新教材2023年秋高中數(shù)學第1章空間向量與立體幾何1.4空間向量的應用1.4.1用空間向量研究直線平面的位置關系第3課時空間中直線平面的垂直教師用書含答案新人教A版選擇性必修第一冊

第3課時空間中直線、平面的垂直學習任務1．能用向量語言表述直線與直線、直線與平面、平面與平面的垂直關系．(數(shù)學抽象)2．熟練掌握用方向向量、法向量證明線線、線面、面面間的垂直關系．(邏輯推理、數(shù)學運算)由直線上一點及直線的方向向量可以刻畫直線的位置，由平面內一點及平面的法向量可以刻畫平面的位置，那么就可以利用向量運算來判定直線與直線、直線與平面、平面與平面的位置關系．下面我們就利用向量來研究垂直問題．知識點空間中直線、平面垂直的向量表達式位置關系向量表達式線線垂直設直線l1，l2的方向向量分別為μ1，μ2，則l1⊥l2?μ1⊥μ2?μ1·μ2＝0線面垂直設直線l的方向向量為μ，平面α的法向量為n，則l⊥α?μ∥n??λ∈R，使得μ＝λn面面垂直設平面α，β的法向量分別為n1，n2，則α⊥β?n1⊥n2?n1·n2＝0思考辨析(正確的打“√”，錯誤的打“×”)(1)若兩條直線的方向向量的數(shù)量積為0，則這兩條直線一定垂直相交． ()(2)若一直線與平面垂直，則該直線的方向向量與平面內的所有直線的方向向量的數(shù)量積為0． ()(3)兩個平面垂直，則其中一平面內的直線的方向向量與另一平面內的直線的方向向量垂直． ()(4)若兩平面α，β的法向量分別為μ1＝(1，0，1)，μ2＝(0，2，0)，則平面α，β互相垂直． ()提示：(1)×兩條直線可能異面垂直．(2)√根據(jù)線面垂直的定義可知．(3)×也可能平行．(4)√由μ1·μ2＝0知μ1⊥μ2，從而α⊥β.類型1直線和直線垂直【例1】如圖，在四棱錐P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，四邊形ABCD是矩形，PA＝AB＝1，F(xiàn)是PB的中點，點E在邊BC上移動．求證：無論點E在邊BC上的何處，都有PE⊥AF.[證明]法一：以A為原點，以AD，AB，AP所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系．設AD＝a，則A(0，0，0)，P(0，0，1)，B(0，1，0)，C(a，1，0)，于是F0，∵E在BC上，設E(m，1，0)，∴PE＝(m，1，－1)，AF＝0，∴PE·AF＝0，∴PE⊥∴無論點E在邊BC上何處，總有PE⊥AF.法二：因為點E在邊BC上，可設BE＝λBC，于是PE·AF＝(PA+AB+BE)·12(AP+AB)＝12(PA+AB＋λBC)·(AB+AP)＝12(PA·因此PE⊥AF.故無論點E在邊BC上的何處，都有PE⊥AF.用向量法證明直線與直線垂直的方法和步驟(1)基底法：①選取三個不共面的已知向量(通常是它們的模及其兩兩夾角為已知)為空間的一個基底；②把兩直線的方向向量用基底表示；③利用向量的數(shù)量積運算，計算出兩直線的方向向量的數(shù)量積為0；④由方向向量垂直得到兩直線垂直．(2)坐標法：①根據(jù)已知條件和圖形特征，建立適當?shù)目臻g直角坐標系，正確地寫出各點的坐標；②根據(jù)所求出點的坐標求出兩直線方向向量的坐標；③計算兩直線方向向量的數(shù)量積為0；④由方向向量垂直得到兩直線垂直．[跟進訓練]1．如圖，△ABC和△BCD所在平面互相垂直，且AB＝BC＝BD＝2，∠ABC＝∠DBC＝120°，E，F(xiàn)分別為AC，DC的中點．求證：EF⊥BC．[證明]法一：(基底法)設BA＝a，BC＝b，BD＝c，則{a，b，c}為空間的一個基底．