2022年江西省南昌市高考文科數(shù)學(xué)押題試卷及答案解析

2022年江西省南昌市高考文科數(shù)學(xué)押題試卷

本試卷滿分150分?？荚囉脮r(shí)120分鐘。

注意事項(xiàng)：1.答卷前，考生務(wù)必將自己的市（縣、區(qū)）、學(xué)校、班級(jí)、姓名、考場(chǎng)號(hào)、座

位號(hào)和考生號(hào)填寫在答題卡上。將條形碼橫貼在每張答題卡右上角“條形碼

粘貼處”。

2.作答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆在答題卡上將對(duì)應(yīng)題目選項(xiàng)

的答案信息點(diǎn)涂黑；如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不

能答在試卷上.

3.非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目

指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動(dòng)，先畫掉原來的答案，然后再寫上新答案；

不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。

4.考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，將試卷和答題卡一并交回。

一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只

有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.已知集合A={（x,y）|>'=x},B={（x,y）僅=f},則ACiB的元素個(gè)數(shù)為（）

A.0B.1C.2D.4

2.下列函數(shù)既是奇函數(shù)又是增函數(shù)的是（)

A.y=sinxB.y=2"C.y=log2XD.y=j?

3.已知角a的終邊過點(diǎn)4(1,V3),則sina+tana=()

3V31+2V35V33+2V3

A.■B.c.—D.---------

2266

4.已知雙曲線E：l（a>0,b>0）的焦距為4,兩條漸近線互相垂直，則E的方

程為（）

X2

x2_/=1B.=1

22

x2y2%2_y^_

———=1D.=1

4488

5.如圖，莖葉圖記錄了甲、乙兩個(gè)家庭連續(xù)9個(gè)月的月用電量（單位：度），根據(jù)莖葉圖,

A.甲家庭用電量的中位數(shù)為33

第1頁共24頁

B.乙家庭用電量的極差為46

C.甲家庭用電量的方差小于乙家庭用電量的方差

D.甲家庭用電量的平均值高于乙家庭用電量的平均值

6.過點(diǎn)A（1,2）且與原點(diǎn)距離最大的直線方程為（）

A.2x+y-4=0B.x+2y-5=0C.x+3廠7=0D.3x+y-5=0

7.已知平面向量1不共線，AB=4a+6b,BC=-a+3b,CD=a+3b,則（）

A.A,B,。三點(diǎn)共線B.A,B,C三點(diǎn)共線

C.B,C,。三點(diǎn)共線D.A,C,。三點(diǎn)共線

8.已知直線x+y-1=0與圓C：（x-2）2+（y-1）2=相相交于A,8兩點(diǎn)，若4B=2遍，

則m=（）

A.V5B.5C.3D.4

9.為了解某城市居民對(duì)冰雪運(yùn)動(dòng)的關(guān)注情況，隨機(jī)抽取了該市100人進(jìn)行調(diào)查統(tǒng)計(jì)，得到

如下2X2列聯(lián)表:

關(guān)注冰雪運(yùn)動(dòng)不關(guān)注冰雪運(yùn)動(dòng)合計(jì)

男451055

女252045

合計(jì)7030100

下列說法正確的是（）

參考公式.1(2_-----1(ad-bc)----------箕中

々否么隊(duì).A(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)'夬""a+o+c+a.

附表：

P（長(zhǎng)2》也）0.1000.0500.0100.001

ko2.7063.8416.63510.828

A.有99%以上的把握認(rèn)為“關(guān)注冰雪運(yùn)動(dòng)與性別有關(guān)”

B.有99%以上的把握認(rèn)為“關(guān)注冰雪運(yùn)動(dòng)與性別無關(guān)”

C.在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.1%的前提下，認(rèn)為“關(guān)注冰雪運(yùn)動(dòng)與性別無關(guān)”

D.在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.1%的前提下，認(rèn)為“關(guān)注冰雪運(yùn)動(dòng)與性別有關(guān)”

10.已知是定義在R上的偶函數(shù)，且在（0,+8）上單調(diào)遞減，則（）

01

A./(-1)</(-2)</(log25)

第2頁共24頁

B./。。出5)勺■(一1)</(一2°i)

C."。出5)</(-2。1)</(一1)

D./(-201)</(-1)</(log25)

11.若x=2是函數(shù)f(x)=)+2(a-2)x-4alnx的極大值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()

A.(-8,-2)B.(-2,+8)C.(2,+8)D.(-2,2)

12.已知月分別為橢圓E：芻+彳=l(a>b>0)的左，右焦點(diǎn)，E上存在兩點(diǎn)A,B

ab

使得梯形AQ&B的高為&c(其中c為半焦距)，且4%=3而2,則E的離心率為()

二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.

