIPIF1<0．【答案】證明見解析【詳解】證明：SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0．SKIPIF1<0．SKIPIF1<0SKIPIF1<0令SKIPIF1<0，SKIPIF1<0當(dāng)SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上遞增，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又因?yàn)镾KIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0．綜上：SKIPIF1<0．3．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)SKIPIF1<0．(1)求函數(shù)SKIPIF1<0的極值；(2)（i）當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0恒成立，求正整數(shù)SKIPIF1<0的最大值；（ii）證明：SKIPIF1<0．【答案】(1)答案見解析(2)（i）3；（ii）證明見解析(1)SKIPIF1<0，x＞0，當(dāng)k≤0時，f′（x）＞0，函數(shù)在（0，+∞）上單調(diào)遞增，沒有極值；當(dāng)k＞0時，由f′（x）＞0得x＞k，由f′（x）＜0得0＜x＜k，所以f（x）在（0，k）上單調(diào)遞減，在（k，+∞）上單調(diào)遞增，此時函數(shù)f（x）的極小值f（k）＝lnk﹣k+2，沒有極大值；(2)（i）當(dāng)x＞1時，f（x）＞0恒成立，即只要f（x）min＞0即可，由（1）k＞0時，f（x）在（0，k）上單調(diào)遞減，在（k，+∞）上單調(diào)遞增，（a）若k≤1時，f（x）在（1，+∞）上單調(diào)遞增，f（x）min＞f（1）＝1滿足題意；（b）當(dāng)k＞1時，f（x）在（0，k）上單調(diào)遞減，在（k，+∞）上單調(diào)遞增，f（x）min＝f（k）＝lnk﹣k+2＞0，令g（x）＝lnx﹣x+2，則SKIPIF1<0＜0，所以g（x）在（1，+∞）上單調(diào)遞減，且g（2）＝ln2＞0，g（3）＝ln3﹣1＞0，g（4）＝ln4﹣2＜0，所以存在x0∈（3，4）使得g（x0）＝0，則g（x）＝lnx﹣x+2＞0的解集為（1，x0），綜上k的取值范圍（﹣∞，x0），其中x0∈（3，4），所以正整數(shù)k的最大值3；（ii）證明：要證SKIPIF1<0兩邊取對數(shù)，即證SKIPIF1<0也即證SKIPIF1<0由（i）知SKIPIF1<0，令x＝1+n（n+1），則ln[n（n+1）+1]＞2﹣SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0所以（1+1×2）（1+2×3）…[1+n（n+1）]＞SKIPIF1<0．4．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)SKIPIF1<0.(1)求SKIPIF1<0在點(diǎn)SKIPIF1<0處的切線方程；(2)已知函數(shù)SKIPIF1<0在區(qū)間SKIPIF1<0上不存在極值點(diǎn)，求SKIPIF1<0的取值范圍；(3)證明：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.【答案】(1)SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0(3)證明見解析.(1)由SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0在點(diǎn)SKIPIF1<0處的切線斜率為SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0，所以切點(diǎn)為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0在點(diǎn)SKIPIF1<0處的切線方程為SKIPIF1<0即SKIPIF1<0.(2)SKIPIF1<0，定義域?yàn)镾KIPIF1<0，SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0在區(qū)間SKIPIF1<0上不存在極值點(diǎn)，則SKIPIF1<0或SKIPIF1<0恒成立，令SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0或SKIPIF1<0對于SKIPIF1<0恒成立，因?yàn)镾KIPIF1<0恒成立，所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調(diào)遞增，所以SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0恒成立，則SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0符合題意；因?yàn)镾KIPIF1<0對于SKIPIF1<0不可能恒成立，所以SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0恒成立，此時在區(qū)間SKIPIF1<0上不存在極值點(diǎn)，所以SKIPIF1<0的取值范圍為SKIPIF1<0.(3)設(shè)SKIPIF1<0，定義域?yàn)镾KIPIF1<0，則SKIPIF1<0由SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0；由SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調(diào)遞增，在SKIPIF1<0上單調(diào)遞減，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0即SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0.5．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0（1）試討論SKIPIF1<0的單調(diào)性；（2）求證：SKIPIF1<0.【答案】（1）答案見解析；（2）證明見解析.