∵AE＝EC，DF＝FC，∴EF∥AD，且EF＝12AD∴EF＝12AD＝12BD-BA＝1又BC＝b，AB＝BC＝BD＝2，∠ABC＝∠DBC＝120°，∴EF·BC＝12(c－a)·b＝12(c·b－a·b∴EF⊥BC，∴EF⊥BC．法二：(坐標法)由題意，以點B為坐標原點，在平面DBC內過點B作垂直于BC的直線為x軸，BC所在直線為y軸，在平面ABC內過點B作垂直于BC的直線為z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，易得B(0，0，0)，A(0，－1，3)，D(3，－1，0)，C(0，2，0)，所以E0，12，所以EF＝32，0，-32因此EF·BC＝0，從而EF⊥所以EF⊥BC．類型2直線和平面垂直【例2】如圖，在長方體ABCD-A1B1C1D1中，AB＝2，BC＝CC1＝1，E是CD的中點．求證：B1E⊥平面AED1.[思路導引]建立空間直角坐標系要證B1E⊥平面AED1寫出相關點的坐標→求平面AED1的一個法向量→證明B1E與平面AED[證明]建立如圖所示空間直角坐標系，∴D(0，0，0)，A(1，0，0)，D1(0，0，1)，C(0，2，0)，B1(1，2，1)．又E為CD的中點，∴E(0，1，0)，∴B1E＝(－1，－1，－1)，AE＝(－1，1，0)，AD1＝(－1，設平面AED1的法向量為n＝(x，y，z)，則AE·n=-x則y＝1，z＝1，∴n＝(1，1，1)是平面AED1的一個法向量．又B1E＝－n，∴B1∴B1E⊥平面AED1.證明直線與平面垂直的方法(1)選基底，將相關向量用基底表示出來，然后利用向量的計算來證明．(2)建立空間直角坐標系，利用坐標將向量的運算轉化為實數(shù)(坐標)的運算，以達到證明的目的．[跟進訓練]2．如圖所示，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是BB1，D1B1的中點．求證：EF⊥平面B1AC．[證明]法一：設AB＝a，AD＝c，AA1＝則EF＝EB1+＝12(AA＝12(－a＋b＋c)∵AB1＝AB+AA∴EF·AB1＝12(－a＋b＋c)·＝12(b2－a2＋c·a＋c·b)＝12(|b|∴EF⊥AB1，即EF⊥AB1.同理，EF⊥B1C．又AB1∩B1C＝B1，AB1，B1C?平面B1AC，∴EF⊥平面B1法二：設正方體的棱長為2，以D為原點，DA，DC，DD1所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立如圖所示的空間直角坐標系，則A(2，0，0)，C(0，2，0)，B1(2，2，2)，E(2，2，1)，F(xiàn)(1，1，2)．∴EF＝(－1，－1，1)，AB1＝(0，2，2)，AC＝(－2，2，∴EF·AB1＝(－1，－1，1)·(0，2，2)＝(－1)×0＋(－1)×2＋1×EF·AC＝(－1，－1，1)·(－2，2，0)＝2－2＋0＝∴EF⊥AB1，∴EF⊥AB1，EF⊥AC．又AB1∩AC＝A，AB1，AC?平面B1AC，∴EF⊥平面B1AC．法三：由法二得AB1＝(0，2，AC＝(－2，2，0)，EF＝(－1，－1，1)．設平面B1AC的法向量n＝(x，y，z)，則AB1·n＝0，AC·n＝即2取x＝1，則y＝1，z＝－1，∴n＝(1，1，－1)，∴EF＝－n，∴EF∥n，∴EF⊥平面B1AC．類型3平面與平面垂直【例3】(源自湘教版教材)在四面體ABCD中，AB⊥平面BCD，BC＝CD，∠BCD＝90°，∠ADB＝30°，E，F(xiàn)分別是AC，AD的中點．求證：平面BEF⊥平面ABC．[證明]如圖所示，以點B為原點，分別以BD，BA為y軸、z軸的正方向，并取相同的單位長度，設A(0，0，a)，則B(0，0，0)，C32a，32a，0，D(0，3a，于是AB＝(0，0，－a)，BC＝32BE＝34a，法一：(利用平面的法向量)設n1＝(x1，y1，z1)是平面ABC的法向量，則n取x1＝1，得y1＝－1，z1＝0，則n1＝(1，－1，0)是平面ABC的一個法向量．