4.2等差數(shù)列（十六大題型）（原卷版）

4．2等差數(shù)列課程標準學習目標1、通過生活中的實例，理解等差數(shù)列的概念和通項公式的意義．2、探索并掌握等差數(shù)列的前項和公式，理解等差數(shù)列通項公式與前項和公式的關系．3、能在具體問題情境中發(fā)現(xiàn)數(shù)列的等差關系，并解決相應的問題．4、體會等差數(shù)列與一元一次函數(shù)的關系．1、掌握等差數(shù)列的通項公式，能利用等差數(shù)列的通項公式進行基本的運算2、了解等差數(shù)列前n項和公式的推導過程．3、掌握等差數(shù)列前n項和公式．4、能根據(jù)等差數(shù)列的定義證明一個數(shù)列是等差數(shù)列．知識點01等差數(shù)列的定義一般地，如果一個數(shù)列從第二項起，每一項與它的前一項的差都等于同一個常數(shù)，這個數(shù)列就叫做等差數(shù)列，這個常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差，公差通常用字母表示．知識點詮釋：⑴公差一定是由后項減前項所得，而不能用前項減后項來求；⑵共同特征：從第二項起，每一項與它前面一項的差等于同一個常數(shù)（即公差）；符號語言形式對于數(shù)列，若（，，為常數(shù)）或（，為常數(shù)），則此數(shù)列是等差數(shù)列，其中常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差．知識點詮釋：定義中要求“同一個常數(shù)”，必須與無關．等差中項如果，，成等差數(shù)列，那么叫做與的等差中項，即．知識點詮釋：①兩個數(shù)的等差中項就是兩個數(shù)的算術平均數(shù)．任意兩實數(shù)，的等差中項存在且唯一．②三個數(shù)，，成等差數(shù)列的充要條件是．【即學即練1】（2023·高二課時練習）已知數(shù)列是等差數(shù)列，下面的數(shù)列中必為等差數(shù)列的個數(shù)是（

）①

②

③

④A．1 B．2 C．3 D．4知識點02等差數(shù)列的通項公式等差數(shù)列的通項公式首相為，公差為的等差數(shù)列的通項公式為：，推導過程：（1）歸納法：根據(jù)等差數(shù)列定義可得：，所以，，，……當n=1時，上式也成立所以歸納得出等差數(shù)列的通項公式為：（）．（2）疊加法：根據(jù)等差數(shù)列定義，有：，，，…把這個等式的左邊與右邊分別相加（疊加），并化簡得，所以．（3）迭代法：所以．知識點詮釋：①通項公式由首項和公差完全確定，一旦一個等差數(shù)列的首項和公差確定，該等差數(shù)列就唯一確定了．②通項公式中共涉及、、、四個量，已知其中任意三個量，通過解方程，便可求出第四個量．等差數(shù)列通項公式的推廣已知等差數(shù)列中，第項為，公差為，則．證明：因為，所以所以由上可知，等差數(shù)列的通項公式可以用數(shù)列中的任一項與公差來表示，公式．可以看成是時的特殊情況．【即學即練2】（2023·廣東深圳·高二校聯(lián)考期中）在等差數(shù)列中，，，則數(shù)列的通項公式.知識點03等差數(shù)列的性質等差數(shù)列中，公差為，則①若，且，則，特別地，當時．②下標成公差為的等差數(shù)列的項，，，…組成的新數(shù)列仍為等差數(shù)列，公差為．③若數(shù)列也為等差數(shù)列，則，，（k，b為非零常數(shù)）也是等差數(shù)列．④仍是等差數(shù)列．⑤數(shù)列（為非零常數(shù)）也是等差數(shù)列．【即學即練3】（2023·廣東陽江·高二?？计谥校┮阎獢?shù)列是等差數(shù)列，且，則（

）A． B． C．1 D．2知識點04等差數(shù)列的前項和公式等差數(shù)列的前項和公式公式一：證明：倒序相加法①②①+②：因為所以由此得：公式二：證明：將代入可得：知識點詮釋：①倒序相加是數(shù)列求和的重要方法之一．②上面兩個公式均為等差數(shù)列的求和公式，共涉及、、、、五個量，已知其中任意三個量，通過解方程組，便可求出其余兩個量．【即學即練4】（2023·甘肅白銀·高二?？茧A段練習）已知等差數(shù)列的前n項和為S，且，，則（

