四年級奧數(shù)第六講-乘法原理與加法原理(教師用)

乘法原理與加法原理學(xué)習(xí)要點：Ⅰ乘法原理在日常生活中常常會遇到這樣一些問題，就是在做一件事時，要分幾步才能完成，而在完成每一步時，又有幾種不同的方法，要知道完成這件事一共有多少種方法，就用我們將討論的乘法原理來解決．例如某人要從北京到大連拿一份資料，之后再到天津開會．其中，他從北京到大連可以乘長途汽車、火車或飛機(jī)，而他從大連到天津卻只想乘船．那么，他從北京經(jīng)大連到天津共有多少種不同的走法？分析這個問題發(fā)現(xiàn)，某人從北京到天津要分兩步走．第一步是從北京到大連，可以有三種走法，即：第二步是從大連到天津，只選擇乘船這一種走法，所以他從北京到天津共有下面的三種走法：注意到3×1=3．如果此人到大連后，可以乘船或飛機(jī)到天津，那么他從北京到天津那么有以下的走法：共有六種走法，注意到3×2=6．在上面討論問題的過程中，我們把所有可能的方法一一列舉出來．這種方法叫窮舉法．窮舉法對于討論方法數(shù)不太多的問題是很有效的．在上面的例子中，完成一件事要分兩個步驟．由窮舉法得到的結(jié)論看到，用第一步所有的可能方法數(shù)乘以第二步所有的可能方法數(shù)，就是完成這件事所有的方法數(shù)．一般地，如果完成一件事需要n個步驟，其中，做第一步有m1種不同的方法，做第二步有m2種不同的方法，…，做第n步有mn種不同的方法，那么，完成這件事一共有N=m1×m2×…×mn種不同的方法．這就是乘法原理．Ⅱ加法原理生活中常有這樣的情況，就是在做一件事時，有幾類不同的方法，而每一類方法中，又有幾種可能的做法．那么，考慮完成這件事所有可能的做法，就要用我們將討論的加法原理來解決．例如某人從北京到天津，他可以乘火車也可以乘長途汽車，現(xiàn)在知道每天有五次火車從北京到天津，有4趟長途汽車從北京到天津．那么他在一天中去天津能有多少種不同的走法？分析這個問題發(fā)現(xiàn)，此人去天津要么乘火車，要么乘長途汽車，有這兩大類走法，如果乘火車，有5種走法，如果乘長途汽車，有4種走法．上面的每一種走法都可以從北京到天津，故共有5+4=9種不同的走法．在上面的問題中，完成一件事有兩大類不同的方法．在具體做的時候，只要采用一類中的一種方法就可以完成．并且兩大類方法是互無影響的，那么完成這件事的全部做法數(shù)就是用第一類的方法數(shù)加上第二類的方法數(shù)．一般地，如果完成一件事有k類方法，第一類方法中有m1種不同做法，第二類方法中有m2種不同做法，…，第k類方法中有mk種不同的做法，那么完成這件事共有N=m1+m2+…+mk種不同的方法．這就是加法原理．典例剖析：Ⅰ乘法原理例1某人到食堂去買飯，主食有三種，副食有五種，他主食和副食各買一種，共有多少種不同的買法？例2右圖中有7個點和十條線段，一只甲蟲要從A點沿著線段爬到B點，要求任何線段和點不得重復(fù)經(jīng)過．問：這只甲蟲最多有幾種不同的走法？例3書架上有6本不同的外語書，4本不同的語文書，從中任取外語、語文書各一本，有多少種不同的取法？例4王英、趙明、李剛?cè)思s好每人報名參加學(xué)校運動會的跳遠(yuǎn)、跳高、100米跑、200米跑四項中的一項比賽，問：報名的結(jié)果會出現(xiàn)多少種不同的情形？例5由數(shù)字0、1、2、3組成三位數(shù)，問：①可組成多少個不相等的三位數(shù)？②可組成多少個沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)？例6由數(shù)字1、2、3、4、5、6共可組成多少個沒有重復(fù)數(shù)字的四位奇數(shù)？例7右圖中共有16個方格，要把A、B、C、D四個不同的棋子放在方格里，并使每行每列只能出現(xiàn)一個棋子．問：共有多少種不同的放法？分析由于四個棋子要一個一個地放入方格內(nèi)．故可看成是分四步完成這件事．