專題8.4 空間向量與立體幾何（解析版）備戰(zhàn)2024年新高考數(shù)學一輪復習題型突破精練（新高考專用）

第第頁專題8.4空間向量與立體幾何題型一空間向量及其運算題型二空間共面向量定理題型三求平面的法向量題型四利用空間向量證明平行，垂直題型五求空間角題型六已知夾角求其他量題型七求異面直線，點到面或者面到面的距離題型八求點到線的距離題型九點的存在性問題題型一 空間向量及其運算例1．（2022·全國·高三專題練習）如圖，在平行六面體ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝5，AD＝3，AA1＝4，∠DAB＝90°，∠BAA1＝∠DAA1＝60°，設(shè)，，．

(1)用，，表示；(2)求AC1的長．【答案】(1)(2)【分析】（1）由空間向量加法法則得，由此能求出結(jié)果．（2）由即可求出AC1的長．【詳解】（1）在平行六面體ABCD﹣A1B1C1D1中，，，，．（2）AB＝5，AD＝3，AA1＝4，∠DAB＝90°，∠BAA1＝∠DAA1＝60°，．.AC1的長||.例2．（2022·全國·高二專題練習）已知向量，，且，則（

）A． B．2 C． D．3【答案】D【分析】對兩邊平方，列出方程解出．【詳解】，，．∵，∴．即，∴，∵，∴．故選：D．練習1．（2023春·高二課時練習）如圖所示，已知正四面體OABC的棱長為1，點E，F(xiàn)分別是OA，OC的中點．求下列向量的數(shù)量積：(1)(2)(3)【答案】(1)(2)(3)1【分析】（1）正四面體的每個面均為等邊三角形，夾角為，再結(jié)合空間向量數(shù)量積的運算法則，得解；（2）由，代入運算，即可得解；（3）取的中點，連接，，可推出，再在中，利用余弦定理求出的值，從而得解．【詳解】（1）（2）；（3）取的中點，連接，，則，，在中，，，由余弦定理知，，所以．練習2．（2022·高三課時練習）已知：，∥，⊥，求：(1)，，；(2)與所成角的余弦值.【答案】(1)(2)【分析】（1）由空間向量平行與垂直坐標公式列出方程組，即可求解.（2）利用空間向量的夾角坐標公式，即得.【詳解】（1）∵∥，∴，解得，故，又因為，所以0，即，解得，故；（2）由（1）可得（5，2，3），（1，﹣6，1），設(shè)向量與所成的角為，則.練習3．（2023秋·貴州銅仁·高三統(tǒng)考期末）如圖，在三棱錐中，點，分別是，的中點，是的中點，設(shè)，，，用，，表示，則（

）

A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)空間向量的線性運算計算得解.【詳解】因為是的中點，，分別是，的中點，所以.故選：A練習4．（2023·山東·校聯(lián)考模擬預測）定義兩個向量與的向量積是一個向量，它的模，它的方向與和同時垂直，且以的順序符合右手法則（如圖），在棱長為2的正四面體中，則（

）A． B．4 C． D．【答案】A【分析】根據(jù)題中條件確定，設(shè)底面△ABD的中心為O，則CO⊥平面ABD，可求得，又的方向與相同，代入計算可得答案．【詳解】，，設(shè)底面△ABD的中心為O，連接CO，AO，則OC⊥平面ABD，又AO，AB，AD平面ABD，故OC⊥AO，OC⊥AB，OC⊥AD，，，在中，，則，又的方向與相同，所以．故選：A．練習5．（2022·高三單元測試）（多選）已知空間中三點A（0，1，0），B（1，2，0），C（﹣1，3，1），則正確的有（）A．與是共線向量B．的單位向量是（1，1，0）C．與夾角的余弦值是D．平面ABC的一個法向量是（1，﹣1，3）【答案】CD【分析】由，可判斷選項A；的單位向量為±，可判斷選項B；由，可判斷選項C；設(shè)平面ABC的一個法向量為，由，求得，即可判斷D．【詳解】解：由題意知，，，，因為，所以與不是共線向量，即A錯誤；的單位向量為，所以的單位向量為或，即B錯誤；，所以與夾角的余弦值為，即C正確；設(shè)平面ABC的一個法向量為，則，即，令x＝1，則y＝﹣1，z＝3，所以，即D正確．故選：CD．題型二 空間共面向量定理例3．（2022·高二課時練習）（多選）若構(gòu)成空間的一個基底，則下列向量共面的是（）A．，， B．，，C．，， D．，，【答案】ABD【分析】利用共面向量定理逐項分析判斷作答.【詳解】構(gòu)成空間的一個基底，對于A，，因此，，共面，A正確；對于B，，因此，，共面，B正確；對于C，假定，，共面，則存在使得，而不共面，則，解得，于是，共面，與不共面矛盾，因此，，不能共面，C錯誤；對于D，，因此，，共面，D正確．故選：ABD例4．（2023春·江蘇宿遷·高三?？茧A段練習）已知向量，不共線，，，，則（

