人教版高數選修第3講：函數的單調性與導數

導數與函數的單調性____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________一、函數的單調性與導數：1．函數的導數與函數的單調性的關系：我們已經知道，曲線y=f(x)的切線的斜率就是函數y=f(x)的導數．從函數的圖像可以看到：在區(qū)間（2，）內，切線的斜率為正，函數y=f(x)的值隨著x的增大而增大，即>0時，函數y=f(x)在區(qū)間（2，）內為增函數；在區(qū)間（，2）內，切線的斜率為負，函數y=f(x)的值隨著x的增大而減小，即0時，函數y=f(x)在區(qū)間（，2）內為減函數y=f(x)=x2－4x+3切線的斜率f′(x)(2，+∞)增函數正＞0(－∞，2)減函數負＜0定義：一般地，設函數y=f(x)在某個區(qū)間內有導數，如果在這個區(qū)間內>0，那么函數y=f(x)在為這個區(qū)間內的增函數；如果在這個區(qū)間內<0，那么函數y=f(x)在為這個區(qū)間內的減函數2．利用導數確定函數的單調性的步驟：(1)確定函數f(x)的定義域；(2)求出函數的導數；(3)解不等式f(x)＞0，得函數的單調遞增區(qū)間；解不等式f(x)＜0，得函數的單調遞減區(qū)間．類型一：函數的單調性與導數：例1確定函數f(x)=x2－2x+4在哪個區(qū)間內是增函數，哪個區(qū)間內是減函數。例2確定函數f(x)=2x3－6x2+7在哪個區(qū)間內是增函數，哪個區(qū)間內是減函數例3證明函數f(x)=在(0，+∞)上是減函數．例4求函數y=x2(1－x)3的單調區(qū)間．練習：1．確定下列函數的單調區(qū)間(1)y=x3－9x2+24x (2)y=x－x3例5當x＞0時，證明不等式：1+2x＜e2x．例6已知函數y=x+，試討論出此函數的單調區(qū)間。練習：1．求下列函數的單調區(qū)間(1)y=(2)y=(3)y=+x1.函數f(x)=在區(qū)間（-2，+∞）上為增函數，那么實數a的取值范圍為（）<a< <-1或a> > >-22．已知函數f(x)＝x2＋2x＋alnx，若函數f(x)在(0,1)上單調，則實數a的取值范圍是()A．a≥0 B．a<－4 C．a≥0或a≤－4 D．a>0或a<－43．函數f(x)＝x＋eq\f(9,x)的單調區(qū)間為________．4函數的單調增區(qū)間為，單調減區(qū)間為___________________5．確定下列函數的單調區(qū)間:(1)y=x3－9x2+24x(2)y=3x－x36．函數y＝ln(x2－x－2)的單調遞減區(qū)間為__________．7．已知y＝eq\f(1,3)x3＋bx2＋(b＋2)x＋3在R上不是單調增函數，則b的范圍為________．8.已知x∈R,求證：ex≥x+1．已知函數y=x+，試討論出此函數的單調區(qū)間.10．已知函數的圖象過點P（0，2），且在點M（－1，f（－1））處的切線方程為．（Ⅰ）求函數y=f(x)的解析式；（Ⅱ）求函數y=f(x)的單調區(qū)間． 11.已知函數f(x)=x3-x2+bx+c.(1)若f(x)在（-∞，+∞）上是增函數，求b的取值范圍;12.已知函數f(x)=x(x-1)(x-a)在（2，+∞）上是增函數，試確定實數a的取值范圍.13．已知函數在區(qū)間上是增函數，求實數的取值范圍．14.已知函數的圖象過點P（0，2），且在點M（－1，）處的切線方程，（1）求函數的解析式；（2）求函數的單調區(qū)間。15．已知函數f(x)＝eq\f(2x－b,(x－1)2)，求導函數f′(x)，并確定f(x)的單調區(qū)間．__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________基礎鞏固一、選擇題1．