初中函數(shù)知識點總結(jié)

1/1初中函數(shù)知識點總結(jié)

I.定義與定義表達(dá)式

一般地，自變量x和因變量y之間存在如下關(guān)系：y=ax^2bxc

（a，b，c為常數(shù)，a≠0，且a決定函數(shù)的開口方向，a>0時，開口方向向上，a0時，y=a(x-h)^2的圖象可由拋物線y=ax^2向右平行移動h個單位得到。

當(dāng)h0，k>0時，將拋物線y=ax^2向右平行移動h個單位，再向上移動k個單位，就可以得到y(tǒng)=a(x-h)^2k的圖象；

當(dāng)h>0，k0時，將拋物線向左平行移動|h|個單位，再向上移動k個單位可得到y(tǒng)=a(x-h)^2k的圖象；

當(dāng)h0時，開口向上，當(dāng)a0，當(dāng)x≤-b/2a時，y隨x的增大而減??；當(dāng)x≥-b/2a時，y隨x的增大而增大。若a0，圖象與x軸交于兩點A(x，0)和B(x，0)，其中的x1，x2是一元二次方程ax^2bxc=0

(a≠0)的兩根。這兩點間的距離AB=|x-x|

當(dāng)△=0。圖象與x軸只有一個交點；

當(dāng)△0時，圖象落在x軸的上方，x為任何實數(shù)時，都有y>0；當(dāng)a0(a0時，函數(shù)的最小值為2?？梢姸x域?qū)瘮?shù)的值域或最值的影響。

3、函數(shù)的最值在實際問題中的應(yīng)用

函數(shù)的最值的應(yīng)用主要體現(xiàn)在用函數(shù)知識求解實際問題上，從文字表述上常常表現(xiàn)為“工程造價最低”，“利潤最大”或“面積（體積）最大（最?。钡戎T多現(xiàn)實問題上，求解時要特別關(guān)注實際意義對自變量的制約，以便能正確求得最值。

（四）、函數(shù)的奇偶性

1、函數(shù)的奇偶性的定義：對于函數(shù)f（x），如果對于函數(shù)定義域內(nèi)的任意一個x，都有f（—x）=—f（x）（或f（—x）=f（x）），那么函數(shù)f（x）就叫做奇函數(shù)（或偶函數(shù)）。

正確理解奇函數(shù)和偶函數(shù)的定義，要注意兩點：

（1）定義域在數(shù)軸上關(guān)于原點對稱是函數(shù)f（x）為奇函數(shù)或偶函數(shù)的必要不充分條件；

（2）f（x）=—f（x）或f（—x）=f（x）是定義域上的恒等式。（奇偶性是函數(shù)定義域上的整體性質(zhì)）。

2、奇偶函數(shù)的定義是判斷函數(shù)奇偶性的主要依據(jù)。為了便于判斷函數(shù)的奇偶性，有時需要將函數(shù)化簡或應(yīng)用定義的等價形式。

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常量：不變的量

自變量x和X的一次函數(shù)y有如下關(guān)系：

y=kxb(k為任意不為零常數(shù)，b為任意常數(shù))

當(dāng)x取一個值時，y有且只有一個值與x對應(yīng).如果有2個及以上個值與x對應(yīng)時，就不是函數(shù).

x為自變量，y為因變量，k為常量，y是x的一次函數(shù).

特別的，當(dāng)b=0時，y是x的正比例函數(shù).即：y=kx(k為常量，但K≠0)正比例函數(shù)圖像經(jīng)過原點.

定義域：自變量的取值范圍，自變量的取值應(yīng)使函數(shù)有意義;要與實際相符合.[xx本段]相關(guān)性質(zhì)函數(shù)性質(zhì)

的變化值與對應(yīng)的x的變化值成正比例，比值為k

即：y=kxb(k≠0)(k不等于0，且k，b為常數(shù))

2.當(dāng)x=0時，b為函數(shù)在y軸上的，坐標(biāo)為(0，b).

為一次函數(shù)y=kxb的斜率，k=tanΘ(角Θ為一次函數(shù)圖象與x軸正方向夾角，Θ≠90°)

形、取、象、交、減.

4.當(dāng)b=0時(即y=kx)，一次函數(shù)圖像變?yōu)檎壤瘮?shù)，正比例函數(shù)是特殊的一次函數(shù).

5.函數(shù)圖像性質(zhì)：當(dāng)k相同，且b不相等，圖像平行;當(dāng)k不同，且b相等，圖像相交;當(dāng)k互為負(fù)倒數(shù)時，兩直線垂直;當(dāng)k，b都相同時，兩條直線重合.

圖像性質(zhì)

1.作法與圖形：通過如下3個步驟

(1)列表[一般取兩個點，根據(jù)兩點確定一條直線];

(2)描點;

(3)連線，可以作出一次函數(shù)的圖像——一條直線.因此，作一次函數(shù)的圖像只需知道2點，并連成直線即可.(通常找函數(shù)圖像與x軸和y軸的交點分別是-k分之b，0與0，b)

2.性質(zhì)：(1)在一次函數(shù)上的任意一點P(x，y)，都滿足等式：y=kxb(k≠0).(2)一次函數(shù)與y軸交點的坐標(biāo)總是(0，b)，與x軸總是交于(-b/k，0)正比例函數(shù)的圖像都是過原點.

