第二講-不等式恒成立與存在性問題

第二講不等式的恒成立與存在性問題[本講綜述]不等式恒成立與存在性問題是歷年來高考的熱點(diǎn)，特別是以導(dǎo)數(shù)為背景的題型更是在高考中頻頻出現(xiàn)，這類問題涉及的知識(shí)面廣、綜合性強(qiáng)、能力要求高.解決這類問題的關(guān)鍵是等價(jià)轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問題，通過轉(zhuǎn)化使恒成立與存在性問題得到簡化.第一節(jié)單變量不等式的恒成立與存在性問題[知識(shí)導(dǎo)航]一、單變量型不等式的恒成立問題1.在不等式恒成立條件下求參數(shù)范圍的核心方法在不等式恒成立條件下求參數(shù)的取值范圍，一般原理是利用轉(zhuǎn)化思想將其轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題或值域問題加以求解.在轉(zhuǎn)化途徑上，可采用“分離參數(shù)法”或“不分離參數(shù)法”直接移項(xiàng)構(gòu)造輔助函數(shù)的形式.由函數(shù)最值的求法及極值的定義可知，函數(shù)在區(qū)間上的最大（最?。┲迭c(diǎn)若不是區(qū)間端點(diǎn)就是極大（極?。┲迭c(diǎn).對(duì)于是否分離自變量與參變量，取決于最值點(diǎn)在區(qū)間端點(diǎn)還是在極大（極小）值點(diǎn).直接移項(xiàng)法若區(qū)間端點(diǎn)代入到不等式中，不等式的左右兩邊相等，一般不分離，即轉(zhuǎn)化為直接求函數(shù)的最值（例如當(dāng)時(shí)，恒成立，求a的取值范圍.將代入到函數(shù)中，得到，不等式左右兩邊相等，因此不分離自變量與參變量，直接轉(zhuǎn)化為）.分離參數(shù)法若區(qū)間端點(diǎn)代入到不等式中，不等式的左右兩邊不相等（或區(qū)間端點(diǎn)代入到不等式中導(dǎo)致函數(shù)無意義），則需要分離自變量與參變量，因此此種情形下，轉(zhuǎn)化后的函數(shù)最值在極大（極?。┲迭c(diǎn)處取得，而不是區(qū)間端點(diǎn).分離自變量與參變量的作用在于有效避免對(duì)參數(shù)的討論.恒成立問題與函數(shù)最值的相互轉(zhuǎn)化若函數(shù)在區(qū)間D上存在最小值和最大值，則若函數(shù)在區(qū)間D上不存在最大（最?。┲?，且值域?yàn)椋瑒t單變量不等式的有解問題通常一般講不等式合理變形使其參數(shù)分離，進(jìn)而將問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問題，具體的轉(zhuǎn)化是這樣的.若函數(shù)在區(qū)間D上存在最小值和最大值，則（2）不若函數(shù)在區(qū)間D上不存在最大（最小）值，且值域?yàn)?，則[典例精講]類型一：單變量型不等式的恒成立問題不分離自變量與參數(shù)解恒成立問題引理（1）若函數(shù)在處可導(dǎo)，且時(shí)恒成立，則.（2）若函數(shù)在處可導(dǎo)，且時(shí)恒成立，則.初步感知若，則函數(shù)在處右側(cè)附近的圖象是減函數(shù).又因?yàn)楹瘮?shù)在處可導(dǎo)，所以.同理，可得其他結(jié)論也成立.以上引理有部分輔導(dǎo)書稱之為“端點(diǎn)效應(yīng)”.嚴(yán)格證明如下：若，則由函數(shù)在處可導(dǎo)及導(dǎo)數(shù)的定義，可得.同理，可證其他結(jié)論也成立.綜觀2006—2018年高考真題，在不等式恒成立問題上，考查的模型均涉及端點(diǎn)值代入不等式取等號(hào)，利用區(qū)間端點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)值的符號(hào)來確定參數(shù)的范圍，這作為必要條件，在此基礎(chǔ)上證明充分性.當(dāng)然，也可以從前提出發(fā)，如任取，恒成立，求的取值范圍.可以大膽假設(shè)目標(biāo)成立的前提是單調(diào)遞增，即，得到參數(shù)的范圍，在證明反面不成立，這樣求得參數(shù)的取值范圍.