第一步放棋子A，A可以放在16個方格中的任意一個中，故有16種不同的放法；第二步放棋子B，由于A已放定，那么放A的那一行和一列中的其他方格內(nèi)也不能放B，故還剩下9個方格可以放B，B有9種放法；第三步放C，再去掉B所在的行和列的方格，還剩下四個方格可以放C，C有4種放法；最后一步放D，再去掉C所在的行和列的方格，只剩下一個方格可以放D，D有1種放法，此題要由乘法原理解決．解：由乘法原理，共有16×9×4×1=576種不同的放法．Ⅱ加法原理例1學(xué)校組織讀書活動，要求每個同學(xué)讀一本書．小明到圖書館借書時，圖書館有不同的外語書150本，不同的科技書200本，不同的小說100本．那么，小明借一本書可以有多少種不同的選法？450〔種〕例2一個口袋內(nèi)裝有3個小球，另一個口袋內(nèi)裝有8個小球，所有這些小球顏色各不相同．問：①從兩個口袋內(nèi)任取一個小球，有多少種不同的取法？(11)②從兩個口袋內(nèi)各取一個小球，有多少種不同的取法？(24)例3如右圖，從甲地到乙地有4條路可走，從乙地到丙地有2條路可走，從甲地到丙地有3條路可走．那么，從甲地到丙地共有多少種走法？例4如下頁圖，一只小甲蟲要從A點出發(fā)沿著線段爬到B點，要求任何點和線段不可重復(fù)經(jīng)過．問：這只甲蟲有多少種不同的走法？分析從A點到B點有兩類走法，一類是從A點先經(jīng)過C點到B點，一類是從A點先經(jīng)過D點到B點．兩類中的每一種具體走法都要分兩步完成，所以每一類中，都要用乘法原理，而最后計算從A到B的全部走法時，只要用加法原理求和即可．解：從A點先經(jīng)過C到B點共有：1×3=3〔種〕不同的走法．從A點先經(jīng)過D到B點共有：2×3=6〔種〕不同的走法．所以，從A點到B點共有：3+6=9〔種〕不同的走法．例5從1到500的所有自然數(shù)中，不含有數(shù)字4的自然數(shù)有多少個？分析從1到500的所有自然數(shù)可分為三大類，即一位數(shù)，兩位數(shù)，三位數(shù)．一位數(shù)中，不含4的有8個，它們是1、2、3、5、6、7、8、9；兩位數(shù)中，不含4的可以這樣考慮：十位上，不含4的有1、2、3、5、6、7、8、9這八種情況．個位上，不含4的有0、1、2、3、5、6、7、8、9這九種情況，要確定一個兩位數(shù)，可以先取十位數(shù)，再取個位數(shù)，應(yīng)用乘法原理，這時共有8×9=72個數(shù)不含4．三位數(shù)中，小于500并且不含數(shù)字4的可以這樣考慮：百位上，不含4的有1、2、3、這三種情況．十位上，不含4的有0、1、2、3、5、6、7、8、9這九種情況，個位上，不含4的也有九種情況．要確定一個三位數(shù)，可以先取百位數(shù)，再取十位數(shù)，最后取個位數(shù)，應(yīng)用乘法原理，這時共有3×9×9=243個三位數(shù)．由于500也是一個不含4的三位數(shù)．所以，1～500中，不含4的三位數(shù)共有3×9×9+1=244個．解：在1～500中，不含4的一位數(shù)有8個；不含4的兩位數(shù)有8×9=72個；不含4的三位數(shù)有3×9×9+1=244個，由加法原理，在1～500中，共有：8+8×9+3×9×9+1=324〔個〕不含4的自然數(shù)．補充說明：這道題也可以這樣想：把一位數(shù)看成是前面有兩個0的三位數(shù)，如：把1看成是001．把兩位數(shù)看成是前面有一個0的三位數(shù)．如：把11看成011．那么所有的從1到500的自然數(shù)都可以看成是“三位數(shù)〞，除去500外，考慮不含有4的這樣的“三位數(shù)〞．百位上，有0、1、2、3這四種選法；十位上，有0、1、2、3、5、6、7、8、9這九種選法；個位上，也有九種選法．所以，除500外，有4×9×9=324個不含4的“三位數(shù)〞．