第七章銳角三角函數(shù)（知識(shí)歸納題型突破）

第七章銳角三角函數(shù)（知識(shí)歸納+題型突破）一、銳角三角函數(shù)的基本概念在Rt△ABC中，∠C為直角，則銳角∠A的三角函數(shù)為（∠A可換成∠B）：定義表達(dá)式正弦余弦正切二、特殊角的三角函數(shù)值1、特殊角（30°、45°、60°）的三角函數(shù)值：三角函數(shù)30°45°60°12、銳角三角函數(shù)的有界性與增減性：（1）有界性：銳角三角函數(shù)值都為正值，即當(dāng)0°＜α＜90°時(shí)，有0＜sinα＜1，0＜cosα＜1，tanα＞0；（2）增減性：銳角的正弦、正切值隨角度的增大而增大，余弦值隨角度的增大而減?。?、同一個(gè)銳角的正弦、余弦和正切的關(guān)系：（1）sin2α＋cos2α＝1；（2）4、互為余角的兩個(gè)銳角的正弦、余弦和正切的關(guān)系：（1）sinα＝cos(90°－α)；（2）cosα＝sin(90°－α)；（3）三、解直角三角形1、直角三角形的性質(zhì)（C為直角頂點(diǎn)）：①邊與邊的關(guān)系：；②角與角的關(guān)系：∠A+∠B=90°；③邊與角的關(guān)系：；；．2、解直角三角形的四大類型：類型已知條件解法兩邊兩直角邊a、b，，一直角邊a，斜邊c，，一邊一銳角一直角邊a，銳角A，，斜邊c，銳角A，，題型一求正切值【例1】在中，，，，則的值是（

）．A． B． C． D．【答案】A【分析】首先畫(huà)出圖形，利用勾股定理求出，然后根據(jù)正弦的概念求解即可．【詳解】如圖所示，∵在中，，，，∴，∴∴．故選：A．【例2】如圖，在邊長(zhǎng)為的方格紙中，與交于點(diǎn)，其中、均為所在正方形小方格一邊的中點(diǎn)，則(

)A． B． C． D．【答案】B【分析】過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，根據(jù)題意得出，根據(jù)正切的定義即可求解．【詳解】解：如圖所示，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，依題意，，∴，故選：B．鞏固訓(xùn)練1．直角三角形紙片的兩直角邊長(zhǎng)分別為6，8，現(xiàn)將如圖那樣折疊，使點(diǎn)與點(diǎn)重合，折痕為，則的值是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)折疊后所形成的圖形全等，利用三角函數(shù)的定義解答即可．【詳解】由題意可知：，設(shè)，則，在中，，∴，∴，∴，故選：C2．如圖，在的正方形方格圖形中，小正方形的頂點(diǎn)稱為格點(diǎn)，的頂點(diǎn)都在格點(diǎn)上，則圖中的正切值是（

）A．2 B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)網(wǎng)格的特點(diǎn)判斷是直角三角形，根據(jù)正切的定義即可求解．【詳解】∵由圖可知，，∴是直角三角形，且，，故選：C．題型二正切概念辨析【例3】在中，各邊的長(zhǎng)度都縮小4倍，那么銳角A的余切值（

）A．?dāng)U大4倍 B．保持不變 C．縮小2倍 D．縮小4倍【答案】B【分析】根據(jù)題意可知大小不變，即得出銳角A的余切值保持不變．【詳解】解：∵在中，各邊的長(zhǎng)度都縮小4倍，∴各角的大小不變，即大小不變．∵一個(gè)角的銳角三角函數(shù)值只與角的大小有關(guān)，∴銳角A的余切值保持不變．故選B．鞏固訓(xùn)練3．小明要測(cè)量公園里一棵古樹(shù)的高，被一條小溪擋住去路，采用計(jì)算方法，在點(diǎn)測(cè)得古樹(shù)頂?shù)难鼋菫?，向前走?00米到點(diǎn)，測(cè)得古樹(shù)頂?shù)难鼋菫?，則古樹(shù)的高度為米．【答案】【分析】由正切的定義分別確定的表達(dá)式，進(jìn)而聯(lián)立成方程組，求解方程組即可得到答案．【詳解】解：如圖，CD為樹(shù)高，點(diǎn)C為樹(shù)頂，則，BD=AD100∴依題意，有由①得將③代入②，解得故答案為：．4．如圖，在中，．（1）在邊上取一點(diǎn)D，使得，則和有什么大小關(guān)系？（2）在邊上取一點(diǎn)D，使得，則和有什么大小關(guān)系？（3）在邊上取一點(diǎn)D，使得，則和有什么大小關(guān)系？【答案】（1）；（2）；（3）【分析】利用正切的定義：，進(jìn)行運(yùn)算即可．【詳解】解：（1）∵，∴（2）∵∴∴，∴（3）∵∴∴，∴題型三已知正切求值【例4】如圖，在地面上的點(diǎn)A處測(cè)得樹(shù)頂B的仰角為a，米，則樹(shù)高為（

