2022年高三數(shù)學(xué)訓(xùn)練 第3講 三角函數(shù)選擇壓軸題（解析版）

第3講三角函數(shù)選擇壓軸題

一、單選題

1.（湖北武漢市?高三月考）設(shè)函數(shù)/（x）=2sin3x+e）—1（o＞0）,若對于任意實數(shù)0,/G）在區(qū)間

713兀

上至少有2個零點，至多有3個零點,則①的取值范圍是（)

8期

A.3'3)D.鴻）

【答案】B

【分析】t=cox+（p,只需要研究sin片g的根的情況，借助于y=sin/和y的圖像，根據(jù)交點情況,

列不等式組，解出口的取值范圍.

【解析】令/（x）=0,則sin（（yx+e）=；,令t=（ox+（p,貝ijsin/=；,則問題轉(zhuǎn)化為y=sinf在區(qū)間

JI37r1

—co+（p,—co+（p上至少有兩個，至少有三個/，使得sin/=—，求①的取值范圍.

_44J2

作出y=sin/和y的圖像，觀察交點個數(shù)，

23

2萬＜［子啰+9）-1?0+8）＜2%+］不，解得：4＜a）＜—.故選B.

【點睛】研究產(chǎn)心加（3X+P）+8的性質(zhì)通常用換元法（令t=a）x+（p）,轉(zhuǎn)化為研究y=sinf的圖像和性質(zhì)較

為方便.

2.（安徽淮北市?高三一模（理））函數(shù)/（x）=2sin|x+?）+cos2x的最大值為（

)

A.1+V2B.土巴C.2V2D.3

2

【答案】B

【分析】利用誘導(dǎo)公式及二倍角公式可得/(x)=2sin(x+?)+sin2(x+?),令夕=x+(,將函數(shù)轉(zhuǎn)

化為/(e)=2sin6+sin2。，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，即可求出函數(shù)的最值，即可得解;

【解析】：/(x)=2sin[x+()+cos2x,

人八萬

/./(x)—2sinIx+—I+sin2lx+—1=2sin—I+2sinIx+—IcosIx+—令9=XH----，

4

則/(6)=2sin。+2sin6cos8=2sin。+sin20,

則/'⑻=2cos0+2cos26=2(2cos2^-l)+2cos^=4cos26+2cos6-2,

令/'(。)=0，得cos6=-l或cos6=；,

當(dāng)一IccosOc；時，/'(夕)<0；g<cos8<l時/'(。)〉0，

.?.當(dāng)cos8=工時，取得最大值，此時5沿8=且，，/'(x)=2x—+2x—xl=—,故選

22、小2222

B.

【點睛】本題考查三角恒等變換及三角函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用，解答的關(guān)鍵是利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性從而

求出函數(shù)的最值.

3.(天津濱海新區(qū)?高三月考)將函數(shù)/(x)=cosx的圖象先向右平移9萬個單位長度，再把所得函數(shù)圖象

6

1(jr37r、

的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼囊?。＞0)倍，縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù)g(x)的圖象，若函數(shù)g(x)在不工-上沒有

co\22J

零點，則。的取值范圍是()

2d_288-

A-_--Ba-

9—399

-

2_8

-

Ca-_-1Da1

999-

【答案】A

【分析】根據(jù)圖象變換求出g(x)的解析式，利用周期縮小啰的范圍，再從反面求解可得結(jié)果.

【解析】將函數(shù)f(x)=cosx的圖象先向右平移一萬個單位長度，得到y(tǒng)=cos(x-f—)的圖象,

66

再把所得函數(shù)圖象的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼墓?3>0)倍，縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù)

(0

g(x)=cos(DX-----(69>0),周期T=——,

I6JCD

?..函數(shù)g(x)在(工，包］上沒有零點，紅一工4工，得TN2萬，得@22%，得0<0?1,

V22)222co

/、(兀37V]

假設(shè)函數(shù)g(x)在上有零點，

122

兀，…，0

./、八,口5乃.kjv47rf

令g(x)=0，得----=kjiH—，kEZf得x=----1------，keZ,

62o)3(o

7tATF4〃3冗,口82左82,丁

則nI一<—+—<—，得一十—<co<-+2k,keZ,

2o)3a>2933

228

又0</工1,，一<G<一或一<G?1,

939

(兀34、

又函數(shù)g(x)在(于彳J上有零點，且0<<9〈1,

228

0<69?—或一一，故選A.

