2022年四川師大附中高考數(shù)學(xué)二診試卷（文科）（附答案詳解）

2022年四川師大附中高考數(shù)學(xué)二診試卷（文科）

1.已知集合4={x|%2-2x—8W0),B={x|log2|x|>0],則4n8=()

A.[-2,-l)U(l,4]B.[-2,-1)

D.(1,4]

2.已知aER,復(fù)數(shù)z=鬻（i為虛數(shù)單位）是純虛數(shù)，則z的共視復(fù)數(shù)的虛部是（）

A.1B.—iC.iD.-1

(W)

3.給出如圖所示的程序框圖，若輸入X的值為一|,則輸出

的y的值是（）

A.

B.

C.

/轆HW/

D.0

(W)

4.等差數(shù)列｛即｝中,Sn為其前幾項和，2ali-a12=10,則S19的值為（）

A.18B.19C.180D.190

5.已知ae(7i,2TT),cosa—3sina=1,則cos￡=()

7B3再7D

'10--￥

6.“2Vm<3”是方程工=1表示的曲線為橢圓的（

m-23-m)

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

7.函數(shù)/（x）=sinQx+火）（其中⑷>0,|如<1））的圖象如圖所示，為了得到g（x）=

S譏3X的圖象只要將/'（X）的圖象（）

A.向右平移孩個單位B.向右平移5個單位

C.向左平移?個單位D.向左平移三個單位

O1Z

+y>—1

8.已知。為坐標原點，點M的坐標為(2,1),點N的坐標(x,y)滿足|2x-yW1,則麗.

(y<1

麗的最小值為()

A.-4B.-1C.—2D.-3

9.下列命題中，真命題的是()

A.若回歸方程y=_0145X+06則變量y與X正相關(guān)

B.線性回歸分析中相關(guān)指數(shù)R2用來刻畫回歸的效果，若R2值越小，則模型的擬合

效果越好

C.若樣本數(shù)據(jù)Xi，%2，…，Xio的方差為2，則數(shù)據(jù)2xi—1,2亞一1，…，2xio-1的

方差為8

D.一個人連續(xù)射擊三次，則事件“至少擊中兩次”的對立事件是“至多擊中一

次”

10.“爛漫的山花中，我們發(fā)現(xiàn)你.自然擊你以風(fēng)雪，你報之以歌唱.命運置你于危崖，

你饋人間以芬芳.不懼碾作塵，無意苦爭春，以怒放的生命，向世界表達倔強.你

是岸畔的桂，雪中的梅.”這是給感動中國十大人物之一的張桂梅老師的頒獎詞，

她用實際行動奉獻社會，不求回報，只愿孩子們走出大山.受張桂梅老師的影響，

有大量志愿者到鄉(xiāng)村學(xué)校支教，現(xiàn)將甲、乙、丙3名志愿者安排到A、B兩個學(xué)校參

加支教活動，要求每個學(xué)校至少安排一個人，則甲被派到4學(xué)校的概率為()

A.；B.|C.|D.；

3234

11.已知直線八y=2金X-&P與拋物線c：y2=2px(p>0)交于4,B兩點，點4B

在準線上的射影分別是當，若四邊形為4BBi的面積為54vL則p=()

A.4B.3C.-D.4A/2

第2頁，共21頁

12.已知仇Q=a+TH,)人=b+m(其中aHb),若a>ab恒成立，則實數(shù)2的取值范

圍為()

A.[(|)2,+00)B.[1,+8)C.[e2,4-oo)D.[20212,4-oo)

13.已知向量落至滿足2=(4,0),6=(mt1),|方|=五?石，則萬與石的夾角為,

14.曲線y="x—白在％=1處的切線的傾斜角為訪則且瞥絲=.

15.已知數(shù)列｛即｝滿足ctn+1=2?+;，且前8項和為761,則的=.

16.四面體4BCD的四個頂點都在球。的球面上，AB=BC=CD=DA=4,AC=BD=

2魚，點E,F,G分別為棱BC,CD,AD的中點，則下列說法正確的是.