）A．米 B．米 C．米 D．米【答案】C【分析】利用三角函數(shù)值中正切，可得到與的關(guān)系，計(jì)算即可．【詳解】在中，，，故選C．【例5】在中，，，將繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)后，點(diǎn)C落在射線上，點(diǎn)A落到點(diǎn)處，聯(lián)結(jié)．那么．【答案】2或【分析】設(shè)，，由銳角三角函數(shù)和勾股定理可求，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可求，，，分兩種情況討論，求出的長(zhǎng)，即可求解．【詳解】解：∵，，∴設(shè)，，∴，∵將繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)后，點(diǎn)C落在射線上，點(diǎn)A落到點(diǎn)處，∴，，，如圖1，當(dāng)點(diǎn)C落在線段上時(shí)，則，∴，如圖2，當(dāng)點(diǎn)C落在線段的延長(zhǎng)線上時(shí)，則，∴，故答案為：2或．【例6】如圖，已知是⊙O的直徑，C為⊙O上一點(diǎn)，的平分線交⊙O于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)D作⊙O的切線交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E．(1)求證：；(2)若，，求DE的長(zhǎng)．【答案】(1)見(jiàn)詳解(2)3【分析】（1）連接，先由，可得，再由是⊙O的切線，可得，，即可求證．（2）先由的值得出和的關(guān)系，在利用勾股定理求得的長(zhǎng)，通過(guò)推理可證，得出成比例線段求解．【詳解】（1）連接，如圖∵，∴，∵，∴，∴，∴，∵是⊙O的切線，∴，，∴．（2）∵是⊙O的直徑，∴，∵，∴設(shè)，則，∴，即，解得，∵，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，即，解得．鞏固訓(xùn)練5．如圖，已知，，，，的長(zhǎng)為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】作交于D，根據(jù)，，得出，，進(jìn)而得出，再根據(jù)勾股定理即可得出答案．【詳解】作交于D，∵，，∴，，∵，∴，∴，在中，故答案為：C．6．有一斜坡AB，坡頂B離地面的高度BC為20m，斜坡的傾斜角是∠BAC，若tan∠BAC=，則此斜坡的水平距離AC=m【答案】50【分析】根據(jù)正切三角函數(shù)計(jì)算求值即可．【詳解】解：由題意作圖如下，Rt△ABC中，∠C=90°，BC=20m，tan∠A=，∴AC=BC÷tan∠A=20×=50m，故答案為：50．7．如圖，在四邊形ABCD中，，AB=AD，對(duì)角線AC，BD交于點(diǎn)O，AC平分∠BAD，過(guò)點(diǎn)C作CE⊥AB交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，連接OE．(1)求證：四邊形ABCD是菱形；(2)若tan∠OAB=，BD=2，求CE的長(zhǎng)．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)【分析】（1）根據(jù)平行線的性質(zhì)得出，進(jìn)而利用平行四邊形的判定和菱形的判定解答即可；（2）根據(jù)菱形的性質(zhì)解答即可．【詳解】（1），，平分，，，，，，四邊形是平行四邊形，又，四邊形是菱形；（2）四邊形是菱形，，，，，，，，，．．