）A．2 B．2 C．4 D．6知識點05等差數(shù)列的前n項和的有關性質等差數(shù)列中，公差為，則①連續(xù)項的和依然成等差數(shù)列，即，，，…成等差數(shù)列，且公差為．=2\*GB3②若項數(shù)為，則，，③若項數(shù)為，則，，，，【即學即練5】（2023·高二課時練習）在項數(shù)為2n＋1的等差數(shù)列中，所有奇數(shù)項的和為165，所有偶數(shù)項的和為150，則n等于（

）A．9 B．10C．11 D．12知識點06等差數(shù)列中的函數(shù)關系等差數(shù)列的通項公式是關于的一次函數(shù)（或常數(shù)函數(shù)）等差數(shù)列中，，令，則：（，是常數(shù)且為公差）（1）當時，為常數(shù)函數(shù)，為常數(shù)列；它的圖象是在直線上均勻排列的一群孤立的點．（2）當時，是的一次函數(shù)；它的圖象是在直線上均勻排列的一群孤立的點．①當時，一次函數(shù)單調增，為遞增數(shù)列；=2\*GB3②當時，一次函數(shù)單調減，為遞減數(shù)列．等差數(shù)列的前項和公式是關于的一個常數(shù)項為零的二次函數(shù)（或一次函數(shù)）由，令，，則：（，是常數(shù)）（1）當即時，，是關于的一個一次函數(shù)；它的圖象是在直線上的一群孤立的點．（2）當即時，是關于的一個常數(shù)項為零的二次函數(shù)；它的圖象是在拋物線上的一群孤立的點．=1\*GB3①當時有最小值=2\*GB3②當時，有最大值知識點詮釋：1、公差不為0的等差數(shù)列的通項公式是關于n的一次函數(shù)．2、（，是常數(shù)）是數(shù)列成等差數(shù)列的充要條件．3、公差不為0的等差數(shù)列的前項和公式是關于n的一個常數(shù)項為零的二次函數(shù)．4、（其中，為常數(shù)）是數(shù)列成等差數(shù)列的充要條件．【即學即練6】（2023·山東日照·高二?？茧A段練習）在數(shù)列中，若，前項和，則的最大值為．【方法技巧與總結】1、等差數(shù)列中對稱設項法的應用（1）某兩個數(shù)是等差數(shù)列中的連續(xù)兩個數(shù)且知其和，可設這兩個數(shù)為：，，公差為；（2）三個數(shù)成等差數(shù)列且知其和，常設此三數(shù)為：，，，公差為；（3）四個數(shù)成等差數(shù)列且知其和，常設成，，，，公差為．2、等差數(shù)列前項和的最值（1）在等差數(shù)列中，當，時，有最大值，使取得最值的可由不等式組確定；當，時，有最少值，使取到最值的可由不等式組確定．（2），若，則從二次函數(shù)的角度看：當時，有最少值；當時，有最大值．當取最接近對稱軸的正整數(shù)時，取到最值．題型一：等差數(shù)列的判斷例1．（2023·浙江杭州·高二杭師大附中?？计谥校啊笔恰皵?shù)列為等差數(shù)列”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分又不必要條件例2．（2023·福建莆田·高二莆田第二十五中學校考階段練習）已知數(shù)列滿足，則是為等差數(shù)列的（

）A．充分條件但不是必要條件 B．必要條件但不是充分條件C．充要條件 D．既不是充分條件也不是必要條件例3．（2023·高二課時練習）現(xiàn)有下列命題：①若，則數(shù)列是等差數(shù)列；②若，則數(shù)列是等差數(shù)列；③若（b、c是常量），則數(shù)列是等差數(shù)列．其中真命題有（