939

【點睛】關(guān)鍵點點睛：求出函數(shù)g(x)的解析式，利用間接法求解是解決本題的關(guān)鍵.

/.cos—x-l,x>0,

4.(中學(xué)生標(biāo)準(zhǔn)學(xué)術(shù)能力3月測試)已知函數(shù)/(x)=J(2)(a〉0且aHl),若函數(shù)圖象

-log(/(-x),x<0,

【答案】A

【分析】由于歹=-log“(-x)(x<0)關(guān)于原點對稱得函數(shù)為_y=log“x(x>0),由題意可得,

=-

-VCOS［TX)1與y=l砥X的圖像在x>0的交點至少有3對，結(jié)合函數(shù)圖象，列出滿足要求的不等式,

即可得出結(jié)果.

［解析】y=Tog”(—x)(x<0)關(guān)于原點對稱得函數(shù)為y=log“x(x>0).

（0,1）,如圖所示,

當(dāng)x=6時.，log"6>-2,則0<〃<如，故實數(shù)。的取值范圍為

，故選A.

6

【點睛】本題考查函數(shù)的對稱性，難點在于將問題轉(zhuǎn)換為歹=COS-1與y=log“x的圖像在x〉0的

交點至少有3對，考查了運算求解能力和邏輯推理能力，屬于難題.

5.（江蘇徐州市?徐州一中高三期末）已知函數(shù)/（x）在（0,1）恒有礦（x）>2/（x）,其中江'（x）為函數(shù)

/（X）的導(dǎo)數(shù)，若tz,尸為銳角三角形兩個內(nèi)角，則（）

A.sin2/3f(sina)>sin2a/(sin/3)B.cos2/3f(sina)>sin2af(cos/3)

C.cos2/?/(coscz)>cos2<z/(cos/?)D.sin2^/(costz)>sin2af(cosy?)

【答案】B

【分析】構(gòu)造函數(shù)g(x)=/F(0<x<l),求導(dǎo)可知函數(shù)g(x)在(0,1)上為增函數(shù)，由已知條件可知

0<|-^<a<|,即0<cos/?<sina<l,再根據(jù)函數(shù)g(x)在(0,1)上的單調(diào)性即可得解.

/

［解析】設(shè)g(x)=寫(0<x<1),則g，⑺=KM12x、(x)=x-/(x)-2-/(x)>0

...函數(shù)g(x)在(0,1)上單調(diào)遞增.

rr

a,￡為銳角三角形兩個內(nèi)角，則&+夕>,

/.0<|->5<?<|,由正弦函數(shù)>=sinx在上單調(diào)遞增.

則0<cos/?=sin^y-y5^<sina<1

/.\/(cos⑶/(sina)

.?.g(cos〃)<g(sina),即.[/<人匚~-

cos~psina

：.sin2cz-/(cos^)<cos2/?-/(sina),故選B.

【點睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，同時也涉及了三角函數(shù)的變換及其性質(zhì)，考查構(gòu)造思想及

轉(zhuǎn)化思想，考查化簡變形能力及邏輯推理能力，屬于中檔題.

