九年級(jí)數(shù)學(xué)全冊(cè)知識(shí)講解及鞏固練習(xí)：《圓的基本性質(zhì)》全章復(fù)習(xí)與鞏固-知識(shí)講解（基礎(chǔ)）

PAGE《圓的基本性質(zhì)》全章復(fù)習(xí)與鞏固（基礎(chǔ)）責(zé)編：康紅梅【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1．理解圓及其有關(guān)概念，了解點(diǎn)與圓的位置關(guān)系.

2.認(rèn)識(shí)圖形的旋轉(zhuǎn)，理解圖形的旋轉(zhuǎn)的性質(zhì).3.理解圓的性質(zhì)，垂徑定理，圓心角定理，圓周角定理.4.理解圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì).5．了解正多邊形的概念，掌握用等分圓周畫(huà)圓的內(nèi)接正多邊形的方法；會(huì)計(jì)算弧長(zhǎng)及扇形的面積.6.會(huì)初步綜合應(yīng)用圓的有關(guān)知識(shí)，解決一些簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題.【知識(shí)網(wǎng)絡(luò)】

【要點(diǎn)梳理】要點(diǎn)一、圓的定義、性質(zhì)及與圓有關(guān)的角

1．圓的定義

（1）線段OA繞著它的一個(gè)端點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)一周，另一個(gè)端點(diǎn)A所形成的封閉曲線，叫做圓.

（2）圓是到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的集合.（3）不在同一條直線上的三個(gè)點(diǎn)確定一個(gè)圓.

要點(diǎn)詮釋?zhuān)?/p>

①圓心確定圓的位置，半徑確定圓的大?。淮_定一個(gè)圓應(yīng)先確定圓心，再確定半徑，二者缺一不可；

②圓是一條封閉曲線.2.點(diǎn)與圓的位置關(guān)系判定一個(gè)點(diǎn)P是否在⊙O上

設(shè)⊙O的半徑為，OP=，則有

點(diǎn)P在⊙O外；點(diǎn)P在⊙O上；點(diǎn)P在⊙O內(nèi).

要點(diǎn)詮釋?zhuān)狐c(diǎn)和圓的位置關(guān)系和點(diǎn)到圓心的距離的數(shù)量關(guān)系是相對(duì)應(yīng)的，即知道位置關(guān)系就可以確定數(shù)量關(guān)系；知道數(shù)量關(guān)系也可以確定位置關(guān)系.3.垂徑定理：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧.

定理1：平分弦(不是直徑)的直徑垂直于弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧.

定理2：平分弧的直徑垂直平分弧所對(duì)的弦.

4．與圓有關(guān)的角

圓心角定理：在同圓或等圓中，相等的圓心角所對(duì)的弧相等，所對(duì)的弦也相等.在同圓或者等圓中，如果兩個(gè)圓心角、兩條弧、兩條弦、兩個(gè)弦心距中有一對(duì)量相等，那么它們所對(duì)應(yīng)的其余各對(duì)量都相等.圓周角定理：圓周角的度數(shù)等于它所對(duì)弧上的圓心角度數(shù)的一半.

90°的圓周角所對(duì)的弦為直徑；半圓或直徑所對(duì)的圓周角為直角.在同圓或者等圓中，同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等；相等的圓周角所對(duì)的弧也相等.

5.圓內(nèi)接四邊形

圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ).要點(diǎn)二、圖形的旋轉(zhuǎn)

在平面內(nèi)，一個(gè)圖形繞著一個(gè)定點(diǎn)沿某個(gè)方向轉(zhuǎn)動(dòng)一個(gè)角度，這樣的圖形運(yùn)動(dòng)叫做旋轉(zhuǎn).這個(gè)定點(diǎn)叫做旋轉(zhuǎn)中心，轉(zhuǎn)過(guò)的角叫做旋轉(zhuǎn)角.圖形經(jīng)過(guò)旋轉(zhuǎn)所得的圖形和原圖形全等.對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等.任何一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心連線所成的角度等于旋轉(zhuǎn)的角度.

要點(diǎn)三、正多邊形

各邊相等，各內(nèi)角也相等的多邊形是正多邊形．

要點(diǎn)詮釋?zhuān)?/p>

判斷一個(gè)多邊形是否是正多邊形，必須滿足兩個(gè)條件：(1)各邊相等；(2)各角相等；缺一不可.如菱形的各邊都相等，矩形的各角都相等，但它們都不是正多邊形(正方形是正多邊形).正多邊形的外接圓和圓的內(nèi)接正多邊形

正多邊形和圓的關(guān)系十分密切，只要把一個(gè)圓分成相等的一些弧，就可以作出這個(gè)圓的內(nèi)接正多邊形，這個(gè)圓就是這個(gè)正多邊形的外接圓．要點(diǎn)四、弧長(zhǎng)及扇形的面積圓心角為、半徑為R的弧長(zhǎng).

