曲線的凹凸性

§5曲線的凹凸性與拐點(diǎn)

（一）新課引入觀察圖中兩條曲線弧AB都是上升的，但弧ACB是凹的曲線弧，弧ADB是凸的曲線弧，這就是曲線的凹凸性問題。從圖中還可看出，沿弧ACB上各點(diǎn)作切線，切線總位于曲線下方，而弧ADB上各點(diǎn)處切線總位于曲線上方。因此可用曲線與切線的相對(duì)位置關(guān)系反映曲線的凹凸性。 （二）講授新課一、凹與凸的定義定義：曲線y=f(x)在區(qū)間（a,b）內(nèi)各點(diǎn)處的切線位于曲線下方，稱曲線y=f(x)在區(qū)間（a,b）上是凹的，（a,b）是凹區(qū)間。如果切線位于曲線上方，稱曲線y=f(x)在區(qū)間（a,b）上是凸的，（a,b）是凸區(qū)間。二、凹與凸的判定

從+到—

是減函數(shù)定理：設(shè)在區(qū)間（a,b）上具有二階導(dǎo)數(shù)，（1）如果在（a,b）上有，曲線在區(qū)間（a,b）上是凹的；（2）如果在（a,b）上有，曲線在區(qū)間（a,b）上是凸的。凹凸從—到+是增函數(shù)例1、判斷下列曲線的凹凸性。①

解：

在(-∞,+∞)上有，故在(-∞,+∞)上是凹的。②

解：定義域?yàn)椋?，+∞）

在（0，+∞）上有，故在（0，+∞）上是凸的。練習(xí)1、判斷下列曲線的凹凸性。①②解：①在(-∞,+∞)上有，故在(-∞,+∞)上是凸的。

②定義域?yàn)椋?，+∞）

在(-∞,+∞)上有，故在(-∞,+∞)上是凹的。例2、判斷曲線的凹凸性。解：，

當(dāng)x<0時(shí)，故在（—∞，0）上曲線是凸的。當(dāng)x>0時(shí)，故在（0，+∞）上曲線是凹的。此時(shí)點(diǎn)（0，0）為曲線由凸變?yōu)榘嫉姆纸琰c(diǎn)。三、拐點(diǎn)：凹與凸的分界點(diǎn)。注：拐點(diǎn)需將橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)同時(shí)給出例3、求的凹凸區(qū)間與拐點(diǎn)。解：（1）

（2）令得（3）分定義域成三個(gè)區(qū)間(-∞，-1)，（-1，1），（1，+∞）當(dāng)x<-1時(shí)，，∴(-∞，-1)為凸區(qū)間-1<x<1時(shí)，，∴（-1，1）為凹區(qū)間X>1時(shí)，，∴（1，+∞）為凸區(qū)間（4）拐點(diǎn)為練習(xí)2、求的凹凸區(qū)間與拐點(diǎn)。解：（1）

（2）令得x=-2（3）x=-2分定義域成兩個(gè)區(qū)間(-∞，-2)，（-2，+∞）當(dāng)x<-2時(shí)，，∴(-∞，-2)為凸區(qū)間X>-2時(shí)，，∴（-2，+∞）為凹區(qū)間（4）拐點(diǎn)為例4、求的凹凸區(qū)間與拐點(diǎn)。解：（1）

(2)不存在點(diǎn)為x=4（3）x=4分定義域成兩個(gè)區(qū)間(-∞，4)，（4，+∞）當(dāng)x<4時(shí)，，∴(-∞，4)為凹區(qū)間X>4時(shí)，，∴（4，+∞）為凸區(qū)間（4）拐點(diǎn)為（4，2）練習(xí)3、求的凹凸區(qū)間與拐點(diǎn)。解：（1）

(2)不存在點(diǎn)為x=1(3）x=1分定義域成兩個(gè)區(qū)間(-∞，1)，（1，+∞）當(dāng)x<1時(shí)，，∴(-∞，1)為凸區(qū)間

x>1時(shí)，，∴（1，+∞）為凹區(qū)間（4）拐點(diǎn)為（1，1）本堂課重點(diǎn)討論了曲線的凹凸性與拐點(diǎn)，下面我們總結(jié)一下求

的凹凸區(qū)間與拐點(diǎn)的步驟：（四）課堂小結(jié)（1）求出（2）找出的實(shí)根或不存在點(diǎn)（3）的實(shí)根或不存在點(diǎn)將定義域分成若干個(gè)區(qū)間，在每個(gè)區(qū)間上確定的符號(hào)，從而確定的凹凸區(qū)間。（4）若在的實(shí)根或不存在點(diǎn)兩側(cè)，異號(hào)，則