二次函數(shù)與幾何結(jié)合 公開課教學(xué)設(shè)計(jì)

一、運(yùn)用幾何變換（平移、對(duì)稱、旋轉(zhuǎn)、位似等）求解析式【例1】已知拋物線與拋物線關(guān)于y軸對(duì)稱，求的解析式.練習(xí)：1.拋物線向左平移p個(gè)單位，向上平移q個(gè)單位后經(jīng)過點(diǎn)（1,3）和（4,9），求平移后的拋物線的解析式.2.已知拋物線，求：（1）關(guān)于y軸對(duì)稱的拋物線的解析式；（2）關(guān)于x軸對(duì)稱的拋物線的解析式；（3）關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的拋物線的解析式；（4）關(guān)于直線x＝1對(duì)稱的拋物線的解析式；（5）繞著點(diǎn)（1,1）旋轉(zhuǎn)180°后拋物線的解析式；（6）將拋物線C1上的點(diǎn)的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)都擴(kuò)大到原來的2倍，求變換后得到的拋物線的解析式.二、利用簡單的數(shù)量關(guān)系或幾何關(guān)系求解析式【例2】拋物線與x軸僅有一個(gè)公共點(diǎn)A，求拋物線的解析式.練習(xí)：1.拋物線交x軸于A、B兩點(diǎn)，交y軸于C，，求拋物線的解析式.2.拋物線交x軸于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B左側(cè)），AB＝4，拋物線頂點(diǎn)為E，tan∠ABE＝2，求拋物線的解析式.三、二次函數(shù)中的公共點(diǎn)問題【例3】如圖，拋物線與y軸交于C（0,3），D為頂點(diǎn)，延長DC交x軸于點(diǎn)E，若將拋物線沿對(duì)稱軸向下平移m個(gè)單位或向上平移n個(gè)單位，使拋物線與線段DE總有公共點(diǎn)，求m，n的取值范圍.練習(xí)：1.（2016三明改）如圖，已知點(diǎn)A（0，2），B（2，2），拋物線F：，當(dāng)拋物線F與線段AB有公共點(diǎn)時(shí)，直接寫出m的取值范圍.2.拋物線與x軸交于點(diǎn)A、B，A點(diǎn)在B點(diǎn)左邊，拋物線在x軸及其上方的部分記作，將向右平移得，與x軸交于點(diǎn)B、D.若直線與，共有3個(gè)不同的公共點(diǎn)，則m的取值范圍是.3.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A（10，0），以O(shè)A為直徑在第一象限內(nèi)作半圓，B為半圓上一點(diǎn)，連接AB并延長至C，使BC＝AB，過C作CD⊥x軸于點(diǎn)D，交線段OB于點(diǎn)E，已知CD＝8，拋物線經(jīng)過O、E、A三點(diǎn)．（1）∠OBA＝°；（2）求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；（3）若P為拋物線上位于第一象限內(nèi)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，以P、O、A、E為頂點(diǎn)的四邊形面積記作S，則S取何值時(shí)，相應(yīng)的點(diǎn)P有且只有3個(gè)？三、二次函數(shù)中的面積問題【例4】已知直線與拋物線交于A，B兩點(diǎn)，在拋物線上求點(diǎn)P，使.練習(xí)：1.（2015福州改）如圖，拋物線與x軸交于O，A兩點(diǎn)，P為拋物線上一點(diǎn)，過點(diǎn)P的直線與對(duì)稱軸交于點(diǎn)Q.若兩個(gè)三角形的面積滿足,求m的值.四、二次函數(shù)中的角問題【例4】在平面直角坐標(biāo)系中，將拋物線向下平移使之經(jīng)過點(diǎn)，平移后的拋物線交軸于點(diǎn)，（1）求的正切值；（2）點(diǎn)在平移后拋物線的對(duì)稱軸上，聯(lián)結(jié)、，當(dāng)時(shí)，求點(diǎn)坐標(biāo).練習(xí)：1.如圖，矩形OABC的兩邊在坐標(biāo)軸上，連接AC，拋物線經(jīng)過A，B兩點(diǎn)。