注意到，這里面有一個數(shù)是000，應(yīng)該去掉．而500還沒有算進(jìn)去，應(yīng)該加進(jìn)去．所以，從1到500中，不含4的自然數(shù)仍有324個．這是一種特殊的思考問題的方法，注意到當(dāng)我們對“三位數(shù)〞重新給予規(guī)定之后，問題很簡捷地得到解決．例6如下頁左圖，要從A點沿線段走到B，要求每一步都是向右、向上或者向斜上方．問有多少種不同的走法？分析觀察下頁左圖，注意到，從A到B要一直向右、向上，那么，經(jīng)過下頁右圖中C、D、E、F四點中的某一點的路線一定不再經(jīng)過其他的點．也就是說從A到B點的路線共分為四類，它們是分別經(jīng)過C、D、E、F的路線．第一類，經(jīng)過C的路線，分為兩步，從A到C再從C到B，從A到C有2條路可走，從C到B也有兩條路可走，由乘法原理，從A經(jīng)C到B共有2×2=4條不同的路線．第二類，經(jīng)過D點的路線，分為兩步，從A到D有4條路，從D到B有4條路，由乘法原理，從A經(jīng)D到B共有4×4=16種不同的走法．第三類，經(jīng)過E點的路線，分為兩步，從A到E再從E到B，觀察發(fā)現(xiàn)．各有一條路．所以，從A經(jīng)E到B共有1種走法．第四類，經(jīng)過F點的路線，從A經(jīng)F到B只有一種走法．最后由加法原理即可求解．解：如上右圖，從A到B共有下面的走法：從A經(jīng)C到B共有2×2=4種走法；從A經(jīng)D到B共有4×4=16種走法；從A經(jīng)E到B共有1種走法；從A經(jīng)F到B共有1種走法．所以，從A到B共有：4+16+1+1=22種不同的走法．1．某罪犯要從甲地途經(jīng)乙地和丙地逃到丁地，現(xiàn)在知道從甲地到乙地有3條路可以走，從乙地到丙地有2條路可以走，從丙地到丁地有4條路可以走．問，罪犯共有多少種逃走的方法？2．如右圖，在三條平行線上分別有一個點，四個點，三個點〔且不在同一條直線上的三個點不共線〕．在每條直線上各取一個點，可以畫出一個三角形．問：一共可以畫出多少個這樣的三角形？3．在自然數(shù)中，用兩位數(shù)做被減數(shù)，用一位數(shù)做減數(shù)．共可以組成多少個不同的減法算式？4．一個籃球隊，五名隊員A、B、C、D、E，由于某種原因，C不能做中鋒，而其余四人可以分配到五個位置的任何一個上．問：共有多少種不同的站位方法？5．由數(shù)字1、2、3、4、5、6、7、8可組成多少個①三位數(shù)？②三位偶數(shù)？③沒有重復(fù)數(shù)字的三位偶數(shù)？④百位為8的沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)？⑤百位為8的沒有重復(fù)數(shù)字的三位偶數(shù)？6．某市的號碼是六位數(shù)的，首位不能是0，其余各位數(shù)上可以是0～9中的任何一個，并且不同位上的數(shù)字可以重復(fù)．那么，這個城市最多可容納多少部機(jī)？ 7．如右圖，從甲地到乙地有三條路，從乙地到丙地有三條路，從甲地到丁地有兩條路，從丁地到丙地有四條路，問：從甲地到丙地共有多少種走法？8．書架上有6本不同的畫報和7本不同的書，從中最多拿兩本〔不能不拿〕，有多少種不同的拿法？9．如下列圖中，沿線段從點A走最短的路線到B，各有多少種走法？10．在1～1000的自然數(shù)中，一共有多少個數(shù)字0？11．在1～500的自然數(shù)中，不含數(shù)字0和1的數(shù)有多少個？12．十把鑰匙開十把鎖，但不知道哪把鑰匙開哪把鎖，問：最多試開多少次，就能把鎖和鑰匙配起來？答案：1．3×2×4=24〔種〕．2．1×4×3=12〔個〕．3．90×9=810〔個〕．4．4×4×3×2×1=96〔種〕．5．①8×8×8=512〔個〕；②4×8×8=256〔個〕