6.(和平區(qū),天津一中高三月考)已知函數(shù)/'(X)=sins-CcosGx(69〉0,x￡R)的圖象與％軸交點的橫

7TTT

坐標(biāo)構(gòu)成一個公差為一的等差數(shù)列，把函數(shù)/(X)的圖象沿x軸向左平移一個單位，橫坐標(biāo)伸長到原來的2

23

倍得到函數(shù)g(x)的圖象，則下列關(guān)于函數(shù)g(x)的結(jié)論，其中所有正確結(jié)論的序號是()

①函數(shù)g(x)是奇函數(shù)

-TT

②g(x)的圖象關(guān)于直線X=一對稱

6

771T

③g(x)在一§，§上是增函數(shù)

④當(dāng)xe時，函數(shù)g(x)的值域是[0,2]

_66J

A.①③B.③④C.②D.②③④

【答案】C

【分析】先根據(jù)輔助角公式化簡了(x),然后利用已知條件求解出口的值，再根據(jù)圖象的變換求解出g(x)

的解析式；①根據(jù)g(x)解析式判斷奇偶性；②根據(jù)g用的值判斷對稱性；③采用整體替換的方法判斷單

調(diào)性；④利用換元法的思想求解出值域.

【解析】Vf(x)=sincox->/3coscox=2sin[cox-y，又v=/(x)的圖象與X軸交點的橫坐標(biāo)構(gòu)成一

4T九■_2乃71

個公差為一的等差數(shù)列，，一=2,/./(x)=2sin|2x--I,

2222(t)3

.?./(x)向左平移0個單位得到y(tǒng)=2sin0X+?J,

3

71

y2sin2x+9橫坐標(biāo)伸長到原來2倍得到g(x)=2sin|x+—

33

71

①g(x)=2sinx+7為非奇非偶函數(shù)，故錯誤;

3

(7171

②g￡=2sin一+一=2=8卜),用，x=￡是g(x)的一條對稱軸，故正確;

I6(63.6

717171n2"

(3)VX~\—￡。'-5-，

3

2477T1T7T1

又???y=2sinf在0,y上先增后減，.?.g(x)在一上不是增函數(shù)，故錯誤;

33

,7171717t7t

④當(dāng)時,X+一e

663

c?乃II?_L兀

，g(x)mx=2si吟2,此時x/g(￡Ln2sin—=I1,此時x=—，

66

.?.g(x)的值域為[1,2],故錯誤；故選C.

【點睛】思路點睛：求解形如，=力$而(5+3)的函數(shù)在指定區(qū)間上的值域或最值的一般步驟如下:

(1)先確定，=&x+*這個整體的范圍;

(2)分析歹=Nsinf在(1)中范圍下的取值情況;

(3)根據(jù)取值情況確定出值域或最值，并分析對應(yīng)的x的取值.

sinfa+yj-l

7.(遼寧高三二模)若tan4=l,則

)

23

sin(3兀-a)

1I

A.---B.-3C.一D.3

33

【答案】A

.（5無）［

sincc4-------1

【分析】先根據(jù)誘導(dǎo)公式化簡得I2J一cosa-l,再結(jié)合半角公式整理得

sin（37i-a）sina

.(5n\

sina+——-1,,

I2)cosa-1a1.

-=-tan—=—

sin(3兀-a)----sina-------------23

.（5兀、

sina+——1

【解析】由誘導(dǎo)公式化簡整理得：I2J_cosa-1,

sin（3無一a）sina

由于cosa=1-2sin2—,sinor=2sin—cos—,

222

sin[a+,]-l-2sin2—

.I2)_cosa-1_________2

—,故選A.

sin(\3冗一a)>sina2sin-a-cos—a3

22

【點睛】題考查誘導(dǎo)公式化簡，半角公式，同角三角函數(shù)關(guān)系，考查運算求解能力，本題解題的關(guān)鍵在于

尋找a與里之間的關(guān)系，從半角公式入手化簡整理.考生需要對恒等變換的相關(guān)公式熟記.

2

8.（安徽皖北協(xié)作區(qū)3月聯(lián)考（文））已知函數(shù)/（x）=sinGx（sin（yx+cosftzx）-；（＜o(jì)＞0）在區(qū)間（0,萬）上

恰有1個最大值點和1個最小值點，則3的取值范圍是（）

711)77972、

A.B.C.D.