）．A．0個 B．1個 C．2個 D．3個變式1．（2023·高二課時練習）下列數(shù)列中，不成等差數(shù)列的是（

）．A．2，5，8，11 B．，，，C．a(chǎn)，a，a，a D．，，，【方法技巧與總結】對于數(shù)列，若（，，為常數(shù)）或（，為常數(shù)），則此數(shù)列是等差數(shù)列，其中常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差．題型二：等差數(shù)列的通項公式及其應用例4．（2023·上海閔行·高二?？茧A段練習）已知數(shù)列中，，，則.例5．（2023·北京·高二101中學?？计谥校┰O是等差數(shù)列，且，，則數(shù)列的通項公式為．例6．（2023·遼寧鞍山·高二東北育才學校校聯(lián)考期末）在數(shù)列中，，且.則數(shù)列的通項公式為.變式2．（2023·全國·高二專題練習）在數(shù)列中，對任意總有，且，則．變式3．（2023·北京海淀·高二中關村中學?？计谥校┮阎獢?shù)列滿足，，則．變式4．（2023·全國·高二假期作業(yè)）數(shù)列中，，，則14是的第項．變式5．（2023·甘肅嘉峪關·高二統(tǒng)考期末）在等差數(shù)列中，，，則.變式6．（2023·江蘇連云港·高二贛榆一中?？茧A段練習）已知為等差數(shù)列，，，則．【方法技巧與總結】等差數(shù)列通項公式的求法與應用技巧（1）等差數(shù)列的通項公式可由首項與公差確定，所以要求等差數(shù)列的通項公式，只需求出首項與公差即可．（2）等差數(shù)列的通項公式中共含有四個參數(shù)，即，，，，如果知道了其中的任意三個數(shù)，那么就可以由通項公式求出第四個數(shù)，這一求未知量的過程，我們通常稱之為“知三求一”．（3）通項公式可變形為，可把看作自變量為的一次函數(shù)．題型三：等差數(shù)列的證明例7．（2023·重慶榮昌·高二重慶市榮昌中學校?？茧A段練習）已知數(shù)列滿足，且.(1)求；(2)證明：數(shù)列是等差數(shù)列，并求.例8．（2023·江蘇連云港·高二贛榆一中校考階段練習）已知數(shù)列滿足，且.(1)證明：是等差數(shù)列；(2)求數(shù)列的通項公式.例9．（2023·黑龍江齊齊哈爾·高二齊齊哈爾市恒昌中學校?？计谀┰O數(shù)列的前n項和，滿足，且(1)證明：數(shù)列為等差數(shù)列(2)求的通項公式變式7．（2023·全國·高二專題練習）在數(shù)列中4，，．求證：數(shù)列{}是等差數(shù)列；變式8．（2023·全國·高二專題練習）已知數(shù)列中，，．(1)求證：數(shù)列是等差數(shù)列；(2)求數(shù)列的通項公式．【方法技巧與總結】證明等差數(shù)列的方法（1）定義法或數(shù)列是等差數(shù)列．（2）等差中項法數(shù)列為等差數(shù)列．（3）通項公式法數(shù)列{an}的通項公式形如（，為常數(shù)）數(shù)列為等差數(shù)列．題型四：等差中項及應用例10．（2023·山東日照·高二統(tǒng)考期中）已知，，則a，b的等差中項為（

）A． B． C．1 D．例11．（2023·甘肅金昌·高二永昌縣第一高級中學校考階段練習）在等差數(shù)列中，若，則（

）A．13 B．26 C．39 D．52例12．（2023·黑龍江哈爾濱·高二統(tǒng)考期末）在等差數(shù)列中，若，則（

）A．3 B．4 C．5 D．6變式9．（2023·黑龍江哈爾濱·高二哈爾濱市第四中學校校考期中）已知等差數(shù)列滿足，則（

）A． B． C． D．變式10．（2023·甘肅武威·高二統(tǒng)考開學考試）若是與的等差中項，則實數(shù)a的值為（

）A． B． C． D．5變式11．（2023·北京懷柔·高二北京市懷柔區(qū)第一中學?？计谥校┤?、、成等差數(shù)列，則（

）A． B． C． D．【方法技巧與總結】若a，A，b成等差數(shù)列，則；反之，由也可得到a，A，b成等差數(shù)列，所以A是a，b的等差中項．題型五：等差數(shù)列的實際應用例13．（2023·黑龍江大慶·高二大慶中學?？茧A段練習）《周髀算經(jīng)》中有這樣一個問題：冬至?小寒?大寒?立春?雨水?驚蟄?春分?清明?谷雨?立夏?小滿，芒種這十二個節(jié)氣，自冬至日起，其日影長依次成等差數(shù)列，若立春當日日影長為尺，立夏當日日影長為尺，則春分當日日影長為（