13.設(shè)i是虛數(shù)單位，若復(fù)數(shù)z滿足z，=z+6i,則復(fù)數(shù)z的虛部為.

2一4Y>1

'~，則/(/⑵)=_______.

{log2x,x<l

15.已知A,8為拋物線C：f=4y上的兩點(diǎn)，M(-1,2),若京=藤，則直線AB的

方程為.

16.已知函數(shù)/'(x)=sin|x|-Ecosx,若關(guān)于x的方程/(x)=機(jī)在［-2兀，粵］上有三個(gè)不

同的實(shí)根，則實(shí)數(shù)，〃的取值范圍是.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。第1721題為必考題,

第3頁共24頁

每個(gè)試題考生都必須作答。第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答。（一）必考題：共

60分。

17.（12分）已知數(shù)列｛斯［為公差大于0的等差數(shù)列,。2『3=15,且防,04,425成等比數(shù)

列.

（1）求數(shù)列｛“"｝的通項(xiàng)公式；

（2）設(shè)勾=二一，數(shù)列｛加｝的前"項(xiàng)和為品，若Sm=1?，求機(jī)的值.

Un-Un4-1

18.（12分）某通訊商場(chǎng)推出一款新手機(jī)，分為甲、乙、丙、丁4種不同的配置型號(hào).該店

第4頁共24頁

對(duì)近期售出的100部該款手機(jī)的情況進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)，繪制如下表格:

配置.甲乙丙T

頻數(shù)25401520

每售出一部甲、乙、丙、丁配置型號(hào)的手機(jī)可分別獲得利潤(rùn)600元、400元、500元、450

元.

（1）根據(jù)以上100名消費(fèi)者的購機(jī)情況，計(jì)算該商場(chǎng)銷售一部手機(jī)的平均利潤(rùn)；

（2）某位消費(fèi)者隨機(jī)購買了2部不同配置型號(hào)的該款手機(jī)，且購買的該款手機(jī)的四種型

號(hào)是等可能的，求商場(chǎng)通過這兩部手機(jī)獲得的利潤(rùn)不低于1000元的概率.

19.（12分）在△ABC中，內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為“，b,c,且nsinA-csinC=（V3a

第5頁共24頁

-b）sinB.

（1）求角C的大?。?/p>

（2）若sirk4?sin3=挈，c=2,求△ABC的面積.

1

20.（12分）已知函數(shù)/（九）=--x+alnx.

第6頁共24頁

(I)求/(x)在(1,/(I))處的切線方程(用含a的式子表示)

(II)討論/(x)的單調(diào)性;

(III)若f(x)存在兩個(gè)極值點(diǎn)XI，X2,證明:迎3…

x1-x2

x2y2

21.(12分)已知橢圓-+-=1(.>.>0)的右焦點(diǎn)為凡點(diǎn)A,B分別為右頂點(diǎn)和

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lie

上頂點(diǎn)，點(diǎn)。為坐標(biāo)原點(diǎn)，7Z7Z7+7Z77~1~7?△0A8的面積為近，其中e為E的離

|0F|\0A\|FA|

心率.

（1）求橢圓E的方程；

（2）過點(diǎn)0異于坐標(biāo)軸的直線與E交于M,N兩點(diǎn)，射線AM,AN分別與圓C：/+/

=4交于P,Q兩點(diǎn)，記直線MN和直線PQ的斜率分別為心，心，問廣是否為定值？若

k2

是，求出該定值；若不是，請(qǐng)說明理由.

（二）選考題：共10分。請(qǐng)考生在第22、23題中任選一題做答。如果多做，則按所做的

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第一題記分。［選修44：坐標(biāo)系與參數(shù)方程］

22.(10分)在直角坐標(biāo)系X。)，中，曲線C的參數(shù)方程為胃：彳：：售+鄒;:為參數(shù))

以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，X軸的正半軸為極軸建立的極坐標(biāo)系中，直線I的方程是pcos(0+

.)=1.