）A．與共線 B．與共線C．，，，四點不共面 D．，，，四點共面【答案】D【分析】根據(jù)平面向量共線定理及推論依次判斷各個選項即可.【詳解】對于A，，不存在實數(shù)，使得成立，與不共線，A錯誤；對于B，，，，又，不存在實數(shù)，使得成立，與不共線，B錯誤；對于C、D，若，，，四點共面，則有，，即，故，故，，，四點共面，C錯誤，D正確.故選：D.練習6．（2023春·河南安陽·高三安陽一中校聯(lián)考開學考試）在空間直角坐標系中，已知點，若四點共面，則__________.【答案】1【分析】利用平面向量基本定理，列出關(guān)系式，利用向量的坐標運算得出關(guān)系式，即可求解【詳解】∵，∴，，，又∵四點共面，∴由平面向量基本定理可知存在實數(shù)使成立,∴,∴，解得，故答案為：1練習7．（2023春·高三課時練習）設(shè)空間任意一點和不共線的三點，，，若點滿足向量關(guān)系（其中），試問：，，，四點是否共面？【答案】共面【分析】由已知得，由此利用空間向量共面定理能證明，，，四點共面．【詳解】解：，，，四點共面．理由如下：，，，即，由，，三點不共線，可知和不共線，由共面定理可知向量，，共面，，，，四點共面．練習8．（2023·高二?？颊n時練習）已知是空間的一組基底，則可以與向量，構(gòu)成基底的向量是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用空間共面向量定理及基底的概念判斷即可.【詳解】∵，，∴與共面，故A，B錯誤；∵，∴與共面，故C錯誤；∵是基底，∴不存在使成立，∴與不共面，故可以與構(gòu)成空間的一組基底，故D正確.故選：D.練習9．（2022·北京·高三強基計劃）（多選）如圖，已知正三棱錐的側(cè)棱長為l，過其底面中心O作動平面，交線段于點S，交的延長線于M，N兩點．則下列說法中正確的是（

）A．是定值 B．不是定值C． D．【答案】AD【分析】利用四點共面可求得.【詳解】如圖，設(shè)的中點為，連接則在上且，所以.故，由于S，M，N，O四點共面，于是，因此．故選：AD.練習10．（2022秋·重慶·高三統(tǒng)考期末）（多選）若構(gòu)成空間的一個基底，則下列說法中正確的是（

）A．存在，使得B．也構(gòu)成空間的一個基底C．若，則直線與異面D．若，則，，，四點共面【答案】BCD【分析】根據(jù)空間向量基本定理判斷A,B選項，再由共線向量基本性質(zhì)及為一組基底判斷出C、D.【詳解】由題意知，三向量不共面，所以錯誤；若三向量共面，則有，化簡有：，因為不共面，則，無解，故三向量不共面，能夠構(gòu)成一組基底，故B正確；若與共面，則有，則有，與題意矛盾，故C正確；若，化簡有，則有，所以四點共面，故D正確．故選：BCD題型三 求平面的法向量例5．（2023·全國·高三專題練習）設(shè)向量是直線l的方向向量，是平面α的法向量，則（

）A． B．或 C． D．【答案】B【分析】由，得，所以或【詳解】，，，則有，又是直線l的方向向量，是平面α的法向量，所以或.故選：B例6．（2023春·四川成都·高二四川省成都市新都一中校聯(lián)考期中）已知，，，則平面ABC的一個法向量可以是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】代入法向量的計算公式，即可求解.【詳解】，，令法向量為，則，，可取.故選：A.練習11．（2023春·湖北·高三校聯(lián)考階段練習）已知點在平面內(nèi)，是平面的一個法向量，則下列點中，在平面內(nèi)的是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)每個選項中P點的坐標，求出的坐標，計算，根據(jù)結(jié)果是否等于0，結(jié)合線面垂直的性質(zhì)，即可判斷點是否在平面內(nèi).【詳解】對于選項A，，所以，根據(jù)線面垂直的性質(zhì)可知,故在平面內(nèi)；對于選項B，，則，在平面內(nèi)，根據(jù)線面垂直的性質(zhì)可知,故不在平面內(nèi)；對于選項C，，則，在平面內(nèi)，根據(jù)線面垂直的性質(zhì)可知,故不在平面內(nèi)；對于選項D，，則，在平面內(nèi)，根據(jù)線面垂直的性質(zhì)可知,故不在平面內(nèi)；故選：A練習12．（2023春·高三課時練習）已知，則平面的一個單位法向量是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】待定系數(shù)法設(shè)平面的一個法向量為，由法向量的性質(zhì)建立方程組解出分析即可.【詳解】設(shè)平面的一個法向量為，又，由，即，又因為單位向量的模為1，所以B選項正確，故選：B.練習13．（2023春·高三課時練習）如圖，在四棱錐P－ABCD中，底面ABCD為矩形，PA⊥平面ABCD，E為PD的中點，AB＝AP＝1，AD＝，試建立恰當?shù)目臻g直角坐標系，求平面PCD的一個法向量.【答案】【分析】利用垂直關(guān)系，可以以A為原點，以AB、AD、AP為坐標軸建立空間直角坐標系，再按照法向量的求法計算即可.【詳解】如圖所示，建立空間直角坐標系A(chǔ)－xyz，則P(0，0，1)，C(1，，0)，所以＝(1，，－1)即為直線PC的一個方向向量.設(shè)平面PCD的一個法向量為＝(x，y，z).因為D(0，，0)，所以＝(0，，－1).則,即令y＝1，則z＝，，則所以平面PCD的一個法向量為.練習14．（2023春·高二課時練習）已知在正方體中，E，F(xiàn)分別是BB1，DC的中點，求證：是平面A1D1F的一個法向量．【答案】證明見解析【分析】首先建立空間直角坐標系，然后利用垂直的坐標表示，說明垂直關(guān)系，即可證明.【詳解】證明：設(shè)正方體的棱長為2，建立如圖所示的空間直角坐標系．由題意設(shè)點,則知點，，，，所以，．因為，，所以AE⊥A1F，AE⊥D1F.又因為，所以AE⊥平面A1D1F.所以是平面A1D1F的一個法向量．練習15．（2023春·高三課時練習）在棱長為2的正方體中，E，F(xiàn)分別為棱的中點，在如圖所示的空間直角坐標系中，求：(1)平面的一個法向量；(2)平面的一個法向量.【答案】(1)

(答案不唯一)(2)(答案不唯一)【分析】（1）利用線面垂直的判定定理求解法向量；（2）利用空間向量的坐標運算求平面的法向量.【詳解】（1）由題意，可得,連接AC，因為底面為正方形，所以,又因為平面，平面，所以，且，則AC⊥平面，∴為平面的一個法向量.(答案不唯一).（2）設(shè)平面的一個法向量為，則令，得∴即為平面的一個法向量.(答案不唯一).題型四 利用空間向量證明平行，垂直例7．（2022·全國·高二專題練習）如圖，設(shè)P為長方形ABCD所在平面外一點，M在PD上，N在AC上，若，用向量法證明：直線MN∥平面PAB.

