專題3.8 四點共圓（隱圓壓軸五）（原卷版）

專題3.8四點共圓1.四點共圓如果同一平面內(nèi)的四個點在同一個圓上，則稱這四個點共圓，一般簡稱為“四點共圓”．2．四點共圓的性質(zhì)(1)共圓的四個點所連成同側(cè)共底的兩個三角形的頂角相等．(2)圓內(nèi)接四邊形的對角互補．(3)圓內(nèi)接四邊形的一個外角等于它的內(nèi)對角．3．四點共圓的判定(1)用“角”判定：①一組對角互補的四邊形的四個頂點在同一個圓上；②一個外角等于它的內(nèi)對角的四邊形的四個頂點在同一個圓上；③如果兩個三角形有一條公共邊，且位于公共邊同側(cè)的兩個角相等，則這兩個三角形的四個頂點在同一個圓上．(2)“等線段”判定：四頂點到同一點的距離相等，若OA＝OB＝OC＝OD，則A，B，C，D四點共圓．(3)用“比例線段”判定：若線段AB，CD(或其延長線)交于點P，且PA·PC＝PB·PD，則A，B，C，D四點共圓.模型解讀：模型1：對角互補型：若∠A+∠C=180o或∠B+∠D=180o,則A、B、C、D四點共圓模型2：同側(cè)等角型（1）若∠A=∠C,則A、B、C、D四點共圓（2）手拉手(雙子型)中的四點共圓條件：△OCD∽△OAB結(jié)論：①△OAC∽△OBD②AC與BD交于點E,必有∠AEB=∠AOB；③點E在△OAB的外接圓上,即O、A、B、E四點共圓.同理：ODCE也四點共圓.模型3：直徑是圓中最長的弦1.定圓中最長的弦是直徑；2.經(jīng)過圓中定點最短的弦是垂直于過這點直徑的弦；3.定弦中最小的圓是以該弦為直徑的圓?！镜淅?】如圖，四邊形ABCD是某高新區(qū)核心地塊用地示意圖，經(jīng)測量得如下數(shù)據(jù)：AB＝30km，BC＝40km，∠B＝120°，∠A+∠C＝180°，請計算這塊規(guī)劃用地的最大面積．【變式1-1】如圖，△ABC中，∠BAC＝60°，AD平分∠BAC，∠BDC＝120°，連接BD，CD并延長分別交AC，AB于點E和點F，若DE＝6，，則BD的長為（）A．10 B．12 C．15 D．16【變式1-2】如圖，正方形ABCD和正方形DEFG邊長分別為a和b，正方形DEFG繞點D旋轉(zhuǎn)，給出下列結(jié)論：①AG＝CE；②AG⊥CE；③點G、D、H、E四點共圓；④DH平分∠ADE；⑤AC2+EG2＝CG2+AE2，其中正確的結(jié)論是（）A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③⑤【變式1-3】如圖，AB＝AD＝6，∠A＝60°，點C在∠DAB內(nèi)部且∠C＝120°，則CB+CD的最大值（）A．4 B．8 C．10 D．6【變式1-4】如圖，在等腰三角形紙片ABC中，AB＝AC，將該紙片翻折，使得點C落在邊AB的F處，折痕為DE，D，E分別在邊BC，AC上，∠AFD＝∠DEF，若DE＝4，BD＝9，則DF＝，△ABC的面積為．【變式1-5】如圖，AB⊥BC，AB＝5，點E、F分別是線段AB、射線BC上的動點，以EF為斜邊向上作等腰Rt△DEF，∠D＝90°，連接AD，則AD的最小值為．【變式1-6】【問題情境】如圖①，在四邊形ABCD中，∠B＝∠D＝90°，求證：A、B、C、D四點共圓．小吉同學(xué)的作法如下：連結(jié)AC，取AC的中點O，連結(jié)OB、OD，請你幫助小吉補全余下的證明過程；【問題解決】如圖②，在正方形ABCD中，AB＝2，點E是邊CD的中點，點F是邊BC上的一個動點，連結(jié)AE，AF，作EP⊥AF于點P．（1）如圖②，當(dāng)點P恰好落在正方形ABCD對角線BD上時，線段AP的長度為；（2）如圖③，過點P分別作PM⊥AB于點M，PN⊥BC于點N，連結(jié)MN，則MN的最小值為．【變式1-7】如圖，在Rt△ABC