專題02 探究三角形全等的判定方法壓軸題六種模型全攻略（解析版）2023-2024學(xué)年八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)壓軸題攻略蘇科版

第第頁(yè)專題02探究三角形全等的判定方法壓軸題六種模型全攻略【考點(diǎn)導(dǎo)航】目錄TOC\o"1-3"\h\u【典型例題】 1【考點(diǎn)一用SAS證明兩三角形全等】 1【考點(diǎn)二用ASA證明兩三角形全等】 3【考點(diǎn)三用AAS證明兩三角形全等】 6【考點(diǎn)四用SSS證明兩三角形全等】 8【考點(diǎn)五用HL證明兩直角三角形全等】 10【考點(diǎn)六添一個(gè)條件使兩三角形全等】 13【過(guò)關(guān)檢測(cè)】 16【典型例題】【考點(diǎn)一用SAS證明兩三角形全等】例題：（2023春·全國(guó)·七年級(jí)專題練習(xí)）如圖，已知點(diǎn)，，，在一條直線上，，，．求證：【答案】見解析【分析】用邊角邊定理進(jìn)行證明即可.【詳解】解：∵∴即：在和中∴.【點(diǎn)睛】本題考查邊角邊定理證明三角形全等，根據(jù)題意找到相應(yīng)的條件是解題關(guān)鍵.【變式訓(xùn)練】1．（2023·陜西西安·?？既＃┤鐖D，，，三點(diǎn)在同一直線上，，，．求證：．

【答案】見解析【分析】由平行線的性質(zhì)得到，由即可證明≌．【詳解】解：，，在和中，，．【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的判定，關(guān)鍵是掌握全等三角形的判定方法．2．（2023春·七年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，點(diǎn)E在上，，且，連接并延長(zhǎng)，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F．(1)求證：；(2)若，，求的度數(shù)．【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）由得到，證明即可；（2）推導(dǎo)，即解題即可．【詳解】（1）證明：∵，∴，在和中，，∴，∴；（2）解：，∴，∵，∴，∵∴，∵，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的判定與性質(zhì)，靈活運(yùn)用全等三角形的判定方法是解題的關(guān)鍵．【考點(diǎn)二用ASA證明兩三角形全等】例題：（2023春·廣東惠州·八年級(jí)?？计谥校┤鐖D，，點(diǎn)，點(diǎn)在上，，求證：．

【答案】見解析【分析】首先根據(jù)平行線的性質(zhì)可得，利用等式的性質(zhì)可得，然后再利用判定即可．【詳解】證明：∵，，，，即，在和中，，∴．【點(diǎn)睛】本題考查三角形全等的判定方法，判定兩個(gè)三角形全等時(shí)，必須有邊的參與，若有兩邊一角對(duì)應(yīng)相等時(shí)，角必須是兩邊的夾角．【變式訓(xùn)練】1．（2023·校聯(lián)考一模）如圖，點(diǎn)A、、、在同一條直線上，若，，求證：．【答案】見解析【分析】由知，結(jié)合，，依據(jù)“”可判定≌，依據(jù)兩三角形全等對(duì)應(yīng)邊相等可得．【詳解】證明：，，即，在和中，，，．【點(diǎn)睛】本題主要考查全等三角形的判定與性質(zhì)，掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．2．（2023·浙江溫州·溫州市第八中學(xué)?？既＃┤鐖D，在和中，，點(diǎn)B為中點(diǎn)，．(1)求證：．(2)若，求的長(zhǎng)．【答案】(1)見解析(2)4，見解析【分析】（1）根據(jù)判定即可；（2）根據(jù)和點(diǎn)B為中點(diǎn)即可求出．【詳解】（1）證明：∵，，，∴（2）解：∵，，∴，，∵點(diǎn)B為中點(diǎn)，∴，∴，∴；【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)，掌握全等三角形的判定條件是解答本題的關(guān)鍵．【考點(diǎn)三用AAS證明兩三角形全等】例題：（2023·廣東汕頭·廣東省汕頭市聿懷初級(jí)中學(xué)?？既＃┤鐖D，點(diǎn)E在邊上，，，．求證：【答案】證明見解析【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)，得到，再根據(jù)三角形外角的性質(zhì)，得出，即可利用“”證明．【詳解】證明：，，，，，，在和中，，．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定，平行線的性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定定理是解題關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2023·浙江溫州·統(tǒng)考二模）如圖，，，．