當(dāng)然，我們也可以使用“分離參數(shù)法”求范圍，利用洛必達(dá)法則解決函數(shù)無意義點(diǎn)的取值問題，這在后面我們會(huì)講解到，幫助學(xué)生避免恒成立問題的討論難題，降低思維難度.例2.1設(shè)函數(shù).若對(duì)所有的，都有成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.解析：（解法一）設(shè)由，且時(shí)，總有，所以由引理得，即，解得（這是恒成立的必要條件）.若，（再驗(yàn)證充分性）.故函數(shù)在上單調(diào)遞增，則.即恒成立.所以的取值范圍是.（解法二）設(shè)，則當(dāng)時(shí)，.因?yàn)?，于是要使不等式成立，前提是在上單調(diào)遞增即可，即.又在上單調(diào)遞增，故當(dāng)，即時(shí)，恒成立.下面證明這個(gè)條件是必要的.當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，且當(dāng)時(shí)，.故有唯一零點(diǎn)，設(shè)為.則當(dāng)時(shí)，，即在上單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，，這與是矛盾的.（解法三）令，則，.當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，故，因此對(duì)所有的恒成立.當(dāng)時(shí)，令，得，即.當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則.此時(shí)與題設(shè)中恒成立矛盾，故舍去.綜上所述，的取值范圍是.評(píng)注：解法一是從恒成立的必要條件入手突破，求出的取值范圍，再證明充分性，即在參數(shù)的范圍下，不等式恒成立；解法二是從目標(biāo)前提入手（即從充分性入手），求出的取值范圍，再證此前提下目標(biāo)反面不成立（即只要找出一個(gè)子區(qū)間，使所證不等式在此區(qū)間上不成立即可）.解法三分別利用了函數(shù)的單調(diào)性與舉反例的方法確定了取值范圍.變式1設(shè)函數(shù).若對(duì)于所有的，都有成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.變式2設(shè)函數(shù).若對(duì)所有的，都有，求實(shí)數(shù)的取值范圍.例2.2已知函數(shù).討論的單調(diào)性；設(shè)，當(dāng)時(shí)，，求b的最大值.解析：（1）略.由，可得，于是.因?yàn)?，所以的符?hào)與的符號(hào)相同.由已知，當(dāng)時(shí)，，又，則，得.且當(dāng)時(shí)，，故恒成立，由于函數(shù)在上單調(diào)遞增，故，因此的最大值為2.變式1已知函數(shù)，設(shè)實(shí)數(shù)使得對(duì)恒成立，求的最大值.分離參數(shù)法解恒成立問題例2.3已知函數(shù)，其中.若對(duì)一切，恒成立，求的取值范圍.解析：以為對(duì)一切，恒成立，且，所以是函數(shù)的最小值點(diǎn).由函數(shù)在區(qū)間上的最值點(diǎn)若不是區(qū)間端點(diǎn)就是極值點(diǎn)，得也是函數(shù)的極小值點(diǎn)，所以，解得.還可檢驗(yàn)，當(dāng)時(shí)，，.當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞增.則，所以恒成立.綜上所述，的取值范圍是.變式1已知函數(shù).求的單調(diào)區(qū)間；若對(duì)任意的，都有，求的取值范圍.例2.4設(shè)函數(shù).求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；已知對(duì)任意成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.解析：（1），函數(shù)在上單調(diào)遞增，在和上單調(diào)遞減.因?yàn)椋?，，所以在兩邊取自然?duì)數(shù)，得，所以.依題意，.由函數(shù)的單調(diào)性可知，在上其最大值為，則，即，所以的取值范圍為.