題型四正弦、余弦概念辨析【例7】如圖，在中，，于點(diǎn)D，下列結(jié)論正確的是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)垂直定義可得，然后在中，利用銳角三角函數(shù)的定義即可判斷A，B，再在中，利用銳角三角函數(shù)的定義即可判斷C，最后利用同角的余角相等可得，從而在中，利用銳角三角函數(shù)的定義即可求出，即可判斷D．【詳解】解：∵，∴，在中，故A、B不符合題意；在中，，故C符合題意；∵，，∴，在中，，∴，故D不符合題意；故選：C．【例8】如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜邊AB上的高，下列線段的比值等于cosA的值的有個(gè)（1）；（2）；（3）；（4）．【答案】3【分析】根據(jù)銳角三角函數(shù)關(guān)系的定義分析得出答案．【詳解】解：∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜邊AB上的高，∴∠A＋∠ACD＝90°，∠ACD＋∠BCD＝90°，∴∠A＝∠BCD，∴cosA＝＝＝．故（1），（2），（4）正確．故答案為：3．【例9】如圖，在中，是斜邊上的高，，則下列比值中等于的是（

）．A． B． C． D．【答案】D【分析】由同角的余角相等求得∠A=∠DBC，根據(jù)正弦三角函數(shù)的定義判斷即可；【詳解】解：∵∠ABD+∠A=90°，∠ABD+∠DBC=90°，∴∠A=∠DBC，A．=cosA，不符合題意；B．=tanA，不符合題意；C．=cos∠DBC=cosA，不符合題意；D．=sin∠DBC=sinA，符合題意；故選：D．鞏固訓(xùn)練8．已知：α是銳角，tanα＝，則sinα＝，cosα＝．【答案】；【分析】作出直角三角形,根據(jù)tanα＝設(shè)出邊長(zhǎng),再根據(jù)正弦值和余弦值的定義即可解題.【詳解】解：如下圖,設(shè)∠A=α∵tanα＝，∴BC=7k,AC=24k,∴直角三角形的斜邊AB=25k,（勾股定理）∴sinα＝，cosα＝．9．如圖，在Rt△ABC中，CD是斜邊AB上的高，∠A≠45°，則下列比值中不等于的是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)已知可得∠B=∠ACD，然后利用銳角三角函數(shù)的定義判斷即可．【詳解】A．∵CD⊥AB，∴∠CDB=∠ADB=90°，∴∠B+∠BCD=90°，∵∠ACB=90°，∴∠ACD+∠BCD=90°，∴∠B=∠ACD，在Rt△ACD中，cos∠ACD=，∴cosB=，故A不符合題意；B．在Rt△DBC中，cosB=，故B不符合題意；C．在Rt△DBC中，cos∠BCD=，∵∠A≠45°，∴∠B≠45°，∴∠B≠∠BCD，∴cosB≠，故C符合題意；D．在Rt△ABC中，cosB=，故D不符合題意；故選：C．題型五求角的正弦余弦值【例10】如圖，在上述網(wǎng)格中，小正方形的邊長(zhǎng)均為1，點(diǎn)A，B，O都在格點(diǎn)上，則∠AOB的正弦值是．【答案】【分析】利用勾股定理求出AO、BO的長(zhǎng)，再由=AB×2=AO?BC，得出BC，sin∠AOB可得答案．【詳解】解：如圖，過(guò)點(diǎn)O作OE⊥AB于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)B作BC⊥OA于點(diǎn)C．由勾股定理，得AO=，BO=，∵=AB×OE=AO×BC，∴BC==，∴sin∠AOB==．故答案為：．【例11】在中，、、對(duì)邊分別為、、，，若，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)三角函數(shù)定義得出，，即可得出答案.【詳解】解：由題知，，∴，∴，故選C.鞏固訓(xùn)練10．已知一個(gè)不等臂蹺蹺板AB長(zhǎng)3米，支撐柱OH垂直地面，當(dāng)AB的一端A著地時(shí)，AB與地面夾角的正弦值為，如圖1；當(dāng)AB的另一端B著地時(shí)，AB與地面夾角的正弦值為，如圖2，則支撐柱OH的高為（）米． C． 【答案】D【分析】根據(jù)正弦的定義得到OA＝2OH，OB＝3OH，根據(jù)題意列式計(jì)算即可．