【答案】證明見解析【分析】建立空間坐標系，設(shè)A，C，P三點坐標，用此三點的坐標表示出，，，然后觀察能否用表示出即可判斷線面是否平行．【詳解】建立如圖所示的空間坐標系，

設(shè)，則，∴，，∵，∴，設(shè)λ，則λ，．∴，∴．∵BP?平面PAB，BA?平面PAB，MN?平面PAB，∴MN∥平面PAB．例8．（2022·高二課時練習）如圖，在正方體中，

求證：(1)求AC與所成角的大?。?2)平面平面；(3)平面．【答案】(1)(2)證明見解析(3)證明見解析【分析】以為坐標原點，建立空間坐標系，設(shè)正方體的棱長為1，可求出各頂點的坐標,（1）分別求出AC與方向向量，代入向量夾角公式，可得AC與所成角的大?。唬?）要證明兩個平面平行，由面面平行的判定定理知：須在某一平面內(nèi)尋找兩條相交且與另一平面平行的直線．求出與的方向向量，通過證明向量平行，得到與平行，同理證明出與平行，可得結(jié)論．（3）求出的方向向量，并證明的方向向量是平面的法向量，可得⊥平面．【詳解】（1）令正方體ABCD﹣A1B1C1D1的棱長為1，以B1為坐標原點，建立空間坐標系如下圖所示：

則,∴，,設(shè)AC與所成角的大小為,則故.（2）∵,∴又∵平面，平面，∴平面，又因為,∴又∵平面，平面，∴平面，又，且平面，∴平面平面．（3），∴，即，即，且0，即⊥，即．∵，平面．∴平面．練習16．（2023春·高三課時練習）如圖所示，正三棱柱ABC－A1B1C1的所有棱長都為2，D為CC1的中點．求證：AB1⊥平面A1BD.【答案】證明見解析【分析】建系，利用空間向量證明線面垂直.【詳解】如圖所示，取BC的中點O，連接AO，因為△ABC為正三角形，所以AO⊥BC，因為在正三棱柱ABC－A1B1C1中，CC1⊥平面ABC，平面ABC，則，，平面BCC1B1，所以AO⊥平面BCC1B1，取B1C1的中點O1，以O(shè)為坐標原點，以分別為x軸、y軸、z軸的正方向建立空間直角坐標系，則，所以，則，可得，即AB1⊥BA1，AB1⊥BD，BA1∩BD＝B，平面，所以AB1⊥平面A1BD.練習17．（2023春·高三課時練習）如圖所示，△ABC是一個正三角形，EC⊥平面ABC，BD∥CE，且CE＝CA＝2BD.求證：平面DEA⊥平面ECA.【答案】證明見解析【分析】建系，分別求平面DEA、平面ECA的法向量，利用空間向量證明面面垂直.【詳解】證明：建立如圖所示的空間直角坐標系C－xyz，不妨設(shè)CA＝2，則CE＝2，BD＝1，則，所以，設(shè)平面ECA的一個法向量是，則，取，則，即，設(shè)平面DEA的一個法向量是，則，取，則，即，因為，所以，所以平面DEA⊥平面ECA.練習18．（2023·全國·高三專題練習）如圖，在四棱錐中，底面為直角梯形，其中.平面，且，點在棱上，點為中點.若，證明：直線平面.【答案】證明見解析【分析】建立空間直角坐標系，利用空間向量法證明即可.【詳解】如圖所示，以點為坐標原點，以為軸，為軸，為軸建立空間直角坐標系，則，若，則，，因為平面，平面，所以，又因為，，平面，所以平面平面的其中一個法向量為，所以，即，又因為平面，所以平面.練習19．（2022·全國·高三專題練習）四棱錐P﹣ABCD的底面ABCD是平行四邊形，.(1)求證：PA⊥底面ABCD；(2)求PC的長.【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）根據(jù)兩個向量的數(shù)量積為0，可以判斷出AP⊥AB且AP⊥AD，進而根據(jù)線面垂直的判定定理得到PA⊥底面ABCD；（2）根據(jù)向量加法的三角形法則，可以求出向量PC的坐標，進而代入向量模的計算公式，得到答案．【詳解】（1）∵，∴，，∴，，即AP⊥AB且AP⊥AD，又∵AB∩AD＝A，平面ABCD∴AP⊥平面ABCD.（2）∵，∴，，∴．練習20．（2023·北京密云·統(tǒng)考三模）如圖，在四棱錐中，底面為矩形，平面平面，，，，，分別是，的中點.

(1)求證：平面；(2)求二面角的余弦值.【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）通過求出和面的一個法向量，即可證明結(jié)論；（2）分別求出面和面的法向量，即可求出二面角的余弦值.【詳解】（1）由題意，在矩形中，，，,，分別是，的中點，∴，，在四棱錐中，面平面，面面，，∴面，面，∴，取中點，連接，由幾何知識得，∵，∴，∵面，面，∴面，∴以、、為、、軸建立空間直角坐標系如下圖所示，

∴，∴，面的一個法向量為，∵，∴平面.（2）由題意，（1）及圖得，在面中，，，設(shè)其法向量為，則，即，解得：，當時，，在面中，其一個法向量為，設(shè)二面角為∴，由圖象可知二面角為鈍角，∴二面角的余弦值為.題型五 求空間角例9．（2023·青海西寧·統(tǒng)考二模）如圖，在三棱柱中，側(cè)面為正方形，平面平面，AB＝BC＝2，M，N分別為，AC的中點．