【詳解】解：（1）因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0當(dāng)SKIPIF1<0即SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調(diào)遞增當(dāng)SKIPIF1<0即SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調(diào)遞增當(dāng)SKIPIF1<0即SKIPIF1<0時，由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，此時SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調(diào)遞增，在SKIPIF1<0上單調(diào)遞減，在SKIPIF1<0上單調(diào)遞增綜上所述：當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調(diào)遞增，當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調(diào)遞增，在SKIPIF1<0上單調(diào)遞減，在SKIPIF1<0上單調(diào)遞增（2）由（1）知當(dāng)SKIPIF1<0時，函數(shù)SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上是單調(diào)增函數(shù)，且當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0即SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0當(dāng)SKIPIF1<0，時，SKIPIF1<0，將上個不等式相加得SKIPIF1<0即SKIPIF1<0.得證.6．（2022·全國·高三專題練習(xí)）某病毒在進(jìn)入人體后有潛伏期，患者在潛伏期內(nèi)無任何癥狀，但已具傳染性.假設(shè)一位病毒攜帶者在潛伏期內(nèi)每天有n位密接者，每位密接者被感染的概率為p，（1）若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求一天內(nèi)被一位病毒攜帶者直接感染人數(shù)X的分布列和均值：（2）某定點(diǎn)醫(yī)院為篩查某些人員是否感染此病毒，需要檢測血液樣本是否為陽性，有以下兩種檢驗(yàn)方式：①逐份檢驗(yàn)，即k份血液樣本需要檢驗(yàn)k次；②混合檢驗(yàn)，即將k份（SKIPIF1<0且SKIPIF1<0）血液樣本分別取樣混合在一起檢驗(yàn)，若檢驗(yàn)結(jié)果為陰性，則這k份血液樣本全為陰性，因而這k份血液樣本只要檢驗(yàn)一次就夠了：如果檢驗(yàn)結(jié)果為陽性，為了明確這k份血液樣本究竟哪份為陽性，就要對k份血液樣本再逐份檢驗(yàn)，此時這k份血液樣本的檢驗(yàn)次數(shù)為k+1次.假設(shè)樣本的檢驗(yàn)結(jié)果相互獨(dú)立，且每份樣本檢驗(yàn)結(jié)果是陽性的概率為SKIPIF1<0，為使混合檢驗(yàn)需要的檢驗(yàn)的總次數(shù)SKIPIF1<0的期望值比逐份檢驗(yàn)的總次數(shù)SKIPIF1<0的期望值更少，求k的取值范圍.參考數(shù)據(jù)：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.【答案】（1）答案見解析；（2）SKIPIF1<0且k∈N*．【詳解】（1）若n＝3，p＝SKIPIF1<0，依題意可知X服從二項(xiàng)分布，即X～B(3，SKIPIF1<0)，從而SKIPIF1<0，i＝0，1，2，3．隨機(jī)變量X的分布列為：X0123PSKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0隨機(jī)變量X的均值為SKIPIF1<0．

（2）由題意知ζ的所有可能取值為1，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，又∵E(η)＝k，依題意E(ζ)＜E(η)，即：k＋1－k(1－p)k＜k，∴SKIPIF1<0＜(1－p)k，∵p＝1－SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0＜(SKIPIF1<0)k，∴l(xiāng)nk＞SKIPIF1<0k．設(shè)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，所以f(x)在(0，3)上單調(diào)遞增，在(3，＋∞)上單調(diào)遞減，由于f(1)＝SKIPIF1<0＜0，f(2)＝ln2－SKIPIF1<0＞0，f(4)＝ln4－SKIPIF1<0＝0.0530＞0，f(5)＝ln5－SKIPIF1<0＝－0.0573＜0，故k的取值范圍為SKIPIF1<0且k∈N*．7．（2022·全國·高三專題練習(xí)）公元1651年，法國一位著名的統(tǒng)計(jì)學(xué)家德梅赫（Demere）向另一位著名的數(shù)學(xué)家帕斯卡（B.Pascal）提出了一個問題，帕斯卡和費(fèi)馬（Fermat）討論了這個問題，后來惠更斯（C.Huygens）也加入了討論，這三位當(dāng)時全歐洲乃至全世界最優(yōu)秀的科學(xué)家都給出了正確的解答.該問題如下：設(shè)兩名運(yùn)動員約定誰先贏SKIPIF1<0局，誰便贏得全部獎金SKIPIF1<0元.每局甲贏的概率為SKIPIF1<0，乙贏的概率為SKIPIF1<0，且每場比賽相互獨(dú)立.在甲贏了SKIPIF1<0局，乙贏了SKIPIF1<0局時，比賽意外終止.獎金該怎么分才合理？這三位數(shù)學(xué)家給出的答案是：如果出現(xiàn)無人先贏SKIPIF1<0局則比賽意外終止的情況，甲、乙便按照比賽再繼續(xù)進(jìn)行下去各自贏得全部獎金的概率之比SKIPIF1<0分配獎金.（1）規(guī)定如果出現(xiàn)無人先贏SKIPIF1<0局則比賽意外終止的情況，甲、乙便按照比賽再繼續(xù)進(jìn)行下去各自贏得全部獎金的概率之比SKIPIF1<0分配獎金.若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0.（2）記事件SKIPIF1<0為“比賽繼續(xù)進(jìn)行下去乙贏得全部獎金”，試求當(dāng)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0時比賽繼續(xù)進(jìn)行下去甲贏得全部獎金的概率SKIPIF1<0，并判斷當(dāng)SKIPIF1<0時，事件SKIPIF1<0是否為小概率事件，并說明理由.規(guī)定：若隨機(jī)事件發(fā)生的概率小于0.05，則稱該隨機(jī)事件為小概率事件.【答案】（1）SKIPIF1<0；（2）答案見解析.【詳解】（1）設(shè)比賽再繼續(xù)進(jìn)行SKIPIF1<0局甲贏得全部獎金，則最后一局必然甲贏.由題意知，最多再進(jìn)行SKIPIF1<0局，甲、乙必然有人贏得全部獎金.當(dāng)SKIPIF1<0時，甲以SKIPIF1<0贏，所以SKIPIF1<0；當(dāng)SKIPIF1<0時，甲以SKIPIF1<0贏，所以SKIPIF1<0；當(dāng)SKIPIF1<0時，甲以SKIPIF1<0贏，所以SKIPIF1<0.所以，甲贏的概率為SKIPIF1<0.所以，SKIPIF1<0；（2）設(shè)比賽繼續(xù)進(jìn)行SKIPIF1<0局乙贏得全部獎金，則最后一局必然乙贏.當(dāng)SKIPIF1<0時，乙以SKIPIF1<0贏，SKIPIF1<0；當(dāng)SKIPIF1<0時，乙以SKIPIF1<0贏，SK