【詳解】解：在Rt△AOH中，sinA，∴OA＝2OH，在Rt△BOH中，sinB，∴OB＝3OH∵AB＝3米，∴2OH+3OH＝3，解得：OH＝0.6（米），故選：D．題型六特殊角三角函數(shù)值混合運(yùn)算【例12】計(jì)算：【答案】．【分析】利用二次根式的加減，零指數(shù)次冪，二次根式的性質(zhì)，特殊角三角函數(shù)和絕對(duì)值化簡(jiǎn)進(jìn)行計(jì)算即可．【詳解】解：原式，，．【例13】計(jì)算：．【答案】5【分析】原式利用絕對(duì)值的代數(shù)意義，零指數(shù)冪、負(fù)整數(shù)指數(shù)冪法則、特殊角的三角函數(shù)計(jì)算即可求出值．【詳解】解：【例14】計(jì)算：【答案】【分析】直接利用特殊角的三角函數(shù)值，分別代入計(jì)算得出答案．【詳解】解：原式．鞏固訓(xùn)練11．計(jì)算：．【答案】【分析】先代入特殊角三角函數(shù)值，再利用二次根式的運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算．【詳解】解：原式．12．計(jì)算：(1)(2)【答案】(1)(2)【分析】（1）直接利用特殊角的三角函數(shù)值代入，進(jìn)而得出答案；（2）直接利用特殊角的三角函數(shù)值結(jié)合二次根式的性質(zhì)化簡(jiǎn)，進(jìn)而得出答案．【詳解】（1）解：原式；（2）解：原式．題型六求特殊角三角函數(shù)值（已知函數(shù)值求銳角）【例15】若，則是（）A．直角三角形B．等邊三角形C．含有的任意三角形D．頂角為鈍角的等腰三角形【答案】B【分析】根據(jù)利用非負(fù)數(shù)的性質(zhì)求得，再利用特殊角的三角函數(shù)值求出，即可得到結(jié)論．【詳解】解：∵，∴，∴，∴，∴是等邊三角形．故選：B．【例16】下列三角函數(shù)的值是的是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值解答．【詳解】解：，，，，觀察四個(gè)選項(xiàng)，選項(xiàng)A符合題意，故選：A．鞏固訓(xùn)練13．在中，，，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值即可求解．【詳解】解：∵，則，故選：B．14．若銳角，則的值是（

）A．1 B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)30度角的正弦值為即可得到答案．【詳解】解：∵，∴，故選：B．15．在中，若，則的度數(shù)是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】由題意知，，解得，，根據(jù)，計(jì)算求解即可．【詳解】解：∵，∴，，解得，，∴，故選：C．題型七由三角函數(shù)值確定三角形形狀【例17】在中，若，則是．【答案】等腰直角三角形【分析】根據(jù)題意可得，．據(jù)此即可求得答案．【詳解】根據(jù)題意，得，．可得，．則．所以，．所以，為等腰直角三角形．故答案為：等腰直角三角形．【例18】在中，、都是銳角，且，則的形狀是三角形（填“等腰”、“等邊”或“直角”）．【答案】直角【分析】根據(jù)絕對(duì)值和偶次冪的非負(fù)性，結(jié)合特殊角的三角函數(shù)值求得、的度數(shù)，從而作出判斷．【詳解】解：∵，且，∴，∴，∴、，∴在中，，∴是直角三角形，故答案為：直角．鞏固訓(xùn)練16．已知a、b、c分別是的角A、B、C的對(duì)邊（），二次函數(shù)圖像的頂點(diǎn)在x軸上，且、是關(guān)于x的方程的兩個(gè)根．(1)判斷的形狀；(2)求m的值；(3)若這個(gè)三角形的外接圓面積為，求的內(nèi)接正方形的邊長(zhǎng)．【答案】(1)是直角三角形(2)(3)或【分析】（1）先由二次函數(shù)圖像的頂點(diǎn)在x軸上得到，進(jìn)而求得，再根據(jù)勾股定理逆定理即可證明；（2）先利用互余兩角三角函數(shù)的關(guān)系得到，再根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系得到方程求解．