(1)求曲線C的普通方程和直線/的直角坐標(biāo)方程；

11

(2)若點(diǎn)A的坐標(biāo)為(2,0),直線/與曲線C交于憶。兩點(diǎn)，求7777+7777的值.

［選修4-5：不等式選講］

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23.已知函數(shù)f(%)=yj\2x-1\-\x+m\-m.

(1)當(dāng)加=2時(shí)，求函數(shù)/(x)的定義域；

⑵設(shè)函數(shù)/(X)的定義域?yàn)镸,當(dāng)巾＞一/時(shí)，［一771,求實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍.

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2022年江西省南昌市高考文科數(shù)學(xué)押題試卷

參考答案與試題解析

一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只

有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.已知集合4={(x,y)\y=x},B={(x,y)|y=/},則4C8的元素個(gè)數(shù)為()

A.0B.1C.2D.4

解：I?集合A={(x,y)|y=x},B={(x,y)ly=/},

(y=x/

(x,y)Iv_r2}={(0,0),(1,1)},

.??ACB的元素個(gè)數(shù)為2.

故選：C.

2.下列函數(shù)既是奇函數(shù)又是增函數(shù)的是()

A.y=sinxB.y—2xC.y=log2XD.y=/

解：y=siru為奇函數(shù)，在R上不單調(diào)，故A錯(cuò)誤；^=2,不為奇函數(shù)，故8錯(cuò)誤;

y=log?為對(duì)數(shù)函數(shù)，故C錯(cuò)誤；y=/既是奇函數(shù)又是增函數(shù)，故。正確.

故選：D.

3.已知角a的終邊過點(diǎn)4(1,V3),則sina+tana=()

3V31+2V35V33+26

A.-----B.---------C.-----D.

2266

解：???a的終邊過點(diǎn)4(1,V3),

???sina=孚,tana=V3,

則sina+tana=字+遍=

故選：A.

4.已知雙曲線E：*，=l(a>0,b>0)的焦距為4,兩條漸近線互相垂直，則E的方

程為()

比2y2

A.7-y2=iB.———=1

/22

x2y2x2y2

C?一―一=1D.---=1

4488

解：雙曲線E；圣—1=l(a>0,b>0)則雙曲線的漸近線方程為尸土5

???兩條漸近線互相垂直,

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:.a2=b1,

;焦是巨為4,

A2c=4,

，c=2,

???2/=A4-2a,

???「Q2-—02,

22

.?.則E的方程為x：一y一J=1.

22

故選:B.

5.如圖，莖葉圖記錄了甲、乙兩個(gè)家庭連續(xù)9個(gè)月的月用電量（單位：度），根據(jù)莖葉圖,

下列說法正確的是（）

甲Z

211

54323

3273489

1402

0516

A.甲家庭用電量的中位數(shù)為33

B.乙家庭用電量的極差為46

C.甲家庭用電量的方差小于乙家庭用電量的方差

D.甲家庭用電量的平均值高于乙家庭用電量的平均值

解：A,由莖葉圖可知甲家庭用電量的中位數(shù)為32,故A錯(cuò)誤;

B,由莖葉圖可知乙家庭用電量的極差為56-11=45,故B錯(cuò)誤；

〃12+23+24+25+32+33+37+41+50

C,X1|1=-----------------------g-----------------------?31,

11+23+24+34+38+39+40+42+51+56__

x乙=-----------------g--------------------------?37,

故S=1[(12-31)2+(23-31)2+(24-31)2+(25-31)2+(32-31)2+(33

-31)2+(37-31)2+(41-31)2+(50-31)2m21,

22222

Sz=1l(II-37)+(23-37)+(34-37)+(38-37#+(39-37)+(40-37)

第12頁共24頁

2+(42-37)2+(51-37)2+(56-37)2]?164,

故甲家庭用電量的方差小于乙家庭用電量的方差，C正確；

D,由C選項(xiàng)可知甲家庭用電量的平均值低于乙家庭用電量的平均值，故。錯(cuò)誤.

故選：C.