W'W858

【答案】B

【分析】化簡得到/（勸=浮37rS77

sin2（yx--j-根據(jù)最值點,得二＜2①萬-巴《二,解得答案.

4242

…上6乙、?z.、11-cos2coxsin2Gx1V2.<九)

【解析】/(%)=sind>x(sincox+coscox)--=--------------1-------------=sm[2。%——

?「x￡(0,〃),e(0,2口乃),2CDX--EI--,269^--

???/'(x)在(0,萬)上恰有1個最大值點和1個最小值點，

---<2ct)7T-----W----，解得一<69W—.故選B.

24288

【點睛】方法點睛：本題考查了根據(jù)三角函數(shù)的最值求參數(shù)，研究三角函數(shù)的性質(zhì)基本思想是將函數(shù)轉(zhuǎn)化

為丁=力5m（5+夕）+8（力＞0,啰＞0）的形式，熱后應(yīng)用整體思想來研究其相關(guān)性質(zhì)，考查學(xué)生的邏輯推

理與運算能力，屬于一般題.

9.（內(nèi)蒙古赤峰市?高三月考（文））已知函數(shù)/（x）=Zsin（5+e）（Z＞0,帆＜$的圖像如圖所示，且〃x）

的圖像關(guān)于點（后,0）對稱，則|玉）|的最小值為（）

【答案】B

【分析】先由函數(shù)圖像求出函數(shù)/'（x）=2sinXH--，再根據(jù)函數(shù)關(guān)于（%，0）對稱求出玉）=左左一^，從

6；6

而當(dāng)左=0時，取得最小值為

【解析】由題可知Z=2,7=?x?左一￡]=2%，；.iy=2^=l,

3163JT

則/(x)=2sin(x+e),/gj=2sin[：+夕)=2,

—(D—2kjiH—，

332

又網(wǎng)＜5,71.-./（x）=2sinfx+^j,由〃x）的圖像關(guān)于點（%,0）對稱，可得

:.(p=~6

X。+%■=左不，X。=左萬一w，；,當(dāng)左=0時，|x0|取得最小值為不，故選B.

【點睛】已知y（x）=/si〃（5：+9）（/＞0,。＞0）的部分圖象求其解析式時，/比較容易看圖得出，困難的是求

待定系數(shù)3和外常用如下兩種方法：

（1）由。=亍;即可求出。；確定9時，若能求出離原點最近的右側(cè)圖象上升（或下降）的“零點”橫坐標(biāo)xo,則令

口X0+9=0（或口枇+*=九），即可求出外

(2)代入點的坐標(biāo)，利用一些已知點(最高點、最低點或“零點”)坐標(biāo)代入解析式，再結(jié)合圖形解出。和夕，若

對43的符號或?qū)Α５姆秶幸?，則可用誘導(dǎo)公式變換使其符合要求.

10.(北京海淀區(qū)?高三期中)函數(shù)①/(x)=sinx+cosx,②/(尤)=sinxcosx,③

/(x)=cos2(x+?)-;中，周期是乃且為奇函數(shù)的所有函數(shù)的序號是()

A.①②B.②C.③D.②③

【答案】D

【解析】對于①/(x)=sinx+cosx,./'(x)=^/Isin(x+?),周期為兀，但不是奇函數(shù):

127r

對于②/(x)=sinxcosx,小)=”2-周期為T.s

又/(-x)=；sin(-2x)=-；sin2x=-/(x),故/(x)=sinxcosx符合題意；

-/，、2(乃)1//、2(乃)11(c乃、.C

對于③/(x)=cos~[x+彳J-萬，/(%)=cosIx+—I--=~cosI2x+y1=-sin2x,

由②推導(dǎo)過程可知：/(x)=cos2x+?周期是乃且為奇函數(shù)，符合題意，故選D.