(1)求證：平面；(2)從條件①：AB⊥MN，條件②：BM＝MN中選擇一個作為已知，求直線AB與平面BMN所成角的正弦值．【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）取AB的中點為K，連接MK，NK，易得，由線面平行的判定證平面、平面，再由面面平行的判定和性質(zhì)證結(jié)論；（2）根據(jù)所選條件證BC，BA，兩兩垂直，構(gòu)建空間直角坐標系，向量法求線面角的正弦值即可.【詳解】（1）取AB的中點為K，連接MK，NK，由三棱柱得：四邊形為平行四邊形，因為M是中點，則，又平面，平面，故平面，同理得平面，又NK∩MK＝K，平面MKN，平面MKN，故平面平面，平面MKN，故平面；

（2）因為側(cè)面為正方形，故，而平面，平面平面，又平面平面，故CB⊥平面，平面，所以CB⊥AB，又，所以NK⊥AB，若選①：AB⊥MN，已證NK⊥AB，又NK∩MN＝N，平面MNK，平面MNK，故AB⊥平面MNK，平面MNK，故AB⊥MK，又，所以，所以BC，BA，兩兩垂直．故可建立如圖所示的空間直角坐標系B－xyz，

則，故，，，設(shè)平面BNM的法向量為，則，從而，取z＝1，則，設(shè)直線AB與平面BNM所成的角為θ，則若選②：BM＝MN，已證CB⊥平面，又，故NK⊥平面，而平面，故NK⊥KM，又BM＝MN，，，AB＝BC＝2，故△MKBMKN，所以∠MKB＝∠MKN＝90°，所以MK⊥AB，又，所以，所以BC，BA，兩兩垂直故可建立如圖所示的空間直角坐標系B－xyz，

則，故，，，設(shè)平面BNM的法向量為，則從而，取z＝1，則，設(shè)直線AB與平面BNM所成的角為θ，則．例10．（2023·四川成都·石室中學?？寄M預測）如圖，四邊形為菱形，，平面，，．

(1)求證：平面平面；(2)求二面角的余弦值．【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）根據(jù)根據(jù)線面垂直的判定定理先證明平面，再利用面面垂直的判定即可證明平面平面；（2）先根據(jù)題意建立合適的空間直角坐標系，再求出平面和平面的法向量，再根據(jù)二面角的空間向量求法即可得到答案．【詳解】（1）因為四邊形為菱形，所以，因為平面，平面，所以，又，且，平面，所以平面，又平面，所以平面平面．（2）如圖，設(shè)交于點，以為軸，為軸，過點且平行于的方向為軸建立空間直角坐標系，

設(shè)，則，，因為，，所以是正三角形，則，則，，，，則，，，設(shè)平面的法向量為，則，得，取，得，，即，設(shè)平面的法向量為，則，得，取，得，，即，所以，又二面角為鈍角，故二面角的余弦值為．練習21．（2022春·湖南株洲·高三統(tǒng)考期末）如圖，四邊形是正方形，平面，，，，為的中點．

(1)求證：平面；(2)求平面與平面夾角的余弦.【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）利用空間向量共線的坐標表示以及線面平行的判定定理證明；（2）利用空間向量的坐標運算計算平面與平面所成角的余弦值.【詳解】（1）證明：依題意，平面．如圖，以為原點，分別以、、的方向為軸、軸、軸的正方向，建立空間直角坐標系．

依題意，可得，，，，，，．取的中點，連接．因為，，，所以，所以．又因為平面，平面，所以平面．（2）因為,所以，又因為平面，平面，所以，且,,所以平面，又因為平面，所以，且平面,所以平面,平面,所以，，，平面，所以平面，故為平面的一個法向量．設(shè)平面的法向量為，因為所以即，令，得，，故．所以，所以平面與平面夾角的余弦值為.練習22．（2023·甘肅定西·統(tǒng)考模擬預測）如圖，在四棱錐P－ABCD中，底面ABCD是邊長為2的菱形，∠BAD＝60°，AC與BD交于點O，底面ABCD，，點E，F(xiàn)分別是棱PA，PB的中點，連接OE，OF，EF．

(1)求證：平面平面PCD；(2)求二面角P－EF－O的正弦值．【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）根據(jù)中位線可得線線平行，進而得線面平行，即可求證面面平行，（2）建立空間直角坐標系，利用法向量的夾角即可求解.【詳解】（1）由于點E，F(xiàn)分別是棱PA，PB的中點，所以,,平面平面PCD,故平面PCD,又是的中點，所以,,平面平面PCD,故平面PCD,由于平面,所以平面平面PCD.（2）由于底面ABCD，底面為菱形，所以兩兩垂直，故建立如圖所示的空間直角坐標系，則所以,設(shè)平面和平面的法向量分別為，所以取，同理取，設(shè)二面角P－EF－O的平面角為，則，所以，

練習23．（2023春·四川成都·高三四川省成都市新都一中校聯(lián)考期中）如圖，在長方體中，，，，交于點E.(1)證明：直線平面；(2)求AD與平面所成角的正弦值.【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）利用長方體的結(jié)構(gòu)特征，證明平面平面，可得直線平面；（2）建立空間直角坐標系，求平面的法向量，利用向量法求AD與平面所成角的正弦值.【詳解】（1）證明：如圖，連接，，長方體中，且，四邊形為平行四邊形，則有，又平面，平面，平面，同理可證，平面，又，平面，平面平面，又平面，直線平面；（2）以A為原點，分別為x軸，y軸，z軸，建系如圖：得，，，，，，設(shè)平面的一個法向量為，由，令，得，可得平面的一個法向量為，設(shè)AD與平面所成角大小為，則，與平面所成角的正弦值為.練習24．（2023·天津河西·天津市新華中學?？寄M預測）如圖，四邊形是邊長為2的菱形，，四邊形為矩形，，且平面平面.