6.過點(diǎn)A(1,2)且與原點(diǎn)距離最大的直線方程為()

A.2x+y-4=0B.x+2y-5=0C.x+3y-7=0D.3x+y-5=0

解：根據(jù)題意得，當(dāng)與直線OA垂直時(shí)距離最大，

因直線OA的斜率為2,所以所求直線斜率為-去

所以由點(diǎn)斜式方程得：y-2=—(x-1),

化簡(jiǎn)得：x+2y-5=0,

故選：B.

7.已知平面向量1不共線，AB=4a+6b,BC=-a+3b,CD=a+3b,則()

A.A,B,。三點(diǎn)共線B.A,B,C三點(diǎn)共線

C.B,C,。三點(diǎn)共線D.A,C,。三點(diǎn)共線

解：因?yàn)?B=4a+6b,BC=—a+3b,CD=a+3b,

所以公=耘+/=3征+9^=3Ca+3b)=3CD,

所以晶與共線，即A、a。三點(diǎn)共線.

故選：D.

8.已知直線尤+y-1=0與圓C：(x-2)2+(y-1)2=相相交于A,8兩點(diǎn)，若4B=2遍，

則tn=()

A.6B.5C.3D.4

解：圓C：(X-2)2+(y-I)2=m的圓心為(2,1),半徑為標(biāo)(w>0),

圓心C到直線x+y-1=0的距離d=-7==V2,

,:AB=2相,：.(百)2+(V2)2=%

??m~~5,

故選：B.

9.為了解某城市居民對(duì)冰雪運(yùn)動(dòng)的關(guān)注情況，隨機(jī)抽取了該市100人進(jìn)行調(diào)查統(tǒng)計(jì)，得到

第13頁共24頁

如下2X2列聯(lián)表:

關(guān)注冰雪運(yùn)動(dòng)不關(guān)注冰雪運(yùn)動(dòng)合計(jì)

男451055

女252045

合計(jì)7030100

下列說法正確的是()

2

參考公式：=(a+盛黑浮c)(b+d)，其中〃="+6+c+4

附表：

P(心依)0.1000.0500.0100.001

ko2.7063.8416.63510.828

A.有99%以上的把握認(rèn)為“關(guān)注冰雪運(yùn)動(dòng)與性別有關(guān)”

B.有99%以上的把握認(rèn)為“關(guān)注冰雪運(yùn)動(dòng)與性別無關(guān)”

C.在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.1%的前提下，認(rèn)為“關(guān)注冰雪運(yùn)動(dòng)與性別無關(guān)”

D.在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.1%的前提下，認(rèn)為“關(guān)注冰雪運(yùn)動(dòng)與性別有關(guān)”

2

解：根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，計(jì)算心=

嗎□曹□X4-既DXZU梵XoU1°)-8.12A6.635,

所以在犯錯(cuò)誤的概率不超過1%的前提下，認(rèn)為“關(guān)注冰雪運(yùn)動(dòng)與性別有關(guān),

即有99%以上的把握認(rèn)為“關(guān)注冰雪運(yùn)動(dòng)與性別有關(guān)”.

故選：A.

10.已知/(X)是定義在R上的偶函數(shù)，且在(0,+8)上單調(diào)遞減，則()

01

A./(-1)</(-2-)</(log25)

B./(，。。25)</(-1)</(一2°1)

C."。取5)</(-2。】)</(一1)

01

D./(-2)</(-1)</(log25)

解：.f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，可得-x)=于3,

/(-1)=/(1),/(-201)=/(201),

因?yàn)閘og25>2,f(x)在(0,+8)上單調(diào)遞減，

所以f(k>g25)<f(201)</(1),

01

即為了(log25)<f(-2)</(-1),

第14頁共24頁

故選：c.

11.若x=2是函數(shù)/(x)=f+2(a-2)x-4alnx的極大值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()

A.(-8,-2)B.(-2,+8)C.(2,+8)D.(-2,2)

