新教材2023年秋高中數(shù)學(xué)第2章直線和圓的方程2.2直線的方程2.2.1直線的點(diǎn)斜式方程教師用書含答案新人教A版選擇性必修第一冊(cè)

2.2.1直線的點(diǎn)斜式方程學(xué)習(xí)任務(wù)1．掌握直線方程的點(diǎn)斜式和斜截式，并會(huì)用它們求直線的方程．(數(shù)學(xué)運(yùn)算)2．了解直線的斜截式方程與一次函數(shù)的關(guān)系．(數(shù)學(xué)抽象)3．會(huì)用直線的點(diǎn)斜式方程與斜截式方程解決直線的平行與垂直問題．(數(shù)學(xué)運(yùn)算)我們知道，一點(diǎn)與一個(gè)方向可以確定一條直線．例如，如圖所示，直線l經(jīng)過點(diǎn)P(0，3)，且斜率k＝2，則直線l上的每個(gè)點(diǎn)在平面直角坐標(biāo)系中的位置就被確定了．也就是說，對(duì)于直線l上不同于點(diǎn)P的每一個(gè)點(diǎn)，其坐標(biāo)都和已知點(diǎn)P的坐標(biāo)與斜率存在某種恒定的數(shù)量關(guān)系．那么，這一數(shù)量關(guān)系是什么呢？知識(shí)點(diǎn)1直線的點(diǎn)斜式方程名稱點(diǎn)斜式已知條件點(diǎn)P(x0，y0)和斜率k示意圖方程y－y0＝k(x－x0)使用范圍斜率存在的直線經(jīng)過點(diǎn)P0(x0，y0)的直線有無數(shù)條，可分為兩類：①斜率存在的直線，方程為y－y0＝k(x－x0)；②斜率不存在的直線，方程為x＝x0.知識(shí)點(diǎn)2直線的斜截式方程(1)截距：我們把直線l與y軸的交點(diǎn)(0，b)的縱坐標(biāo)b叫做直線l在y軸上的截距；(2)斜截式：方程y＝kx＋b由直線的斜率k與它在y軸上的截距b確定，我們把方程y＝kx＋b叫做直線的斜截式方程，簡(jiǎn)稱斜截式．1.斜截式方程適用于斜率存在的直線，不能表示斜率不存在的直線，故利用斜截式設(shè)直線方程時(shí)也要討論斜率是否存在．2．縱截距不是距離，它是直線與y軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)，所以可以取一切實(shí)數(shù)，即可為正數(shù)、負(fù)數(shù)或零．知識(shí)點(diǎn)3根據(jù)直線的斜截式方程判斷兩直線平行與垂直對(duì)于直線l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2.(1)l1∥l2?k1＝k2，且b1≠b2；(2)l1⊥l2?k1k2＝－1.1．已知直線l經(jīng)過點(diǎn)P(2，－3)，且傾斜角α＝60°，則直線的點(diǎn)斜式方程是________．y＋3＝3(x－2)[所求直線的斜率k＝tan60°＝3，直線的點(diǎn)斜式方程為y＋3＝3(x－2)．]2．已知直線l的方程為y＝－2x－2，則直線l在y軸上的截距b＝________．－2[由直線的斜截式方程可知b＝－2．]3．已知直線l1：y＝x＋2與l2：y＝－2ax＋1平行，則a＝________．－12[由l1∥l2得－2a＝1，解得a＝－12類型1直線的點(diǎn)斜式方程【例1】(源自湘教版教材)已知直線l經(jīng)過點(diǎn)P(2，3)，斜率為2，求直線l的方程，并畫出該直線．[解]經(jīng)過點(diǎn)P(2，3)，斜率為2的直線的點(diǎn)斜式方程是y－3＝2(x－2)．畫該直線時(shí)，可在直線l上另取一點(diǎn)P1(x1，y1)，如取x1＝1，y1＝1，得P1(1，1)，過P，P1作直線即為所求，如圖所示．求直線的點(diǎn)斜式方程的步驟及注意點(diǎn)(1)求直線的點(diǎn)斜式方程的步驟：定點(diǎn)(x0，y0)→定斜率k→寫出方程y－y0＝k(x－x0)．(2)點(diǎn)斜式方程y－y0＝k(x－x0)可表示過點(diǎn)P(x0，y0)的所有直線，但直線x＝x0除外．[跟進(jìn)訓(xùn)練]1．求滿足下列條件的直線的點(diǎn)斜式方程．(1)過點(diǎn)P(－4，3)，斜率k＝－3；(2)過點(diǎn)P(3，－4)，且與y軸平行；(3)過點(diǎn)P(－2，3)，Q(5，－4)兩點(diǎn)．