(1)求與平面所成角的正弦值；(2)求平面與平面夾角大??；(3)若在線段上存在點，使得平面，求點到平面的距離.【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）建立空間直角坐標系，表達出各點的坐標，得出和平面的法向量，即可求出與平面所成角的正弦值；（2）求出平面與平面的法向量，即可得到平面與平面夾角大??；（3）設(shè)出，求出平面的法向量，得出點坐標，即可求出點到平面的距離.【詳解】（1）由題意，∵平面平面，平面平面，∴平面，∵底面為菱形，∴，以為原點，所在直線為軸，過點作平行線為軸建立如圖所示空間直角坐標系：

則，∴，平面的一個法向量是，設(shè)與平面所成的角為，所以，∴與平面所成的角的正弦值為（2）由題意及（1）得，，設(shè)平面的一個法向量為，則，即，令，則，所以，設(shè)平面的一個法向量為，則，即，令，則，所以，所以，因為，∴平面與平面的夾角為.（3）由題意，（1）及（2）得，，設(shè)，，∵平面，所以，即，解得：，∴點為中點，，∴點到平面的距離為：.練習25．（2023·江西鷹潭·貴溪市實驗中學?？寄M預測）如圖，在三棱柱中，平面，，，為的中點，交于點．(1)證明：；(2)求異面直線與所成角的余弦值．【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）根據(jù)線面垂直的判定定理，線面垂直的性質(zhì)定理的結(jié)合即可得出結(jié)論.（2）建立空間直角坐標系，得出相應點的坐標，然后利用向量間余弦值的公式求解即可.【詳解】（1）由題知，在三棱柱中，因為，，平面，所以四邊形是正方形，，又平面，則，又平面，，則平面，又是中點，是中點，則，所以平面，又平面，則，又平面，，則平面，又平面，則.（2）根據(jù)已知，以為原點，所在直線分別為軸，建立空間直角坐標系，如圖所示，假定，又是的中點，則，則，，，，則，，.故異面直線與所成角的余弦值為.題型六 已知夾角求其他量例11．（2023·上海長寧·上海市延安中學?？既＃┮阎退诘钠矫婊ハ啻怪?，，，，，是線段的中點，.(1)求證：；(2)設(shè)，在線段上是否存在點（異于點），使得二面角的大小為.【答案】(1)證明見解析(2)不存在，理由見解析【分析】（1）根據(jù)余弦定理計算，根據(jù)勾股定理得到，確定平面，得到證明.（2）建立空間直角坐標系，計算各點坐標，平面的一個法向量為，平面的一個法向量為，根據(jù)向量的夾角公式計算得到答案.【詳解】（1），故，，則，故，又，平面，，故平面，平面，故，

（2）△和△所在的平面互相垂直，則平面平面，且平面，故平面，如圖所示：以分別為軸建立空間直角坐標系，

則，，，設(shè)，，平面的一個法向量為，設(shè)平面的一個法向量為，則，取得到，則，解得，不滿足題意.綜上所述：不存在點，使二面角的大小為.例12．（2023·廣東深圳·深圳中學?？寄M預測）如圖，且，，且，且.平面，.

(1)求平面與平面的夾角的正弦值；(2)若點在線段上，且直線與平面所成的角為，求線段的長.【答案】(1)(2)【分析】（1）利用空間向量法求出平面與平面的法向量，即可求解；（2）設(shè)線段DP的長為（），求出，，然后利用向量的夾角公式列方程求解.【詳解】（1）因為平面，，平面，所以，.因為，所以，，兩兩垂直，以為原點，分別以，，的方向為軸，軸，軸的正方向的空間直角坐標系（如圖），

則，，，，，，.得，，.設(shè)為平面的法向量，則，令，則；設(shè)為平面的法向量，則，令，則，所以.所以平面與平面的夾角的正弦為.（2）設(shè)線段的長為，則，.因為，，平面，所以平面，為平面的一個法向量，所以，由題意，可得，解得.所以線段的長為.練習26．（2023·浙江紹興·統(tǒng)考模擬預測）如圖，正三棱柱的所有棱長均為為的中點，為上一點，(1)若，證明：平面；(2)當直線與平面所成角的正弦值為，求的長度.【答案】(1)證明見解析；(2)3.【分析】（1）記與交于點，連結(jié)，證明，原題即得證；（2）取中點，以原點，直線為軸，直線為軸，建立如圖空間直角坐標系.設(shè)，利用向量法求解.【詳解】（1）記與交于點，連結(jié).由得.又平面，平面,所以平面.（2）取中點，以原點，直線為軸，直線為軸，建立如圖空間直角坐標系.則設(shè)，則設(shè)平面法向量為，則,取因為線面角正弦值為，所以解得，故練習27．（2023春·遼寧朝陽·高三校聯(lián)考期中）如圖，在正三棱柱A?B?C?-ABC中，D為AB的中點，.(1)若證明:DE⊥平面A?B?E；(2)若直線BC?與平面A?B?E所成角為求λ的值.【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）先證明A?B?⊥平面DCC?F，得到DE⊥A?B，再證明DE⊥平面A?B?E即可；（2）建立空間直角坐標系，利用向量法求出線面角即可得解.【詳解】（1）證明：取A?B?的中點F，連接EF，DF，DC，F(xiàn)C?.由題意，得所以DE2+EF2=DF2，則DE⊥EF.因為A?B?⊥C?F，A?B?⊥DF，平面DCC?F，所以A?B?⊥平面DCC?F，又平面DCC?F，所以DE⊥A?B，因為A?B?∩EF=F，平面A?B?E，所以DE⊥平面A?B?E.（2）以D為坐標原點，DB，DC，DF的方向分別為x軸，y軸，z軸的正方向，建立空間直角坐標系，則設(shè)設(shè)平面A?B?E的法向量為，則.取則設(shè)直線BC?與平面A?B?E所成的角為θ，則，化簡得，解得或當時，點E與點C?重合，此時λ=0，不符合題意.所以，即λ的值為練習28．（2023春·江蘇泰州·高三泰州中學?？计谥校┤鐖D，在多面體中，四邊形與均為直角梯形，，.平面，，.(1)已知點G為AF上一點，且，試判斷是否與平面平行，并說明理由；(2)已知直線與平面所成角的正弦值為，求該多面體的體積.【答案】(1)與平面不平行；證明見解析；(2)3【分析】（1）是與平面不平行；建立空間直角坐標系，求得平面的法向量，利用，即可證明結(jié)論；（2）根據(jù)線與平面所成角的正弦值為求出的長，分別計算，利用即可求得答案.【詳解】（1）與平面不平行；因為平面，平面,故，又,，則,以A為坐標原點，為軸，建立空間直角坐標系，則，故，設(shè)平面的法向量為，則，令，則，則，即與不垂直，故是與平面不平行；（2）設(shè)且，則，所以，因為直線與平面所成角的正弦值為，故，即，解得或（舍去），因為，平面，所以平面，又平面，故,，又，而平面，故平面，又，所以，，所以，故，即多面體的體積為3.練習29．（2023·北京東城·統(tǒng)考二模）如圖，直角三角形和等邊三角形所在平面互相垂直，，是線段上一點.(1)設(shè)為的中點，求證：；(2)若直線和平面所成角的正弦值為，求的值.【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）要證明線線垂直，利用面面垂直的性質(zhì)定理，轉(zhuǎn)化為證明平面；（2）首先設(shè)，，再以的中點為原點，建立空間直角坐標系，根據(jù)線面角的向量公式，列式求解.【詳解】（1）由題設(shè)知因為平面平面，平面平面，，所以平面．因為平面，所以.因為為等邊三角形，是的中點，所以.因為，平面，所以平面．所以.（2）設(shè)，.取的中點，的中點，連接，，則，.由（I）知平面，所以平面，所以，.如圖建立空間直角坐標系，則，，，．所以，，，，.設(shè)平面的法向量為，則即令，則，.于是.因為直線和平面所成角的正弦值為，所以，整理得，解得或.因為，所以，即.練習30．（河北省2023屆高三模擬（六）數(shù)學試題）在圓柱中，等腰梯形為底面圓的內(nèi)接四邊形，且，矩形是該圓柱的軸截面，為圓柱的一條母線，.