①過點E,F,G做四面體4BCD的截面，則該截面的面積為2；

②四面體4BC。的體積為?；

③AC與B。的公垂線段的長為2；

④過E作球。的截面，則截面面積的最大值與最小值的比為5：4.

17.新冠肺炎疫情對人類生產(chǎn)生活產(chǎn)生了巨大影響，科學(xué)家正在研發(fā)新的治療藥物.新

的治療藥物通常需要進行有效性試驗，為了研究一種新藥對治療某疾病是否有效，

進行了臨床試驗，采用簡單隨機抽樣方法抽取100人，情況如下表:

療效

療法

痊愈未痊愈

服用新藥4010

服用安慰劑3020

(1)能否有99%的把握認為新藥治療疾病有明顯的效果？

(2)小明和其余4名同伴參與了該項研究，研究人員決定從他們5人中隨機邀請3人進

行試驗回訪，求3人中小明和其中一位同伴小亮同時被邀請訪談的概率.

n(ad-bc)2

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

P(K2>k)0.0500.0100.001

k3.8416.63510.828

18.銳角△ABC中，角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,且也-=tcmB+tanC.

ccosB

(I)求角c的值；

(11)若?=2h，。為AB的中點，求中線CD的范圍.

19.如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面力BCD為矩形，PA，底

面4BC0,P4=AB,E為線段PB上的一點，且PE=2PB,

產(chǎn)為線段BC上的動點.

(1)當；I為何值時，平面4EF1平面PBC,并說明理由；產(chǎn)―

(2)若24=2,BC=3,平面4EF1平面PBC,VE_ABF：VP.ABCD=1：6,求出點8到

平面4EF的距離.

20.已知一動圓Q與圓M：(x+1)2+y2=1外切，同時與圓N：(x—1尸+/=25內(nèi)

切，圓心Q的軌跡為曲線C.

(1)求曲線。的方程；

(2)過曲線C上點P作該曲線的一條切線，與直線x=1相交于點4與直線x=9相交

第4頁，共21頁

于點8,證明PNLNB并判斷熱是否為定值？若是，求出該值；若不是，請說明

理由.

21.已知函數(shù)f(x)=e*—ax,其中e為自然對數(shù)的底數(shù)，a為常數(shù).

(1)若對函數(shù)/(x)存在極小值，且極小值為0,求a的值；

(2)若對任意xe不等式f(x)>e?l-sinx)恒成立，求a的取值范圍.

22.在直角坐標系xOy中，直線1的參數(shù)方程為《二譏戊?為參數(shù))，其中a是/的傾

斜角，且ae[0,今.以坐標原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線C的

極坐標方程為pcos?。=4sin6.

(I)求曲線C的直角坐標方程和焦點坐標；

(II)記直線，與x軸、y軸分別交于P、Q兩點，1與曲線C分別交于4、8兩點.若近川、

|PQ|、|QB|成等比數(shù)列，求直線/的直角坐標方程.

23.己知函數(shù)f(%)=|x-a|4-|x+i|.

(1)若a=1,求不等式f(x)<4的解集；

(2)若存在使得/(&)42成立，求a的取值范圍.

第6頁，共21頁

答案和解析

1.【答案】A

【解析】解：集合4={x|x2-2x-8<0}={x|-2<x<4},

B={x|log2|%|>0)={x\x<-1或x>1},

則AnB={x|-2Wx<-1或1<xW4}.

故選：A.

求出集合A,B,利用交集定義能求出AnB.

本題考查集合的運算，考查交集定義、不等式性質(zhì)等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，是

基礎(chǔ)題.

2.【答案】D

【解析】解：.?==/(a+i)("i)=等+與々為純虛數(shù),

—=0

「，解得。=一1,

—*0

???z的共軌復(fù)數(shù)的虛部是-1.

故選：D.

根據(jù)已知條件，結(jié)合復(fù)數(shù)的運算法則，以及復(fù)數(shù)的性質(zhì)，即可求解.

本題主要考查合復(fù)數(shù)的運算法則，以及復(fù)數(shù)的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.

