新教材2023年秋高中數(shù)學(xué)課時(shí)分層作業(yè)8空間中直線平面的垂直新人教A版選擇性必修第一冊(cè)

課時(shí)分層作業(yè)(八)空間中直線、平面的垂直一、選擇題1．已知三條直線l1，l2，l3的一個(gè)方向向量分別為a＝(4，－1，0)，b＝(1，4，5)，c＝(－3，12，－9)，則()A．l1⊥l2，但l1與l3不垂直B．l1⊥l3，但l1與l2不垂直C．l2⊥l3，但l2與l1不垂直D．l1，l2，l3兩兩互相垂直2．已知點(diǎn)A(0，1，0)，B(－1，0，－1)，C(2，1，1)，P(x，0，z)．若PA⊥平面ABC，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為()A．(1，0，－2) B．(1，0，2)C．(－1，0，2) D．(2，0，－1)3．(多選)下列利用方向向量、法向量判斷線、面位置關(guān)系的結(jié)論中，正確的是()A．兩條不重合直線l1，l2的方向向量分別是a＝(2，3，－1)，b＝(－2，－3，1)，則l1∥l2B．直線l的方向向量a＝(1，－1，2)，平面α的法向量是u＝(6，4，－1)，則l⊥αC．平面α，β的法向量分別是u＝(2，2，－1)，v＝(－3，4，2)，則α⊥βD．直線l的方向向量a＝(0，3，0)，平面α的法向量是u＝(0，－5，0)，則l∥α4．已知平面α，β的法向量分別為a＝(3λ＋1，0，2λ)，b＝(1，λ－1，λ)，若α⊥β，則λ的值為()A．1或－12 B．1或C．－1或12 D．－1或－5．(多選)如圖所示，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，O是底面ABCD的中心，M，N分別是棱DD1，D1C1的中點(diǎn)，則直線OM()A．和AC垂直B．和AA1垂直C．和MN垂直D．與AC，MN都不垂直二、填空題6．已知a＝(0，1，1)，b＝(1，1，0)，c＝(1，0，1)分別是平面α，β，γ的法向量，則α，β，γ三個(gè)平面中互相垂直的有________對(duì)．7．已知u＝(a＋b，a－b，2)是直線l的一個(gè)方向向量，n＝(2，3，1)是平面α的一個(gè)法向量，若l⊥α，則a，b的值分別為_(kāi)_______．8．在△ABC中，A(1，－2，－1)，B(0，－3，1)，C(2，－2，1)．若向量n是與AB共線的單位向量，則向量n的坐標(biāo)為_(kāi)_______；若向量n與平面ABC垂直，且|n|＝21，則n的坐標(biāo)為_(kāi)_______．三、解答題9．已知正三棱柱ABC-A1B1C1的各棱長(zhǎng)都為1，M是底面上BC邊的中點(diǎn)，N是側(cè)棱CC1上的點(diǎn)，且CN＝14CC1求證：AB1⊥MN．10．如圖所示，在三棱柱ABC-A1B1C1中，側(cè)棱AA1⊥底面A1B1C1，∠BAC＝90°，AB＝AC＝AA1＝1，D是棱CC1的中點(diǎn)，P是AD的延長(zhǎng)線與A1C1的延長(zhǎng)線的交點(diǎn)，若點(diǎn)Q在線段B1P上，則下列結(jié)論正確的是()A．當(dāng)點(diǎn)Q為線段B1P的中點(diǎn)時(shí)，DQ⊥平面A1BDB．當(dāng)點(diǎn)Q為線段B1P的三等分點(diǎn)時(shí)，DQ⊥平面A1BDC．在線段B1P的延長(zhǎng)線上，存在一點(diǎn)Q，使得DQ⊥平面A1BDD．不存在DQ與平面A1BD垂直11．(多選)下列說(shuō)法正確的是()A．如果平面α，β的法向量分別為n1，n2，那么α⊥β?n1·n2＝0B．如果l⊥平面α，l＝(3，－1，－2)為直線l的一個(gè)方向向量，n＝(2，2，2)為平面β的一個(gè)法向量，那么α⊥βC．若直線l的方向向量為(4，2，m)，平面α的法向量為(2，1，－1)，且l⊥α，則m＝2D．在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是A1D1，C1D1的中點(diǎn)，則B1D⊥平面CEF12．(2022·遼寧沈陽(yáng)同澤高中高二上月考)如圖1，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，且AB＝BC＝2AD＝4，E，F(xiàn)分別為AB，CD的中點(diǎn)，沿EF把AEFD折起，使平面AEFD⊥平面EBCF，得到如圖2所示的立體圖形，且以E為坐標(biāo)原點(diǎn)，EB的方向?yàn)閤軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系．若在線段EC上存在點(diǎn)G，使得AG∥平面CDF，則平面CDF的一個(gè)法向量n＝________，EG＝________．13．如圖所示，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，底面是以∠ABC為直角的等腰三角形，AC＝2a，BB1＝3a，D是A1C1的中點(diǎn)，點(diǎn)E在棱AA1上，要使CE⊥平面B1DE，則AE＝________．14．如圖，在四棱錐P-ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD為正方形，PD＝DC，E，F(xiàn)分別是AB，PB的中點(diǎn)．