評(píng)注：本題將不等式兩邊取自然對(duì)數(shù)，分離參變量與自變量，構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性求其最值.變式1設(shè)函數(shù).判斷函數(shù)的單調(diào)性；當(dāng)在上恒成立，求的取值范圍；求證：.類型二：單變量型的存在性問題例2.5設(shè)函數(shù)，曲線在點(diǎn)處的切線斜率為0.求的值；若存在，使得，求實(shí)數(shù)的取值范圍.分析：（1）曲線在點(diǎn)處的切線斜率為0.，使得函數(shù).解析：（1）.（解答過程略）（2）由（1）知，.若存在，使得成立，則.又.令，解得.當(dāng)，即，有以下兩種情況：（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，且，符合題意.（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，在在上單調(diào)遞增，.因此，解得.當(dāng)，即時(shí)，有以下情況.（Ⅰ）當(dāng)，即時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.此時(shí)在上的最小值為：，與題設(shè)矛盾，故不符合題意.（Ⅱ）當(dāng)，即時(shí)，在上單調(diào)遞增，此時(shí)在上的最小值為.令，即，解得，所以的取值范圍是.（Ⅲ）當(dāng)，即時(shí)，在上恒成立，所以在上單調(diào)遞增，此時(shí).又，故，，與題設(shè)矛盾，故不符合題意.，即時(shí)，可得在上單調(diào)遞增，，所以符合題意.綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍為.[鞏固練習(xí)]已知函數(shù)，其中.若的最小值為1，求的取值范圍.設(shè)函數(shù)，若當(dāng)時(shí)，，求的取值范圍.設(shè)函數(shù)，其中.討論的單調(diào)性；確定的所有可能取值，使得在區(qū)間上恒成立.已知函數(shù)，若當(dāng)時(shí)，，求的取值范圍.已知，函數(shù)，.若函數(shù)在上是增函數(shù)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；設(shè)，若存在，使得，求實(shí)數(shù)的取值范圍.，若，求的取值范圍.第二節(jié)有關(guān)多元函數(shù)的問題[本講綜述]不等式有關(guān)多元函數(shù)的問題，在高考以及數(shù)學(xué)競賽中都層出不窮，特別是有關(guān)雙變量的問題，以導(dǎo)數(shù)為載體在高考中一直都是一個(gè)難點(diǎn)，希望同學(xué)們通過本文的講解，對(duì)雙變量的問題學(xué)會(huì)思考.[知識(shí)導(dǎo)航]一、極值點(diǎn)偏移1.極值點(diǎn)偏移背景已知函數(shù)是連續(xù)函數(shù)，f(x)在區(qū)間(,)只有一個(gè)極值點(diǎn)，且，很多極值函數(shù)由于極值點(diǎn)左右的“增減速度”不同，函數(shù)圖象不具對(duì)稱性，常常有極值點(diǎn)（或）的情況，稱這種狀態(tài)為“極值點(diǎn)偏移”.極值點(diǎn)偏移問題在每年高考或模擬考試中屢屢出現(xiàn)（題眼為：或者中點(diǎn)，且有），這類問題難度較大，常處于試題的壓軸題位置，顯得尤為重要.極值點(diǎn)偏移的本質(zhì)要證明，實(shí)質(zhì)是證明(或)，這是一個(gè)關(guān)于雙變元的不等式.所以，極值點(diǎn)偏移問題實(shí)質(zhì)是雙變元不等式的問題,解決方法通常是通過構(gòu)造函數(shù)（或者換元法，如令），使得雙變量函數(shù)變成一元函數(shù)。極值點(diǎn)偏移解決方法方法一：構(gòu)造對(duì)稱函數(shù)求解解題步驟：<第1步>構(gòu)造一元差函數(shù)（或者），注：關(guān)鍵點(diǎn)為：為在區(qū)間內(nèi)的唯一極值點(diǎn)。