3.【答案】C

【解析】解：模擬程序運行過程知，

輸入x=—|,計算并判斷(》吾=2=>2,

計算x=—1+2=—計算并判斷(}一提=25〈2,

2

計算y=log2(-^)=-2,

輸出y的值是一2.

故選：c.

模擬程序的運行過程，分析循環(huán)中各變量值的變化情況，即可得出答案.

本題考查了程序語言的運行問題，也考查了運算求解能力，是基礎(chǔ)題.

4.【答案】D

【解析】解：根據(jù)題意，等差數(shù)列｛。丸｝中，2%1-a12=10,即di。+a12-a12=a10=10,

則S]9=立產(chǎn)9=2^X19=190；

故選：D.

根據(jù)題意，由等差數(shù)列的性質(zhì)可得的0=10,又由519=號?，計算可得答案.

本題考查等差數(shù)列的求和，涉及等差數(shù)列的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.

5.【答案】A

【解析】解:因cosa-3sina=1,則cos?]—sir^-6si*cos]=cos?1+siM',

B口nPsi?nz2-a=—3rsm--acos-a,

又1￡（可2幾），即566,兀），有sin5>0,cos|<0,

于是得sin|=-3cos],

所以1=sin2^4-cos2^=10cos2p

解得cos2=-

210

故選：A.

根據(jù)給定條件利用二倍角公式、同角公式中的平方關(guān)系計算作答.

本題主要考查了二倍角公式，同角三角函數(shù)基本關(guān)系式在三角函數(shù)化簡求值中的應(yīng)用,

屬于基礎(chǔ)題.

6.【答案】B

22

【解析】解：方程」+“」=1表示的曲線為橢圓，

m-23-m

則m—2>3—m>?；?—m>m—2>0,解得g<m<3或2<mV|,

第8頁，共21頁

22

所以方程總+臺=1表示的曲線為橢圓的充要條件為2<皿<<m<3,

所以2<m<3”是方程二+H=1表示的曲線為橢圓的必要不充分條件,

故選：B.

求出方程表示橢圓的充要條件，再判斷2<zn<3是方程為橢圓的什么條件.

本題考查充分必要條件的判斷方法及橢圓的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.

7.【答案】A

【解析】解：根據(jù)函數(shù)f(x)=sin(3X+w)(其中3>0,|勿<今)的圖象，

—zi=jl27r77r7T?

可r得［X贅=適一與，:3=2.

再根據(jù)五點法作圖，可得2x^+8=〃，.?9=；,.?.f(x)=sin(2x+)

故只要將/。)的圖象向右平移看個單位，可得g(x)=sin2x的圖象，

故選：A.

由周期求出3,由五點法作圖求出W的值，可得f(X)的解析式,再利用函數(shù)y=Asin^x+

尹)的圖象變換規(guī)律，得出結(jié)論.

本題主要考查由函數(shù)y=4sin(3x+0)的部分圖象求解析式，由周期求出必由五點法

作圖求出W的值，函數(shù)y=Asin(tox+w)的圖象變換規(guī)律，屬于基礎(chǔ)題.

8.【答案】D

【解析】解：：。為坐標原點，點M的坐標為(2,1),點N的坐標(x,y),

-O/V=2%+y，令z=2x+y,

%+y>—1

由約束條件2x-yW1作出可行域如圖,

<1

y

聯(lián)立解得

由z=2x+y,得y=—2x+z,由圖可知，當直線y=-2x+z過4時，直線在y軸上的

截距最小，

z有最小值為-4+1=-3.

故選：D.

由向量數(shù)量積求得麗.麗=2x+y，令z=2x+y,再由約束條件作出可行域，數(shù)形

結(jié)合得到最優(yōu)解，把最優(yōu)解的坐標代入z=2x+y得答案.

本題考查簡單的線性規(guī)劃，考查數(shù)形結(jié)合思想，是基礎(chǔ)題.

