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第十五講:充分條件和必要條件【教學(xué)目標(biāo)】1.理解充分條件、必要條件的概念;2.了解充分條件與判定定理,必要條件與性質(zhì)定理的關(guān)系;3.能通過(guò)充分性、必要性解決簡(jiǎn)單的問(wèn)題.【基礎(chǔ)知識(shí)】知識(shí)點(diǎn):充分條件與必要條件“若p,則q”為真命題“若p,則q”為假命題推出關(guān)系p?qp?q條件關(guān)系p是q的充分條件q是p的必要條件p不是q的充分條件q不是p的必要條件定理關(guān)系判定定理給出了相應(yīng)數(shù)學(xué)結(jié)論成立的充分條件性質(zhì)定理給出了相應(yīng)數(shù)學(xué)結(jié)論成立的必要條件【題型目錄】考點(diǎn)一:充分條件的判斷考點(diǎn)二:必要條件的判斷考點(diǎn)三:充分條件與必要條件(一)考點(diǎn)四:充分條件與必要條件(二)考點(diǎn)五:充分條件與必要條件(三)考點(diǎn)六:充分條件與必要條件(四)考點(diǎn)七:充分條件與必要條件(五)【考點(diǎn)剖析】考點(diǎn)一:充分條件的判斷例1.已知,則“”是“”的() A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【詳解】解可得,,顯然該范圍小于的范圍.所以“”是“”的充分不必要條件.故選:A.變式訓(xùn)練1.“”是“”的() A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【詳解】將代入成立,即“”是“”的充分條件;由得:或,所以“”不是“”的必要條件,故“”是“”的充分不必要條件.故選:A.變式訓(xùn)練2.設(shè),則“”是“”的() A.充分必要條件 B.充分不必要條件 C.必要不充分條件 D.既不充分也不必要條件【答案】B【詳解】由可得,或,“”是“”的充分不必要條件.故選:B.變式訓(xùn)練3.設(shè),則“”是“”的() A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【詳解】由,得,解得;由,得,得因?yàn)楫?dāng)時(shí),一定可以推出,而當(dāng)時(shí),不能推出。所以“”是“”的充分不必要條件,故選:A.考點(diǎn)二:必要條件的判斷例2.設(shè),則“”是“”的() A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】B【詳解】解不等式得,不等式化為,所以,因?yàn)闉榈恼孀蛹?,所以“”是“”的必要不充分條件.故選:B變式訓(xùn)練1.“或”是“”的() A.必要不充分條件 B.充分不必要條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【詳解】因?yàn)楫?dāng),時(shí),,所以“或”不能推出“”;因?yàn)榍?,必有,所以命題:若“且”,則“”是真命題,所以其逆否命題:“若”,則“或”也是真命題,所以“”能推出“或”,綜上所述:“或”是“”的必要不充分條件.故選:A.變式訓(xùn)練2.已知,則是成立的() A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】B【分析】解一元二次不等式,再由充分必要條件的定義判斷即可.【詳解】由可得:,因?yàn)橥撇怀?,而能推出,所以是成立的必要不充分條件故選:B.變式訓(xùn)練3.設(shè),則“”是“”的() A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件 C.充要條件 D.既不允分也不必要條件【答案】B【詳解】由“”解得,由“”解得,故“”是“”的必要不充分條件.故選:B考點(diǎn)三:充分條件與必要條件(一)例3.荀子日:“故不積跬步,無(wú)以至千里;不積小流,無(wú)以成江海.”這句來(lái)自先秦時(shí)期的名言闡述了做事情不一點(diǎn)一點(diǎn)積累,就永遠(yuǎn)無(wú)法達(dá)成目標(biāo)的哲理.由此可得,“積跬步”是“至千里”的() A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】B【詳解】由題意可得:“積跬步”未必能“至千里”,但要“至千里”必須“積跬步”,故“積跬步”是“至千里”的必要不充分條件.故選:B.變式訓(xùn)練1.王昌齡是盛唐著名的邊塞詩(shī)人,被譽(yù)為“七絕圣手”,其詩(shī)作《從軍行》中的詩(shī)句“青海長(zhǎng)云暗雪山,孤城遙望玉門關(guān).黃沙百戰(zhàn)穿金甲,不破樓蘭終不還”傳誦至今.由此推斷,其中最后一句“返回家鄉(xiāng)”是“攻破樓蘭”的() A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【詳解】由題意,“不破樓蘭終不還”即“不破樓蘭”是“不還”的充分條件,即“不破樓蘭”可以推出“不還”,但是反過(guò)來(lái)“不還”的原因有多種,比如戰(zhàn)死沙場(chǎng);即如果已知“還”,一定是已經(jīng)“破樓蘭”,所以“還”是“破樓蘭”的充分條件故選:A變式訓(xùn)練2.p:四邊形為矩形,q:四邊形對(duì)角線相等,則p是q的() A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【詳解】解:根據(jù)矩形的性質(zhì)知;等腰梯形對(duì)角線也相等,所以推不出,所以是的充分不必要條件.