解：/G)=2x+2(a-2)_犯=2/+2(a-2)x-4a=2(工+a)(x-2),

JXXX

當(dāng)a20時(shí)，x+a>0,

當(dāng)(0,2)時(shí)，/(x)<0,f(x)在(0,2)單調(diào)遞減，

當(dāng)xC(2,+8)時(shí)，f(x)>0,/(x)在(2,+8)上單調(diào)遞增，

所以/(x)無極大值，不合題意，

當(dāng)-2Va<0時(shí)，0<-a<2,

當(dāng)(0,-a),(2,+8)時(shí)，f(x)>0,f(x)單調(diào)遞增，

當(dāng)xC(-4，2)時(shí)，，(%)<0,f(x)單調(diào)遞減，

當(dāng)xG(2,+8)時(shí)，/(x)>0,f(x)單調(diào)遞增，

所以/G)極大值點(diǎn)為x=-a,不符合題意，

當(dāng)a=-2時(shí)，/(x)=2(x-2)2>o,

所以/'(%)在(0,+8)上單調(diào)遞增，無極值，不符合題意，

當(dāng)a<-2時(shí)，-a>2,

當(dāng)xC(0,2),(-a,+8)時(shí)，/(x)>0,/(x)單調(diào)遞增，

當(dāng)(2,-a)時(shí)，/(x)<0,/(x)單調(diào)遞減，

當(dāng)(-a,+8)時(shí)，/(x)>0,/(x)單調(diào)遞增，

所以/(X)極大值點(diǎn)為x=2,

綜上所述，”的取值范圍為(-8,-2).

故選：A.

12.已知為，尸2分別為橢圓E：最+，=l(a>b>0)的左，右焦點(diǎn)，E上存在兩點(diǎn)A,B

使得梯形AF\F2B的高為魚c(其中c為半焦距),且4%=3BF2，則E的離心率為()

第15頁共24頁

解：?.?4元=3品2，，AF1〃8F2，則AF1，為梯形AF1F28的兩條底邊,

作F2P±AFi垂足為P,則F2P±AF\,

?.?梯形AF\F2B的高為或C,，PF2=V2C,

在中，F(xiàn)l尸2=2。則尸a=J&F22-PJp2

2=V2c=PF2,

/.ZAFif2=45°,

設(shè)AF\=x,貝1」AFi=2a-x,

222

在△AFi放中，由余弦定理得：AF2=AFt+FXF2-24a.KF2cos45。,

b2

A(2a—x)2=%2+4c2—2y/2cx解得AF\=x\=

f等

h2

同理，BF2=X2=----萬，

a+與c

__a+&

cx/2

\'AF=3FF,I.—套一=3,即2。=2夜c,:.e=虧

12—a=2.

a-^c

故選：D.

▲

y

Fi0Fi)x

第16頁共24頁

二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.

13.設(shè)，是虛數(shù)單位，若復(fù)數(shù)z滿足z-i=z+6i,則復(fù)數(shù)z的虛部為-3.

解：?；z?i=z+6i,

.*.z(1-j)=-6i,即z==3—3i,

復(fù)數(shù)z的虛部為-3.

故答案為：-3.

2一工V>1

'~,則f(0(2))=?2?

{logx,x<l

2

2一％y>1

{logx,x<l

2

則f(2)=2'2=1,

則/(/(2))=log2-=-2；,

故答案為：-2.

15.己知A,B為拋物線C：/=4y上的兩點(diǎn)，例(-1,2),若京=詁，則直線A8的

方程為x+2y-3=0.

解：A,8為拋物線C：7=4y上的兩點(diǎn)，M(-1,2),AM=MB,所以M是AB的中

點(diǎn)，

設(shè)A(xi，yi),B(X2<y2)>

IAB：y-2=fcc+后與f=4y聯(lián)立，消去y得，-4日-4%-8=。，

x\+x2=Ak--2,解得k=

所以直線的方程y-2=—^(x+1).

故答案為：x+2y-3=0.

16.已知函數(shù)/Xx)=sin|x|—V5cosx,若關(guān)于x的方程/(x)=機(jī)在［-2兀，等］上有三個(gè)不

同的實(shí)根，則實(shí)數(shù)，〃的取值范圍是f—百，0).

第17頁共24頁

解：當(dāng)xGR時(shí)，/(-x)=sin|-x|-V3cos(-x)=sin|x|-V3cosx=/(x),故f(x)為偶

函數(shù)，

當(dāng)x20時(shí)，f(x)=sinx—V3cosx=2sin(x—j),

畫出/'(x)=sin|%|-Bcosx,在［-2兀，等］上的圖象如圖所示，

要想保證方程f(x)=機(jī)在［一2兀，竽］上有三個(gè)不同的實(shí)根，則〃?［一仃，0),

故答案為：€［—\/3>0).