函數y＝x4－2x2＋5的單調遞減區(qū)間為()A．(－∞，－1]和[0,1] B．[－1,0]和[1，＋∞)C．[－1,1] D．(－∞，－1]和[1，＋∞)2．函數f(x)＝ax3－x在R上為減函數，則()A．a≤0 B．a<1C．a<2 D．a≤eq\f(1,3)3．已知對任意實數x，有f(－x)＝－f(x)，g(－x)＝g(x)，且x>0時，f′(x)>0，g′(x)>0，則x<0時()A．f′(x)>0，g′(x)>0 B．f′(x)>0，g′(x)<0C．f′(x)<0，g′(x)>0 D．f′(x)<0，g′(x)<04．(2013·武漢市實驗中學高二期末)設p：f(x)＝x3＋2x2＋mx＋1在(－∞，＋∞)內單調遞增，q：m>eq\f(4,3)，則p是q的()A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件5．設f′(x)是函數f(x)的導函數，y＝f′(x)的圖象如圖所示，則y＝f(x)的圖象最有可能的是()6．(2014·福建省閩侯二中、永泰二中、連江僑中、長樂二中聯(lián)考)設函數F(x)＝eq\f(fx,ex)是定義在R上的函數，其中f(x)的導函數f′(x)滿足f′(x)<f(x)對于x∈R恒成立，則()A．f(2)>e2f(0)，f(2012)>e2012f(0) B．f(2)<e2f(0)，f(2012)>e2012f(0)C．f(2)<e2f(0)，f(2012)<e2012f(0) D．f(2)>e2f(0)，f(2012)<e2012f(0)二、填空題7．函數y＝ln(x2－x－2)的單調遞減區(qū)間為________．8．(2014·福建省閩侯二中、永泰二中、連江僑中、長樂二中聯(lián)考)已知函數f(x)＝x3－ax2－3x在區(qū)間[1，＋∞)上是增函數，則實數a的取值范圍是________．9．(2014·鄭州網校期中聯(lián)考)若f(x)＝－eq\f(1,2)x2＋bln(x＋2)在(－1，＋∞)上是減函數，則b的取值范圍是__________________．三、解答題10．(2014·甘肅省金昌市二中期中)已知函數f(x)＝x3＋ax2＋bx(a、b∈R)的圖象過點P(1,2)，且在點P處的切線斜率為8.(1)求a、b的值；(2)求函數f(x)的單調區(qū)間．能力提升一、選擇題11．(2012·天津理，4)函數f(x)＝2x＋x3－2在區(qū)間(0,1)內的零點個數是()A．0 B．1C．2 D．312．(2014·北京西城區(qū)期末)已知函數f(x)及其導數f′(x)，若存在x0，使得f(x0)＝f′(x0)，則稱x0是f(x)的一個“巧值點”，下列函數中，有“巧值點”的函數的個數是()①f(x)＝x2，②f(x)＝e－x，③f(x)＝lnx，④f(x)＝tanx，⑤f(x)＝x＋eq\f(1,x)A．2 B．3C．4 D．513．(2014·天門市調研)已知函數f(x)是定義在R上的可導函數，其導函數記為f′(x)，若對于任意實數x，有f(x)>f′(x)，且y＝f(x)－1為奇函數，則不等式f(x)<ex的解集為()A．(－∞，0) B．(0，＋∞)C．(－∞，e4) D．(e4，＋∞)14．已知函數y＝xf′(x)的圖象如圖(1)所示(其中f′(x)是函數f(x)的導函數)，下面四個圖象中，y＝f(x)的圖象大致是()二、填空題15．(2014·衡陽六校聯(lián)考)在區(qū)間[－a，a](a>0)內圖象不間斷的函數f(x)滿足f(－x)－f(x)＝0，函數g(x)＝ex·f(x)，且g(0)·g(a)<0，又當0<x<a時，有f′(x)＋f(x)>0，則函數f(x)在區(qū)間[－a，a]內零點的個數是________．三、解答題16．設函數f(x)＝x