專題28 圓錐曲線中的范圍和最值問題(解析版)2024年新高考數學之圓錐曲線專項重難點突破練（新高考專用）

第第頁專題28圓錐曲線中的范圍和最值問題考試時間：120分鐘滿分：150分一、單選題：本大題共8小題，每個小題5分，共40分.在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的.1．給定拋物線，F(xiàn)是其焦點，直線，它與E相交于A，B兩點，如果且，那么的取值范圍是（

）A． B． C． D．【解析】直線與拋物線方程聯(lián)立得：，因為直線與拋物線相交于A，B兩點，所以，設，因此有，且，由，代入中得：且，解得：，函數在時單調遞減，所以，因此，所以或，故選：C2．已知雙曲線，分別為雙曲線的左右焦點，為雙曲線上一點，且位于第一象限，若三角形為銳角三角形，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【解析】由得、，因為位于第一象限，所以恒為銳角，因為三角形為銳角三角形，所以為銳角，為銳角，由為銳角得，所以，因為，所以，由為銳角得，所以，所以，所以，又，所以，即，又，所以，綜上所述：.故選：C.3．已知橢圓的焦距為，離心率為，過上一點分別作與和平行的直線，交直線于兩點，則線段長度的最大值為（

）A．4 B．3 C．2 D．1【解析】由題意知，，又離心率為，所以，，所以橢圓的方程為，設，，則，

因為四邊形為平行四邊形，所以，即，又點在橢圓上，所以，所以，所以，因為，所以，所以，所以線段長度的最大值為4.故選：A.4．已知分別是橢圓的左、右焦點，橢圓C過和兩點，點P在線段上，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【解析】因為橢圓過點和，所以，可得，所以，，設，由題意直線的方程為，即，因為點P在線段上，所以滿足，則，，當時，，當時，，所以的取值范圍為.故選：D5．已知、是雙曲線上關于原點對稱的兩點，是上異于、的動點，設直線、的斜率分別為、．若直線與曲線沒有公共點，當雙曲線的離心率取得最大值時，且，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【解析】因為直線與雙曲線沒有公共點，所以雙曲線的漸近線的斜率，而雙曲線的離心率，當雙曲線的離心率取最大值時，取得最大值，即，即，則雙曲線的方程為，設、、，則，兩式相減得：，即，即，又，．故選：A.6．過橢圓上的焦點作兩條相互垂直的直線，交橢圓于兩點，交橢圓于兩點，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【解析】當直線有一條斜率不存在時，不妨設直線斜率不存在，則直線斜率為0，此時，，所以，當直線的斜率都存在且不為0時，不妨設直線的斜率為k，則直線的斜率為，不妨設直線都過橢圓的右焦點，所以直線，直線，聯(lián)立與橢圓T，可得，，，所以，同理，所以，令，因為，所以，所以=，令，因為，所以，所以，所以，所以，綜上的取值范圍是.故選：C7．已知?分別為橢圓：的左?右頂點，為橢圓上一動點，，與直線交于，兩點，與的外接圓的周長分別為，，則的最小值為（

）A． B． C． D．【解析】由已知得、，設橢圓上動點，則利用兩點連線的斜率公式可知，，設直線方程為：，則直線方程為：，根據對稱性設，令得，，即，，則設與的外接圓的半徑分別為，，由正弦定理得：，，又，，當且僅當，即時，等號成立，即的最小值為，故選：A8．如圖，已知，分別是橢圓：的左、右焦點，過的直線與過的直線交于點，線段的中點為，線段的垂直平分線與的交點（第一象限）在橢圓上，若為坐標原點，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【解析】如圖所示，點在軸右邊，因為為的垂直平分線，所以．由中位線定理可得．設點．由兩點間的距離公式，得，同理可得，所以，故，因為，，所以，故，所以．因為，所以．故的取值范圍為．故選：D．二、多選題：本大題共4小題，每個小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，只有一項或者多項是符合題目要求的.9．已知拋物線的焦點為，其準線與軸相交于點，經過點且斜率為的直線與拋物線相交于點，兩點，則下列結論中正確的是（

）A．B．C．的取值范圍是D．時，以為直徑的圓經過點【解析】由題意可得：拋物線的焦點為，準線，則，設直線的方程為，，，聯(lián)立方程得，消去得，可得，解得且，故Ｃ錯誤；則，故A正確；可得，易知同號，所以，故B錯誤；因為，，所以，當時，，此時為直角，即以為直徑的圓經過點，故D正確.故選：AD.