圓心角為，半徑為R，弧長(zhǎng)為的扇形的面積.

要點(diǎn)詮釋?zhuān)?/p>

(1)對(duì)于扇形面積公式，關(guān)鍵要理解圓心角是1°的扇形面積是圓面積的，即；

(2)在扇形面積公式中，涉及三個(gè)量：扇形面積S、扇形半徑R、扇形的圓心角，知道其中的兩個(gè)量就可以求出第三個(gè)量.

(3)扇形面積公式，可根據(jù)題目條件靈活選擇使用，它與三角形面積公式有點(diǎn)類(lèi)似，可類(lèi)比記憶；

(4)扇形兩個(gè)面積公式之間的聯(lián)系：.

【典型例題】類(lèi)型一、圓的基礎(chǔ)知識(shí)1．如圖所示，△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A(－1，3)、B(－2，－2)、C(4，－2)，則△ABC外接圓半徑的長(zhǎng)度為．【答案】；【解析】由已知得BC∥x軸，則BC中垂線為

那么，△ABC外接圓圓心在直線x=1上，

設(shè)外接圓圓心P(1,a)，則由PA=PB=r得到：PA2=PB2

即(1+1)2+(a-3)2=(1+2)2+(a+2)2

化簡(jiǎn)得4+a2-6a+9=9+a2+4a+4

解得a=0

即△ABC外接圓圓心為P(1,0)

則【總結(jié)升華】三角形的外心是三邊中垂線的交點(diǎn)，由B、C的坐標(biāo)知：圓心P（設(shè)△ABC的外心為P）必在直線x=1上；由圖知：BC的垂直平分線正好經(jīng)過(guò)（1，0），由此可得到P（1，0）；連接PA、PB，由勾股定理即可求得⊙P的半徑長(zhǎng)．類(lèi)型二、弧、弦、圓心角、圓周角的關(guān)系及垂徑定理2．如圖所示，⊙O的直徑AB和弦CD相交于點(diǎn)E，已知AE＝1cm，EB＝5cm，∠DEB＝60°，求CD的長(zhǎng)．【答案與解析】作OF⊥CD于F，連接OD．∵AE＝1，EB＝5，∴AB＝6．∵，∴OE＝OA-AE＝3-1＝2．在Rt△OEF中，∵∠DEB＝60°，∴∠EOF＝30°，∴，∴．在Rt△DFO中，OF＝，OD＝OA＝3，∴(cm)．∵OF⊥CD，∴DF＝CF，∴CD＝2DF＝cm．【總結(jié)升華】因?yàn)榇箯蕉ɡ砩婕按怪标P(guān)系，所以常?？梢岳孟倚木啵▓A心到弦的距離）、半徑和半弦組成一個(gè)直角三角形，用勾股定理來(lái)解決問(wèn)題，因而，在圓中常作弦心距或連接半徑作為輔助線，然后用垂弦定理來(lái)解題．作OF⊥CD于F，構(gòu)造Rt△OEF，求半徑和OF的長(zhǎng)；連接OD，構(gòu)造Rt△OFD，求CD的長(zhǎng)．舉一反三：【變式】如圖，AB、AC都是圓O的弦，OM⊥AB，ON⊥AC，垂足分別為M、N，如果MN＝3，那么BC＝．【答案】由OM⊥AB，ON⊥AC，得M、N分別為AB、AC的中點(diǎn)（垂徑定理），則MN是△ABC的中位線，BC=2MN=6.3．如圖，以原點(diǎn)O為圓心的圓交x軸于點(diǎn)A、B兩點(diǎn)，交y軸的正半軸于點(diǎn)C，D為第一象限內(nèi)⊙O上的一點(diǎn)，若∠DAB=20°，則∠OCD=．yxyxOABDC（第3題）【答案】65°.【解析】連結(jié)OD，則∠DOB=40°，設(shè)圓交y軸負(fù)半軸于E，得∠DOE=130°，∠OCD=65°.【總結(jié)升華】根據(jù)同弧所對(duì)圓周角與圓心角的關(guān)系可求.舉一反三：【變式】如圖，⊙O的半徑是2，AB是⊙O的弦，點(diǎn)P是弦AB上的動(dòng)點(diǎn)，且1≤OP≤2，則弦AB所對(duì)的圓周角的度數(shù)是（）A．60° B．120° C．60°或120° D．30°或150°【答案】C.【解析】作OD⊥AB，如圖，∵點(diǎn)P是弦AB上的動(dòng)點(diǎn)，且1≤OP≤2，∴OD=1，∴∠OAB=30°，∴∠AOB=120°，∴∠AEB=∠AOB=60°，∵∠E+∠F=180°，∴∠F=120°，即弦AB所對(duì)的圓周角的度數(shù)為60°或120°．故選C．類(lèi)型三、圖形的旋轉(zhuǎn)4．如圖，圖B是圖A旋轉(zhuǎn)后得到的，旋轉(zhuǎn)中心是，旋轉(zhuǎn)了.【思路點(diǎn)撥】確定圖形的旋轉(zhuǎn)時(shí)，首先要確定旋轉(zhuǎn)前后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)，即可確定旋轉(zhuǎn)中心，對(duì)應(yīng)點(diǎn)連線的夾角即為旋轉(zhuǎn)角.【答案】X，180°.【解析】解：觀察圖形中Z點(diǎn)對(duì)應(yīng)點(diǎn)的位置是圖A繞旋轉(zhuǎn)中心X按逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)180°得到的．