（3）先由圓的面積公式求出的外接圓半徑，則斜邊，再將代入方程得到，解方程并求出，再分類討論．【詳解】（1）是直角三角形；證明：將化簡(jiǎn)得到，由于二次函數(shù)圖像的頂點(diǎn)在x軸上，，；故是直角三角形；（2）解：是直角三角形，，，，、是關(guān)于x的方程的兩個(gè)根，，，，，整理得，解得，經(jīng)檢驗(yàn)，都是原方程的根，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，舍去，故；（3）解：由于三角形的外接圓面積為，外接圓半徑，斜邊，將代入方程得到，解得，，設(shè)正方形邊長(zhǎng)為，由，得，解得；圖2中，，，即，解得．綜上所述，的內(nèi)接正方形的邊長(zhǎng)為或．17．在中，、都是銳角，且，，則是（

）.A．等腰三角形 B．等邊三角形 C．直角三角形 D．鈍角三角形【答案】B【分析】根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值求出，然后利用三角形內(nèi)角和定理求出的度數(shù)，即可解答．【詳解】解：∵，，∴，∴，∴是等邊三角形，故選：B．題型八互余兩角之間的三角函數(shù)關(guān)系【例19】在中，，已知，那么的值是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用互余兩角的三角函數(shù)關(guān)系求解，即可得到答案．【詳解】解：在中，，，，，故選：A．【例20】若的余角是，則的值是．【答案】【分析】先求出的余角，由即可求解．【詳解】解：由題意得，，故答案：．鞏固訓(xùn)練18．已知，，則．【答案】/【分析】應(yīng)用互余兩角三角函數(shù)的關(guān)系進(jìn)行計(jì)算即可得出答案．【詳解】解：根據(jù)題意可得，，，，，故答案為：或．19．在中，，，則．【答案】【分析】根據(jù)一個(gè)角的余弦等于它余角的正弦，可得答案．【詳解】解：∵，，∴，∴．故答案為：．題型九判斷銳角取值范圍【例21】已知，則銳角的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值，，，再由余弦函數(shù)值在銳角范圍內(nèi)，隨角度增大而減小即可得到答案【詳解】解：，，由可得，在銳角范圍內(nèi)，余弦函數(shù)值隨著角度的增大而減小，，故選：D．【例22】若銳角滿足，則的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用特殊角的三角函數(shù)值得到，然后利用銳角的余弦值隨著角度的增大而減小求解．【詳解】解：，而，，，銳角的取值范圍為：．故選：B．鞏固訓(xùn)練20．已知，則銳角的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值求出，根據(jù)當(dāng)是銳角時(shí)，其余弦隨角度的增大而減小即可求解，【詳解】解∶∵為銳角，且，又∵當(dāng)是銳角時(shí)，其余弦隨角度的增大而減小，∴，故選∶C．21．已知為銳角，且，則（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)正弦值隨著角度的增大而增大，進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：當(dāng)時(shí)，，∵為銳角，正弦值隨著角度的增大而增大，∴；故選A．22．若為銳角，且，則（

）A．小于30° B．大于30° C．大于45°且小于60° D．大于60°【答案】D【分析】首先確定在銳角范圍內(nèi)，并且在此范圍內(nèi)，正切函數(shù)值隨角度的增大而增大，由此判斷即可．【詳解】解：∵在銳角范圍內(nèi)，正切函數(shù)值隨角度的增大而增大，∴，即，∴，故選：D．題型十解（非）直角三角形相關(guān)計(jì)算【例23】如圖，在中，，，，則的長(zhǎng)為（