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。第1721題為必考題，

每個(gè)試題考生都必須作答。第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答。(-)必考題：共

60分。

17.(12分)已知數(shù)列(如｝為公差大于0的等差數(shù)列，。2加3=15,且“1，“4,425成等比數(shù)

歹！I.

(1)求數(shù)列｛“"｝的通項(xiàng)公式;

第18頁共24頁

(2)設(shè)---，數(shù)列｛a｝的前〃項(xiàng)和為S”若Sm=券，求/w的值.

an,an+l

解：(1)數(shù)列｛斯｝為公差d大于0的等差數(shù)列，“2加3=15,且0,a4,425成等比數(shù)列，

所以((%+/(%+2d)=15

1(%4-3d7=%?(即+24d)

解得長(zhǎng)=1,整理得如=1+2(〃-1)=2?-1;

(d=2

1111

=-;

(2)山(1)得：bn=(2n_1)(2n+l)2(2n^l2n+l)

11111111

1-+-++=(1=

所以：sn=^i+^+---+^n=2(335-"2?^1-2^+1)2-2？1+1)

n

2n+l;

山丁4=鼎途，

解得m=20.

18.(12分)某通訊商場(chǎng)推出一款新手機(jī)，分為甲、乙、丙、丁4種不同的配置型號(hào).該店

對(duì)近期售出的100部該款手機(jī)的情況進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)，繪制如下表格：

配置.甲乙丙T

頻數(shù)25401520

每售出一部甲、乙、丙、丁配置型號(hào)的手機(jī)可分別獲得利潤(rùn)600元、400元、500元、450

元.

(1)根據(jù)以上100名消費(fèi)者的購機(jī)情況，計(jì)算該商場(chǎng)銷售一部手機(jī)的平均利潤(rùn)；

(2)某位消費(fèi)者隨機(jī)購買了2部不同配置型號(hào)的該款手機(jī)，且購買的該款手機(jī)的四種型

號(hào)是等可能的，求商場(chǎng)通過這兩部手機(jī)獲得的利潤(rùn)不低于1000元的概率.

解：(1)依題意該商場(chǎng)銷售一部手機(jī)的平均利潤(rùn)為：

元=血(25X600+40X400+15X500+20X450)=475元.

(2)消費(fèi)者隨機(jī)購買了2部不同配置型號(hào)的該款手機(jī)，且購買的該款手機(jī)的四種型號(hào)是

等可能的，

所有不同結(jié)果有：甲乙，甲丙，甲丁，乙丙，乙丁，丙丁，共6個(gè)結(jié)果，

從這兩部手機(jī)獲得的利潤(rùn)不低于1000元的事件有：甲乙，甲丙，甲丁，共3個(gè)結(jié)果，

二商場(chǎng)通過這兩部手機(jī)獲得的利潤(rùn)不低于1000元的概率為p=i=^.

OL

19.(12分)在△ABC中，內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為“，h,c,且“sinA-csinC=(V3a

第19頁共24頁

-b)sinB.

(1)求角。的大小;

(2)若sirk4?sin5=苧，c=2,求△ABC的面積.

解：(1)asinA-csinC=(V3?-Z?)sinB,

由正弦定理可得a2-c2=(y/3a-b)b,

即rz2+/?2-c2=Wab,

,廠a2+bZ-c2y[3ab/3

.?cosC=----r=,=-5-.

2abQ2ab2

又???CW(0,n),：.C=l，

7T.ab2

(2)VC=T=4,

6'sinAsinBsinC

2

.??〃=4sinA,力=4sin3=,

XVsinAsinB=申，故仍=16sinAsinB=^

所以S^ABC=^absinC=2x1^3x1

20.(12分)己知函數(shù)f(x)=1—x+alnx.

(I)求f(X)在(1,/(I))處的切線方程(用含4的式子表示)

(II)討論f(X)的單調(diào)性；

(III)若/(X)存在兩個(gè)極值點(diǎn)XI，X2,證明：<a-2.

Xi-%2

【解答】解：(I)*.'/(x)=—x+alnx(x>0)>

/./(x)=一/+產(chǎn)-1G>O),

,xL

當(dāng)x—1時(shí)，/(1)—0>f(1)=-2+a,

設(shè)切線方程為y=(-2+〃)x+h,代入(1,0),得b=2-a,

：.f(x)在(1,/(D)處的切線方程為y=(-2+“)x+2-a.