9.【答案】CD

【解析】解：對于力，’?,回歸方程y=—o.45x+0.6，

又b=-0.45<0'

二變量y與“負相關(guān)，故A錯誤，

對于8,線性回歸分析中相關(guān)指數(shù)R2用來刻畫回歸的效果，若R2值越大，則模型的擬合

效果越好，故B錯誤，

對于C,?.?樣本數(shù)據(jù)#1，x2,...?Xi。的方差為2,

二數(shù)據(jù)2/一1,2X2-1...2xio-1的方差為2x22=8,故C正確，

對于。，一個人連續(xù)射擊三次，則事件“至少擊中兩次”的對立事件是“只擊中一次”

或“三次都沒擊中“，即“最多擊中一次”故。正確.

故選：CD.

對于4,結(jié)合回歸方程;=_o.45x+O.6中b的正負，即可求解，

對于B,結(jié)合線性回歸分析中相關(guān)指數(shù)的定義，即可求解，

對于C,結(jié)合方差的公式，即可求解，

第10頁，共21頁

對于D,結(jié)合對立事件的定義，即可求解.

本題主要考查線性回歸方程的應(yīng)用，以及對立事件的定義和方差公式，屬于中檔題.

10.【答案】B

【解析】解：甲被派到4學(xué)校共有以下3種情況：甲到4學(xué)校，乙丙到B學(xué)校；甲乙到A學(xué)

校，丙到B學(xué)校；甲丙到4學(xué)校，乙到B學(xué)校.

而總的分配方法共有點-度=6種，

二甲被派到4學(xué)校的概率=|

oN

故選：B.

甲被派到4學(xué)校共有以下3種情況：甲到4學(xué)校，乙丙到B學(xué)校；甲乙到4學(xué)校，丙到B學(xué)

校；甲丙到4學(xué)校，乙到B學(xué)校.求出總的分配方法，利用古典概率計算公式即可得出

結(jié)論.

本題考查了古典概率計算公式、分類討論方法，考查了推理能力與計算能力，屬于基礎(chǔ)

題.

11.【答案】D

【解析】解：拋物線C的準線方程為x=*,

設(shè)點A（xi，y］）、B（x2,y2V設(shè)為>0,

則七（一9乃），81（—3y2），

易知直線，過拋物線C的焦點，

聯(lián)立卜2-2&X一近P,可得4/—5px+p2=°,

（y2=2px

解得｛f”Xi=p■《%2-"4第

即點B《，一jp），

由拋物線的定義可得=\AB\=+&+P=：P，

4

所以四邊形為ABB1的面積為S=工（|441|+IB/I）,-沏=—p2=54忑3

216

因為p>0,解得p=4\/2.

故選：D.

將直線2的方程與拋物線的方程聯(lián)立，求出點4、8的坐標，利用拋物線的焦點弦長公式

以及梯形的面積可得出關(guān)于p的等式，即可解得正數(shù)p的值.

本題考查了直線與拋物線的綜合，拋物線中的面積計算問題，屬于中檔題.

12.【答案】B

【解析】解：令-久，則/'(%)=1—1=*，

???當X6(0,1)時、f(%)>0,/(%)單調(diào)遞增，當％6(1,+8)時，/(%)單調(diào)遞

減，

vIna=Q+m,Inb=b+zn(其中QWb),

AIna—a—Inb—b,

???設(shè)。vQ<1vb,則g=t(t>1),

兩式相減，得In2=b-a,則伍￡=-1),??.a=㈣，b=at=—,

a''t-1t-1

t(lnt)2

atb=E'

令g(t)=t(伍t)?—(t—1)2,...g，?=(/nt)2+2lnt—2￡+2=九(t),

則=|(/nt+1—t),令？n(t)=Znt4-1-t,則m'(t)=1—1<0,

???函數(shù)m(t)在(l,+8)上單調(diào)遞減，??.h(t)<九⑴=0,

：,g'(￡)<0,.,?函數(shù)g(t)在(l,+8)上單調(diào)遞減，???g(t)<g(l)=0,

t(Znt)2-(t-1)2<0,<1,ab<1,

若;l>ab恒成立，則實數(shù)4的取值范圍為［1,+8).

故選：B.