10．已知拋物線C：，過焦點F的直線交拋物線C于，兩點，MN的中點為P，直線OM，ON分別與直線l：相交于A、B兩點.則下列說法正確的是（

）A． B．的最小值為8C．P到直線l距離的最小值為6 D．與的面積之比不為定值【解析】依題意，可得如下圖象：，

對于A：因為拋物線的方程為，所以，由拋物線的焦點在軸可得，直線的斜率一定存在，所以設直線的方程為：，由，消可得，所以，，，，所以A選項正確；對于B：因為，，所以所以，同理，所以，當時取得最小值16，所以B選項錯誤；對于C：因為為的中點，所以到直線的距離，當且僅當時等號成立，所以C選項正確；對于D：由題意可得直線的方程分別為：，所以它們與的交點分別為：，所以所以，又到直線的距離，由弦長公式得：，所以，所以，所以D選項錯誤；故選：AC.11．已知F是拋物線的焦點，過點F作兩條互相垂直的直線，，與C相交于A，B兩點，與C相交于E，D兩點，M為A，B中點，N為D，E中點，直線l為拋物線C的準線，則（

）A．點M到直線l的距離為定值 B．以為直徑的圓與y軸相切C．的最小值為32 D．當取得最小值時，軸【解析】設，，，，，直線的方程為，則直線的方程為,將直線的方程代入，化簡整理得，則，，故,所以，,因為點A到直線l的距離，點B到直線l的距離，點M到直線l的距離，又，所以，故A錯誤；因為，所以以為直徑的圓的圓心M到l的距離為，即以為直徑的圓與l相切，故B錯誤；同理，，所以，，，則，當且僅當時等號成立，故C正確；.設，則，，.當時，即時，最小，這時，即軸，故D正確,故選:CD.12．已知橢圓的左，右焦點分別為，過點垂直于x軸的直線交橢圓C于A，B兩點，，若點P是橢圓C上的動點，則下列說法正確的是（

）A．的最小值為B．的面積的最大值為C．的取值范圍為D．C上有且只有4個點P，使得是直角三角形【解析】由題意得是等邊三角形，所以的周長為，所以，令，則，則，所以，所以橢圓，對于A，當點位于上下頂點時，最大，此時的最小為，故A錯誤；對于B，設，則，所以的面積的最大值為，故B正確；對于C，設，則，所以，又，則，因為，所以，所以，故C正確；對于D，由A選項可知，最大時為銳角，所以以點為直角頂點的不存在，以點為直角頂點的分別有2個，所以C上有且只有4個點P，使得是直角三角形，故D正確.故選：BCD.三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.把答案填在答題卡中的橫線上.13．已知拋物線C：的焦點F到其準線的距離為2，圓M；，過F的直線l與拋物線C和圓M從上到下依次交于A，P，Q，B四點，則的最小值為．【解析】因為拋物線的焦點到準線的距離為，所以，所以拋物線方程為，如下圖，，