）A．尺 B．5尺 C．尺 D．尺例14．（2023·安徽阜陽·高二安徽省太和中學?？几傎悾┰?022年北京冬奧會開幕式上，二十四節(jié)氣倒計時驚艷亮相，與節(jié)氣相配的14句古詩詞，將中國人獨有的浪漫傳達給了全世界．我國古代天文學和數(shù)學著作《周髀算經(jīng)》中記載：一年有二十四個節(jié)氣，每個節(jié)氣的晷長損益相同（晷是按照日影測定時刻的儀器，晷長即為所測量影子的長度），二十四節(jié)氣及晷長變化如圖所示，相鄰兩個節(jié)氣晷長減少或增加的量相同，周而復始．已知雨水的晷長為尺，立冬的晷長為尺，則冬至所對的晷長為（

）A．尺 B．尺 C．尺 D．尺例15．（2023·全國·高二專題練習）在北京冬奧會開幕式上，二十四節(jié)氣倒計時驚艷了世界．從冬至之日起，小寒、大寒、立春、雨水、驚蟄、春分、清明、谷雨、立夏、小滿、芒種這十二個節(jié)氣的日影長依次成等差數(shù)列，若冬至的日影長為尺，立春的日影長為尺，則春分的日影長為（

）A．9.5尺 B．10.5尺 C．11.5尺 D．12.5尺變式12．（2023·全國·高二專題練習）天干地支紀年法源于中國，中國自古便有十天干與十二地支，十天干即甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸；十二地支即子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥.天干地支紀年法是按順序以一個天干和一個地支相配，排列起來，天干在前，地支在后，天干由“甲”起，地支由“子”"起，例如，第一年為“甲子”，第二年為“乙丑”，第三年為“丙寅”，以此類推，排列到“癸西”后，天干回到“甲”重新開始，即“甲戌”，“乙亥”，然后地支回到“子”重新開始，即“丙子”，以此類推.今年是辛丑年，也是重慶一中建校90周年，則重慶一中建校的那一年是（

）A．壬酉年 B．壬戊年 C．辛酉年 D．辛未年變式13．（2023·高二課時練習）習近平總書記提出：鄉(xiāng)村振興，人才是關鍵．要積極培養(yǎng)本土人才，鼓勵外出能人返鄉(xiāng)創(chuàng)業(yè)．為鼓勵返鄉(xiāng)創(chuàng)業(yè)，黑龍江對青山鎮(zhèn)鎮(zhèn)政府決定投入創(chuàng)業(yè)資金和開展“創(chuàng)業(yè)技術培訓”幫扶返鄉(xiāng)創(chuàng)業(yè)人員．預計該鎮(zhèn)政府每年投入的創(chuàng)業(yè)資金構成一個等差數(shù)列（單位萬元，），每年開展“創(chuàng)業(yè)技術培訓”投入的資金為第一年創(chuàng)業(yè)資金的倍，已知．則預計該鎮(zhèn)政府幫扶五年累計總投入資金的最大值為（

）A．72萬元 B．96萬元 C．120萬元 D．144萬元變式14．（2023·江西宜春·高二上高中學?？计谀稄埱窠ㄋ憬?jīng)》是我國古代內容極為豐富的數(shù)學名著，書中有如下問題：“今有女不善織，日減功遲，初日織五尺，末日織一尺，今三十織迄……”其大意為：有一女子不善于織布，每天比前一天少織同樣多的布，第一天織5尺，最后一天織一尺，三十天織完…….則該女子第11天織布（

）A．尺 B．尺 C．尺 D．尺【方法技巧與總結】（1）解決實際應用問題，首先要認真領會題意，根據(jù)題目條件，尋找有用的信息．若一組數(shù)按次序“定量”增加或減少時，則這組數(shù)成等差數(shù)列．合理地構建等差數(shù)列模型是解決這類問題的關鍵，在解題過程中，一定要分清首項、項數(shù)等關鍵的問題．（2）能在具體的問題情境中，識別數(shù)列的等差關系，抽象出數(shù)列的模型，并能用有關知識解決相應的問題，是數(shù)學建模的核心素養(yǎng)的體現(xiàn)．題型六：等差數(shù)列性質的應用例16．（2023·西藏拉薩·高二?？计谥校┮阎堑炔顢?shù)列，，則等于（