3.函數(shù)不是數(shù)，它是指某一變化過程中兩個變量之間的關(guān)系.

，b與函數(shù)圖像所在象限：

y=kx時(即b等于0，y與x成正比)

當(dāng)k>0時，直線必通過一、三象限，y隨x的增大而增大;

當(dāng)k0，b>0，這時此函數(shù)的圖象經(jīng)過一，二，三象限.

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一、函數(shù)的概念與表示

1、映射

(1)映射：設(shè)A、B是兩個集合，如果按照某種映射法則f，對于集合A中的任一個元素，在集合B中都有唯一的元素和它對應(yīng)，則這樣的對應(yīng)(包括集合A、B以及A到B的對應(yīng)法則f)叫做集合A到集合B的映射，記作f：A→B。

注意點：

(1)對映射定義的理解。

(2)判斷一個對應(yīng)是映射的方法。一對多不是映射，多對一是映射

2、函數(shù)

構(gòu)成函數(shù)概念的三要素

①定義域②對應(yīng)法則③值域

兩個函數(shù)是同一個函數(shù)的條件：三要素有兩個相同

二、函數(shù)的解析式與定義域

1、求函數(shù)定義域的主要依據(jù)：

(1)分式的分母不為零;

(2)偶次方根的被開方數(shù)不小于零，零取零次方?jīng)]有意義;

(3)對數(shù)函數(shù)的真數(shù)必須大于零;

(4)指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的底數(shù)必須大于零且不等于1;

三、函數(shù)的值域

1求函數(shù)值域的方法

①直接法：從自變量x的范圍出發(fā)，推出y=f(x)的取值范圍，適合于簡單的復(fù)合函數(shù);

②換元法：利用換元法將函數(shù)轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)求值域，適合根式內(nèi)外皆為一次式;

③判別式法：運用方程思想，依據(jù)二次方程有根，求出y的取值范圍;適合分母為二次且∈R的分式;

④分離常數(shù)：適合分子分母皆為一次式(x有范圍限制時要畫圖);

⑤單調(diào)性法：利用函數(shù)的單調(diào)性求值域;

⑥圖象法：二次函數(shù)必畫草圖求其值域;

⑦利用對號函數(shù)

⑧幾何意義法：由數(shù)形結(jié)合，轉(zhuǎn)化距離等求值域。主要是含絕對值函數(shù)

四.函數(shù)的奇偶性

1.定義:設(shè)y=f(x)，x∈A，如果對于任意∈A，都有，則稱y=f(x)為偶函數(shù)。

如果對于任意∈A，都有，則稱y=f(x)為奇

函數(shù)。

2.性質(zhì)：

①y=f(x)是偶函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于軸對稱，y=f(x)是奇函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于原點對稱。

②若函數(shù)f(x)的定義域關(guān)于原點對稱，則f(0)=0

③奇±奇=奇偶±偶=偶奇×奇=偶偶×偶=偶奇×偶=奇[兩函數(shù)的定義域D1，D2，D1∩D2要關(guān)于原點對稱]

3.奇偶性的判斷

①看定義域是否關(guān)于原點對稱②看f(x)與f(-x)的關(guān)系

五、函數(shù)的單調(diào)性

1、函數(shù)單調(diào)性的定義：

2設(shè)是定義在M上的函數(shù)，若f(x)與g(x)的單調(diào)性相反，則在M上是減函數(shù);若f(x)與g(x)的單調(diào)性相同，則在M上是增函數(shù)。

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1.正比例函數(shù)

(1)定義

一般地，形如y=kx（k是常數(shù)，k≠0）的函數(shù)，叫做正比例函數(shù)，其中k叫做

比例系數(shù).

(2)舉例

如y=-3x，y=1/2x均為正比例函數(shù)，比例系數(shù)分別為-3，1/2.

2.知識詳解

(1)在正比例函數(shù)中，自變量x的次數(shù)是1且比例系數(shù)k≠0.當(dāng)k=0時，y=0，函數(shù)的圖象是x軸，它不具備正比例函數(shù)的一般性質(zhì)；

(2)函數(shù)關(guān)系式中，等號右邊的代數(shù)式是一個一次單項式；

(3)如果兩個變量的比是一個常數(shù)，那么這兩個變量之間的關(guān)系就是正比例函數(shù)關(guān)系；

(4)正比例函數(shù)y=kx（k是常數(shù)，k≠0）必須滿足兩個條件：一是比例系數(shù)k≠0；二是自變量x的次數(shù)是1；

(5)一般情況下，正比例函數(shù)自變量的取值范圍是全體實數(shù).