需要先依據(jù)函數(shù)單調(diào)性確定區(qū)間內(nèi)唯一極值點(diǎn)，并確定范圍；<第2步>對(duì)差函數(shù)求導(dǎo)，判斷導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)，確定g(x)的單調(diào)性；<第3步>結(jié)合(或者)，判斷的符號(hào)，從而確定與的大小關(guān)系；<第4步>由，得到；<第5步>結(jié)合的單調(diào)性得到，從而得到.由于構(gòu)造對(duì)稱函數(shù)求解此類問題不需要復(fù)雜的變形技巧，可操作性很強(qiáng)，故而成為最一般的方法.其解題本質(zhì)是比較與大小關(guān)系不方便時(shí)，轉(zhuǎn)而通過比較與它們的函數(shù)值與的大小關(guān)系，再結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性得到與的大小關(guān)系.方法二：對(duì)數(shù)平均不等式若，且，則有證明：（方法一：比值代換/差值代換）由對(duì)稱性，不妨設(shè)令，構(gòu)造函數(shù)，則，所以在單調(diào)遞增，，證畢.（2）令，構(gòu)造函數(shù)，則，所以在上單調(diào)遞減，，證畢.綜上所述，當(dāng)，且，有.（方法二：主元法）即證：.依據(jù)對(duì)稱性，不妨設(shè)，要證：，即證：，構(gòu)造函數(shù)，，又，所以.要證：，即證：，構(gòu)造函數(shù)，，故，證畢.[典例精講]引例已知函數(shù)，若，且，求證：.證法一：利用導(dǎo)數(shù)對(duì)進(jìn)行研究.，令，則.當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減.由函數(shù)解析式可得，；，，所以可知函數(shù)的圖象如圖2.1所示.圖2.1由于，，不妨設(shè)，則易知.欲證，即證由于以及都屬于這個(gè)遞增區(qū)間，所以即證，即由此聯(lián)想構(gòu)造函數(shù)，則.由于，則，且，可知在上恒成立，所以在上單調(diào)遞增.由此可得，所以時(shí)，，證畢.證法二：由證法一知，.由于，則，于是.設(shè)，則，有，解得，所以.可聯(lián)想構(gòu)造函數(shù)，，則令，則，，所以，，，所以，即在上單調(diào)遞減，故.即，證畢.證法三：由證法二知，.欲證，即證，也即證.則可以構(gòu)造函數(shù)，，于是.所以在上單調(diào)遞增，故，即，所以.證法四：設(shè)，則，且，解得，構(gòu)造函數(shù)，如圖所示：（曲邊梯形面積<梯形面積），即，則，由于，且，所以，即，證畢.評(píng)注：（1）對(duì)于雙變量的問題，最重要的方法就是通過合理變形，如證法一中利用代數(shù)變形，把不同區(qū)間的變量變成同一個(gè)區(qū)間內(nèi)的變量，把雙變量問題轉(zhuǎn)化為單變量的問題，進(jìn)行求解.其中離不開構(gòu)造函數(shù)，但是如何構(gòu)造函數(shù)一定要順理成章，讓學(xué)生有章可循，有法可依.（2）三個(gè)解法對(duì)于為什么構(gòu)造函數(shù)分析得明明白白，通過思考還可以有第四種方法，即積分法.應(yīng)當(dāng)說對(duì)于雙變量的問題，有時(shí)候，利用積分法入手，也是一個(gè)很好的方法.這個(gè)方法將一些代數(shù)式賦予了幾何意義，如本題中表示梯形ABCD的高等，希望同學(xué)們能夠體會(huì).變式1已知函數(shù)，正實(shí)數(shù)滿足.證明：.變式2已知函數(shù)．（Ⅰ）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（Ⅱ）若方程有兩個(gè)相異實(shí)根，，且，證明：.變式3已知函數(shù)，若，且，證明：.變式4函數(shù)與直線交于、兩點(diǎn).證明：.雙變量型不等式問題對(duì)于雙變量的問題，在高考中最?？嫉念}型種類：有關(guān)雙變量的各種成立問題；有關(guān)雙變量的不等式證明問題；可以轉(zhuǎn)化為雙變量不等式證明的問題.