(1)求證：．(2)當(dāng)，時(shí)，求的度數(shù)．【答案】(1)見解析(2)40°【分析】（1）根據(jù)平行線的性質(zhì)，利用三角形全等的判定定理即可證明；（2）根據(jù)三角形全等的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)即可求解【詳解】（1）解：∵，∴，又∵，，∴．（2）解：∵，，∴，∵，∴，∵，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)，三角形全等的判定和性質(zhì)，熟練掌握各知識(shí)點(diǎn)，利用好數(shù)形結(jié)合的思想是解本題的關(guān)鍵．2．（2023秋·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，已知點(diǎn)是線段上一點(diǎn)，，．(1)求證：；(2)求證：．【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】（1）由得，即，從而即可證得；（2）由可得，，即可得到，從而即可得證．【詳解】（1）證明：，，，在和中，，；（2）解：，，，，．【點(diǎn)睛】本題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【考點(diǎn)四用SSS證明兩三角形全等】例題:（2023·云南玉溪·統(tǒng)考三模）如圖，點(diǎn)在一條直線上，，求證：．

【答案】見解析【分析】根據(jù)題意，運(yùn)用“邊邊邊”的方法證明三角形全等．【詳解】證明：∵，∴，即，在和中∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查三角形全等的判定，掌握全等三角形的判定方法解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2023·云南·統(tǒng)考中考真題）如圖，是的中點(diǎn)，．求證：．

【答案】見解析【分析】根據(jù)是的中點(diǎn)，得到，再利用證明兩個(gè)三角形全等．【詳解】證明：是的中點(diǎn)，，在和中，，【點(diǎn)睛】本題考查了線段中點(diǎn)，三角形全等的判定，其中對(duì)三角形判定條件的確定是解決本題的關(guān)鍵．2．（2023春·全國(guó)·七年級(jí)專題練習(xí)）如圖，已知，點(diǎn)分別在上，，．(1)求證：；(2)求證：．【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】（1）直接根據(jù)證明即可．（2）根據(jù)（1）得，然后證明即可．【詳解】（1）解：證明：在和中，

∴．（2）解：由（1）知，∴

，

在和中，

∴，

∴．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，熟記全等三角形的性質(zhì)與判定是解題關(guān)鍵．【考點(diǎn)五用HL證明兩直角三角形全等】例題：（2023·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在和中，于A，于D，，與相交于點(diǎn)O．求證：．【答案】見解析【分析】由即可證明．【詳解】證明：∵，，∴，在和中，，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定，熟練掌握直角三角形全等的判定是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2023春·廣東河源·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，點(diǎn)A，D，B，E在同一直線上，．(1)求證：；(2)，求的度數(shù)．【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）先說(shuō)明，再根據(jù)即可證明結(jié)論；（2）由（1）可知，再利用平角的性質(zhì)即可解答．【詳解】（1）解：∵，∴，∴，在和中，∴．（2）解：∵，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、平角的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，熟練掌握全等三角形的判斷與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．2．（2023春·七年級(jí)單元測(cè)試）如圖，已知相交于點(diǎn)O，，于點(diǎn)M，于點(diǎn)N，．(1)求證：；(2)試猜想與的大小關(guān)系，并說(shuō)明理由．【答案】(1)見解析(2)，理由見解析【分析】（1）根據(jù)可證明；（2）根據(jù)證明可得結(jié)論．【詳解】（1）證明：∵，∴，即，∵，，∴，在和中，，∴；（2）解：，理由如下：∵，∴，在和中，，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定，熟練掌握全等三角形的判定定理是解題的關(guān)鍵．【考點(diǎn)六添一個(gè)條件使兩三角形全等】例題：（2023·浙江·八年級(jí)假期作業(yè)）如圖，D在上，E在上，且，補(bǔ)充一個(gè)條件______后，可用“”判斷．

【答案】或【分析】由于兩個(gè)三角形已經(jīng)具備，，故要找邊的條件，只要不是這兩對(duì)角的夾邊即可．【詳解】解：∵，，∴若用“”判斷，可補(bǔ)充的條件是或；故答案為：或．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定，熟知掌握判定三角形全等的條件是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2023·黑龍江雞西·校考三模）如圖，點(diǎn)在一條直線上，已知，請(qǐng)你添加一個(gè)適當(dāng)?shù)臈l件_________使得．（要求不添加任何線段）