）A． B． C．4 D．5【答案】D【分析】作于，根據(jù)，，算出和，再根據(jù)，算出，最后根據(jù)計(jì)算即可．【詳解】如下圖，作于，在中，，，，，在中，，，，，故選：D．【例24】在中，，，，那么．【答案】【分析】設(shè)，則，求出，然后解出的值即可解題．【詳解】解：∵，設(shè)，則，∴，解得：，∴，故答案為：．【例25】已知：在中，，，．則的面積為（結(jié)果可保留根號(hào)）．【答案】【分析】過(guò)作于，利用直角三角形的性質(zhì)求得的長(zhǎng)．已知的長(zhǎng)，根據(jù)三角形的面積公式即可求得其面積．【詳解】解：過(guò)作于，在中，，，即．在中，，，．，．．故答案為：．【例26】如圖，在中，已知，，，求的長(zhǎng)．【答案】【分析】過(guò)點(diǎn)作，垂足為點(diǎn)，設(shè)，在中，得出，在中，得出，根據(jù)，列出方程求解得出，在中，根據(jù)即可求解．【詳解】解：如圖，過(guò)點(diǎn)作，垂足為點(diǎn)，設(shè)，在中，，在中，，，，，.解得：，即，在中，∵，∴鞏固訓(xùn)練23．已知在中，，，，則（）A． B． C． D．【答案】B【分析】過(guò)點(diǎn)作，垂足為，根據(jù)，得出,進(jìn)而求得，由已知條件得出，進(jìn)而得出，即可求解．【詳解】解：如圖所示，過(guò)點(diǎn)作，垂足為，在中，，∴,∴\∴，在中，故選：B．24．如圖，在中，，，，則的長(zhǎng)為，的面積為．【答案】【分析】過(guò)作，如圖所示，在中，，，得到，；在中，，得到，由勾股定理得；再由三角形面積公式代值求解即可得到．【詳解】解：過(guò)作，如圖所示：在中，，，，在中，，，即，，由勾股定理得；，故答案為：，．25．在中，，，，求的長(zhǎng)．【答案】【分析】過(guò)點(diǎn)作，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，由平角的定義可求解，通過(guò)解直角三角形可求解，的長(zhǎng)，即可求解的長(zhǎng)，再利用勾股定理可求解的長(zhǎng)．【詳解】解：過(guò)點(diǎn)作，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，∴，∵，∴，∵，∴，，即，，∴，，∵，∴，∴，∴的長(zhǎng)為．題型十二俯仰角問(wèn)題【例27】小東同學(xué)學(xué)習(xí)了《銳角三角函數(shù)》一章后，決定運(yùn)用所學(xué)知識(shí)測(cè)算教室對(duì)面遠(yuǎn)處正在施工的塔吊（一種將重物吊到高處的建筑工具）的高度．小東現(xiàn)在所處的位置是四樓教室的點(diǎn)處，小東利用測(cè)角儀測(cè)得對(duì)面遠(yuǎn)處塔吊正在施工的六層（每層高）建筑物的頂部點(diǎn)的仰角為，測(cè)得被這幢六層建筑物遮住了一部分的塔吊的頂端點(diǎn)的仰角為．按照安全規(guī)定：此時(shí)塔吊的底部點(diǎn)距建筑物的底部點(diǎn)是．利用這些數(shù)據(jù)，小東經(jīng)過(guò)詳細(xì)的計(jì)算，得出塔吊的高度約為，但這個(gè)高度明顯違反了此種塔吊使用的安全規(guī)定（塔吊的最高高度與建筑物的最高高度差必須保持在），親愛(ài)的同學(xué)，你也來(lái)利用小東測(cè)得的數(shù)據(jù)，仔細(xì)算一算塔吊的高度，并判斷該塔吊是否違規(guī)操作．（結(jié)果保留一位小數(shù)．參考數(shù)據(jù)：，，，，）【答案】塔吊的高度為：，塔吊沒(méi)有違規(guī)操作.【分析】如圖，過(guò)作于，交于，則，，，，，，，可得，再分別求解，，，從而可得答案.【詳解】解：如圖，過(guò)作于，交于，則，∵，∴四邊形是矩形，四邊形是矩形，∴，，，，，，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∴塔吊的高度為：，而，∴塔吊沒(méi)有違規(guī)操作.鞏固訓(xùn)練26、如圖，為了測(cè)量旗桿的高度，在離旗桿底部12米的A處，用高米的測(cè)角儀測(cè)得旗桿頂端C處的仰角α為．求旗桿的高．（精確到米）[參考數(shù)據(jù)：，，]【答案】旗桿的高度約為米【分析】過(guò)作于，首先根據(jù)題意得到，，，然后解直角三角形得到，然后利用求解即可．【詳解】解：過(guò)作于，根據(jù)題意，，，，在中，（米），∴（米），答：旗桿的高約為米．