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一、集合有關(guān)概念

1.集合的含義

2.集合的中元素的三個特性：

(1)元素的確定性如：世界上的山

(2)元素的互異性如：由HAPPY的字母組成的集合{H，A，P，Y}

(3)元素的無序性:如：{a，b，c}和{a，c，b}是表示同一個集合

3.集合的表示：{…}如：{我校的籃球隊員}，{太平洋，大西洋，印度洋，北冰洋}

(1)用拉丁字母表示集合：A={我校的籃球隊員}，B={1，2，3，4，5}

(2)集合的表示方法：列舉法與描述法。

注意：常用數(shù)集及其記法：

非負(fù)整數(shù)集(即自然數(shù)集)記作：N

正整數(shù)集：N_或N

整數(shù)集：Z

有理數(shù)集：Q

實數(shù)集：R

1)列舉法：{a，b，c……}

2)描述法：將集合中的元素的公共屬性描述出來，寫在大括號內(nèi)表示集合{x?R|x-3>2}，{x|x-3>2}

3)語言描述法：例：{不是直角三角形的三角形}

4)Venn圖:

4、集合的分類：

(1)有限集含有有限個元素的集合

(2)無限集含有無限個元素的集合

(3)空集不含任何元素的集合例：{x|x2=-5｝

二、集合間的基本關(guān)系

1.“包含”關(guān)系—子集

注意：有兩種可能

(1)A是B的一部分，;

(2)A與B是同一集合。

反之:集合A不包含于集合B，或集合B不包含集合A，記作AB或BA

2.“相等”關(guān)系：A=B(5≥5，且5≤5，則5=5)實

例：設(shè)A={x|x2-1=0}B={-1，1}“元素相同則兩集合相等”

即：

①任何一個集合是它本身的子集。AíA

②真子集:如果AíB，且A1B那就說集合A是集合B的真子集，記作AB(或BA)

③如果AíB，BíC，那么AíC

④如果AíB同時BíA那么A=B

3.不含任何元素的集合叫做空集，記為Φ

規(guī)定:空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集。

4.子集個數(shù)：

有n個元素的集合，含有2n個子集，2n-1個真子集，含有2n-1個非空子集，含有2n-1個非空真子集

三、集合的運算

運算類型交集并集補集

定義由所有屬于A且屬于B的元素所組成的集合，叫做A，B的交集.記作AB(讀作‘A交B’)，即AB={x|xA，且xB｝.

由所有屬于集合A或?qū)儆诩螧的元素所組成的集合，叫做A，B的并集.記作：AB(讀作‘A并B’)，即AB={x|xA，或xB}).

如何養(yǎng)成良好的解題習(xí)慣

要想學(xué)好數(shù)學(xué)，多做題目是難免的，熟悉掌握各種題型的解題思路。剛開始要從基礎(chǔ)題入手，以課本上的習(xí)題為準(zhǔn)，反復(fù)練習(xí)打好基礎(chǔ)，再找一些課外的習(xí)題，以幫助開拓思路，提高自己的分析、解決能力，掌握一般的解題規(guī)律。對于一些易錯題，可備有錯題集，寫出自己的解題思路和正確的解題過程兩者一起比較找出自己的錯誤所在，以便及時更正。

在平時要養(yǎng)成良好的解題習(xí)慣。讓自己的精力高度集中，使大腦興奮，思維敏捷，能夠進入最佳狀態(tài)，在考試中能運用自如。實踐證明：越到關(guān)鍵時候，你所表現(xiàn)的解題習(xí)慣與平時練習(xí)無異。如果平時解題時隨便、粗心、大意等，往往在大考中充分暴露，故在平dW時養(yǎng)成良好的解題習(xí)慣是非常重要的。

數(shù)學(xué)性質(zhì)

數(shù)學(xué)性質(zhì)是數(shù)學(xué)表觀和內(nèi)在所具有的特征，一種事物區(qū)別于其他事物的屬性。如：平行四邊形的性質(zhì)：對邊平行，對邊相等，對角線互相平分，中心對稱圖形。

高等數(shù)學(xué)知識點

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1、二次函數(shù)的定義

一般地，形如y=ax2bxc(a，b，c為常數(shù)，a≠0)的函數(shù)叫做x的二次函數(shù).如y=3x2，y=3x2-2，y=2x2x-1等都是二次函數(shù)。

注意：(1)二次函數(shù)是關(guān)于自變量的二次式，二次項系數(shù)a必須是非零實數(shù)，即a≠0，而b，c是任意實數(shù)，二次函數(shù)的表達(dá)式是一個整式。

(2)二次函數(shù)y=ax2bxc(a，b，c是常數(shù)，a≠0)，自變量x的取值范圍是全體實數(shù)。

(3)當(dāng)b=c=0時，二次函數(shù)y=ax2是最簡單的二次函數(shù)。

(4)一個函數(shù)是否是二次函數(shù)，要化簡整理后，對照定義才能下結(jié)論，例如y=x2-x(x-1)化簡后變?yōu)閥=x，故它不是二次函數(shù)。