2015年全國高中數學聯賽安徽省初賽Word版含答案

=中出刊獎題號總分9 =中出刊獎題號總分9101112得分評卷人復核人注意：1．本試卷共12小題，滿分150分； 2．請用鋼筆、簽字筆或圓珠筆作答；3．書寫不要超過裝訂線； 4．不得使用計算器．一、填空題(每題8分，共64分)函數f(x)=|x+1|+|x+3|+e-尤,xeR的最小值是.x1設x=1,x=—1 ,n>2.數列｛x｝的通項公式是x= . tp n2x+ tp n-1.設平面向量a,P滿足1<|a|,|P|,|a+P|<3,則a?B的取值范圍是.設f(x)是定義域為R的具有周期2兀的奇函數，并且f(3)=f(4)=0，則f(x)在[0,10]中至少有個零點..設a為實數，且關于x的方程(a+cosx)(a-sinx)=1有實根，則a的取值范圍是.給定定點尸(0,1),動點Q滿足線段PQ的垂直平分線與拋物鄲=x2相切，則Q的軌跡方程是 .—架—.設z=x+”為復數，其中x,j是實數，i是虛數單位，其滿足z的虛部和三的實1-z—架—部均非負，則滿足條件的復平面上的點集(x,j)所構成區(qū)域的面積是．.設n是正整數.把男女乒乓球選手各3n人配成男雙、女雙、混雙各n對，每位選手均不兼項，則配對方式總數是.解答題（第9題20分，第10—12題22分，共86分）1 1 19.設正實數a,b滿足a+b=1.求證：aa2+—+[b2+->3.a\b9.10.在如圖所示的多面體ABCDEF中，已知AD,BE,CF都與平面ABC垂直.設AD=a,BE=b,CF=c,AB=AC=BC=1.求四面體ABCE與BDEF公共部分的體積（用a,b,c表示）.10.11.設平面四邊形ABCD的四邊長分別為4個連續(xù)的正整數。證明：四邊形ABCD的面積的最大值不是整數。12.已知31位學生參加了某次考試，考試共有10道題，每位學生解出了至少6道題．求證：存在兩位學生，他們解出的題目中至少有5道相同．試題解答一、填空題(每題8分，共64分)1.當x <—3時，f(x)= —2x —4+ e-x,f(x)= —2 — e-x <0,因此f(x)單調減；當-3<x<-1時，f(x)=2+e-x,f(x)=-e-x<0，此時f(x)亦單調減；當x>-1時，f(x)=2x+4+e-x，f(x)=2-e-x.令f(x)=0得x=-ln2.因此f(x)在x=-ln2處取得最小值6-2ln2.2.設u=a+cosx,v=a-sinx.方程有實根o雙曲線uv=1與圓(u-a)2+(v-a)2=1有公共交點.注意到圓的圓心位于直線y=x之上，只須找到圓與雙曲線相切時圓心的位置即可.易計算得，圓與雙曲線切于A(1,1)點時，圓心坐標為1-J2/2或1+J2/2.圓與雙曲線切于B(-1,-1)點時，圓心坐標為-1-d2/2或-1+^12/2.因此，a的取值范圍為ag

-1-4+￡丫3.x+1 2x+1由x+1=3——?=1 和2x+1=2—1 ,n 2x +4n 2x +4n-1 n-1可得x+1——n 2x+13x+1 (3丫-2 n-1 =—22x +112)n-14.a?B=1b+阡-"|2-|阡&+阡-"-阡)<4179以上等號均可取到.故a.p的取值范圍是-17,4以上等號.由題設可知f(兀+x)= f(-兀+ x) = -f(兀-x)。令x=0得f(k)=0。另一方面，f(2兀-4)=f(-4)--f(4)=0.類似地，f(2兀-3);0因此，f(x)在［0,10］中的零點一定包含0,2n-4,3,n,2n-3,4,2n,4n-4,2n+3,3n,4n-3這11個零點.

.設尸。的垂直平分線/與拋物線y=x2相切于。,t2),切向為(1,2t).則l的方程為y=21(x-1)+12.設Q(x,y),由PQ與l垂直且PQ中點在l上，可得Jx+21(y-1)=0①|士(y+1)=tx-12②2由①解得t=2-x2y，代入②得Q的軌跡方程為一一、 八「一11(2y-1)x2+2(y+1)(y-1)2=0，yg-1,--7.ReReX+(yT).i1-x-yi7.ReReX+(yT).i1-x-yix(1-x)-(y-1)y- - >0等價于(1-x)2+y2(x—i)2+(y—1)2

2 2-22.又由于y>o,故滿足條件的點集構成了圓的一部分，乙計算得其面積為8.從3n名男選手中選取2n人作為男雙選手有。n種選法，把他們配成n對男雙選3n手有四種配對方式。女選手類似。把1個男選手和n個女選手配成n對混雙有口!2nn!種配對方式。因此，配對方式總數4C2Cn!Tn!=(3n)!.I3n2n2n) (n!)322n、解答題(第9題20分，第10—12題每題22分，共86分).證明：對任意ae(0,1),由均值不等式有1 1 14a+—>2』4ax—=4. (5分)a\a因此，；a2+1二■a： . . 1 . 一,a2—4a+4a+>-、；a2—4a+4=2—a.■ a(15分)同理，對于任意be（0,1）,（20分）. 1 二1（20分）因此，?a2+—+?b2+—>2—a+2—b—3.a\b10.設AEIBD=G,BFICE=H,則四面體BEGH是ABCE與BDEF的公共部分. （5分）TOC\o"1-5"\h\z易計算得：G到直線AB的距離d=迫， （10分）a+bG到平面BCFE的距離d=3dlL， （15分）2aH到直線BC的距離d=bc—，S=上。3. （20分）b+C領2因此，V=^beA=____與——-. （22分）BEGH3 12（a+b）（b+c）11.不妨設ABCD是凸四邊形，其面積為S.記a=AB,b=BC,c=CD,d=DA。由S=LabsinB+￡cdsinD,2 2，AC2=a2+b2—2abcosB=c2+d2-2cdcosD可得（8分）2S=absinB+cdsinD,（8分）(a2+b2—c2—d2)/2=abcosB—cdcosD兩遍平方和得4S2=(ab)2+(cd)2—2abcdcos(B+D)——(a2+b2—c2—d2)24<(ab+cd)2—1(a2+b2—c2—d2)24=1(b+c+d—a)(a+c+d—b)(a+b+d—c)(a+b+c—d).4（16分）等號成立當且僅當B+D-兀,即A,B,C,（16分）現根據假設a,b,c,d為四個連續(xù)整數n,n+1,n+2,n+3（n>1）.由此

S=Jn(n+1)(n+2)(n+3).顯然n2+3n<S<n2+3n+1.因此，S不是整數。（22分）整數。12.證明：設S是所有試題的集合，S是第i位學生解出的試題的集合，T=S\S.題i ii目即證存在iwj使得SIS>5