【答案】（答案不唯一）【分析】由可得，再根據(jù)三角形全等的證明，可知可以添加條件為：兩邊及其夾角（）、兩邊及一邊（）即可解答．【詳解】解：∵，∴，∵，∴可添加條件為：可證明或可證明．故答案為：（答案不唯一）．【點(diǎn)睛】本題主要考查的是三角形全等判定，掌握證明全等三角形的方法有：,特別是不能判定三角形全等是解題的關(guān)鍵．2．（2023·北京大興·統(tǒng)考二模）如圖，點(diǎn)，，，在一條直線上，，，只需添加一個(gè)條件即可證明，這個(gè)條件可以是________（寫出一個(gè)即可）．【答案】或或或（答案不唯一）．【分析】根據(jù)，或添加條件即可求解．【詳解】解：∵，∴，∵，∴，即，則有邊角兩個(gè)條件，要添加一個(gè)條件分三種情況，（1）根據(jù)“”，則可添加：，（2）根據(jù)“”，則可添加：或，（3）根據(jù)“”，則可添加：，故答案為：或或或（答案不唯一）．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定，解此題的關(guān)鍵是熟練掌握全等三角形的幾種判斷方法．3．（2023秋·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，已知，要使用“”證明，應(yīng)添加條件：_______________；要使用“”證明，應(yīng)添加條件：_______________________．【答案】（或）（或）【分析】根據(jù)：斜邊與直角邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等，使，已知，，添加的條件是直角邊相等即可；要使用“”，需要添加角相等即可．【詳解】解：已知，，要使用“”，添加的條件是直角邊相等，故答案為：（或）；要使用“”，需要添加角相等，添加的條件為：（或）．故答案為：（或）．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定．本題的關(guān)鍵是，全等三角形的5種判定方法中，選用哪一種方法，取決于題目中的已知條件，若已知兩邊對(duì)應(yīng)相等，則找它們的夾角或第三邊；若已知兩角對(duì)應(yīng)相等，則必須再找一組對(duì)邊對(duì)應(yīng)相等，且要是兩角的夾邊，若已知一邊一角，則找另一組角，或找這個(gè)角的另一組對(duì)應(yīng)鄰邊．【過(guò)關(guān)檢測(cè)】一、選擇題1．（2023·湖南永州·統(tǒng)考三模）判定三角形全等的方法有（

）①；②；③；④；⑤A．①②③④ B．①②③⑤ C．①②④⑤ D．①③④⑤【答案】A【分析】根據(jù)判定三角形全等的方法分析即可求解．【詳解】解：判定三角形全等的方法有①；②；③；④，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了判定三角形全等的方法，熟練掌握判定三角形全等的判定定理是解題的關(guān)鍵．2．（2023春·廣東佛山·八年級(jí)校考期中）如圖，，要根據(jù)“”證明，則還需添加一個(gè)條件是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)利用“”證明，則需要有一直角邊對(duì)應(yīng)相等，斜邊對(duì)應(yīng)相等，結(jié)合已知條件進(jìn)行分析即可【詳解】解：添加條件，根據(jù)現(xiàn)有條件只有一條邊對(duì)應(yīng)相等，不能用“”證明，故A不符合題意；添加條件，根據(jù)現(xiàn)有條件只有兩直角邊對(duì)應(yīng)相等，不能用“”證明，故B不符合題意；添加條件，理由是：∵，∴，在和中，，∴，故C符合題意；添加條件，根據(jù)現(xiàn)有條件只有一條邊對(duì)應(yīng)相等，不能用“”證明，故A不符合題意；故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了全等三角形的判定，注意用“”證明兩直角三角形全等時(shí)，一定要有一直角邊對(duì)應(yīng)相等，斜邊對(duì)應(yīng)相等．3．（2023·江蘇宿遷·統(tǒng)考三模）如圖，已知，添加一個(gè)條件，不能使的是（

）

A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)圖形可知證明已經(jīng)具備了一個(gè)公共角和一對(duì)相等邊，因此可以利用、、證明兩三角形全等．【詳解】解：，，∴可以添加，此時(shí)滿足；添加條件，此時(shí)滿足；添加條件，此時(shí)滿足，添加條件不能使；故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定，是一道開放題，解題的關(guān)鍵是牢記全等三角形的判定方法．4．（2023·全國(guó)·八年級(jí)假期作業(yè)）如圖，點(diǎn)E在外部，點(diǎn)D在的邊上，交于F，若，，則（

）．

A． B． C． D．【答案】D【分析】首先根據(jù)題意得到，，然后根據(jù)證明．【詳解】解：∵，∴，∴，∵，，∴，∴在和中，，∴，故選：D．【點(diǎn)睛】此題主要考查全等三角形的判定，解題的關(guān)鍵是熟知全等三角形的判定定理．5．（2023春·上海寶山·七年級(jí)?？计谥校┤鐖D，已知，，從①，②，③，④這四個(gè)條件中再選一個(gè)使，符合條件的有（

）

A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】C【分析】根據(jù)已知條件知道一邊，一角，添加得條件后，只要不是邊邊角，即可證明．【詳解】解：∵，∴,即，①∵，，∴，故①正確；添加③，則添加④，則添加條件②，不能證明，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定，熟練掌握全等三角形的判定定理是解題的關(guān)鍵．二、填空題6．（2023·全國(guó)·八年級(jí)假期作業(yè)）如圖，與相交于點(diǎn)，且是的中點(diǎn)，則與全等的理由是________．