）A．48 B．40 C．60 D．72例17．（2023·甘肅嘉峪關·高二統(tǒng)考期末）若方程的四個根組成一個首項為的等差數(shù)列，則（

）A．1 B．C． D．例18．（2023·新疆巴音郭楞·高二校考期中）在等差數(shù)列中，，則的值為（

）A． B． C． D．變式15．（2023·福建寧德·高二統(tǒng)考期中）已知等差數(shù)列，若，則（

）A．20 B．24 C．28 D．32變式16．（2023·陜西渭南·高二統(tǒng)考期末）在等差數(shù)列中，，則的值為（

）A． B．11 C．22 D．33變式17．（2023·陜西延安·高二子長市中學校考期末）已知等差數(shù)列中，，則（

）A．4 B．5 C．6 D．7變式18．（2023·北京順義·高二統(tǒng)考期末）數(shù)列是等差數(shù)列，若，則（

）A． B．5 C．9 D．15變式19．（2023·廣西玉林·高二校聯(lián)考期中）已知等差數(shù)列滿足，則（

）A．3 B．6 C．2 D．4【方法技巧與總結】等差數(shù)列運算的兩種常用思路（1）基本量法：根據(jù)已知條件，列出關于，的方程（組），確定，，然后求其他量．（2）巧用性質法：觀察等差數(shù)列中項的序號，若，且，則．題型七：等差數(shù)列中對稱設項法的應用例19．（2023·全國·高二單元測試）（1）三個數(shù)成等差數(shù)列，其和為，前兩項之積為后一項的倍，求這三個數(shù).（2）四個數(shù)成遞增等差數(shù)列，中間兩數(shù)的和為，首末兩項的積為，求這四個數(shù).例20．（2023·全國·高二專題練習）已知四個數(shù)成等差數(shù)列，中間兩項之和為2，首末兩項之積為，求這四個數(shù).例21．（2023·寧夏·平羅中學高二階段練習）四個數(shù)成遞增等差數(shù)列，四個數(shù)之和等于，中間兩個數(shù)之積為，求這四個數(shù).變式20．（2023·全國·高二課時練習）（1）已知四個數(shù)成等差數(shù)列且是遞增數(shù)列，這四個數(shù)的平方和為94，首尾兩數(shù)之積比中間兩數(shù)之積少18，求此等差數(shù)列；（2）已知等差數(shù)列是遞增數(shù)列，且其前三項之和為21，前三項之積為231，求數(shù)列的通項公式．【方法技巧與總結】等差數(shù)列中對稱設項法的應用1、某兩個數(shù)是等差數(shù)列中的連續(xù)兩個數(shù)且知其和，可設這兩個數(shù)為：，，公差為；2、三個數(shù)成等差數(shù)列且知其和，常設此三數(shù)為：，，，公差為；3、四個數(shù)成等差數(shù)列且知其和，常設成，，，，公差為．題型八：等差數(shù)列前項和的有關計算例22．（2023·四川涼山·高二寧南中學?？茧A段練習）設等差數(shù)列前n項和是，若，則（