雙變量型不等式成立問題與函數(shù)最值的轉(zhuǎn)化在高考中有關(guān)雙變量的成立問題，主要有一下幾種情況：，總存在，使，則說明；，總存在，使，則說明；，，都有，則說明；④，，都有，則說明；⑤，，使，則說明；⑥，，使，則說明；⑦，總存在，使，則說明在上的值域?yàn)椋谏系闹涤驗(yàn)?，滿足，即是的子集.對(duì)于－⑥如何記憶，就要弄清楚有關(guān)單變量的問題，易知：，使，則說明；，使，則說明；，使，則說明；④，使，則說明.雙變量問題向單變量問題轉(zhuǎn)化的策略對(duì)于雙變量的問題，屬于兩個(gè)函數(shù)的問題，當(dāng)判斷兩邊取什么值時(shí)，可以采取下面的方法.當(dāng)判斷左邊取什么值時(shí)，應(yīng)當(dāng)把右邊當(dāng)做參數(shù)，把問題轉(zhuǎn)化為單變量的問題進(jìn)行解決；當(dāng)判斷右邊取什么值時(shí)，應(yīng)當(dāng)把左邊當(dāng)做參數(shù)，同樣把問題轉(zhuǎn)化為單變量的問題進(jìn)行解決.[典例精講]例2.6已知函數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，討論的單調(diào)性；（2）設(shè).當(dāng)時(shí)，若對(duì)任意的，總存在，使得，求實(shí)數(shù)的取值范圍.解析：（1）若，在上，單調(diào)遞減，在上，單調(diào)遞增；若，在，上，單調(diào)遞減，在上，單調(diào)遞增；若，在上單調(diào)遞減.（2）由題意得.當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，，.當(dāng)時(shí)，，得矛盾，舍去；當(dāng)時(shí)，，得矛盾，故舍去；當(dāng)時(shí)，，得成立.綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍是.例2.7已知函數(shù)，其中.求的單調(diào)區(qū)間；若對(duì)任意的，總存在，使得，求實(shí)數(shù)的值.解析：（1）當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞減區(qū)間為.當(dāng)時(shí)，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為.（解答過程略）解法一：當(dāng)且時(shí)，由（1）知，在上是減函數(shù)，所以.由于，矛盾，故舍去；當(dāng)時(shí)，由（1）知，在區(qū)間上，是增函數(shù)，在區(qū)間上，是減函數(shù)，所以.由于，則，所以.因?yàn)?，矛盾，故舍去；?dāng)時(shí)，由（1）知，在上，是增函數(shù)，所以，.由題意，令，則存在，使得.令，則存在，使得.所以，得.此時(shí)的值域?yàn)?，?duì)任意，則，必然存在，使得.綜上所述，.評(píng)注：（1）通過解法一的分析求解，我們不難發(fā)現(xiàn)，本題的問法，相當(dāng)于可以等價(jià)轉(zhuǎn)化為函數(shù).應(yīng)當(dāng)注意：本題當(dāng)解到表達(dá)式時(shí)，已經(jīng)解出.但是此處只說明了必要性，一定還要證明它的充分性，才可以得到滿分，這一點(diǎn)十分關(guān)鍵！例2.7設(shè)函數(shù)，.討論函數(shù)的單調(diào)性‘若函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，，記過點(diǎn)A，B的直線斜率為.問是否存在，使得？若存在求出的值；若不存在，說明理由.解：（1）略.由（1）知，.，由（1）知，于是：，若存在，使得，則有，即：（）。易證在單調(diào)遞增，則，故不存在，使得.例2.8已知函數(shù).（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；設(shè)如果對(duì)任意，，求的取值范圍.例2.9已知函數(shù).求函數(shù)的最小值；當(dāng)時(shí)，求證：.例2.10已知函數(shù).求函數(shù)最大值；設(shè)，證明：.（主元法）[導(dǎo)數(shù)題目練習(xí)]1：已知函數(shù).若直