（1）求A點(diǎn)坐標(biāo)及線段AB的長；（2）若點(diǎn)P由點(diǎn)A出發(fā)以每秒1個(gè)單位的速度沿AB邊向點(diǎn)B移動(dòng)，1秒后點(diǎn)Q也由點(diǎn)A出發(fā)以每秒7個(gè)單位的速度沿AO—OC—CB邊向點(diǎn)B移動(dòng)，當(dāng)其中一個(gè)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)另一個(gè)點(diǎn)也停止移動(dòng)，點(diǎn)P的移動(dòng)時(shí)間為t秒。當(dāng)PQ∥AC時(shí)，對(duì)于拋物線對(duì)稱軸上一點(diǎn)H，∠HOQ＞∠POQ，求點(diǎn)H的縱坐標(biāo)的取值范圍。2.如圖，拋物線與x軸相交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于C，頂點(diǎn)為D，拋物線的對(duì)稱軸DF與BC相交于點(diǎn)E，與x軸相交于點(diǎn)F．（1）求線段DE的長；（2）設(shè)過E的直線與拋物線相交于M（x1，y1），N（x2，y2），試判斷當(dāng)|x1﹣x2|的值最小時(shí)，直線MN與x軸的位置關(guān)系，并說明理由；（3）設(shè)P為x軸上的一點(diǎn)，∠DAO＋∠DPO＝∠α，當(dāng)tan∠α＝4時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．3.如圖，拋物線C1：的頂點(diǎn)為A，與x軸的正半軸交于點(diǎn)B.將拋物線C1上的點(diǎn)（x，y）變?yōu)椋╧x，ky）（|k|＞1），變換后得到的拋物線記作C2.拋物線C2的頂點(diǎn)為C，點(diǎn)P在拋物線C2上，滿足S△PAC＝S△ABC，且∠ACP＝90°.①當(dāng)k＞1時(shí)，求k的值；②當(dāng)k＜－1時(shí)，請(qǐng)你直接寫出k的值，不必說明理由.四、二次函數(shù)中的存在性問題【例5】如圖，拋物線與x軸相交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸相交于點(diǎn)C，頂點(diǎn)為D.

（1）求出A、B的坐標(biāo)和△ABC的面積；（2）在該拋物線的對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)Q，使得△QAC的周長最小？若存在，求出Q點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．練習(xí)：1.如圖，拋物線交x軸于點(diǎn)A、B（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），其頂點(diǎn)為C，將拋物線沿軸向左平移m（m＞0）個(gè)單位，點(diǎn)B、C平移后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為D、E，且兩拋物線在x軸的上方交于點(diǎn)P，連接PA、PD．（1）判斷△PAD能否為直角三角形，若能，求m的值；若不能，說明理由；（2）若點(diǎn)F在射線CE上，當(dāng)以A、C、F為頂點(diǎn)的三角形與△PAD相似時(shí)，求m的值.2.拋物線:的頂點(diǎn)為,拋物線開口向下且頂點(diǎn)在軸上，若、兩點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)(，)對(duì)稱.（1）求的值；（2）若拋物線與軸的正半軸的交點(diǎn)是,當(dāng)為直角三角形時(shí)，求拋物線的解析式.3.拋物線，若a，b，c滿足b＝a＋c，則稱拋物線為“恒定”拋物線．（1）求證：“恒定”拋物線必過x軸上的一個(gè)定點(diǎn)A；（2）已知“恒定”拋物線的頂點(diǎn)為P，與x軸另一個(gè)交點(diǎn)為B，是否存在以Q為頂點(diǎn)，與x軸另一個(gè)交點(diǎn)為C的“恒定”拋物線，使得以PA，CQ為邊的四邊形是平行四邊形？