故選:A.變式訓(xùn)練3.唐代著名詩(shī)人杜牧在《赤壁》一詩(shī)中寫(xiě)有“東風(fēng)不與周郎便,銅雀春深鎖二喬”,即杜牧認(rèn)為,如果沒(méi)有東風(fēng),那么東吳的二喬將會(huì)被曹操關(guān)進(jìn)銅雀臺(tái),即赤壁之戰(zhàn)東吳將輸給曹操.那么在杜牧認(rèn)為,“東風(fēng)”是“赤壁之戰(zhàn)東吳打敗曹操”的() A.充要條件 B.充分不必要條件 C.必要不充分條件 D.既不充分也不必要條件【答案】C【詳解】杜牧認(rèn)為沒(méi)有東風(fēng),則赤壁之戰(zhàn)東吳將輸給曹操,則說(shuō)明東風(fēng)是打敗曹操的必要條件.但有了東風(fēng),若沒(méi)有其他的地利人和,也未必能打敗曹操,故東風(fēng)不是充要條件,故選:C.考點(diǎn)四:充分條件與必要條件的應(yīng)用(二)例4.已知,,:,:,則是的() A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【詳解】解:因?yàn)椋?,:即,即,則,而:,所以,是的充分不必要條件,故選:.變式訓(xùn)練1.“”是“”的() A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】B【詳解】,所以,所以“”是“”的必要不充分條件.故選:B變式訓(xùn)練2.“”是“”的() A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充分必要條件 D.既不充分又不必要條件【答案】B【詳解】由,則,當(dāng)時(shí)不成立,充分性不成立;由,則,即,顯然成立,必要性成立;所以是的必要不充分條件.故選:B變式訓(xùn)練3.“”是“方程)有正實(shí)數(shù)根”的() A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】B【詳解】由于函數(shù)的對(duì)稱軸為,且開(kāi)口向上,所以有正根,則必須,解得,因此“”是“”必要不充分條件,故選:B考點(diǎn)五:充分條件與必要條件的應(yīng)用(三)例5.使“”成立的一個(gè)充分不必要條件是() A. B. C. D.【答案】A【詳解】由,即,解得,因?yàn)檎姘?,所以是成立的一個(gè)充分不必要條件.故選:A變式訓(xùn)練1.已知p:,那么p的一個(gè)充分不必要條件是() A. B. C. D.【答案】C【詳解】對(duì)于A,,且,即是p的不充分不必要條件,A不是;對(duì)于B,,且,即是p的不充分不必要條件,B不是;對(duì)于C,,即是p的一個(gè)充分不必要條件,C是;對(duì)于D,,即是p的必要不充分條件,D不是.故選:C變式訓(xùn)練2.的一個(gè)必要條件是() A. B. C. D.【答案】A【詳解】因?yàn)?,所以,所以是的一個(gè)必要條件,若不能得到,,故選:A變式訓(xùn)練3.已知,則“”的一個(gè)必要條件是() A. B. C. D.【答案】D【詳解】由于可得,故“”是“”的必要條件,由不能得到,,,比如,故選:D考點(diǎn)六:充分條件與必要條件的應(yīng)用(四)例6.已知p:,q:,若p是q的充分不必要條件,則m的取值范圍是() A. B. C. D.【答案】C【詳解】命題p:因?yàn)?,所以,解得,命題q:,因?yàn)閜是q的充分不必要條件,所以.故選:C變式訓(xùn)練1.已知條件:,:,若是的充分不必要條件,則實(shí)數(shù)的取值范圍是() A. B. C. D.【答案】D【詳解】因?yàn)槭堑某浞植槐匾獥l件,所以,即.故選:D.變式訓(xùn)練2.已知,,若P是Q的必要條件,則實(shí)數(shù)m的取值范圍是() A. B. C. D.【答案】B【詳解】因?yàn)镻是Q的必要條件,∴,又,,∴,解得.故選:B.變式訓(xùn)練3.若“”是“”的充分不必要條件,則實(shí)數(shù)m的值為() A.1 B. C.或1 D.或【答案】B【詳解】把代入,得:,解得:或.當(dāng)時(shí),可化為:,解得:,此時(shí)“”是“”的充要條件,應(yīng)舍去;當(dāng)時(shí),可化為:,解得:或,此時(shí)“”是“”的充分不必要條件.故.故選:B考點(diǎn)七:充分條件與必要條件的應(yīng)用(五)例7.已知集合,.(1)若,求;(2)若“”是“”的充分不必要條件,求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】(1);(2)【詳解】(1)當(dāng)時(shí),,,則,,(2)由題意得是的真子集,當(dāng)是空集時(shí),,解得;當(dāng)是非空集合時(shí),則且與不同時(shí)成立,解得,故a的取值范圍是變式訓(xùn)練1.集合,.(1)當(dāng)時(shí),求;(2)從下面條件①、條件②、條件③這三個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知條件,求實(shí)數(shù)m的取值范圍條件①:是的充分條件;條件②:;條件③:.