新教材2023年秋高中數學第1章空間向量與立體幾何1.4空間向量的應用1.4.1用空間向量研究直線平面的位置關系第3課時空間中直線平面的垂直學生用書無答案新人教A版選擇性必修第一冊

第3課時空間中直線、平面的垂直學習任務1．能用向量語言表述直線與直線、直線與平面、平面與平面的垂直關系．(數學抽象)2．熟練掌握用方向向量、法向量證明線線、線面、面面間的垂直關系．(邏輯推理、數學運算)由直線上一點及直線的方向向量可以刻畫直線的位置，由平面內一點及平面的法向量可以刻畫平面的位置，那么就可以利用向量運算來判定直線與直線、直線與平面、平面與平面的位置關系．下面我們就利用向量來研究垂直問題．知識點空間中直線、平面垂直的向量表達式位置關系向量表達式線線垂直設直線l1，l2的方向向量分別為μ1，μ2，則l1⊥l2?μ1⊥μ2?μ1·μ2＝0線面垂直設直線l的方向向量為μ，平面α的法向量為n，則l⊥α?μ∥n??λ∈R，使得μ＝λn面面垂直設平面α，β的法向量分別為n1，n2，則α⊥β?n1⊥n2?n1·n2＝0思考辨析(正確的打“√”，錯誤的打“×”)(1)若兩條直線的方向向量的數量積為0，則這兩條直線一定垂直相交． ()(2)若一直線與平面垂直，則該直線的方向向量與平面內的所有直線的方向向量的數量積為0． ()(3)兩個平面垂直，則其中一平面內的直線的方向向量與另一平面內的直線的方向向量垂直． ()(4)若兩平面α，β的法向量分別為μ1＝(1，0，1)，μ2＝(0，2，0)，則平面α，β互相垂直． ()類型1直線和直線垂直【例1】如圖，在四棱錐P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，四邊形ABCD是矩形，PA＝AB＝1，F是PB的中點，點E在邊BC上移動．求證：無論點E在邊BC上的何處，都有PE⊥AF．[嘗試解答]用向量法證明直線與直線垂直的方法和步驟(1)基底法：①選取三個不共面的已知向量(通常是它們的模及其兩兩夾角為已知)為空間的一個基底；②把兩直線的方向向量用基底表示；③利用向量的數量積運算，計算出兩直線的方向向量的數量積為0；④由方向向量垂直得到兩直線垂直．(2)坐標法：①根據已知條件和圖形特征，建立適當的空間直角坐標系，正確地寫出各點的坐標；②根據所求出點的坐標求出兩直線方向向量的坐標；③計算兩直線方向向量的數量積為0；④由方向向量垂直得到兩直線垂直．[跟進訓練]1．如圖，△ABC和△BCD所在平面互相垂直，且AB＝BC＝BD＝2，∠ABC＝∠DBC＝120°，E，F分別為AC，DC的中點．求證：EF⊥BC．類型2直線和平面垂直【例2】如圖，在長方體ABCD-A1B1C1D1中，AB＝2，BC＝CC1＝1，E是CD的中點．求證：B1E⊥平面AED1．[思路導引]建立空間直角坐標系要證B1E⊥平面AED1寫出相關點的坐標→求平面AED1的一個法向量→證明B1E與平面AED1[嘗試解答]證明直線與平面垂直的方法(1)選基底，將相關向量用基底表示出來，然后利用向量的計算來證明．(2)建立空間直角坐標系，利用坐標將向量的運算轉化為實數(坐標)的運算，以達到證明的目的．[跟進訓練]2．如圖所示，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F分別是BB1，D1B1的中點．求證：EF⊥平面B1AC．類型3平面與平面垂直【例3】(源自湘教版教材)在四面體ABCD中，AB⊥平面BCD，BC＝CD，∠BCD＝90°，∠ADB＝30°，E，F分別是AC，AD的中點．求證：平面BEF⊥平面ABC．[嘗試解答]證明面面垂直的兩種方法(1)常規(guī)法：利用面面垂直的判定定理轉化為線面垂直、線線垂直去證明．(2)法向量法：證明兩個平面的法向量互相垂直．[跟進訓練]3．如圖所示，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB⊥BC，AB＝BC＝2，BB1＝1，E為BB1的中點，證明：平面AEC1⊥平面AA1C1C．1．已知直線l1的方向向量a＝(1，2，－2)，直線l2的方向向量b＝(－2，3，m)．若l1⊥l2，則m＝()A．1B．2C．12D．2．若直線l的一個方向向量為a＝(1，0，2)，平面α的一個法向量為n＝(－2，0，－4)，則()A．l∥α B．l⊥αC．l?α D．l與α斜交3．如圖，在空間直角坐標系中，正方體的棱長為2，點E是棱AB的中點，點F(0，y，z)是正方