【點睛】三角函數(shù)問題通常需要把它化為“一角一名一次'’的結(jié)構(gòu)，借助于V=SinX或丁=COSX的性質(zhì)解題:

(1)求周期用7=——；(2)判斷奇偶性,一般用/(x)=-/(x)或〃x)=/(-x).

CD

1

11.(內(nèi)蒙古赤峰市,圖二月考(理))已知Q￡(—一,—),cos(6zH—)=—，則sin(2aH—)=()

22653

476

D.

5

【答案】C

、

711171

【解析】由aea-\■—=—<—=cos—

67523

71乃2萬、

01H-----G

6)

sin2a+工=2sin

I3J

【點睛】利用三角公式求三角函數(shù)值的關(guān)鍵:

（1）角的范圍的判斷；

（2）根據(jù)條件選擇合適的公式進(jìn)行計算.

12.（河南九師聯(lián)盟3月聯(lián)考）已知函數(shù)/（x）=cos1<yx+?］（（y>0）,若/.（x）在區(qū)間（肛2外上不存在

零點，則。的取值范圍是（）

17

6512

17

【答案】B

【分析】由/（力在區(qū)間（%,2%）上不存在零點，計算出再計算出函數(shù)/（X）的零點為

jrK7T

x==L+絲（左eZ）,根據(jù)零點所在的范圍，判斷出0的取值范圍.

6af0）

【解析】函數(shù)“X）的最小正周期為7=紅，由函數(shù)/（x）=cos（s+f］在（肛2］）上不存在零點，可

得122乃一乃，J0</41,函數(shù)/（X）的零點為①x+&=2+左左（kEZ）,即工二2十/（左EZ）,

■rrKTT\6k+16k+1

若乃<——+—<2乃（左eZ）,則<y<%+—<2<y.eZ）,二<CD<（左eZ）,

1177

V0<691,=0,1,當(dāng)左二0時，得—<69<一,當(dāng)左=1時，得—<69<一,

126126

7

又0<69W1,<①W1.

12

?.?函數(shù)〃尤）在（肛2%）上不存在零點，.?.在（0』內(nèi)去掉上述范圍，得符合條件的0取值范圍為

（1］「17一

0,77u，故選B

V12J|_612_.

【點睛】三角函數(shù)求。的范圍：

①利用周期求0的范圍：利用周期公式，借助于平移或誘導(dǎo)公式即可解決；②已知值域求口的范圍：運用

整體思想，將值域問題轉(zhuǎn)化為基本函數(shù)V=sinx上結(jié)合推行即可解決；③已知零點情況求口的范圍.

13.（江西八校4月聯(lián)考（文））函數(shù)/（x）=（x-1卜os（'x）的圖象可能為（）

【分析】求出函數(shù)/.（X）的定義域，分析函數(shù)/（X）的奇偶性及其在（0,1）上的函數(shù)值符號，結(jié)合排除法可

得出合適的選項.

【解析】函數(shù)/（x）=°｝，

一」一卜05（-分）=一1一工卜05（受=一/（》），函數(shù)/（X）為奇函數(shù)，排除BC選項；

當(dāng)0<X<I時，x__L=占二L<0,0<y<|,則cos（￡）>0,.?./'（x）<0,排除D選項.故選A.

【點睛】思路點睛：函數(shù)圖象的辨識可從以下方面入手:

（1）從函數(shù)的定義域，判斷圖象的左右位置；

（2）從函數(shù)的值域，判斷圖象的上下位置.

（3）從函數(shù)的單調(diào)性，判斷圖象的變化趨勢；

（4）從函數(shù)的奇偶性，判斷圖象的對稱性；

（5）函數(shù)的特征點，排除不合要求的圖象.

14.（天一大聯(lián)考（理））若函數(shù)/（x）=sin〔5+：|3>0）在上單調(diào)，且在（0,日上存在極值點,

則。的取值范圍是（）

JZ

A.B.C.J?6D.