若存在，求出拋物線解析式；若不存在，請(qǐng)說明理由．4.如圖，拋物線C1：y＝（x＋m）2（m為常數(shù)，m＞0），平移拋物線y＝﹣x2，使其頂點(diǎn)D在拋物線C1位于y軸右側(cè)的圖象上，得到拋物線C2．拋物線C2交x軸于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），交y軸于點(diǎn)C，設(shè)點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為a．（1）如圖1，若m＝．①當(dāng)OC＝2時(shí)，求拋物線C2的解析式；②是否存在a，使得線段BC上有一點(diǎn)P，滿足點(diǎn)B與點(diǎn)C到直線OP的距離之和最大且AP＝BP？若存在，求出a的值；若不存在，請(qǐng)說明理由；（2）如圖2，當(dāng)OB＝2﹣m（0＜m＜）時(shí)，請(qǐng)直接寫出到△ABD的三邊所在直線的距離相等的所有點(diǎn)的坐標(biāo)（用含m的式子表示）．5.已知拋物線（）的頂點(diǎn)為，點(diǎn)、、在該拋物線上．（Ⅰ）當(dāng)，，時(shí)，①求頂點(diǎn)的坐標(biāo)；②求的值；（Ⅱ）當(dāng)恒成立時(shí)，求的最小值．6、如圖，拋物線F，頂點(diǎn)為D（2，－1），且交x軸于點(diǎn)A(1，0)、B，交y軸于點(diǎn)C.(1)求F的解析式；(2)點(diǎn)P、Q均在對(duì)稱軸上，滿足：PA＋PC最小建立幾何模型，化歸為方程問題！.求P的坐標(biāo).建立幾何模型，化歸為方程問題！(3)如圖2，點(diǎn)M在x軸上，點(diǎn)N在拋物線上，滿足以M、N、C、D為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形解析設(shè)點(diǎn)后，再結(jié)合這個(gè)條件【用平移規(guī)律解題】，化歸方程問題.求點(diǎn)N的坐標(biāo)；解析設(shè)點(diǎn)后，再結(jié)合這個(gè)條件【用平移規(guī)律解題】，化歸方程問題(4)如圖3，點(diǎn)P在拋物線上，滿足面積相等模型存在兩種情形：平行線下構(gòu)造同底等高；三角形中線平分面積再化歸為解方程問題.求面積相等模型存在兩種情形：平行線下構(gòu)造同底等高；三角形中線平分面積再化歸為解方程問題(5)如圖4，將拋物線F向右平移m個(gè)單位得到拋物線F1，且兩拋物線交于點(diǎn)Q，滿足∠QCB＝∠ACB角相等模型可聯(lián)想：角平分線（內(nèi)心）折疊（軸對(duì)稱）三角形相似（全等）三角函數(shù)同弧所對(duì)圓周角（共圓）角平分線＋平行=等腰.求m角相等模型可聯(lián)想：角平分線（內(nèi)心）折疊（軸對(duì)稱）三角形相似（全等）三角函數(shù)同弧所對(duì)圓周角（共圓）角平分線＋平行=等腰(6)如圖5，點(diǎn)M為BC下方拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)M作MN⊥x軸，交BC于點(diǎn)N，過點(diǎn)M作MK⊥BC于K.連接CM，設(shè)M的橫坐標(biāo)為m：①用含m的代數(shù)式表示MN；②求m為何值時(shí)，線段MK最長代數(shù)式配方思想的考察！？代數(shù)式配方思想的考察?、蹎枺菏欠翊嬖谶@樣的m，使得NM把△MKC分成面積比為3:4的兩個(gè)三角形由面積比，結(jié)合面積公式，轉(zhuǎn)化為線段比，其中線段為平行于坐標(biāo)軸的線段，方可結(jié)合解析設(shè)點(diǎn)將線段比問題化歸為坐標(biāo)關(guān)系（化斜為直），最后列出相關(guān)方程！PS：注意分類討論！？若存在，請(qǐng)求出m的值；若不存在，請(qǐng)說明理由.由面積比，結(jié)合面積公式，轉(zhuǎn)化為線段比，其中線段為平行于坐標(biāo)軸的線段，方可結(jié)合解析設(shè)點(diǎn)將線段比問題化歸為坐標(biāo)關(guān)系（化斜為直），最后列出相關(guān)方程！PS：注意分類討論！