(1)求證：平面平面；(2)設(shè)，，試確定的值，使得直線與平面所成角的正弦值為.【答案】(1)證明見解析(2)或【分析】（1）先證明平面以及平面，根據(jù)面面平行的判定定理即可證明結(jié)論；（2）建立空間直角坐標系，求得相關(guān)點坐標，求得平面的一個法向量，根據(jù)空間角的向量求法，即可求得答案.【詳解】（1）在圓柱中，,平面,平面,故平面；連接，因為等腰梯形為底面圓的內(nèi)接四邊形，，

故，則為正三角形，故，則，平面,平面,故平面；又平面，故平面平面.（2）如圖，以為坐標原點，在底面圓過點垂直于平面作直線為x軸，以為軸建立空間直角坐標系，

由于，由（1）可知,故,則，設(shè)平面的一個法向量為，則，即，令，則，由，，，可得，設(shè)直線與平面所成角為，則，即得，解得或，符合，故或.題型七 求異面直線，點到面或者面到面的距離例13．（2023·浙江寧波·鎮(zhèn)海中學?？寄M預測）在直角梯形中，，，，現(xiàn)將沿著對角線折起，使點D到達點P位置，此時二面角為．

(1)求異面直線，所成角的余弦值；(2)求點A到平面的距離．【答案】(1)(2)【分析】（1）作出輔助線，建立空間直角坐標系，寫出點的坐標，得到異面直線的夾角；（2）利用點到平面距離的向量公式進行求解.【詳解】（1）過點D做交于O，連接，以O(shè)點為原點，以為x軸，在平面內(nèi)，過點O垂直于的線為y軸，過點O垂直于平面的直線為z軸，建立空間直角坐標系，如圖所示．

因為，所以，所以為二面角的平面角．所以，又因為，所以點，又因為，，由等邊三角形可得，所以，，所以，所以與夾角的余弦值為．（2），，設(shè)為平面的一個法向量，則，令，則，故，所以點A到平面的距離為．例14．（2023秋·遼寧沈陽·高三沈陽二十中校聯(lián)考期末）如圖①菱形，．沿著將折起到，使得，如圖②所示．(1)求異面直線與所成的角的余弦值；(2)求異面直線與之間的距離．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)折疊前后的幾何性質(zhì)，建立空間直角坐標系，利用空間向量的坐標運算得異面直線與所成的角的余弦值；（2）根據(jù)空間向量求直線與公垂線的方向向量，再結(jié)合空間向量坐標運算即可得異面直線與之間的距離．【詳解】（1）圖①菱形，，由余弦定理得，所以，所以，即，又，所以，在圖②中，，即，又平面所以平面，即平面，又平面，所以，如圖，以為原點，分別為軸建立空間直角坐標系，則，所以，故，則異面直線與所成的角的余弦值為；（2）由（1）得，設(shè)是異面直線與公垂線的方向向量，所以，令，則所以異面直線與之間的距離為.練習31．（2022·全國·高三專題練習）在如圖所示的五面體ABCDFE中，面ABCD是邊長為2的正方形，AE⊥面ABCD，DF∥AE，且DFAE＝1，N為BE的中點.

(1)求證：FN∥平面ABCD；(2)求二面角N﹣MF﹣D的余弦值；(3)求點A到平面MNF的距離.【答案】(1)證明見解析(2)(3)【分析】（1）建立空間直角坐標系，得到，顯然平面ABCD的法向量可以為（0，0，1），所以，即，即可得證；（2）平面MNF的法向量為，平面MFD的法向量可以為（0，1，0），代入公式即可求解；（3）由（2）知平面MNF的法向量為（2，1，2），又，代入公式即可求解．【詳解】（1）證明：如圖建立空間直角坐標系，