令/'(%)=Inx-x,利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)/(%)的單調(diào)性，結(jié)合已知可設(shè)0<a<1<b,￡=

t(t>1),推導(dǎo)出。二=寢,令g(t)=tot)2_(t_1)2_(t_i)2,利用導(dǎo)數(shù)可得函

數(shù)g(t)在(1,+8)上單調(diào)遞減，由此能求出實數(shù)4的取值范圍.

本題考查實數(shù)的取值范圍的求法，考查導(dǎo)數(shù)性質(zhì)、構(gòu)造法、函數(shù)單調(diào)性等基礎(chǔ)知識，考

查運算求解能力，是中檔題.

第12頁，共21頁

13.【答案】；

［解析］解：丁a=(4,0),/?=(m,1)?

|a|=a-h=>4=4m=m=1，

:.b=(1,1)，

-,-C0S<a-fe>=ia?=^7ra=T>

又因為0<<a,b><TT?

:.五,3的夾角為3，

故答案為：

根據(jù)條件可得小的值，從而求得B的坐標，由夾角公式計算可得結(jié)果.

本題考查了平面向量數(shù)量積的性質(zhì)以及運算，屬于基礎(chǔ)題.

14.【答案】4

【解析】解：由y=)x-j,

則y'W+*

則y'l%=i=3,

則tcma=3,

isina+cosatana+1.

所rr以K==

故答案為：4.

先由導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出tana的值，再結(jié)合同角三角函數(shù)的求值問題求解即可.

本題考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義，重點考查了同角三角函數(shù)的求值問題，屬中檔題.

15.【答案】|

【解析】解：由an+i=2an+%變形為卅+1+g=2(a“+》,

［數(shù)列｛斯+》為等比數(shù)列，公比為2,首項為%+%

?1-+|=(?1+j)-2"T,

n

?1-an=(ai+|)-2t-i,

??,數(shù)列｛%｝的前8項和為761,

?，.(Qi+[)(1+2+2?+…+27)-x8=761,

128—i

???(%+>百=765,

5

a

八l=?

故答案為：|.

由a“+i=2an+%變形為每+1+之=2(即+3,利用等比數(shù)列的通項公式與求和公式

即可得出.

本題考查了等比數(shù)列的通項公式與求和公式、數(shù)列遞推關(guān)系，考查了推理能力與計算能

力，屬于中檔題.

16.【答案】①④

【解析】解：對于①，取AB的中點H,連接EH、GH,

因為E、H分別為BC、AB的中點，則EH〃4c且EH==&，

同理可證FG〃4c且FG=\AC=V2,所以，EH//FG&EH=FG,

故四邊形EFGH為平行四邊形，同理6"=七尸=[8。=71,

取BD的中點N,連接AN、CN,

-?AB=AD,N為BD的中點，則BDJL力N,同理BD1CN,

???ANC\CN=N,貝ijBDl平面4CN,???4Cu平面ACN,則4clBD,

由中位線的性質(zhì)可得EH〃4C,EF//BD,則EH1EF,

所以，四邊形EFGH是邊長為魚的正方形，其面積為(或y=2,①對；

對于②，由勾股定理可得川V=CN=TAB?-BN2=舊,

vAC=2V2,由余弦定理可得C0S4ANC=——八=5

2ANCN7>

所以，sin^ANC=Vl-cos2^ANC=—，

7

所以，S&ACN=/4N|?|CN|sin44NC=2逐，

???BDJ?平面ANC，則匕_BCD=%TCN+%-ACN=：SAACN(BN+DN)=^，②錯;

對于③，取4c的中點Q,連接NQ,

第14頁，共21頁

A

因為BD_L平面ACN,NQu平面ACN,所以，NQ1BD,

因為AN=CN,Q為AC的中點，則NQ1AC,且NQ=yjAN2-AQ2=2百，

因此，4c與BD的公垂線段的長為2次，③錯；

對于④，取NQ的中點S,連接SA、SB、SC、SD,

則SB=SD=7SN2+BN?=V5，同理可得$4=SC=場,

故點S即為四面體ABCD的外接球球心。，設(shè)球。的半徑為R,則/?=遮，

因為。8=。。=逐，E為BC的中點，則。ELBC,

所以，過點E作球。的截面圓，最大圓是半徑為近的圓，最小的圓是半徑為BE=2的圓，

故過E作球。的截面，則截面面積的最大值與最小值的比為5：4,④對.