【答案】C

【分析】依據(jù)函數(shù)在I，兀上單調(diào)，可知。W2,計算出函數(shù)的對稱軸，然后根據(jù)函數(shù)在所給區(qū)間存在極

77r

值點可知——＞71,最后計算可知結(jié)果.

6（0

27r

【解析】；/（x）在加上單調(diào)，.??72%,則一＞71,由此可得勿＜2.

（0

71.

??、1，兀兀[Hn--FK,7t

?當(dāng)COXH--=Fk汽，即6/j=\時，函數(shù)取得極值,

32^=--------(k^Z)

co

欲滿足在（（），?上存在極值點，：周期72%,故在（0,。）上有且只有一個極值,

TTyr177r77r4

故第一個極值點x=2〈巴，得①〉—.又第二個極值點x=匕〉2,

6①326co122

要使“X）在（三，九］上單調(diào)，必須上2%,得綜上可得，0的取值范圍是.故選C.

U）6（D6126J

【點睛】思路點點睛：第一步：先根據(jù)函數(shù)在所給區(qū)間單調(diào)判斷。；第二步：計算對稱軸；第三步：依據(jù)

TTTT77r

函數(shù)在所給區(qū)間存在極值點可得一＜-,—之乃即可.

6G36①

15.（江西八校聯(lián)考（文））在△ZBC中，AB=3fBC=5,。為邊上一點，且滿足麗=3嵐，此

2

2兀

時N/OC=—,則ZC邊長等于（）

3

A.77B.|C.4D.719

【答案】D

—3—■

【分析】本題首先可以結(jié)合題意繪出圖像，然后根據(jù)3。=—。。求出8。、長，再然后在中

2

通過余弦定理求出AD,最后在△ZOC中通過余弦定理即可求出ZC長.

【解析】如圖，結(jié)合題意繪出圖像,

n

DC=2,,：ZADC=—：.ZADB=-

33

在△48。中，AD2+BD2-AB2=2^\4DBD怒osADB.

即4)2+32-32=2倉3_L,解得4)=3或0(舍去)，AD=3,

2

在AZOC中，AD2+DC2-AC2=2^'l4DDC癡sADC，W32+22-/IC2=2^'B2礴;,解

得AC=M，故選D.

【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題考查解三角形相關(guān)問題的求解，主要考查余弦定理解三角形，考查的公式為

a2+b2-c2^2abcosC，考查計算能力，是中檔題.

16.(湖南衡陽市?高三一模)已知函數(shù)/(X)=COS3X(?>0),將/(x)的圖像向右平移;匚個單位得到

3co

函數(shù)g(x)的圖像，點A,。是/(x)與g(x)圖像的連續(xù)相鄰三個交點，若AZBC是鈍角三角形,

則。的取值范圍為(

A.C.丁，+8

【答案】B

【分析】先由平移變換得到g(x)=cosLyx-y,在同一坐標(biāo)系中作出兩個函數(shù)圖像，設(shè)。為ZC的中

點，由cosft)x=cos[3x-g),cosa>x=+顯,然后根據(jù)AZBC為鈍角三角形，只須N4C8〈工，由

24

RD

tanZACB=——<1求解.

DC

【解析】由題意得，g(x)=cosfiyx-yj,作出兩個函數(shù)圖像，如圖:

y

由對稱性，則△ZBC是以D8為頂角的等腰三角形，AC=T=——,

CD

由cosfox=cos-,整理得cos（yx=6sin（yx，解得tan6yx=且，則cos@c=±也，

k3J32

即%=_%=*，???5D=2|%|=6?；A48C為鈍角三角形，則—

；?tanNACB=<1，解得0<（y<^^乃，故選B.

DC7i3

【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題關(guān)鍵是將△力8c為鈍角三角形，轉(zhuǎn)化為乙4cB（三,利用tan4C3=處<1

4DC

而得解.