則A（0，0，0），B（2，0，0），D（0，2，0），E（0，0，2），N（1，0，1），M（1，2，0），F(xiàn)（0，2，1），所以，顯然平面ABCD的法向量可以為（0，0，1），所以，即，又NF?平面ABCD，所以NF∥平面ABCD；（2）因為，設(shè)平面MNF的法向量為（x，y，z），則，令y＝1，則x＝z＝2，所以，顯然平面MFD的法向量可以為（0，1，0），設(shè)二面角N﹣MF﹣D為，由圖可知二面角N﹣MF﹣D為鈍角，則，所以二面角N﹣MF﹣D的余弦值為；（3）由（2）知平面MNF的法向量為（2，1，2），又，設(shè)點A到平面MNF的距離為d，則，所以點A到平面MNF的距離為．練習32．（2023·高一課時練習）如圖所示，在空間四邊形中，，，，．(1)求證：；(2)求異面直線與的距離；(3)求二面角的大?。敬鸢浮?1)證明見解析(2)(3)【分析】（1）取中點，連結(jié)，利用線面垂直的判定定理證得平面即可；（2）建立空間直角坐標系，利用異面直線的向量距離公式求解即可；（3）求出面的法向量，然后利用面面角的向量方法進行求解【詳解】（1）取中點，連結(jié)．，．，．，平面，平面．平面，．（2）因為，，，平面，平面．如圖，以為原點，分別以為軸建立空間直角坐標系．則．設(shè)．，，．所以，，設(shè)與的公垂線的一個方向向量為，則，取，得，，即，又，所以異面直線與之間的距離為．（3）取中點，連結(jié)．，，，．是二面角的平面角．，，，，二面角的大小為．練習33．（2021秋·上海浦東新·高三上海市實驗學校?？计谥校┤鐖D是一棱長為的正方體，則異面直線與之間的距離為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】建立空間直角坐標系，求出與和垂直的向量坐標，求出異面直線間的距離.【詳解】以D為原點，DA，DC，分別為x，y，z軸，建立如圖空間直角坐標系，則，，設(shè)與和都垂直，則，即，取，又因為，所以異面直線和間的距離為.故選：B.練習34．（2023·重慶·統(tǒng)考模擬預測）在多面體中，四邊形是邊長為4的正方形，，△ABC是正三角形．

(1)若為AB的中點，求證：直線平面；(2)若點在棱上且，求點C到平面的距離．【答案】(1)證明見詳解(2)【分析】（1）根據(jù)線面平行的判定定理分析證明；（2）根據(jù)題意可證平面，平面，建系，利用空間向量求點到面的距離.【詳解】（1）連接，設(shè)，由題意可得為的中點，連接，因為分別為的中點，則//，平面，平面，所以直線平面.

（2）由題意可得：，，平面，所以平面，取的中點，連接，因為△ABC是正三角形，則，又因為平面，平面，則，，平面，所以平面，如圖，以為坐標原點，為軸，軸，建立空間直角坐標系，則，可得，設(shè)平面的法向量，則，令，則，即，所以點C到平面的距離.

練習35．（2023·北京豐臺·北京豐臺二中?？既＃┤鐖D，在四棱錐中，平面，，，，.為的中點，點在上，且.(1)求證：平面平面；(2)求平面與平面所成角的余弦值；(3)若棱上一點，滿足，求點到平面的距離.【答案】(1)證明見解析(2)(3)【分析】（1）（2）（3）如圖，以為原點，分別以，為軸，軸，過作平行線為軸，建立空間直角坐標系，利用空間向量法計算可得.【詳解】（1）如圖，以為原點，分別以，為軸，軸，過作平行線為軸，建立空間直角坐標系，則，，，，，，所以，，因為，所以，所以，即，所以，，設(shè)平面的法向量為，則，令，則，所以，平面的法向量為，則，令，則，所以，所以，所以，所以平面平面.