）A．5 B．45 C．15 D．90例23．（2023·福建寧德·高二福鼎市第一中學校考階段練習）若數(shù)列滿足，且，則其前15項和（

）A．135 B．105 C．90 D．75例24．（2023·福建寧德·高二統(tǒng)考期中）在等差數(shù)列中，，為數(shù)列的前項和，則（

）A． B． C． D．變式21．（2023·福建莆田·高二?？计谥校┰诘炔顢?shù)列中，其前項和為，若是方程的兩個根，那么的值為（

）A． B． C． D．變式22．（2023·河北石家莊·高二石家莊實驗中學校考期末）已知數(shù)列是等差數(shù)列，是其前n項和，，則（

）A．160 B．253 C．180 D．190變式23．（2023·西藏拉薩·高二?？计谥校┰O是等差數(shù)列的前n項和，已知，，則等于（

）A．49 B．35 C．13 D．63【方法技巧與總結】等差數(shù)列中的基本計算（1）利用基本量求值：等差數(shù)列的通項公式和前項和公式中有五個量和，這五個量可以“知三求二”．一般是利用公式列出基本量和的方程組，解出和，便可解決問題．解題時注意整體代換的思想．（2）結合等差數(shù)列的性質解題：等差數(shù)列的常用性質：若，則，常與求和公式結合使用．題型九：等差數(shù)列前項和的比值問題例25．（2023·福建寧德·高二福建省寧德第一中學?？奸_學考試）已知等差數(shù)列，，其前項和分別為，，且滿足，．例26．（2023·遼寧阜新·高二?？计谥校┮阎炔顢?shù)列的前n項和為，等差數(shù)列的前n項和為，且，求.例27．（2023·河南許昌·高二禹州市高級中學校考期末）設等差數(shù)列、的前項和分別為、，若對任意的，都有，則．變式24．（2023·江西宜春·高二江西省清江中學?？计谥校﹥蓚€等差數(shù)列，的前n項和分別為和，已知，則．變式25．（2023·高二課時練習）已知，分別是等差數(shù)列，的前n項和，且，則．變式26．（2023·福建莆田·高二莆田第二十五中學?？茧A段練習）設等差數(shù)列，的前項和分別為，，若，則=.【方法技巧與總結】設，的前項和為，，則．題型十：等差數(shù)列前項和的性質例28．（2023·廣西玉林·高二?？计谥校┰O等差數(shù)列的前n項和為，若，，則的值是．例29．（2023·北京·高二北京市第五中學?？计谀┰O等差數(shù)列的前項和為，若，則.例30．（2023·上?！じ叨谥校┰O等差數(shù)列的前n項和為，已知，則．變式27．（2023·高二課時練習）設等差數(shù)列的前n項和為，若，則．變式28．（2023·安徽亳州·高二?？计谥校┑炔顢?shù)列的前n項和為，且，，則．【方法技巧與總結】利用等差數(shù)列前n項和的性質簡化計算（1）在解決等差數(shù)列問題時，先利用已知求出和，再求所求，是基本解法，有時運算量大些；（2）等差數(shù)列前項和的有關性質在解題過程中，如果運用得當可以達到化繁為簡、化難為易、事半功倍的效果．（3）設而不求，整體代換也是很好的解題方法．題型十一：等差數(shù)列前項和的最值問題例31．（2023·全國·高二專題練習）已知等差數(shù)列的前項和為，且，則滿足的正整數(shù)的最大值為．例32．（2023·江西撫州·高二臨川一中?？计谀┰O為等差數(shù)列的前n項和，若，，則．例33．（2023·上海靜安·高二?？茧A段練習）已知數(shù)列的前項和，當且僅當時，取得最小值，那么的取值范圍是.變式29．（2023·北京·高二北京市第一六六中學?？计谥校┑炔顢?shù)列中，公差，，則當前項和最大時，變式30．（2023·江西贛州·高二統(tǒng)考期中）已知等差數(shù)列的前n項和為，，若時，最小，則=.變式31．（2023·河南許昌·高二?？计谥校┮阎炔顢?shù)列的通項公式，記其前n項和為，那么當時，取得最小值．變式32．（2023·上海浦東新·高二上海市進才中學?？茧A段練習）已知等差數(shù)列的前項和為，且，，則取最小值時，．變式33．（2023·高二?？颊n時練習）已知等差數(shù)列的前n項和為，，，則取得最大值時n的值為.變式34．（2023·上海普陀·高二上海市晉元高級中學?？茧A段練習）已知等差數(shù)列中，，當且僅當時，前項和取得最小值，則公差的取值范圍是.變式35．（2023·新疆·高二校聯(lián)考期末）已知等差數(shù)列的首項為，前項和為，若，且，則的取值范圍為．變式36．（2023·陜西商洛·高二校考階段練習）數(shù)列的通項公式，是的前項和，時，最小.【方法技巧與總結】（1）等差數(shù)列前項和最大（小）值的情形①若，，則存在最大值，即所有非負項之和．②若，，則存在最小值，即所有非正項之和．（2）求等差數(shù)列前項和最值的方法①尋找正、負項的分界點，可利用等差數(shù)列性質或利用或來尋找．②運用二次函數(shù)求最值．題型十二：求數(shù)列的前項和例34．（2023·江蘇蘇州·高二校聯(lián)考階段練習）在公差為的等差數(shù)列中，已知，且.(1)求；(2)若，求.例35．（2023·全國·高二隨堂練習）等差數(shù)列中，，公差，令，求數(shù)列的前n項和．例36．（2023·江蘇鹽城·高二?？奸_學考試）在等差數(shù)列中，，(1)求數(shù)列的通項公式；(2)求的前項和．變式37．