17.（天津南開區(qū)?高三一模）已知函數(shù)/.（1）=65淪的一85的（口〉0）滿足/（石）一/"2）=4,且

上一引的最小值為'，則/11］的值為（）

A.屎-應(yīng)B.1C.V3D.2

2

【答案】A

【分析】化簡函數(shù)/（x）的解析式，由題意可知，歸-馬|的最小值為《，可求得。的值，進(jìn)而可計算出f

的值.

沙＞0),則/(X)3=2,/(x)

［解析】/(x)=VJsincox-coscox=2sincox-1nhi=-2,

且/(xj-/(工2)=4=〃X)M-/'(x)min,

T142TT

設(shè)函數(shù)/"）的最小正周期為7,則打一刃=彳=7，："二萬二一，可得力=2,

2269

m

/(%)=73sin2x-cos2x,因此,，闈3＞吟=『.故選A.

【點睛】方法點睛：求三角函數(shù)周期的方法:

（1）定義法：利用周期函數(shù)的定義求解；

（2）公式法：對形如y=Zsin（（yx+s）或歹=/cos?x+e）（A、3、。為常數(shù)，4。0,0）的

_271

函數(shù)，周期T=L；

（3）圖象法：通過觀察函數(shù)的圖象求其周期.

18.（江西八校4月聯(lián)考（理））在AZBC中，內(nèi)角A、8、C所對的邊分別為a、6、c,若角A、C、8成等

差數(shù)列，角C的角平分線交于點。，且CQ=Ji，a=3b,則c的值為（）

7「4幣

A.3B.-L?----D.2A/3

23

【答案】C

.BDBCa

【解析】?.?CD是N/CE平分線,..==—=3,DU-=-c,AD=-

DAACh44

TT

角A、C、8成等差數(shù)列，.?.Z+BuZC,而Z+3+C=乃，；.C=—,

3

在公BCD中.BD2=BC2+CD2-2BCCDcosZBCD，

即2c2=/+3-2axGcos—=a2+3-3a,

166

△DCA中中，DA?=CD2+CA2-2CDCAcos/DCA，

a2—3a+3=—c2

16a=4

即J-c?=3+b2_2VJbcos工=3+/-36,由，4

b2-3b+3=—c2,解得，b=—.故選C

166163

a=3b477

c=----

13

71

【點睛】方法點睛：本題考查余弦定理解三角形，解題方法是由等差數(shù)列得出。=一，由角平分線得

6

ZACD=ZBCD=-,同時由解平分線定理得處=3,然后在兩個三角形中應(yīng)用余弦定理求解.

6AD

19.（華大新高考聯(lián)盟）已知中，D、E分別是線段BC、ZC的中點，4D與BE交于點、0,且

/8。。=90°,若8。=2,則△NBC周長的最大值為（）

A.2+2函B.2+y/iOc.2+2岔D.2+475

【答案】A

【分析】推導(dǎo)出。為A/BC的重心，可得出ZD=3,利用平面向量加法的平行四邊形法則可得出

uumuunuum??

2AD^AB+AC-利用平面向量數(shù)量積的運算性質(zhì)結(jié)合余弦定理可得出40=2/82+2/。2,利用基本不

等式可求得Z8+/C的最大值，即可得解.

【解析】在AZSOP,。、E分別是線段8C、ZC的中點，AD與BE交于點、0,則0為的重

>iLsVZ50C=90°.故。。=！8。=1,則40=300=3.

2

AD=AB+BD=AB^--BC=AB+-[AC-ABj=-（AB-^ACy24D=4B+4C，

A4AD=（48+ZCj=AB+AC+248?力C,

J/?2.LAC1-RC2

即4AD2=AB2+AC2+2ABACcosABAC=AB2+AC2+2ABAC-----------------------

2ABAC

=2AB2+2AC2-BC2=2AB2+2AC2-4,

：.40=2AB2+2AC2=AB2+AC2+（AB2+AC2）>AB2+AC2+2AB-AC=（AB+AC^,

：.AB+AC<2y/\0當(dāng)且僅當(dāng)=時，等號成立.