（2）易知平面的一個法向量，設(shè)平面與平面所成角為，則，所以平面與平面所成角的余弦值為.（3）因為棱上一點，滿足，所以，所以，所以點到平面的距離.題型八 求點到線的距離例15．（2023·全國·高三專題練習）如圖，在四棱錐中，平面，底面為正方形，且，為棱的中點，點在上，且，則的中點到直線的距離是______．【答案】/【分析】以點為坐標原點，、、所在直線分別為、、軸建立空間直角坐標系，計算出、，進而可計算得出點到直線的距離為.【詳解】因為平面，底面為正方形，以點為坐標原點，、、所在直線分別為、、軸建立如下圖所示的空間直角坐標系，則點、、，，，，所以，，所以，的中點到直線的距離.故答案為：.例16．（2023·全國·高三專題練習）如圖，直四棱柱的底面為平行四邊形，，，點P，M分別為，上靠近的三等分點．(1)求點M到直線的距離；(2)求直線PD與平面所成角的正弦值.【答案】(1)(2)【分析】（1）建立空間直角坐標系，寫出相應點的坐標，利用向量法求出點到直線的距離即可；（2）結(jié)合（1）中點的坐標，分別求出直線的方向向量和平面的法向量，利用空間向量的夾角公式即可求解.【詳解】（1）由題可得AD=2，，又點P為AB上靠近A的三等分點，所以AP=1．在中，由余弦定理可得，，故，所以為直角三角形，故DP⊥AB．因為底面ABCD為平行四邊形，所以DP⊥CD．由直四棱柱性質(zhì)可知，，即DP，CD，兩兩垂直．故以D為坐標原點，分別以DP，DC，所在直線為x軸，y軸，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系Dxyz．則．因為，過點M作，（點到直線的距離即為通過該點向直線做垂線，點到垂足的距離）令，所以，故．由，解得，所以，故點M到直線的距離為．（2）因為，，，設(shè)平面的法向量為，則即令，得，，故．設(shè)直線PD與平面所成角為，則．所以直線PD與平面所成角的正弦值為．練習36．（2023春·安徽池州·高二池州市第一中學校聯(lián)考階段練習）已知點，若，兩點在直線l上，則點A到直線l的距離為______.【答案】3【分析】先求與方向相同的單位向量，然后由公式可得.【詳解】依題意，而，故與方向相同的單位向量為，則所求距離.故答案為:3練習37．（2023秋·山西臨汾·高二統(tǒng)考期末）如圖所示，在四棱錐中，平面平面，底面為矩形，，是棱上一點，且.(1)求點到直線的距離；(2)求平面與平面夾角的余弦值.【答案】(1)2(2).【分析】（1）利用面面垂直得出線面垂直，建立坐標系，利用空間向量求解點到直線的距離；（2）分別求解平面與平面的法向量，利用法向量求解兩平面的夾角.【詳解】（1）取的中點，連接，并過點作的平行線，交于，則.因為，所以.因為平面平面，平面平面平面，所以平面，因為平面，所以.以為坐標原點，以所在直線分別為軸，軸，軸建立如圖所示的空間直角坐標系，因為，則，直線的一個單位方向向量為，點到直線的距離.（2），設(shè)平面的法向量為，則令，設(shè)平面的法向量為，則令，設(shè)平面與平面的夾角為，則.所以平面與平面夾角的余弦值為.練習38．（2023春·高二課時練習）如圖，正方形的中心為O，四邊形為矩形，平面平面，點G為的中點，.(1)求證：平面；(2)求點D到直線的距離.【答案】(1)證明見解析；(2).【分析】（1）取的中點M，連接為線段的中點，根據(jù)三角形的中位線定理、矩形的性質(zhì)、平行四邊形的判斷定理、線面平行的判定定理即可證明結(jié)論.（2）連接，根據(jù)面面垂直的性質(zhì)定理可得平面，建立空間直角坐標系，求得直線EG的單位方向向量，可得點D到直線EG的距離.【詳解】（1）證明：取的中點M，連接，正方形的中心為O，則共線，又G為線段的中點，則，∵四邊形為矩形，則，∴四邊形為平行四邊形，∴，而平面，而平面，∴平面.（2）連接,∵四邊形為矩形，則,平面平面，平面平面,平面,∴平面，故以B為坐標原點，以為軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，則，，，直線EG的單位方向向量，∴，∴點D到直線EG的距離.練習39．（2022秋·陜西西安·高二?？茧A段練習）在長方體中，，，，是的中點，建立空間直角坐標系，用向量方法解下列問題：(1)求直線與所成的角的余弦值；(2)求點到直線的距離．【答案】(1)；(2)．【分析】（1）由題意寫出點的坐標，求出，的坐標，從而利用空間向量求異面直線所成角即可；（2）先將問題轉(zhuǎn)化為求，再由空間向量平行與垂直的坐標表示求得點坐標，從而得到，再利用向量的模求解即可.【詳解】（1）由題意得，，，．則，，設(shè)與所成的角為，則，所以，所以與所成的角的余弦值為．（2）作于，則點到直線的距離為，因為，，又，設(shè)，則，，，所以，解得，則，故，所以，所以點到直線的距離為．.練習40．（2022秋·湖北十堰·高二統(tǒng)考期末）如圖所示，在幾何體中，，平面，則點E到直線的距離為_________、直線與平面所成角的正弦值為_______________．【答案】【分析】建立坐標系，利用向量法求解即可.【詳解】以A為原點，的方向分別為x，y，z軸的正方向建立空間直角坐標系，則．．因為，所以，所以點E到直線的距離為．記平面的法向量為，則令，得．因為，所以直線與平面所成角的正弦值為．故答案為：；題型九 點的存在性問題例17．（2023·黑龍江齊齊哈爾·統(tǒng)考二模）如圖，四棱錐中，平面，，，，，為線段上一點，點在邊上且.(1)若為的中點，求四面體的體積；(2)在線段上是否存在點，使得與平面所成角的余弦值是？若存在，求出的長；若不存在，請說明理由.【答案】(1)(2)存在，【分析】（1）根據(jù)題意，以為原點，所在直線分別為軸建立空間直角坐標系，進而利用坐標法求得點到平面的距離為，再計算體積即可；（2）設(shè)點坐標為，根據(jù)得，進而根據(jù)線面角的向量方法求解即可.【詳解】（1）解：由題意可得兩兩互相垂直，所以可以以為原點，所在直線分別為軸建立空間直角坐標系，如圖所示：∴，，，，∴，，.設(shè)平面的一個法向量，，不妨令y＝1，∴.設(shè)點到平面的距離為，則，又因為，，∴的面積為.∴四面體的體積為.（2）設(shè)點坐標為，∴，.∵，即，∴，∴，∴.設(shè)，，∴.設(shè)平面的一個法向量，∴，即，令得∴，∴，∵與面所成角的余弦值是，正弦值為.∴，整理得，∴，（舍去）.∴存在滿足條件的點，且.例18．（2023春·廣東佛山·高二佛山一中?？茧A段練習）如圖，在四棱錐中，已知底面是正方形，底面，且，是棱上動點.(1)證明：平面.(2)線段上是否存在點，使二面角的余弦值是？若存在，求的值；若不存在，請說明理由.【答案】(1)證明見解析(2)存在，【分析】（1）利用正方形性質(zhì)、線面垂直的性質(zhì)和線面垂直的判定定理進行證明即可；（2）以為坐標原點建立空間直角坐標系，設(shè)，利用向量線性運算可得，根據(jù)二面角的向量求法可構(gòu)造方程求得的值.【詳解】（1）連接，交于點，四邊形為正方形，；平面，平面，，又，平面，平面.（2）以為坐標原點，正方向為軸，可建立如圖所示空間直角坐標系，則，，，，，，，，，假設(shè)在線段上存在點，使得二面角的余弦值為，設(shè)，則，，設(shè)平面的法向量，則，令，解得：，，；由（1）知：平面，平面的一個法向量為；，解得：，當，即時，二面角的余弦值為.練習41．（2023·全國·高三對口高考）如圖所示的幾何體中，四邊形是等腰梯形，，，平面，，.

(1)求二面角的余弦值；(2)在線段AB（含端點）上，是否存在一點P，使得平面.若存在，求出的值；若不存在，請說明理由.【答案】(1)(2)存在，【分析】（1）建立空間直角坐標系，利