因為，設，所以，所以，因為直線水平時顯然不合題意，故可設，因為直線所過定點在拋物線內部，則直線必然與拋物線有兩交點，同樣與圓也有兩交點，聯(lián)立，，所以，所以，當且僅當，即時取等號，所以的最小值為12.14．設，同時為橢圓與雙曲線的左、右焦點，設橢圓與雙曲線在第一象限內交于點M，橢圓與雙曲線的離心率分別為，，O為坐標原點，若，則的取值范圍是．【解析】設，，焦距為2c，由橢圓定義可得，由雙曲線定義可得，解得，，當時，可得，即，可得，則，所以，由，可得，可得，即，，可設，則，令，則，所以函數在上單調遞增，可得，所以．15．橢圓與雙曲線有公共焦點，設橢圓與雙曲線在第一象限內交于點，橢圓與雙曲線的離心率分別為為坐標原點，，則的取值范圍是.【解析】設，則有，所以，即，又因為，所以，所以，即，則，由，得，所以，所以，則，由，得，因為，當且僅當，即時，取等號，因為，所以，所以，即，所以的取值范圍是.16．曲線是由拋物線與組成的封閉圖形，點，當對曲線上所有點恒成立，則實數的取值范圍是__________．【解析】當在時，設，則，，則函數在上單調遞增，，即，此時；當在時，設，則，，則函數在上單調遞減，，即，故臨界情況一：在一條直線時，時，，則，解得或；臨界情況二：三點共線時，為線段上一點，此時，解得或；綜上得：或；四、解答題：本大題共6小題，共70分.解答應寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟．17．已知橢圓的左焦點為F，O為坐標原點．(1)求過點F、O，并且與拋物線的準線相切的圓的方程；(2)設過點F且不與坐標軸垂直的直線交橢圓于A、B兩點，線段AB的垂直平分線與軸交于點G，求點G的橫坐標的取值范圍．【解析】（1）拋物線的準線為，橢圓的左焦點為，因為圓過點，所以圓心在直線上，設，則圓的半徑為，由，得，解得，所求圓的方程為或.（2）解：設直線的方程為，聯(lián)立方程組，整理得，因為直線過橢圓的左焦點，所以方程有兩個不相等的實根，設點，設的中點為，則，可得，直線的垂直平分線的方程為，令，則.因為，所以，故點的橫坐標的取值范圍.18．已知橢圓與坐標軸的交點所圍成的四邊形的面積為上任意一點到其中一個焦點的距離的最小值為1.(1)求橢圓的方程；(2)設直線交于兩點，為坐標原點，以，為鄰邊作平行四邊形在橢圓上，求的取值范圍.【解析】（1）由題可知，所以，即，所以，所以，因為，所以2，所以.所以橢圓的方程為：.（2）聯(lián)立，消去，化簡整理得：，需滿足，設，由韋達定理可知：.則以為鄰邊作平行四邊形，則，由于點在橢圓上，所以，即化簡得：，經檢驗滿足又，由于，所以，所以，故，所以的取值范圍為.19．已知，為橢圓C：的左右焦點，P為橢圓C上一點．若為直角三角形，且．(1)求的值；(2)若直線l：與橢圓C交于A，B兩點，線段AB的垂直平分線經過點，求實數m的取值范圍．【解析】（1）若，則．因為，，解得，．因此．若，則，解得．因此．綜上知，或．（2）設，，聯(lián)立，消去y得到，，即．則，，弦AB中點M的坐標是．由得，．另一個方面，直線PM的方程是．點在此直線上，故，整理得，．代入中，，．又，，所以，．故實數m的取值范圍是．20．若橢圓和橢圓滿足，則稱這兩個橢圓相似，稱為其相似比．(1)求經過點，且與橢圓相似的橢圓方程．(2)設過原點的一條射線分別與（1）中的兩個橢圓交于、兩點（其中點在線段上），求的最大值和最小值．【解析】（1）設所求的橢圓方程為，則由題意得，解得，所要求的橢圓方程為．（2）①當射線與軸重合時，．②當射線不與軸重合時，由橢圓的對稱性，我們僅考慮、在第一象限或x軸正半軸的情形．設其方程為，設，，，，由，解得，，由，解得，，，令，則由，知，，記，則在上是增函數，，，由①②知，的最大值為，的最小值為．21．已知橢圓的兩個焦點分別為，，過點且與軸垂直的直線交橢圓于，兩點，的面積為，橢圓的離心率為．(1)求橢圓的標準方程；(2)已知為坐標原點，直線與軸交于點，與橢圓交于，兩個不同的點，若存在實數，使得，求的取值范圍．【解析】（1）設橢圓的焦距為2c，，代入橢圓方程可得，解得，所以，所以，解得，又，所以，又，所以，所以橢圓的標準方程為（2）當m=0時，則，由橢圓的對稱性得,所以，所以當m=0時，存在實數，使得；當時，由，得，因為A、B、P三點共線，所以，解得，所以，設，由，得，由題意得，則，且，由，可得，所以，解得，又，整理得，顯然不滿足上式，所以，因為，所以，即，解得或，綜上，的取值范圍為22．已知A，B是橢圓的左、右頂點，是E的左、右焦點，是橢圓上一點，且的內心的縱坐標為.(1)求橢圓E