[解](1)因?yàn)橹本€過點(diǎn)P(－4，3)，斜率k＝－3，由直線方程的點(diǎn)斜式得直線方程為y－3＝－3(x＋4)．(2)直線與y軸平行，斜率不存在，其直線方程為x＝3.(3)過點(diǎn)P(－2，3)，Q(5，－4)的直線的斜率kPQ＝-4-35--2＝-77＝－所以直線的點(diǎn)斜式方程為y－3＝－(x＋2)．類型2直線的斜截式方程【例2】根據(jù)條件寫出下列直線的斜截式方程：(1)傾斜角為60°，與y軸的交點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離為3；(2)在y軸上的截距為－6，且與y軸夾角為60°.[思路導(dǎo)引]結(jié)合截距、斜率的幾何意義寫出直線的[解](1)因?yàn)橹本€的傾斜角為60°，所以斜率k＝tan60°＝3.因?yàn)橹本€與y軸的交點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離為3，所以直線在y軸上的截距b＝3或b＝－3，故所求直線的斜截式方程為y＝3x＋3或y＝3x－3.(2)與y軸夾角為60°的直線傾斜角為30°或150°，所以斜率k為tan30°或tan150°，即k＝±33，故所求直線的斜截式方程為y＝±33x求直線的斜截式方程的策略(1)斜截式方程的應(yīng)用前提是直線的斜率存在．(2)直線的斜截式方程y＝kx＋b中只有兩個(gè)參數(shù)，因此要確定直線方程只需兩個(gè)獨(dú)立條件即可．[跟進(jìn)訓(xùn)練]2．已知直線l的斜率為16，且和兩坐標(biāo)軸圍成面積為3的三角形，求l[解]設(shè)直線方程為y＝16x＋b，則x＝0時(shí)，y＝b；y＝0時(shí)，x＝－6b由已知可得12·|b|·|－6b|＝3，即6|b|2＝6，∴b＝故所求直線方程為y＝16x＋1或y＝16x類型3利用斜截式方程求平行與垂直的條件【例3】(1)當(dāng)a為何值時(shí)，直線l1：y＝－x＋2a與直線l2：y＝(a2－2)x＋2平行？(2)當(dāng)a為何值時(shí)，直線l1：y＝(2a－1)x＋3與直線l2：y＝4x－3垂直？[解](1)由題意可知，kl1＝-1，k∵l1∥l2，∴a2-2=-故當(dāng)a＝－1時(shí)，直線l1：y＝－x＋2a與直線l2：y＝(a2－2)x＋2平行．(2)由題意可知，kl1＝2∵l1⊥l2，∴4(2a－1)＝－1，解得a＝38故當(dāng)a＝38時(shí)，直線l1：y＝(2a－1)x＋3與直線l2：y＝4x－3垂直已知兩直線的斜截式方程，判定兩直線平行與垂直設(shè)直線l1的方程為y＝k1x＋b1，直線l2的方程為y＝k2x＋b2.(1)l1∥l2?k1＝k2，且b1≠b2；(2)l1與l2重合?k1＝k2，且b1＝b2；(3)l1⊥l2?k1·k2＝－1.[跟進(jìn)訓(xùn)練]3．已知直線l1：y＝－3m8x＋10-3m8和l2：6my＝－x＋4，問m為何值時(shí)，[解]當(dāng)m＝0時(shí)，l1：8y－10＝0；l2：x－4＝0，l1與l2垂直；當(dāng)m≠0時(shí)，l2的方程可化為y＝－16mx＋由－3m8＝－16m得m＝±23；由10-3m8≠23m，得m≠故當(dāng)m＝－23時(shí)，l1與l2平行當(dāng)m＝0時(shí)，l1與l2垂直．1．經(jīng)過點(diǎn)P(2，－3)，且傾斜角為45°的直線方程為()A．y－3＝－(x－2)B．y＋3＝－(x－2)C．y＋3＝－x－2D．y＋3＝x－2D[傾斜角為45°的直線的斜率為tan45°＝1，又該直線經(jīng)過點(diǎn)P(2，－3)，所以用直線的點(diǎn)斜式求得直線的方程為y＋3＝x－2．]2．傾斜角為120°且在y軸上的截距為－2的直線方程為()A．y＝－3x＋2 B．y＝－3x－2C．y＝3x＋2 D．y＝3x－2B[斜率為tan120°＝－3，則直線方程為y＝－3x－2．]3．與直線y＝2x＋1垂直，且在y軸上的截距為4的直線的斜截式方程為()A．y＝12x＋4 B．y＝2x＋C．y＝－2x＋4 D．y＝－12x＋D[由題意可設(shè)所求直線方程為y＝kx＋4，又由2k＝－1，得k＝－12，∴所求直線方程為y＝－12x＋44．在平面直角坐標(biāo)系中，下列三個(gè)結(jié)論