因此，A48。周長的最大值為2而+2.故選A.

【點睛】方法點睛：求三角形周長的最值是一種常見的類型，主要方法有兩類：

（1）找到邊與邊之間的關(guān)系，利用基本不等式來求解；

（2）利用正弦定理，轉(zhuǎn)化為關(guān)于某個角的三角函數(shù)，利用函數(shù)思想求解.

2021

20.（江西八校4月聯(lián)考（文））若Q=2021°2,b=sin-^—乃，c=log20210.21,則（）

A.c<a<bB.b<a<c

C.b<c<aD.c<b<a

【答案】D

【解析1由題得C=log202i0.21<log202il=0，a=202>2021°=1，

b-sinn-sin（404^+y）=sin—e（0,1）,：.a>b>c.故選D.

21.（陜西下學(xué)期質(zhì)檢（文））如圖，已知A,8分別是半徑為2的圓C上的兩點，且4C5=45。，尸為劣

弧28上一個異于A,8的一點，過點P分別作PM_LC4,PNLCB,垂足分別為河，N,則的長

為（）

【答案】B

【分析】「PA/，。（，PNJ.C8可知，MN為四邊形PMCN的外接圓的一條弦，且外接圓直徑為PC=2,

故聯(lián)想到正弦定理來解題.

【解析】?：PMLCA,PNLCB,：.P,N,M，。四點在以PC為直徑的圓上.由題意可知尸。=2,

外接圓的直徑為2,則由正弦定理可得=2.故選B.

sin45°

22.（浙江新高考測評）如圖，。是外一點，若N48C=90。，tan/ZM8=46,AB=5,AD=7,

ZCDB=105°,則CD=()

B

A.272B.4C.40D.8

【答案】C

【分析】由1211/。/3=46得85/胡。=；,在△48。中結(jié)合正余弦定理求解即可.

【解析】由tan/D43=46得cos/胡。=；.在△48。中，由余弦定理得

BD=ylAD1+AB2-2AD-ABcosZBAD=^72+52-2x5x7x1=8.

.AB~+BD~—AD~5~+8?—7-1.,..???

..cosZABD=----------------=-----------=-,則mzZABD=60°.?ZABnC=90°o,

2ABBD2x5x82

AZCBD^30°.在△BCD中,/BCD=180°-30°-105°=45°,二由正弦定理得

_BDsinNCBD_8sin30。

CD=4A/2，故選C.

sinZ5CD-sin45°

【點睛】方法點睛：用正、余弦定理解決平面多邊形問題時，應(yīng)把多邊形分割為多個三角形，通過各個三

角形之間的關(guān)系解決問題.

23.(山西臨汾市?高三一模(理))已知/(x)=2sin3x+e)?>0)同時滿足以下條件:

①當(dāng)|/(否)_/(%)|=4時，比一封最小值為名

②代

若/(x)=a在[0,句有2個不同實根朋，n,且帆—〃,?，則實數(shù)。的取值范圍為()

A.[-V3,V3]B.[0,1)C.D.[-1,1)

【答案】D

1G

【解析】函數(shù)/(x)=2sin?x+°)滿足，當(dāng)|/(/)-/(%2)|=4時，N-X2I最小值為

.'.(0=2,函數(shù)/(x)=2sin(2x+。.

x\,故/(x)的圖象關(guān)于直線x=?對稱,

〃■乃兀

故有2x—(p—k冗-\—,即°=kji—,keZ.

326

又〃。)>佃

,即2sine>2sin—+夕=2cos°,即sine>cose，故(p=

函數(shù)/(x)=2sin

f(x)=a在[0,句有2個不同實根根，〃，且|加—根據(jù)2X+-^-E,

2sin—=2sin-!-^=-l,2sin—=2sin|2>7r+—|=2sin|2^+—|=1,/.-1<1,故選D.

666V6J6)

【點睛】