【答案】/邊角邊【分析】根據(jù)全等三角形的判定定理求解即可．【詳解】解：∵是的中點(diǎn)，∴在和中，∴，故答案為：．【點(diǎn)睛】此題考查了全等三角形的判定，熟記全等三角形的判定定理是解題的關(guān)鍵．7．（2023·廣東茂名·統(tǒng)考一模）如圖，點(diǎn)、、、在同一直線上，，，添加一個(gè)條件，使，這個(gè)條件可以是______．（只需寫一種情況）

【答案】或或或（答案不唯一）【分析】先證明及，然后利用全等三角形的判定定理分析即可得解．【詳解】解∶或或或，理由是∶∵，∴，∵，∴即，當(dāng)時(shí)，有，則，當(dāng)時(shí)，則，當(dāng)時(shí)，則，當(dāng)時(shí)，則，故答案為∶或或或．【點(diǎn)睛】本題考查了對(duì)全等三角形的判定定理的應(yīng)用，掌握全等三角形的判定定理有，，，是解題的關(guān)鍵．8．（2023秋·浙江杭州·八年級(jí)?？奸_學(xué)考試）如圖，已知，要說(shuō)明，

（1）若以“”為依據(jù)，則需添加一個(gè)條件是__________；（2）若以“”為依據(jù)，則需添加一個(gè)條件是__________．【答案】【分析】（1）根據(jù)可添加一組角相等，故可判定全等；（2）根據(jù)可添加一組角相等，故可判定全等；【詳解】解：（1）已知一組角相等和一個(gè)公共邊，以“”為依據(jù)，則需添加一組角，即故答案為：；（2）已知一組角相等，和一個(gè)公共邊，以“”為依據(jù)，則需添加一組角，即．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查三角形全等的判定方法，判定兩個(gè)三角形全等的一般方法有：．添加時(shí)注意：不能判定兩個(gè)三角形全等．9．（2023·浙江·八年級(jí)假期作業(yè)）如圖，把兩根鋼條的中點(diǎn)連在一起，可以做成一個(gè)測(cè)量工件內(nèi)槽的工具（卡鉗）．在圖中，若測(cè)量得，則工件內(nèi)槽寬_________．

【答案】【分析】根據(jù)三角形全等的判定可知，從而得到．【詳解】解：由題意可知，，，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的應(yīng)用，熟記全等三角形的判定與性質(zhì)是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．10．（2023·全國(guó)·八年級(jí)假期作業(yè)）如圖，在中，，，，分別是，，上的點(diǎn)，且，，若，則的度數(shù)為_____．

【答案】/92度【分析】由條件可證明，再結(jié)合外角的性質(zhì)可求得，再利用三角形內(nèi)角和可求得．【詳解】解：，，在和中，，，，，，，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查全等三角形的判定和性質(zhì)及三角形內(nèi)角和定理，利用條件證得是解題的關(guān)鍵．三、解答題11．（2023·浙江衢州·三模）已知：如圖，與的頂點(diǎn)A重合，．求證：．

【答案】見解析【分析】證明，可以得到，即可得到．【詳解】證明：∵，∴，∴，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握全等三角形的證明方法．12．（2023春·廣東茂名·七年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，，，．求證

(1)；(2)．【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】（1）利用證明三角形全等即可；（2）利用全等三角形的性質(zhì)證明，再平行線的判定即可證明．【詳解】（1）證明：∵，∴；在與中，，∴；（2）證明：由（1）可知，，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題考查的是全等三角形的判定與性質(zhì)，平行線的判定，掌握“證明兩個(gè)三角形全等”是解本題的關(guān)鍵．13．（2023·浙江·八年級(jí)假期作業(yè)）如圖，在中，，點(diǎn)是的中點(diǎn)，點(diǎn)在上．

(1)與全等嗎？說(shuō)明你的理由；(2)請(qǐng)說(shuō)明的理由．【答案】(1)，見解析(2)見解析【分析】（1）由點(diǎn)是的中點(diǎn)可得，又，可證；（2）由（1）中可得，又，可證，從而得證．【詳解】（1），理由如下：∵是的中點(diǎn)，∴，在和中，，∴；（2）由（1）知，∴，即，在和中，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的證明，掌握全等三角形的證明方法是解題的關(guān)鍵．14．（2023春·全國(guó)·七年級(jí)專題練習(xí)）如圖，已知：AB＝AC，BD＝CD，E為AD上一點(diǎn)．(1)求證：△ABD≌△ACD；(2)若∠BED＝50