偏導(dǎo)數(shù)可微與連續(xù)的關(guān)系

偏導(dǎo)數(shù)可微與連續(xù)的關(guān)系偏導(dǎo)數(shù)可微與連續(xù)的關(guān)系是微積分中的一個(gè)基本概念。在介紹這個(gè)關(guān)系之前，我們首先回顧一下偏導(dǎo)數(shù)和連續(xù)函數(shù)的定義。

偏導(dǎo)數(shù)是多元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的一種特殊形式。對于多元函數(shù)$f(x_1,x_2,...,x_n)$，我們可以將其看作是關(guān)于各個(gè)自變量$x_i$的函數(shù)。那么，在點(diǎn)$(a_1,a_2,...,a_n)$處的偏導(dǎo)數(shù)$\frac{\partialf}{\partialx_i}(a_1,a_2,...,a_n)$表示在固定其它自變量時(shí)，函數(shù)沿著第$i$個(gè)自變量的變化率。偏導(dǎo)數(shù)的存在與否，以及其值的大小決定了函數(shù)在點(diǎn)$(a_1,a_2,...,a_n)$的切平面的斜率。如果偏導(dǎo)數(shù)存在且連續(xù)，那么我們可以說函數(shù)$f$是可微的。

連續(xù)函數(shù)是一種在函數(shù)值上具有某種連貫性或接近性的函數(shù)。對于一元函數(shù)$f(x)$而言，如果對于給定的$x=a$，我們可以通過取足夠小的$\epsilon>0$，總能找到一個(gè)$\delta>0$，使得在$(a-\delta,a+\delta)$范圍內(nèi)的所有$x$，都有$|f(x)-f(a)|<\epsilon$，那么我們就說函數(shù)$f(x)$在點(diǎn)$x=a$處連續(xù)。對于多元函數(shù)而言，我們可以沿用這個(gè)定義，只需將$x$替換為$(x_1,x_2,...,x_n)$，使得在$(a_1-\delta_1,a_1+\delta_1)\times(a_2-\delta_2,a_2+\delta_2)\times...\times(a_n-\delta_n,a_n+\delta_n)$范圍內(nèi)的所有點(diǎn)$(x_1,x_2,...,x_n)$，都有$|f(x_1,x_2,...,x_n)-f(a_1,a_2,...,a_n)|<\epsilon$。

現(xiàn)在我們來探討偏導(dǎo)數(shù)可微與連續(xù)的關(guān)系。假設(shè)我們有一個(gè)多元函數(shù)$f(x_1,x_2,...,x_n)$，在點(diǎn)$(a_1,a_2,...,a_n)$處有所有偏導(dǎo)數(shù)$\frac{\partialf}{\partialx_1}(a_1,a_2,...,a_n),\frac{\partialf}{\partialx_2}(a_1,a_2,...,a_n),...,\frac{\partialf}{\partialx_n}(a_1,a_2,...,a_n)$。如果這些偏導(dǎo)數(shù)都存在且連續(xù)，那么函數(shù)$f$在點(diǎn)$(a_1,a_2,...,a_n)$可微。

這個(gè)結(jié)論的證明可以通過線性逼近來實(shí)現(xiàn)。我們可以使用函數(shù)在點(diǎn)$(a_1,a_2,...,a_n)$處的泰勒展開式：

$f(x_1,x_2,...,x_n)=f(a_1,a_2,...,a_n)+\sum_{i=1}^{n}\frac{\partialf}{\partialx_i}(a_1,a_2,...,a_n)(x_i-a_i)+R$

其中，$R$為余項(xiàng)。假設(shè)我們只考慮一階偏導(dǎo)數(shù)，那么余項(xiàng)可以寫作

$R=\sum_{i=1}^{n}\frac{\partial^2f}{\partialx_i^2}(c_1,c_2,...,c_n)(x_i-a_i)^2$

其中，$(c_1,c_2,...,c_n)$是介于$(a_1,a_2,...,a_n)$和$(x_1,x_2,...,x_n)$之間的某個(gè)點(diǎn)。

現(xiàn)在我們來考慮某個(gè)特定的方向，例如沿著第$k$個(gè)自變量。那么展開式可以寫作：

$f(x_1,x_2,...,x_n)=f(a_1,a_2,...,a_n)+\frac{\partialf}{\partialx_k}(a_1,a_2,...,a_n)(x_k-a_k)+R_k$

其中，$R_k=\frac{\partial^2f}{\partialx_k^2}(c_1,c_2,...,c_n)(x_k-a_k)^2$是關(guān)于$(x_k-a_k)$的二次項(xiàng)。由于我們假設(shè)$\frac{\partialf}{\partialx_k}(a_1,a_2,...,a_n)$存在且連續(xù)，那么我們可以將其拉出括號：

$f(x_1,x_2,...,x_n)=f(a_1,a_2,...,a_n)+\frac{\partialf}{\partialx_k}(a_1,a_2,...,a_n)(x_k-a_k)+\frac{\partial^2f}{\partialx_k^2}(c_1,c_2,...,c_n)(x_k-a_k)^2$

這個(gè)表達(dá)式可以看做是一個(gè)關(guān)于$(x_k-a_k)$的二次函數(shù)，其形式類似于$y=b(x-a)+c(x-a)^2$。我們知道，二次函數(shù)在$(x_k-a_k)=0$處取極小值，因此可以用來近似函數(shù)$f$在點(diǎn)$(a_1,a_2,...,a_n)$的變化。

通過以上推導(dǎo)，我們可以看出，偏導(dǎo)數(shù)存在且連續(xù)是可微函數(shù)的一個(gè)必要條件。如果偏導(dǎo)數(shù)不連續(xù)，那