(ID函數(shù)的定義域?yàn)?0,+8),

函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，(x)=弋尸_,

設(shè)g(x)=-^+ax-1,注意到g(0)=-1,

①當(dāng)“WO時(shí)，g(x)<0恒成立，即/'(x)<0恒成立，此時(shí)函數(shù)/(x)在(0,+8)

上是減函數(shù)；

第20頁共24頁

②當(dāng)a＞0時(shí)，判別式△=/-%

1°當(dāng)0VaW2時(shí),A^O,即g（x）WO,即/（x）WO恒成立，此時(shí)函數(shù)/（x）在（0,

+°°）上是減函數(shù);

a-Va2-4

2°當(dāng)。>2時(shí)，令f(x)>0,得：---------<x<

0-42-4a+Ja2-4

令/(x)<0,得：0<xV?或Q—---；

2

a—A/N—4Q+A/Q2-4a-Va2-4

???當(dāng)。＞2時(shí)，/（%）在區(qū)間（---------，-------）單調(diào)遞增，在（0,),

2

a+Va2-4

(-------,4-oo）單調(diào)遞減;

2

綜上所述，綜上當(dāng)時(shí)，/（x）在（0,+8）上是減函數(shù),

a-Va2-4a+Va2-4

當(dāng)。＞2時(shí)，在（0,),(,+8）上是減函數(shù),

22

a-Va2-4a+Va2-4,口…一皿

在區(qū)間（---------，---------）x上是增函數(shù).

22

(III)(2)由(1)知。>2,0<Xl<l<X2，XlX2=h

貝I」f(xi)-f(X2)=--x\^alnx\-[――X2+alnx2\

=(%2-xi)(H———)+。(lnx\-lnx2)

=2(%2-xi)+aUnx\-//?X2)>

則/。1)一/(%2)=2la(/nx1-Znx2)

、巧一42Xl_X2

則問題轉(zhuǎn)為證明處二3<1即可,

%1T2

即證明lnx\-/MX2>X1-X2?

11

則，nxi-In->x\---，

%iX1

]

即lnx\-^lnx\>xi---,

X1

i

即證2阮ii>xi--在(0,1)上恒成立，

X1

i

設(shè)/z(x)=2/nx-x4--,(0<x<l),其中〃(1)=0,

X1

求導(dǎo)得/(x)=[-1一/=一注瓷婦=一回’<0,

則/?(%)在(0,1)上單調(diào)遞減，

.,.h(x)>h(1),即2/〃x-x+1>0,

第21頁共24頁

1

故2lnx>x-->

貝lj------------------<a-2成".

Xi-x2

x2y2

21.（12分）己知橢圓氏—+—=1（4Q0）的右焦點(diǎn)為尸，點(diǎn)A,B分別為右頂點(diǎn)和

a2b2

lie

上頂點(diǎn)，點(diǎn)。為坐標(biāo)原點(diǎn)，7T77+7ZT7—1-7?△OAB的面積為近，其中e為E的離

\0F\\0A\\FA\

心率.

（1）求橢圓E的方程;

（2）過點(diǎn)0異于坐標(biāo)軸的直線與E交于M,N兩點(diǎn)，射線AM,AN分別與圓C：?+/

k

=4交于P,。兩點(diǎn)，記直線和直線PQ的斜率分別為八，心，問/是否為定值？若

是，求出該定值；若不是，請(qǐng)說明理由.

5、11e11e

解：（1）,**-----+=???一+-二---，

\0F\\0A\\FA\eaa-c

S△（）AB=[ab='C—~,

聯(lián)立可得。=2,b=V2,

x2y2

橢圓E的方程為丁+—=1.

42

（2）設(shè)點(diǎn)M（xo,加），P（xi，y\）,Q（i2，）2）,則點(diǎn)xo，-

由題意得A（2,0）,

VM,N在橢圓石上，

???4+3=1，貝|J%（）2=4-2%2,

42

.，0-y。____yo2_y02__工

2

%0-2—XQ—24T0?2y02

..,_1

?*KAM?KAN—~2f

設(shè)直線AM的方程為x=my+2,則直線AN的方程為x=-3，+2,

x=my+2

x2y2，消x得（川+2）9+4”>=0,

1T