設n2＝(x2，y2，z2)是平面BEF的法向量，則n取x2＝1，得y2＝1，z2＝－3，則n2＝(1，1，－3)是平面BEF的一個法向量．因為n1·n2＝(1，－1，0)·(1，1，－3)＝0，所以平面BEF⊥平面ABC．法二：(利用線面垂直)∵EF＝-3∴EF·AB＝0，EF·BC＝0，∴EF⊥AB，又AB∩BC＝B，AB?平面ABC，BC?平面ABC∴EF⊥平面ABC，又EF?平面BEF∴平面BEF⊥平面ABC．證明面面垂直的兩種方法(1)常規(guī)法：利用面面垂直的判定定理轉化為線面垂直、線線垂直去證明．(2)法向量法：證明兩個平面的法向量互相垂直．[跟進訓練]3．如圖所示，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB⊥BC，AB＝BC＝2，BB1＝1，E為BB1的中點，證明：平面AEC1⊥平面AA1C1C．[證明]由題意得AB，BC，B1B兩兩垂直．以B為原點，BA，BC，BB1分別為x，y，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系．則A(2，0，0)，A1(2，0，1)，C(0，2，0)，C1(0，2，1)，E0，則AA1＝(0，0，1)，AC＝(－2，2，0)，AC1＝(－2，AE＝-2法一：(利用平面的法向量)設平面AA1C1C的一個法向量為n1＝(x1，y1，z1)．則n1·令x1＝1，得y1＝1.∴n1＝(1，1，0)．設平面AEC1的一個法向量為n2＝(x2，y2，z2)．則n2·令z2＝4，得x2＝1，y2＝－1.∴n2＝(1，－1，4)．∵n1·n2＝1×1＋1×(－1)＋0×4＝0.∴n1⊥n2，∴平面AEC1⊥平面AA1C1C．法二：(利用線面垂直)取AC1的中點D，連接ED(圖略)．則D1，1，12，ED∴ED·AC1＝0，∴ED⊥AC1，ED⊥AC，又AC1∩AC＝A，AC1，AC?平面AA1C1C，∴ED⊥平面AA1C1C，又ED?平面AEC1，∴平面AEC1⊥平面AA1C1C．1．已知直線l1的方向向量a＝(1，2，－2)，直線l2的方向向量b＝(－2，3，m)．若l1⊥l2，則m＝()A．1B．2C．12D．B[由于l1⊥l2，所以a⊥b，故a·b＝－2＋6－2m＝0，即m＝2．]2．若直線l的一個方向向量為a＝(1，0，2)，平面α的一個法向量為n＝(－2，0，－4)，則()A．l∥α B．l⊥αC．l?α D．l與α斜交B[∵n＝(－2，0，－4)＝－2(1，0，2)＝－2a，∴n∥a，∴l(xiāng)⊥α．]3．如圖，在空間直角坐標系中，正方體的棱長為2，點E是棱AB的中點，點F(0，y，z)是正方體的面AA1D1D上一點，且CF⊥B1E，則點F(0，y，z)滿足方程()A．y－z＝0 B．2y－z－1＝0C．2y－z－2＝0 D．z－1＝0D[因為E(1，0，0)，B1(2，0，2)，C(2，2，0)，所以B1E＝(－1，0，－2)，CF＝(－2，y－2，z因為CF⊥B1E，所以B1E·即2－2z＝0，即z＝1．]4．已知平面α與平面β垂直，若平面α與平面β的法向量分別為u＝(－1，0，5)，v＝(t，5，1)，則t的值為________．5[∵平面α與平面β垂直，∴平面α的法向量u與平面β的法向量v互相垂直，∴u·v＝0，即－1·t＋0×5＋5×1＝0，解得t＝5．]回顧本節(jié)知識，自主完成以下問題：1．兩直線垂直的向量表達式是什么？提示：設直線l1，l2的方向向量分別為u1，u2，則l1⊥l2?u1⊥u2?u1·u2＝0.2．直線和平面垂直的向量表達式是什么？提示：設直線l的方向向量為u，平面α的法向量為n，則l⊥α?u∥n??λ∈R，使