（2023·河南南陽·高二南陽中學?？茧A段練習）已知數(shù)列為等差數(shù)列，其前n項和為，且，，數(shù)列.(1)求的通項公式；(2)求數(shù)列的前n項和.變式38．（2023·湖北省直轄縣級單位·高二?？茧A段練習）設單調遞減的等差數(shù)列的前項和為.(1)求數(shù)列的通項公式及前項和；(2)設數(shù)列的前項和為，求.變式39．（2023·高二課時練習）在數(shù)列中，，且滿足.(1)求數(shù)列的通項公式；(2)設，求．【方法技巧與總結】已知等差數(shù)列，求絕對值數(shù)列的有關問題是一種常見的題型，解決此類問題的核心便是去掉絕對值，此時應從其通項公式入手，分析哪些項是正的，哪些項是負的，即找出正、負項的“分界點”．題型十三：等差數(shù)列前n項和公式的實際應用例37．（2023·江蘇徐州·高二?？茧A段練習）《張邱建算經(jīng)》記載：今有女子不善織布，逐日織布同數(shù)遞減，初日織五尺，末一日織一尺，計織三十日，問共織布尺．例38．（2023·河南平頂山·高二統(tǒng)考期末）南宋數(shù)學家楊輝所著的《詳解九章算法·商功》中描述了如圖所示的形狀，后人稱為“三角垛”.三角垛的最上層（即第一層）有1個球，第二層有3個球，第三層有6個球，…，從第二層開始，每層球數(shù)與上一層球數(shù)之差依次構成等差數(shù)列.現(xiàn)有60個籃球，把它們堆放成一個三角垛，那么剩余籃球的個數(shù)最少為.例39．（2023·安徽·高二校聯(lián)考期末）公元前1800年，古埃及的“加罕紙草書”上有這樣一個問題：將100德本（德本是古埃及的重量單位）的食物分成10份，第一份最大，從第二份開始，每份比前一份少德本，求各份的大小.在這個問題中，最小的一份是德本.變式40．（2023·湖北·高二校聯(lián)考階段練習）張大爺為了鍛煉身體，每天堅持步行，用支付寶APP記錄每天的運動步數(shù).在11月的30天中，張大爺每天的運動步數(shù)都比前一天多相同的步數(shù)，經(jīng)過統(tǒng)計發(fā)現(xiàn)前10天的運動步數(shù)是萬步，前20天的運動步數(shù)是萬步，則張大爺在11月的運動步數(shù)是萬步.變式41．（2023·寧夏石嘴山·高二平羅中學?？计谥校⒁恍┫嗤摹癌枴卑慈鐖D所示擺放，觀察每個圖形中的“〇”的個數(shù)，若第個圖形中“〇”的個數(shù)是，則的值是．變式42．（2023·江西贛州·高二?？茧A段練習）一支車隊有15輛車，某天下午依次出發(fā)執(zhí)行運輸任務，第一輛車于14時出發(fā)，以后每間隔發(fā)出一輛，假設所有的司機都連續(xù)開車，并都在19時停下來休息．已知每輛車行駛的速度都是，則這個車隊當天一共行駛了千米？【方法技巧與總結】（1）與等差數(shù)列前項和有關的應用題，其關鍵在于構造合適的等差數(shù)列．（2）遇到與正整數(shù)有關的應用題時，可以考慮與數(shù)列知識聯(lián)系，抽象出數(shù)列的模型，并用有關知識解決相關的問題，是數(shù)學建模的核心素養(yǎng)的體觀．題型十四：由等差數(shù)列的前n項和判斷等差數(shù)列例40．（2023·高二單元測試）已知數(shù)列的前項和（），則此數(shù)列的通項公式為．例41．（2023·高二課時練習）已知數(shù)列的前n項和求數(shù)列的通項公式；求證：數(shù)列是等差數(shù)列．例42．（2023·江蘇南通·高二統(tǒng)考期中）設各項均為正數(shù)的數(shù)列滿足（、為常數(shù)），其中為數(shù)列的前項和.(1)若，，求證：是等差數(shù)列；(2)若，，求數(shù)列的通項公式；(3)若，求的值.變式43．（2023·高二課時練習）已知一個數(shù)列的前項和．(1)當時，求證：該數(shù)列是等差數(shù)列；(2)若數(shù)列是等差數(shù)列，求滿足條件．變式44．（2023·高二課時練習）數(shù)列的前項和.（1）判斷是不是等差數(shù)列，若是，求其首項、公差；（2）設，求數(shù)列的前項和．變式45．（2023·高二課時練習）數(shù)列滿足前項和，則數(shù)列的通項公式為【方法技巧與總結】（其中，為常數(shù)）是數(shù)列成等差數(shù)列的充要條件．題型十五：等差數(shù)列片段和的性質例43．（2023·上海閔行·高二?？茧A段練習）已知等差數(shù)列的前n項和為，滿足，，則.例44．（2023·云南曲靖·高二統(tǒng)考期末）等差數(shù)列的前項和為，若，，則．例45．（2023·江蘇鹽城·高二鹽城市伍佑中學?？计谀┑炔顢?shù)列的前項和為30，前項和為100，則它的前項和為.變式46．（2023·廣東河源·高二龍川縣第一中學?？计谀┯洖榈炔顢?shù)列的前n項和．若，，則．變式47．（2023·河南商丘·高二校聯(lián)考期末）已知等差數(shù)列的前項和為，若數(shù)列的前項和為，則.【方法技巧與總結】連續(xù)項的和依然成等差數(shù)列，即，，，…成等差數(shù)列，且公差為．題型十六：等差數(shù)列的奇數(shù)項與偶數(shù)項和例46．（2023·甘肅·高二?？茧A段練習）一個等差數(shù)列共100項，其和為80，奇數(shù)項和為30，則該數(shù)列的公差為（

