(高中試題課件)2022屆高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義-向量極化恒等式專題

2021-2022學(xué)年高三一輪復(fù)習(xí)向量--極化恒等式公式推導(dǎo)在△中，是邊的中點(diǎn)，則.如圖，由得證.類比初中的“完全平方和”與“完全平方差公式”。幾何意義向量的數(shù)量積可以表示為以這組向量為鄰邊的平行四邊形的“和對角線”與“差對角線”平方差的。注：平行四邊形中AD2+BC2=2(AB2+AC2)極化恒等式的作用主要在于，它可以將兩個向量的數(shù)量積轉(zhuǎn)化為這兩個向量的“和向量”與“差向量”，因此，當(dāng)兩個向量的“和向量”或“差向量”為定向量時，常常可以考慮利用極化恒等式進(jìn)行轉(zhuǎn)化.常見的解決的題型:有中點(diǎn)或能構(gòu)造中點(diǎn)的積的向量題。與課本的淵源課本上有：在中，是課本上出現(xiàn)的2個重要的向量三角關(guān)系，而極化恒等式無非是這兩個公式的逆用，說明極化恒等式源與教材；向量是連接代數(shù)與幾何的橋梁，由于向量的坐標(biāo)運(yùn)算引入，向量與代數(shù)的互換已經(jīng)深入人心，而與幾何的運(yùn)算練習(xí)略顯單薄，而極化恒等式恰恰彌補(bǔ)了這個缺憾，可以說極化恒等式是把向量的數(shù)量積問題用形象的幾何圖形展示的淋漓盡致。【典型例題】【例1】已知為圓的直徑，為圓的弦上一動點(diǎn)，，，則的取值范圍是．【答案】【解析】【例2】(江蘇高考題)如圖，在△ABC中，D是BC的中點(diǎn)，E，F(xiàn)是AD上的兩個三等分點(diǎn)，，，則的值是________.【答案】解得：，所以.【例3】（蘇州市2020年高三上學(xué)期期中）如圖，在四邊形中，，，為的中點(diǎn).（1）若，求的面積；（2）若，求的值.【解析】解：（1），，，.（2）以E為原點(diǎn)，AC所在直線為軸，建立如圖所示平面直角坐標(biāo)系，則A(－2,0)，C(2,0)，設(shè)D，由，可得，則∴.【極化恒等式的解法】第二問【例4】如圖，在中，已知，點(diǎn)分別在邊上，且，若為的中點(diǎn)，則的值為________.【解析】取的中點(diǎn)，連接，則，在中，，【例5】如圖，在平面四邊形ABCD中，，，，.若點(diǎn)M為邊BC上的動點(diǎn)，則的最小值為▲．用極化不等式的解法如下：設(shè)是的中點(diǎn)，作于，延長交的延長線于，由題意可得：.則，所以.【例6】在△中，已知，，則的最大值為.解析：設(shè)是的中點(diǎn)，連接，點(diǎn)是△的外心，連接并延長交圓于，由△是等邊三角形，，則所以.【例7】（全國III卷理科真題）已知△是邊長為2的等邊三角形，為平面內(nèi)一點(diǎn)，則的最小值是（）解析：取的中點(diǎn)，連接，，取的中點(diǎn)，連接，由△是邊長為2的等邊三角形，為中線的中點(diǎn)，則所以.【例8】如圖，在平面四邊形中，，，，則的最大值為.解析：取的中點(diǎn)，連接，，由,，由四點(diǎn)共圓，且直徑為.則所以.【例9】(2020南通押題密卷11)如圖，已知點(diǎn)O為△ABC的重心，OAOB，AB，則的值為．【解析】法1：連結(jié)CO并延長交AB于點(diǎn)M(如圖1)，則，因為，所以．法2：以AB的中點(diǎn)M為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB為x軸建立平面直角坐標(biāo)系(如圖2)，則，，設(shè)，則易得，因為OAOB，所以，從而，化簡得，，所以．法3：極化恒等式.【例10】在平面四邊形中，為的中點(diǎn)，且，．若，則的值是．【答案】9【解析】【例11】如圖放置的邊長為1的正方形，頂點(diǎn)分別在軸，軸正半軸（含原點(diǎn)）滑動，則的最大值為______________.【解析】如圖，中點(diǎn)，因為【例12】（2020南京29中模擬考）在中，點(diǎn)分別是線段的中點(diǎn)，點(diǎn)在直線上，若的面積為2，則的最小值是_____________.【解析】取中點(diǎn)【例13】如圖，已知正方形的邊長為2，為的中點(diǎn)，以為圓心，為半徑，作圓交于點(diǎn)，若為劣弧上的動點(diǎn)，則的最小值是____________.【解析】當(dāng)三點(diǎn)共線時最小，此時【鞏固訓(xùn)練】在中,若,,在線段上運(yùn)動，的最小值為已知是圓的直徑,長為2,是圓上異于的一點(diǎn),是圓所在平面上任意一點(diǎn),則的最小值為_________3．在中，，，，若是所在平面內(nèi)一點(diǎn)，且，則的最大值為4．在，，已知點(diǎn)是內(nèi)一點(diǎn)，則的最小值是.5.已知是單位圓上的兩點(diǎn)，為圓心，且是圓的一條直徑，點(diǎn)在圓內(nèi)，且滿足，則的取值范圍是（）A． B． C． D．6.正邊長等于，點(diǎn)在其外接圓上運(yùn)動，則的取值范圍是（）A.B.C.D.7．在銳角中，已知，，則的取值范圍是．8.正方體的棱長為2，是它內(nèi)切球的一條弦（把球面上任意2個點(diǎn)之間的線段成為球的弦），為正方體表面上的動點(diǎn)，當(dāng)弦最長時，的最大值為9.已知是單位圓