故答案為：X；180°．【總結(jié)升華】本題考查了圖形的旋轉(zhuǎn)變化，主要看清是順時(shí)針還是逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)多少度，對(duì)應(yīng)點(diǎn)的連線是否過(guò)旋轉(zhuǎn)中心，對(duì)應(yīng)點(diǎn)連線的夾角為旋轉(zhuǎn)角．類(lèi)型四、圓中有關(guān)的計(jì)算5．（2016?十堰）如圖，從一張腰長(zhǎng)為60cm，頂角為120°的等腰三角形鐵皮OAB中剪出一個(gè)最大的扇形OCD，用此剪下的扇形鐵皮圍成一個(gè)圓錐的側(cè)面（不計(jì)損耗），則該圓錐的高為（）A．10cm B．15cm C．10cm D．20cm【思路點(diǎn)撥】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到OE的長(zhǎng)，再利用弧長(zhǎng)公式計(jì)算出弧CD的長(zhǎng)，設(shè)圓錐的底面圓的半徑為r，根據(jù)圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖為一扇形，這個(gè)扇形的弧長(zhǎng)等于圓錐底面的周長(zhǎng)得到r，然后利用勾股定理計(jì)算出圓錐的高．【答案】D．【解析】解：過(guò)O作OE⊥AB于E，∵OA=OB=60cm，∠AOB=120°，∴∠A=∠B=30°，∴OE=OA=30cm，∴弧CD的長(zhǎng)==20π，設(shè)圓錐的底面圓的半徑為r，則2πr=20π，解得r=10，∴圓錐的高==20．故選D．【總結(jié)升華】本題考查了圓錐的計(jì)算：圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖為一扇形，這個(gè)扇形的弧長(zhǎng)等于圓錐底面的周長(zhǎng)，扇形的半徑等于圓錐的母線長(zhǎng)．類(lèi)型五、圓與其他知識(shí)的綜合運(yùn)用6．如圖(1)是某學(xué)校存放學(xué)生自行車(chē)的車(chē)棚示意圖(尺寸如圖(1))，車(chē)棚頂部是圓柱側(cè)面的一部分，其展開(kāi)圖是矩形．圖(2)是車(chē)棚頂部截面的示意圖，所在圓的圓心為O．車(chē)棚頂部用一種帆布覆蓋，求覆蓋棚頂?shù)姆嫉拿娣e(不考慮接縫等因素，計(jì)算結(jié)果保留π)．【答案與解析】連接OB，過(guò)點(diǎn)O作OE⊥AB，垂足為E，交于點(diǎn)F，如圖(2)．由垂徑定理，可知E是AB中點(diǎn)，F(xiàn)是的中點(diǎn)，∴，EF＝2．設(shè)半徑為R米，則OE＝(R-2)m．在Rt△AOE中，由勾股定理，得．解得R＝4．∴OE＝2，，∴∠AOE＝60°，∴∠AOB＝120°．∴的長(zhǎng)為(m)．∴帆布的面積為(m2)．【總結(jié)升華】本題以學(xué)生校園生活中的常見(jiàn)車(chē)棚為命題背景，使考生在考場(chǎng)上能有一種親切的感覺(jué)，這也體現(xiàn)了中考命題貼近學(xué)生生活實(shí)際的原則．求覆蓋棚頂?shù)姆嫉拿娣e，就是求以為底面的圓柱的側(cè)面積．根據(jù)題意，應(yīng)先求出所對(duì)的圓心角度數(shù)以及所在圓的半徑，才能求的長(zhǎng)．舉一反三：【變式】某居民小區(qū)的一處圓柱形的輸水管道破裂，維修人員為更換管道，需要確定管道圓形截面的半徑，如圖所示是水平放置的破裂管道有水部分的截面.

①請(qǐng)你補(bǔ)全這個(gè)輸水管道的圓形截面圖；

②若這個(gè)輸水管道有水