）A． B．2 C． D．例47．（2023·高二單元測試）設等差數(shù)列的項數(shù)為奇數(shù)，則其奇數(shù)項之和與偶數(shù)項之和的比為（

）A． B． C． D．例48．（2023·高二單元測試）等差數(shù)列共2n+1個項，且奇數(shù)項和為165，偶數(shù)項和為150，則n=（

）A．10 B．13 C．11 D．22變式48．（2023·高二課時練習）已知等差數(shù)列共有項，其中奇數(shù)項之和為290，偶數(shù)項之和為261，則的值為（

）．A．30 B．29 C．28 D．27變式49．（2023·高二課時練習）已知某等差數(shù)列的項數(shù)為奇數(shù)，前三項與最后三項這六項之和為，所有奇數(shù)項的和為，則這個數(shù)列的項數(shù)為（

）A． B． C． D．【方法技巧與總結】（1）若項數(shù)為，則，，（2）若項數(shù)為，則，，，，一、單選題1．（2023·重慶榮昌·高二重慶市榮昌中學校?？茧A段練習）已知等差數(shù)列中，，，則（

）A．0 B．2 C．4 D．62．（2023·重慶榮昌·高二重慶市榮昌中學校?？茧A段練習）《周髀算經(jīng)》中有這樣一個問題：從冬至起，接下來依次是小寒、大寒、立春、雨水、驚蟄、春分、清明、谷雨、立夏,小滿、芒種共十二個節(jié)氣，其日影長依次成等差數(shù)列，其中大寒、驚蟄、谷雨三個節(jié)氣的日影長之和為尺，且前九個節(jié)氣日影長之和為尺，則立春的日影長為（

）A．尺 B．11尺 C．尺 D．12尺3．（2023·江蘇蘇州·高二吳江中學?？茧A段練習）已知為等差數(shù)列，，，的前n項和為，則使得取得最大值的n的值為（

）A．18 B．19 C．20 D．214．（2023·福建寧德·高二福鼎市第一中學?？茧A段練習）已知等差數(shù)列的前項和有最小值，且，則使成立的正整數(shù)的最小值為（

）A．2022 B．2023 C．4043 D．40445．（2023·廣西貴港·高二