注:答題時(shí)應(yīng)首先說(shuō)明本人所選條件,若選擇多個(gè)條件分別解答,則按第一個(gè)解答計(jì)分.【答案】(1);(2)【詳解】(1)當(dāng)時(shí),,則;(2)若選①,則有,即;若選②,則有;若選③,則有.變式訓(xùn)練2.已知集合,.(1)若,求的取值范圍;(2)若“”是“”的充分不必要條件,求的取值范圍.【答案】(1);(2)【詳解】(1)因,即,令得:或,所以或,即的取值范圍為.(2)若“”是“”的充分不必要條件,則是的真子集,而,不為空集,則(等號(hào)不同時(shí)成立),解得:,即的取值范圍是.變式訓(xùn)練3.已知集合,.(1)求;(2)若“”是“”的充分不必要條件,求的取值范圍.【答案】(1);(2)【詳解】(1)由,可得,所以,所以集合.(2)若“”是“”的充分不必要條件,則集合是集合的真子集,由集合不是空集,故集合也不是空集,所以,當(dāng)時(shí),滿足題意,當(dāng)時(shí),滿足題意,故,即m的取值范圍為.【課堂小結(jié)】1.知識(shí)清單:(1)充分條件、必要條件的概念.(2)充分條件與判定定理,必要條件與性質(zhì)定理的關(guān)系.(3)充分條件、必要條件的判斷.(4)充分條件與必要條件的應(yīng)用.2.方法歸納:等價(jià)轉(zhuǎn)化.3.常見(jiàn)誤區(qū):充分條件、必要條件不唯一;求參數(shù)范圍能否取到端點(diǎn)值.【課后作業(yè)】1、“”是“”的() A.充分不必要條件 B.充要條件 C.必要不充分條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A由題意,方程,解得或,所以“”是“”的充分不必要條件,故選A.2、設(shè),則“”是“”的() A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A由可得,即,則是的充分不必要條件,故選:A.3、設(shè)命題甲為“”,命題乙為““,那么甲是乙的() A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A解:因?yàn)椋?,解得,命題乙為“”,即命題乙:因?yàn)槊}甲為“”甲乙,乙推不出甲,故甲是乙的充分不必要條件.故選:.4、設(shè),則“”是“”的() A.充分非必要條件 B.必要非充分條件 C.充要條件 D.既非充分也非必要條件【答案】A由,解得或,則當(dāng)時(shí),有成立.當(dāng)時(shí),不一定成立,例如時(shí),滿足,但不成立.所以“”是“”的充分不必要條件.故選:A5、“”是“對(duì)恒成立”的() A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A由,得,則對(duì)恒成立;由恒成立,得或則.故“”是“對(duì)恒成立”的充分不必要條件.故選:A6、若“”是“”的一個(gè)充分不必要條件,則下列的范圍滿足條件的是() A. B. C. D.【答案】A由題意,不等式的解集為或,因?yàn)椤啊笔恰啊钡囊粋€(gè)充分不必要條件,所以或,即.對(duì)比選項(xiàng),僅有A滿足要求.故選:A.7、“三角形為銳角三角形”是“為銳角”的() A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A由為銳角三角形可知為銳角;反之,為銳角,但是無(wú)法判斷是否為銳角﹐因而不能判斷是否是銳角三角形,所以“為銳角三角形”是“為銳角”的充分不必要條件.故選:.8、設(shè),下列四個(gè)條件中,使成立的必要不充分條件是() A. B. C. D.【答案】A對(duì)于A,,,則是成立的必要不充分條件,A正確;對(duì)于B,,,則是成立的充分不必要條件,B錯(cuò)誤;對(duì)于C,,,則是成立的既不充分也不必要條件,C錯(cuò)誤;對(duì)于D,,,則是成立的充要條件,D錯(cuò)誤.故選:A.9、使不等式成立的一個(gè)必要不充分條件是() A.或 B.或 C.或 D.或【答案】B解不等式,可得或,該解集為選項(xiàng)中集合的真子集,對(duì)于A,是既不充分也不必要條件;對(duì)于B,或是或的真子集,故B是其必要不充分條件;對(duì)于C,或是或的真子集,故C是其充分不必要條件;對(duì)于D,或,是其充要條件.故選:B.10、王昌齡是盛唐著名的邊塞詩(shī)人,被譽(yù)為“七絕圣手”,其《從軍行》傳誦至今,“青海長(zhǎng)云暗雪山,孤城遙望玉門關(guān).黃沙百戰(zhàn)穿金甲,不破樓蘭終不還”,由此推斷,其中最后一句“攻破樓蘭”是“返回家鄉(xiāng)”的() A.必要條件 B.充分條件 C.充要條件 D.既不充分又不必要條件【答案】A由題意,“返回家鄉(xiāng)”可推出“攻破樓蘭”,但“攻破樓蘭”不一定“返回家鄉(xiāng)”,所以“攻破樓蘭”是“返回家鄉(xiāng)”的必要條件.故選:A.11、2019年12月,湖北省武漢市發(fā)現(xiàn)多起病毒性肺炎病例.2020年1月12日,世界衛(wèi)生組織正
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