數(shù)學七年級下學期4.10+分組分解法

專題4.10分組分解法（知識講解）【學習目標】認識分組分解法的基本類型一三分組法和二四分組法；能進行基本的分組分解法；能用分組分解法解決實際問題?！局R要點】對于一個多項式的整體，若不能直接運用提公因式法和公式法進行因式分解時，可考慮分步處理的方法，即把這個多項式分成幾組，先對各組分別分解因式，然后再對整體作因式分解——分組分解法.即先對題目進行分組，然后再分解因式.特別說明：分組分解法分解因式常用的思路有：方法分類分組方法特點分組分解法四項二項、二項①按字母分組②按系數(shù)分組

③符合公式的兩項分組三項、一項先完全平方公式后平方差公式五項三項、二項各組之間有公因式六項三項、三項

二項、二項、二項各組之間有公因式三項、二項、一項可化為二次三項式【典型例題】類型一、二二型分組分解1、．第一環(huán)節(jié)：自主閱讀材料常用的分解因式方法有提公因式、公式法等．但有的多項式只用上述方法就無法分解，如，細心觀察這個式子會發(fā)現(xiàn)前兩項符合平方差公式，后兩項可提取公因式，分解過程為：……分組……組內(nèi)分解因式……整體思想提公因式這種分解因式的方法叫分組分解法．(1)第二環(huán)節(jié)：利用這種方法解決以下問題：因式分解：．(2)第三環(huán)節(jié)：拓展運用：已知a，b，c為的三邊，且，試判斷的形狀并說明理由．【答案】(1)；(2)等腰三角形；見解析【分析】（1）前兩項提公因式，后兩項提公因式，用平方差公式，可得y（x?2）（x＋2）?2（x?2）（x＋2），再次利用提公因式法即可得出結(jié)果；（2）把進行整理可得：（2a＋b＋c）（b?c）＝0，而2a＋b＋c≠0，只能是b?c＝0，則有b＝c，即可判斷△ABC是等腰三角形．解：(1)；∵，∴，，，∵，∴，即，∴是等腰三角形．【點撥】本題主要考查因式分解的應用，解答的關(guān)鍵是對因式分解的方法的掌握與熟練應用．舉一反三：【變式1】分解因式：【答案】【分析】利用分組分解法分解因式即可．解：，=，=，=．【點撥】本題考查了因式分解，解題關(guān)鍵是恰當對多項式進行分組，熟練運用提取公因式和公式法進行分解．【變式2】分解因式：．【答案】．【分析】先將因式進行分組為，再綜合利用提公因式法和平方差公式分解因式即可得．解：原式．【點撥】本題考查了因式分解，熟練掌握因式分解的方法是解題關(guān)鍵．類型二、三一型分組分解 2、先閱讀下列材料，然后回答后面問題：將一個多項式分組后，可提公因式或運用公式繼續(xù)分解的方法是分組分解法．能分組分解的多項式通常有四項或六項，一般的分組分解有四種形式，即“2＋2”分法、“3＋1”分法、“3＋2”分法及“3＋3”分法等．如“2＋2”分法：ax＋ay＋bx＋by＝（ax＋ay）＋（bx＋by）＝a（x＋y）＋b（x＋y）＝（x＋y）（a＋b）如“3＋1”分法：2xy＋y2﹣1＋x2＝x2＋2xy＋y2﹣1＝（x＋y）2﹣1＝（x＋y＋1）（x＋y﹣1）請你仿照以上方法，探索并解決下列問題：（1）分解因式：x2﹣y2﹣x﹣y；（2）分解因式：45am2﹣20ax2＋20axy﹣5ay2；（3）分解因式：4a2＋4a﹣4a2b﹣b﹣4ab＋1．【答案】（1）（x＋y）（x﹣y﹣1）；（2）5a（3m﹣2x＋y）（3m＋2x﹣y）；（3）（2a＋1）2（1﹣b）【分析】（1）首先利用平方差公式因式分解因式，進而提取公因式得出即可；（2）將后三項運用完全平方公式分解因式進而利用平方差公式分解因式即可；（3）重新分組利用完全平方公式分解因式得出即可．