3 4電力線通量定理

1

（1）起于正電荷(或無限遠)，止于負電荷(或無限遠)；（2）不閉合，也不在沒有電荷的地方中斷；（3）兩條電場線在沒有電荷的地方不會相交。

一、電場線(electriclineoffield)1定義：

電場線上各點的切線方向與該點場強的方向一致；

在垂直于電場線的單位面積上穿過的曲線條數(shù)與該處的電場強度的大小成正比。

電場線是為了描述電場所引進的輔助概念，它并不真實存在。(與流線相似)2性質：§11-3電場線電通量2用一簇空間曲線可以形象地描述場強的分布。場是一定空間范圍內連續(xù)分布的客體溫度T

溫度分布——溫度場（標量場）流速v流速分布——流速場（矢量場）電荷產生的場具有什么性質？

經(jīng)過探索通過與流體類比找到用矢量場論來描述電場類比流線——電場線

流量——電通量

電場線:3點電荷的電場線正電荷負電荷+電場線非均勻電場4一對等量異號電荷的電場線+電場線5一對等量正點電荷的電場線++電場線6一對異號不等量點電荷的電場線2q+q電場線7帶電平行板電容器的電場+++++++++電場線遠離邊緣的區(qū)域是均勻電場81.定義二、電通量(electricflux)

通過任一面積元的電場線的條數(shù)稱為通過這一面積元的電場強度通量。（簡稱電通量）

如果垂直于電場強度的面積為dS，穿過的電場線條數(shù)為d

e，那么SE若選擇比例系數(shù)為1，則有d

e=EdS.

如果在電場強度為E的勻強電場中，平面S與電場強度E

相垂直，則

e=ES.

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如果在場強為E的勻強電場中，平面S與場強E不垂直，其法線n與場強E成

角。

如果在非勻強電場中有一任意曲面S，可以把曲面S分成許多小面元dS，dS可近似地看為平面，在dS范圍內場強E可認為處處相同。這樣，穿過面元dS的電場線條數(shù)可以表示為:nEθs10通過任一曲面S的電通量：2.方向的規(guī)定：

閉合曲面的外法線方向為正。(自內向外為正)

非閉合曲面電通量的正負取決于E與n正向夾角的余玄值。通過閉合曲面S的電通量：11s1s2s3s4s5θEnxyz例1：一個三棱柱放在均勻電場中，E=200N/C，沿x方向，求通過此三棱柱體的電場強度通量。解：三棱柱體的表面為一閉合曲面，由S1、S2、S3、S4、S5

構成，其電場強度通量為：即：通過閉合曲面的電場強度通量為零。12§11.4高斯定理（Gausstheorem）

靜電場中任意閉合曲面S的電通量，等于該曲面所包圍的電量除以e

0

而與S以外的電荷無關。這個閉合曲面稱為高斯面。

數(shù)學表達式1.包圍點電荷q的同心球面S的電通量球面上各點的場強方向與其徑向相同。球面上各點的場強大小由庫侖定律給出。S反映場和源的關系。

13

此結果與球面的半徑無關。即通過各球面的電力線總條數(shù)相等。從q發(fā)出的電場線連續(xù)地延伸到無窮遠。2.包圍點電荷q任意閉合曲面S的電通量S1S2S穿過球面S1和S2的電場線，必定也穿過閉合曲面S。所以穿過任意閉合曲面S的電通量必然為q/

0，即14任意閉合曲面S包圍點電荷高斯定理的嚴格證明

在閉合曲面上任取一面積元dS，通過面元的電場強度通量rS+15S+是dS在垂直于電場方向的投影。dS對電荷所在點的立體角為163.任意閉合曲面S包圍多個點電荷q1,q2,…,qn

根據(jù)電通量的定義和電場強度的疊加原理，其電通量可以表示為:

這表示，閉合曲面S的電通量，等于各個點電荷對曲面S的電通量的代數(shù)和?？梢婋娡恳矟M足疊加原理。根據(jù)以上結論，通過閉合曲面S的電通量應為:174.任意閉合曲面S不包圍電荷，點電荷q處于S之外：如圖所示，由于從q發(fā)出的電場線，凡是穿入S面的，必定又從S面穿出，所以穿過S面的電場線凈條數(shù)必定等于零，曲面S的電通量必定等于零。5.多個點電荷q1,q2,…,qn，其中k個被任意閉合曲面S所包圍，另外n

k個處于S面之外：根據(jù)上一條的證明，閉合曲面S外的n

k個電荷對S面的電通量無貢獻，S面的電通量只決定于其內部的k個電荷，并應表示為:186.任意閉合曲面S包圍了一個任意的帶電體這時可以把帶電體劃分成很多很小的體元d

，體元所帶的電荷dq=

d

可看作點電荷，與上面第3條的結果一致，這時S的電通量可表示為根據(jù)矢量分析中的高斯定理，可以將上式寫成下面的微分形式:

高斯定理源自庫侖定律，在靜電學中，常常利用它來求解電荷分布具有一定對稱性的電場問題。19例2：一無限長均勻帶電細棒，其線電荷密度為

，求距細棒為a處的電場強度。

解：以細棒為軸作一個高為l、截面半徑為a的圓柱面，如圖所示。以該圓柱面為高斯面，運用高斯定理，由于對稱性，圓柱側面上各點的場強E的大小相等,方向都垂直于圓柱側面向外。

通過高斯面S的電通量可分為圓柱側面和上、下底面三部分通量的代數(shù)和。S

a20因上、下底面的場強方向與面平行，其電通量為零，即式中后兩項為零。此閉合面包含的電荷總量其方向沿場點到直導線的垂線方向。正負由電荷的符號決定。S

a21例3：求半徑為R的均勻帶電球體在球內外各點的場強分布。設球體電荷密度為r

，總電量為Q。解：因為電荷分布具有球對稱性。固選取同心的球面為高斯面。QRr22例4：均勻帶電的球殼內外的場強分布。設球殼半徑為R，所帶總電量為Q。解：場源的對稱性決定著場強分布的對稱性。它具有與場源同心的球對稱性。固選同心球面為高斯面。場強的方向沿著徑向，且在球面上的場強處處相等。當高斯面內電荷為Q，所以當高斯面內電荷為0高斯面高斯面均勻帶電球殼23結果表明：1)均勻帶電球殼外的場強分布正像球面上的電荷都集中在球心時所形成的點電荷在該區(qū)的場強分布一樣。2)在球面內的場強均為零。注意：1）不是每個面元上電荷在球面內產生的場強為零，而是所有面元上電荷在球面內產生場強的矢量和=0。2）非均勻帶電球面在在球面內任一點產生的場強不可能都為零。（在個別點有可能為零）

24解：由于電荷分布對于場點p到平面的垂線op

是對稱的，所以

p點的場強必然垂直于該平面。

又因電荷均勻分布在無限大的平面上，所以電場分布對該平面對稱。即離平面等遠處的場強大小都相等、方向都垂直于平面，當場強指離平面。當場強方向指向平面。例5：求無限大均勻帶電平板的場強分布。設面電荷密度為。25

由于圓筒側面上各點的場強方向垂直于側面的法線方向，所以電通量為零；又兩個底面上場強相等、電通量相等，均為穿出。場強方向垂直于帶電平面。

選一其軸垂直于帶電平面的圓筒式封閉面作為高斯面

S，帶電平面平分此圓筒，場點p位于它的一個底面上。26

場強方向指離平面;場強方向指向平面。例6：求兩個平行無限大均勻帶電平面的場強分布。設面電荷密度分別為和。解：該系統(tǒng)不再具有簡單的對稱性，不能直接應用高斯定理。然而每一個帶電平面的場強先可用高斯定理求出，然后再用疊加原理求兩個帶電平面產生的總場強。需注意方向：A區(qū)：與相反B區(qū)：與相反C區(qū)：與相同所有區(qū)域與大小相同，方向：27直流電路中的平行板電容器間的場強，就是這種情況。由圖可知，在A

區(qū)和B區(qū)場強均為零。C區(qū)場強的方向從帶正電的平板指向帶負電的平板。場強大小為一個帶電平板產生的場強的兩倍。28小結：⑴通過用閉合曲面的電通量概念可以說明高斯定理。但需注意這僅僅是為了便于理解而用的一種形象解釋，它不是高斯定理的嚴格數(shù)學證明。⑵高斯定理是在庫侖定律基礎上得到的（定律是對客觀事實的描述，通常是對實驗結果的歸納，而定理是由定律通過推理演變而來），但是前者適用范圍比后者更廣泛。

高斯定理反映了庫侖定律的平方反比關系F

1/r2，如庫侖定律無此關系則得不到高斯定理。庫侖定律只適用于真空中的靜電場，而高斯定理適用于靜電場和隨時間變化的場，高斯定理是電磁場理論的基本方程之一。29(4)雖然高斯定理說明電通量只與S內電荷有關而與S外電荷無關，但這并不是說

只與S內電荷有關而與S外電荷無關。實際上，

是由S內、外所有電荷產生的結果。(3)高斯定理表明，通過閉合曲面的電通量只與閉合面內的電荷代數(shù)和有關，而與閉合曲面外的電荷無關。這同時也表明靜電場是有源場，其源就是電荷。(5)

高斯定理對靜電場的描述是不完備的。高斯定理是靜電場的兩個基本定理之一(另一個是環(huán)路定理)。兩個定理各自反映靜電場性質的一個側面。二者結合，才能完整地描述靜電場。30(7)

用高斯定理求場強是比較簡單的。然而，我們需要明確，雖然高斯定理是普遍成立，但是任何帶電體產生的場強不是都能由它計算出，因為這