(7)如圖，將拋物線F向左或向右平移，得到拋物線F2，記拋物線F2的頂點(diǎn)為R.若∠RCA＝45°角=45°，這個(gè)條件的處理，結(jié)合幾何模型！.求F2的解析式.角=45°，這個(gè)條件的處理，結(jié)合幾何模型！xxyOABCD圖2xyOABCD圖3xyOABCD圖4xyOABCD圖5MNKxyOABCD圖5MNKxyOABCD圖17、如圖①，在直角坐標(biāo)系中，拋物線交x軸于A(－3，0)、B(－1，0)，交y軸于C點(diǎn)，且cos∠CAB＝?！驹瓌?chuàng)】求該拋物線的解析式；如圖①，點(diǎn)P是直線AC下方的拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與A、C重合），P的橫坐標(biāo)為p，以PC為邊作正方形CPMN，若頂點(diǎn)M或N恰好落在拋物線的對(duì)稱軸上時(shí)，求p的值；如圖②，將拋物線平移，當(dāng)頂點(diǎn)至原點(diǎn)時(shí)，過點(diǎn)Q（0,3）作直線EF交拋物線于E、F兩點(diǎn)（EF不與x軸平行），問：在y軸負(fù)半軸上是否存在點(diǎn)K，使得△KEF的內(nèi)心落在y軸上？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)K的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由。8、如圖（1），拋物線（≠0）與x軸交于A(－2,0)、B（5,0），與y軸交于點(diǎn)D，且經(jīng)過點(diǎn)C（2,2）.（1）(2分)求該拋物線的解析式；（2）連接BD，過點(diǎn)C作CH⊥x軸交x軸于點(diǎn)H，交BD于點(diǎn)G，點(diǎn)P從B點(diǎn)出發(fā)以1個(gè)單位每秒的速度向O運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒：①（4分）如圖（1），連接CP交BD于點(diǎn)F，若△BFP∽△CFG，求此時(shí)t的值；②（6分）如圖（2），拋物線上取點(diǎn)K（－1,1），連接AK，OK，OC，AC，PK。AC交OK于點(diǎn)M，PK交OC于點(diǎn)N，連接MN，當(dāng)t＝1秒時(shí)，求證：MN∥OA，并寫出此時(shí)MN的長為。9、如圖，拋物線F：y＝ax2＋bx＋3與x軸交于兩點(diǎn)A(1,0)、B(3,0)，與y軸交于點(diǎn)C；（1）（2分）求拋物線F的解析式；（2）（4分）M在拋物線F的對(duì)稱軸上運(yùn)動(dòng)，滿足：∠AMB≥90°.求點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)軌跡長；（3）（6分）將拋物線F向右平移m個(gè)單位得到新的拋物線F1，F(xiàn)1與F的交點(diǎn)記為P，若∠PCB＝∠ACB，求拋物線F1的解析式.CC0yxBACC0yxBA10、如圖，某拋物線與x軸交于點(diǎn)A、B（6,0）兩點(diǎn)，與y軸交于C（0，－8），且tan∠BAC＝4.（1）（3分）求拋物線的解析式；（2）點(diǎn)P是BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過P作PM∥x軸交y左側(cè)的拋物線于點(diǎn)M，作PN⊥x軸交x軸于點(diǎn)N：ABCOPMNxyDE（5分）①若ABCOPMNxyDE（6分）②若△BOC的內(nèi)心落在直線BM上，求P的坐標(biāo).11、如圖，拋物線與直線AB交于A(－3，0)、B(0，3)兩點(diǎn)，與x軸的另一交點(diǎn)為C，(1)求拋物線的解析式；(2)拋物線上是否存在一點(diǎn)H，使得？若存在，求點(diǎn)H的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由.(3)若平移直線AB交拋物線于M、N兩點(diǎn)，且.求直線MN的解析式.(4)記拋物線對(duì)稱軸為直線l，頂點(diǎn)為D，對(duì)稱軸與x軸的交點(diǎn)為E.取點(diǎn)F(0，1)，連接BC，平移直線BC交拋物線于點(diǎn)P，交直線l于Q.