故答案為：①④.

取4B的中點H,連接EH、GH,判斷出四邊形EFGH是邊長為我的正方形，可判斷①的

正誤；利用錐體的體積公式可判斷②；分別取AC、80的中點Q、N,證明出NQJ.AC,

NQLBD,并求出NQ的長，可判斷③的正誤；求出過E作球。的截面，求出最大截面圓

和最小截面圓的半徑，可判斷④的正誤.

本題主要考查錐體體積的計算，空間想象能力的培養(yǎng)，立體幾何中的截面問題等知識,

屬于中等題.

17.【答案】解：(1)根據(jù)表中數(shù)據(jù)可得，依=100*40X20-30X10)2,女762<6.635,

故沒有99%的把握認為新藥治療疾病有明顯的效果.

(2)研究人員決定從他們5人中隨機邀請3人進行試驗回訪，

則3人中小明和其中一位同伴小亮同時被邀請訪談的概率P=互算=

【解析】(1)根據(jù)已知條件，結(jié)合獨立性檢驗公式，即可求解.

(2)根據(jù)已知條件，結(jié)合古典概型的概率公式，即可求解.

本題主要考查獨立性檢驗公式，考查計算能力，屬于基礎(chǔ)題.

18.【答案】解:(ly,-^=tanB+tanC,

y/3sinAsinBsinCsinBcosC+cosBsinC_sin(B+C)_sinA

-------1-------

sinCcosBcosBcosCcosBcosCcosBcosCcosBcosC

:.sinC=WcosC，：,tanC=V3,又CE(0,兀)，，C=

(//)CD=i(G4+CB),CD2=^(CA+CBY，CD2=+b2+ab),

由余弦定理有=a24-b2—aby12=a24-62—ab,

ACD2=:(a2+〃+ah')=i(12+2ab)=3+gab,

由正弦定可得=翼=4,,??Q=4sim4,b=4sinB,

U3

CD2=3+：ab=3+QsinAsinB=34-8sinAsin(^--4)=3+QsinA(ycosA+

^sinA)

=34-4V3sinAcosA+4sin2A=3+2yj3sin2A+2(1—cos2A)=5+4(^-sin2A—

-cos2A)=54-4s譏(24—-),

26

?.?△ABC為銳角三角形，所以0<4<與且4+C>5，

24Y(尊則CD?e(7,9],二CDe函,3].

【解析】(/)利用正弦定理化簡可得出tanC,結(jié)合角C為銳角可求得結(jié)果；

(〃)由余弦定理可得出12=a2+b2-ab,利用平面向量的線性運算可得出而=

^(CA+CB),由平面向量數(shù)量積的運算可得出由2=3+；ab,利用正弦定理結(jié)合正弦

型函數(shù)的基本性質(zhì)可求得ab的取值范圍，可得出前2的取值范圍，即可得解.

本題考查正余弦定理在解三角形中的應(yīng)用，以及運算能力，屬中檔題.

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19.【答案】解：⑴當;I=［時，平面4EF與平面PBC互相垂直,

理由如下：

因為P41底面ABC。，BCu平面4BCD,所以PA1BC,

因為4BC0為矩形，所以4B1BC,

又PACAB=A,且PH,力Bu平面PAB,

所以BC_L平面P4B.

因為4Eu平面R4B,所以AEJ.BC.

因為PE=：PB,所以E為線段PB的中點，又因為PA=AB,

所以4E1PB,

又PBCBC=B,且PB,BCu平面PBC,所以4E1平面PBC,

因為4Eu平面AEF,所以平面AEF，平面PBC.

(2)因為平面4EF,平面PBC,所以E為PB的中點.