解：（1）x2﹣y2﹣x﹣y＝（x＋y）（x﹣y）﹣（x＋y）＝（x＋y）（x﹣y﹣1）；（2）45am2﹣20ax2＋20axy﹣5ay2＝45am2﹣5a（4x2﹣4xy＋y2）＝5a[9m2﹣（2x﹣y）2]＝5a（3m﹣2x＋y）（3m＋2x﹣y）；（3）4a2＋4a﹣4a2b﹣b﹣4ab＋1＝（4a2＋4a＋1）﹣b（4a2＋4a＋1）＝（2a＋1）2（1﹣b）．【點撥】此題主要考查了提取公因式法分解因式以及分組分解法分解因式，正確分組是解題關(guān)鍵．舉一反三：【變式1】分解因式：．【答案】【分析】先將多項式進行分組分解，再將每一組分解因式，最后利用平方差公式分解即可．解：．【點撥】本題主要考查了多項式的因式分解，熟練掌握因式分解的方法——提公因式法、公式法、十字相乘法、分組分解法，根據(jù)多項式的特征選取合適的方法是解題的關(guān)鍵．【變式2】因式分解：．【答案】（x-y+5）（x-y-5）【分析】根據(jù)分組分解法的法則原則將x2-2xy+y2為一組，-25為一組，再利用完全平方公式、平方差公式進行因式分解即可．解：原式=（x2-2xy+y2）-25=（x-y）2-52=（x-y+5）（x-y-5）．【點撥】本題考查分組分解法分解因式，掌握分組分解法的分組原則，即因式分解在組內(nèi)能進行，在組與組之間也能進行，是正確解答的關(guān)鍵．【變式3】因式分解：．【答案】【分析】首先對后面三項利用完全平方公式進行因式分解，然后利用平方差公式因式分解即可．解：原式．【點撥】此題考查了因式分解的方法，解題的關(guān)鍵是熟練掌握因式分解的方法．因式分解的方法有：提公因式法，平方差公式法，完全平方公式法，十字相乘法等．類型三、分組分解法綜合 3、用分組分解法分解下列因式：（1）（2）（3）（4）（5）（6）【答案】（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）【分析】利用分組分解法運算即可．解：（1）==；（2）===；（3）===；（4）===；（5）==；（6）===【點撥】本題考查了因式分解，熟練掌握分組分解法是解此題的關(guān)鍵．舉一反三：【變式1】閱讀理解：如何將進行因式分解呢？小明同學是這樣做的：我們把這種將多項式先分組，分別變形，再進行分解因式的方法叫分組分解法．【嘗試應用】借助上述方法因式分解①__________；②__________；③___________；【拓展提高】若整數(shù)x，y滿足，求x，y的值．【答案】[嘗試應用]①；②；③；[拓展提高]x=1，y=-1【分析】[嘗試應用]①②③利用分組分解法解答即可；[拓展提高]原方程變形為：（2x-3）（3y+2）=1，根據(jù)題意有2x-3=1，3y+2=1，或2x-3=-1，3y+2=-1，即可求出方程的整數(shù)解．解：[嘗試應用]①==；②==；③==；[拓展提高]，∴，∴，∴，∵原方程有整數(shù)解，∴2x-3=1，3y+2=1，或2x-3=-1，3y+2=-1，解得：x=2，y=（舍），或x=1，y=-1；∴x=1，y=-1．【點撥】本題考查了因式分解—分組分解法及其應用，解題的關(guān)鍵是將已知式子合理分組．【變式2】觀察“探究性學習”小組的甲、乙兩名同學進行的分解因式：甲：x2＋2ax﹣3a2＝x2＋2ax＋a2﹣a2﹣3a2＝（x＋a）2﹣4a2（分成兩組）＝（x＋a）2﹣（2a）2＝（x＋3a）（x﹣a）（平方差公式）；乙：a2﹣b2﹣c2＋2bc＝a2﹣（b2＋c2﹣2bc）（分成兩組）＝a2﹣（b﹣c）2（直接運用公式）＝（a＋b﹣c）（a﹣b＋c）（再用平方差公式）請你在他們解法的啟發(fā)下，把下列各式分解