若∠FQP＝45°.求P的坐標(biāo).12、拋物線F：經(jīng)過點(diǎn)(1，3).且a、b、c滿足：abc＝0，ab＋bc＋ca＝－4，a＜b＜c.設(shè)拋物線F與x軸交于點(diǎn)A、B（A在B的左邊），與y軸交于點(diǎn)C.(1)求拋物線F的解析式；(2)若點(diǎn)Q(m，n)是第一象限內(nèi)拋物線上一點(diǎn)：①設(shè)△AQC的面積為S，求S與m之間的函數(shù)關(guān)系式；②求當(dāng)m為何值時(shí)，△AQC為直角三角形？(3)將拋物線F向左或向右平移r個(gè)單位長度，得到拋物線F1.設(shè)F、F1交于點(diǎn)P.過P作PH⊥AC于H.若△CPH與△ACO相似.求r的值.13、定義：我們把一個(gè)半圓與拋物線的一部分合成的封閉圖形稱為“蛋圓”，如果一條直線與“蛋圓”只有一個(gè)交點(diǎn)，那么這條直線叫做“蛋圓”的切線.如圖，點(diǎn)A、B、C、D分別是“蛋圓”與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，已知點(diǎn)D的坐標(biāo)為(0，－3)，AB為半圓的直徑，半圓圓心M的坐標(biāo)為(1,0)，半圓半徑為2.(1)請(qǐng)你求出“蛋圓”拋物線部分的解析式，并寫出自變量的取值范圍；(2)若點(diǎn)P()，直線l為經(jīng)過點(diǎn)P的“蛋圓”切線：①請(qǐng)求出直線l的解析式；②若將直線l向右平移m個(gè)單位之后，與“蛋圓”交于K、L兩點(diǎn)（K在y軸左側(cè)），且KL＝.求m的值.xyxyOABPCDMxyOABPCDM14、已知：如圖拋物線F：的頂點(diǎn)為A.將拋物線F沿著OA延長線方向平移得到新的拋物線F1，且拋物線F1的頂點(diǎn)為B，與x軸交于C、D兩點(diǎn).(1)求直線OA的解析式；(2)在平移過程中：①若.求拋物線F1的解析式.②過點(diǎn)B作BQ⊥y軸于點(diǎn)Q.問：拋物線F1的對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)P，使得△QCP為等邊三角形？若存在，請(qǐng)求出拋物線F1的解析式；若不存在，請(qǐng)說明理由.xxyOABCDFF1yO備用圖xFA15、如圖(1)所示，拋物線F：經(jīng)過點(diǎn)A(1，0).且a、b、c滿足：a＞b＞c，abc＝0，ab＋bc＋ca＝－1.(1)求拋物線F的解析式；(2)將拋物線F向右平移m個(gè)單位(m＞1)，得到新拋物線F1，且F1交y軸正半軸于點(diǎn)C：①過點(diǎn)C作直線CQ交x軸于點(diǎn)Q(7，0).若tan∠ACQ＝.求拋物線F1的解析式.②取P(9，0).問：是否存在這樣的m，使得∠ACP最大？若存在，請(qǐng)求出m及tan∠ACP的值；若不存在，請(qǐng)說明理由.yyxyOACQFF1圖(1)xOACPFF1圖(2)xyOAF備用圖16、如圖(1)，已知拋物線交y軸于點(diǎn)B(0，－8)，且交x軸正半軸于點(diǎn)A(6，0).(1)求該拋物線的解析式；(2)經(jīng)過原點(diǎn)O的直線l在第三象限內(nèi)交拋物線于點(diǎn)P，連接PA：①若∠BAP＝45°，求直線PA的解析式；②問：是否存在這樣的直線l，使得∠POB＝∠BAP？若存在，請(qǐng)求出直線l的解析式；若不存在，請(qǐng)說明理由.xxyOBAC圖(1)PxyOBAC圖(2)P17、定義：將拋物線F上的點(diǎn)的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)都變?yōu)樵瓉淼膋倍，得到新拋物線F1.則稱拋物線F1為F的“k倍位似拋物線”.如圖所示，已知拋物線F：交x軸于A、B兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)C.拋物線F1為F的“k倍位似拋物線”（k＞0），且拋物線F1交x軸于點(diǎn)L、M兩點(diǎn)（點(diǎn)L在M左側(cè)）.(1)直接寫出拋物線F1的解析式：.（用含k的式