因為尸力JL底面4BCD,所以點E到底面ZBCD的距離為=1,

11PP

所以/一ABF=5X(鼻X2XBF)x1=—,因為，ETBF：^P-ABCD=1：6,

BF

所以亙|亙=等=*，所以BF=2,

-----1ZO

3

設(shè)點B到平面4EF的距離為d,由/_4EF=/TBF，得&=竽.

【解析】(1)當4=：時，平面4EF與平面PBC互相垂直，由線面垂直得P41BC,進而

可得BC_L平面R4B.PE=：PB,可證4E1PB,進一步證明AEJ?平面PBC,可證平面

AEF1平面PBC；

(2)平面AEF1平面PBC,E為PB的中點.由晚一人股：^P-ABCD=1：6,可求BF=2,由

VB_AEF=VE.ABF,可求出點B到平面4EF的距離.

本題考查面面垂直的性質(zhì)確定點的位置，考查等體積法求點到面的距離，屬中檔題.

20.【答案】解：⑴圓M：（x+1）2+y2=i圓心M（_I,O）,半徑i,

圓N：(x-1尸+y2=25圓心N(l,0),半徑5,

設(shè)動員圓心Q(x,y)，半徑r,則QM=l+r,QN=5-r,

則QM+QN=6>MN=2,

所以動員圓心Q的軌跡是以“(-1,0)，N(l,0)為焦點，長軸為6的橢圓，

即a=3,c=1,所以b=2>/2

則點Q的軌跡方程為9+9=1；

(2)證明：設(shè)P(xo，y。)，則卷+9=1,易知%彳0,

一,(y-yo=k(x-Xo)

設(shè)直線/的方程為y-yo=k。一&)，聯(lián)立I-y2,

I—I—=1

I98

222

可得(8+9/c)%+18k仇—可0)+9(kx0—y0)—72=0,

222

則由直線2與橢圓相切可得/=[18k(y0-kx0)]-4(8+9k)[9(kx0-y0)-72]=0,

222

即—y0)-8—9k2=0,整理得(見2-9)fc-2xoyok+y0—8=0,

因為點p在橢圓上，所以斌+窕=1,代入可得卜=一署，

989yo

則切線，的方程為等+等=1,

%。)、

將X=1和X=9分別代入］中可得4（1,8(9—8(1—

8(1To)c

旦,

yo

-I)2+(甯)2=8*+gT)2_8|%0-9I

\BN\=1

y02一￡GT，

1

所以Ap/V?%N=?彳殛=-1，黑==-

yQ|BN|113

3y0

即PN1NB,g=1

【解析】（1）求出兩個圓的圓心與半徑，設(shè)出動圓的圓心與半徑，判斷動圓的圓心軌跡，

即可得到結(jié)果；

（2）由題意設(shè)P（xo，yO）,聯(lián)立直線］與橢圓C的方程，根據(jù)△=0求得橢圓過點P的切線I的

方程為等+絆=1,再分別和直線％=1與x=9立，得到4、B的坐標，即可證明，并

7O

且求得需是為定值.

本題考查橢圓標出方程的求解，考查橢圓中的定值問題，屬于中檔題.

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21.【答案】解：(1)v/(x)=ex-ax,???尸(%)=e*—Q,

當QWO時，f(x)>0,函數(shù)在R上是增函數(shù)，從而函數(shù)不存在極值，不合題意；

當Q>0時，由f'(X)>0,可得尤>Ina,由f'Qr)<0,可得工<Ina,x=仇a為函數(shù)

的極小值點，

由已知，/(/na)=0,即"Q=1,??.a=e；

(2)不等式f(%)>ex(l—sinx),BPexsinx—ax>0,

設(shè)g(%)=exsinx-ax,則g'(x)=ex(sinx+cosx)-a,

g"(x)=2excosx,

XG[0苧時，g"(x)>0,則“(x)在x6[0,勺時為增函數(shù)，

???g'(x)=g'(o)=1-a.

Ql-a>0,即aWl時，g'(x)>0,g(x)在xe[0,a時為增函數(shù)，

?1?g(x)m譏=g(o)=0,此時g(x)>。恒成立；

②1-a<0,即a>l時，存在與