題型十二方位角問(wèn)題【例28】如圖，四邊形是某公園的休閑步道．經(jīng)測(cè)量，點(diǎn)B在A的正西方向，米，點(diǎn)D在A的正北方向，點(diǎn)C在B的西北方向，米，點(diǎn)C在D的南偏西方向上．(1)求步道的長(zhǎng)度；（精確到個(gè)位數(shù)）；(2)小亮以90米/分的速度沿的方向步行，小明騎自行車以300米/分的速度沿的方向行駛．兩人能否在4分鐘內(nèi)相遇？請(qǐng)說(shuō)明理由．（參考數(shù)據(jù)：，）【答案】(1)步道的長(zhǎng)度為673米(2)兩人能否在4分鐘內(nèi)相遇；理由見(jiàn)解析【分析】（1）過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)E作于點(diǎn)F，過(guò)點(diǎn)C作于點(diǎn)G，證明四邊形為矩形，得出，米，，證明為等腰直角三角形，得出（米），根據(jù)三角函數(shù)得出（米），求出（米），解直角三角形得出（米），即可求出結(jié)果；（2）根據(jù)直角三角形性質(zhì)求出（米），米，求出（米），根據(jù)（米），（米），得出（米），根據(jù)（分鐘），即可得出結(jié)論．【詳解】（1）解：過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)E作于點(diǎn)F，過(guò)點(diǎn)C作于點(diǎn)G，如圖所示：根據(jù)作圖和已知條件可知，，∴四邊形為矩形，∴，米，，∵，，∴為等腰直角三角形，∴（米），∵，∴，∴，∴（米），∴（米），∵，，∴（米），∴（米），即步道的長(zhǎng)度為673米．（2）解：兩人能在4分鐘內(nèi)相遇；理由如下：∵在中，米，∴（米），∵在中，米，∴米，∴（米），∵（米），（米），∴（米），∵（分鐘），有∵，∴兩人能在4分鐘內(nèi)相遇．【例29】如圖，輪船甲和輪船乙同時(shí)離開(kāi)海港O，輪船甲沿北偏東的方向航行，輪船乙沿東南方向航行，2小時(shí)后，輪船甲到達(dá)A處，輪船乙到達(dá)B處，此時(shí)輪船甲正好在輪船乙的正北方向．已知輪船甲的速度為每小時(shí)25海里，求輪船乙的速度．（結(jié)果保留根號(hào)）【答案】海里小時(shí)．【分析】過(guò)作于，解直角三角形即可得到結(jié)論．【詳解】解：過(guò)作于，在中，，（海里），（海里），在中，，（海里），輪船乙的速度為海里小時(shí)．鞏固訓(xùn)練27．一艘輪船由西向東航行，行駛到A島時(shí)，測(cè)得燈塔B在它北偏東方向上，繼續(xù)向東航行到達(dá)C港，此時(shí)測(cè)得燈塔B在它北偏西方向上，求輪船在航行過(guò)程中與燈塔B的最短距離．（結(jié)果精確到）（參考數(shù)據(jù)：，，，，，）．【答案】輪船在航行過(guò)程中與燈塔B的最短距離為【分析】過(guò)點(diǎn)B作于點(diǎn)D，則，進(jìn)而得出，，根據(jù)，得出，即可求解．【詳解】解：過(guò)點(diǎn)B作于點(diǎn)D，∵，∴，∴，∴，，∵，∴，解得：，∴，答：輪船在航行過(guò)程中與燈塔B的最短距離為．28．為了維護(hù)海洋權(quán)益，新組建的國(guó)家海洋局加強(qiáng)了海洋巡邏力度，如圖，一艘海監(jiān)船位于燈塔的南偏東方向，距離燈塔100海里的處，沿正北方向航行一段時(shí)間后，到達(dá)位于燈塔的北偏東方向上的處．(1)在這段時(shí)間內(nèi)，海監(jiān)船與燈塔的最近距離是多少海里？(2)在這段時(shí)間內(nèi)，海監(jiān)船航行了多少海里？（結(jié)果保留根號(hào)）【答案】(1)在這段時(shí)間內(nèi)，海監(jiān)船與燈塔P的最近距離是海里．(2)輪船航行的距離為海里．【分析】（1）過(guò)點(diǎn)P作于C點(diǎn)，則線段的長(zhǎng)度即為海監(jiān)船與燈塔P的最近距離．解等腰直角三角形，即可求出的長(zhǎng)度．（2）海監(jiān)船航行的路程即為的長(zhǎng)度．先解，求出的長(zhǎng)，再由（1）得出，再利用線段