(1)求證：EF⊥CD；(2)在平面PAD內(nèi)求一點(diǎn)G，使GF⊥平面PCB，并證明你的結(jié)論．15．如圖，正方形ADEF所在平面和等腰梯形ABCD所在的平面互相垂直，已知BC＝4，AB＝AD＝2．(1)求證：AC⊥BF；(2)在線段BE上是否存在一點(diǎn)P，使得平面PAC⊥平面BCEF？若存在，求出BPPE課時(shí)分層作業(yè)(八)1．A2．C3．AC[對(duì)于A，兩條不重合直線l1，l2的方向向量分別是a＝(2，3，－1)，b＝(－2，－3，1)，且b＝－a，所以l1∥l2，故A正確；對(duì)于B，直線l的方向向量a＝(1，－1，2)，平面α的法向量是u＝(6，4，－1)且a·u＝1×6－1×4＋2×(－1)＝0，所以l∥α或l?α，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，平面α，β的法向量分別是u＝(2，2，－1)，v＝(－3，4，2)，且u·v＝2×(－3)＋2×4－1×2＝0.所以α⊥β，故C正確；對(duì)于D，直線l的方向向量a＝(0，3，0)，平面α的法向量是u＝(0，－5，0)，且u＝－53a，所以l⊥α，故D錯(cuò)誤．故選AC．4．D5．AC[以D為原點(diǎn)，分別以DA，DC，DD1所在的直線為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示．設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為2，則D(0，0，0)，D1(0，0，2)，M(0，0，1)，A(2，0，0)，C(0，2，0)，O(1，1，0)，N(0，1，2)，∴OM＝(－1，－1，1)，MN＝(0，1，1)，AC＝(－2，2，0)，AA1＝DD1＝(0，∴OM·AC＝0，OM·MN＝0，∴OM⊥AC，OM⊥MN，故選AC．]6．07．5，－18．66，66，-63或-66，-669．證明：設(shè)AB的中點(diǎn)為O，作OO1∥AA1．以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，OB所在直線為x軸，OC所在直線為y軸，OO1所在直線為z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系Oxyz．由已知得A-12，0，0，B12，0，0∵M(jìn)為BC的中點(diǎn)，∴M14∴MN＝-14，34，1∴MN·AB1＝－14＋0∴MN⊥AB1，∴AB1⊥10．D11．AB[對(duì)于A，由n1·n2＝0，得n1⊥n2，進(jìn)而得α⊥β，反之亦成立，從而A正確；對(duì)于B，l·n＝3×2＋(－1)×2＋(－2)×2＝0，從而l⊥n，進(jìn)而得α⊥β，從而B(niǎo)正確；對(duì)于C，因?yàn)閘⊥α，直線l的方向向量為(4，2，m)，平面α的法向量為(2，1，－1)，所以直線l的方向向量與平面α的法向量平行．則存在實(shí)數(shù)λ，使(4，2，m)＝λ(2，1，－1)，即4=2λ，2=λ，m=-對(duì)于D，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)AB＝2，平面CEF的法向量為n＝(x，y，z)．C(0，2，0)，E(1，0，2)，F(xiàn)(0，1，2)，B1(2，2，2)，D(0，0，0)．DB1＝(2，2，2)，EF＝(－1，1，0)，CF＝(0，－1，所以n·EF令x＝2，得y＝2，z＝1，所以n＝(2，2，1)．因?yàn)镈B1＝(2，2，2)，所以DB1與n不平行，所以B1D不垂直于平面CEF，從而選項(xiàng)D12．(－1，2，1)(答案不唯一)2513．a(chǎn)或2a14．解：(1)以DA，DC，DP所在的直線分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系(如圖)，設(shè)AD＝a，則D(0，0，0)，B(a，a，0)，C(0，a，0)，Ea，a2，0，P(0，0，a所以EF＝-a2，0，a2EF·DC＝-a2，0，a2·(0，a(2)因?yàn)镚∈平面PAD，設(shè)G(x，0，z)，所以FG＝x-由(1)知，CB＝(a，0，0)，CP＝(0，－a，a)．由題意，要使GF⊥平面PCB，只需FG·CB＝x-a2，-a2，z-aFG·CP＝x-a2，-a2，z-a2·所以x＝a2，z＝0所以點(diǎn)G的坐標(biāo)為a2，0，015．解：(1)證明：∵平面ADEF⊥平面ABCD，平面ADEF∩平面ABCD＝AD，AF⊥AD，AF?平面ADEF，∴AF⊥平面ABCD．∵AC?平面ABCD，∴AF⊥AC．過(guò)A作AH⊥BC于H(圖略)，則BH＝1，AH＝3，CH＝3，∴AC＝23，∴AB2＋AC2＝BC2，∴AC⊥AB．∵AB∩AF＝A，AB，AF?平面FAB，∴AC⊥平面FAB．∵BF?平面FAB，∴AC⊥BF．(2)存在．理由：由(1)知，AF，AB，AC兩兩垂直．以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB，AC，AF的方向分別為x軸、y軸、z則A(0，0，0)，B(2，0