浙江省溫州市2023-2024學(xué)年高三上學(xué)期一模（期中）數(shù)學(xué)試題

溫州市普通高中2024屆高三第一次適應(yīng)性考試數(shù)學(xué)試題卷本試卷共4頁(yè)，22小題，滿分150分.考試用時(shí)120分鐘.注意事項(xiàng)：1.答卷前，考生務(wù)必用黑色字跡鋼筆或簽字筆將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)在答題卷上，將條形碼橫貼在答題卷右上角“條形碼粘貼處”.2.作答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卷上對(duì)應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑；如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案，答案不能答在試題卷上.3.非選擇題必須用黑色字跡鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫(xiě)在答題卷各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動(dòng)，先劃掉原來(lái)的答案，然后再寫(xiě)上新的答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液.不按以上要求作答的答案無(wú)效.4.考生必須保持答題卷的整潔，不要折疊、不要弄破.選擇題部分（共60分）一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是待合題目要求的.1.設(shè)集合，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)分式不等式化簡(jiǎn)集合,即可由交運(yùn)算求解.【詳解】，所以，故選：B2.設(shè)復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)點(diǎn)在第四象限，則復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】B【解析】【分析】由的周期性化簡(jiǎn)，計(jì)算后判斷所求復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)點(diǎn)的象限.【詳解】由復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第四象限，則設(shè)，由得，由，得復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第二象限.故選：B.3.動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)的距離與到定直線：的距離的比等于，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)距離公式即可化簡(jiǎn)求解.【詳解】根據(jù)題意可得，平方化簡(jiǎn)可得，進(jìn)而得，故選:A4.已知向量，，則在上的投影向量的坐標(biāo)是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【詳解】根據(jù)投影向量的定義，結(jié)合坐標(biāo)運(yùn)算即可求解.【分析】在上的投影向量為，故選：B5.已知離散型隨機(jī)變量的分布列如下表所示.則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)隨機(jī)變量的方差公式可得.【詳解】由分布列可得，，故選：D6.若函數(shù)，的值域?yàn)?，則的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】利用可得，再由三角函數(shù)圖像性質(zhì)可得，解不等式即可求得的取值范圍.【詳解】根據(jù)題意可知若，則可得；顯然當(dāng)時(shí)，可得，由的值域?yàn)?，利用三角函?shù)圖像性質(zhì)可得，解得，即的取值范圍是.故選：D7.已知為等比數(shù)列，則“”是“，是任意正整數(shù)”的（）A.充分條件但不是必要條件 B.必要條件但不是充分條件C.充要條件 D.既不是充分條件也不是必要條件【答案】C【解析】【分析】根據(jù)等比數(shù)列性質(zhì)，由遞推公式可得出結(jié)論.【詳解】因?yàn)闉榈缺葦?shù)列，則若，則，則所以，是的充分條件；又根據(jù)已知可知，約去可得因?yàn)闉榈缺葦?shù)列，所以，所以，所以當(dāng)為等比數(shù)列時(shí)，是的充分條件；故選：C8.如圖，所有棱長(zhǎng)都為1的正三棱柱，，點(diǎn)是側(cè)棱上的動(dòng)點(diǎn)，且，為線段上的動(dòng)點(diǎn)，直線平面，則點(diǎn)的軌跡為（）A.三角形（含內(nèi)部） B.矩形（含內(nèi)部）C.圓柱面的一部分 D.球面的一部分【答案】A【解析】【分析】根據(jù)題意首先保持在線段上不動(dòng)（與重合），研究當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)的軌跡為線段，再根據(jù)點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)的軌跡即可得出點(diǎn)的軌跡為及其內(nèi)部的所有點(diǎn)的集合.【詳解】如下圖所示：首先保持在線段上不動(dòng)，假設(shè)與重合根據(jù)題意可知當(dāng)點(diǎn)在側(cè)棱上運(yùn)動(dòng)時(shí)，若點(diǎn)在點(diǎn)處時(shí)，為的中點(diǎn)，此時(shí)由可得滿足，當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到圖中位置時(shí)，易知，取，可得，取棱上的點(diǎn)，滿足，根據(jù)三角形相似可得三點(diǎn)共線，當(dāng)點(diǎn)在側(cè)棱上從點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)軌跡即為線段；再研究當(dāng)點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)在線段上從點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)的軌跡是線段，當(dāng)點(diǎn)在線段上從點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)的軌跡是線段，因此可得，當(dāng)點(diǎn)是側(cè)棱上運(yùn)動(dòng)時(shí)，在線段上運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)的軌跡為及其內(nèi)部的所有點(diǎn)的集合；即可得的軌跡為三角形（含內(nèi)部）.故選：A二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.9.在一次數(shù)學(xué)考試中，某班成績(jī)的頻率分布直方圖如圖所示，則下列說(shuō)法正確的是（）A.圖中所有小長(zhǎng)方形的面積之和等于1 B.中位數(shù)的估計(jì)值介于100和105之間C.該班成績(jī)眾數(shù)的估計(jì)值為 D.該班成績(jī)的極差一定等于40【答案】ABC【解析】【分析】由頻率分布直方圖的性質(zhì)可知A正確；由中位數(shù)定義以及圖中頻率計(jì)算可知B正確；由眾數(shù)定義可得圖中最高的區(qū)間即代表眾數(shù)即可估計(jì)為，即C正確；由于成績(jī)高分和最低分不一定分別為，因此極差不一定為40，即D錯(cuò)誤.【詳解】對(duì)于A，由頻率分布直方圖的性質(zhì)可知，圖中所有小長(zhǎng)方形的面積之和等于1，即A正確；對(duì)于B，易知組距為，前兩組成績(jī)所占的頻率為，前三組成績(jī)所占的頻率為，由中位數(shù)定義可得其估計(jì)值介于100和105之間，即B正確；對(duì)于C，由圖可知頻率最高的成績(jī)區(qū)間，取中間值為代表可知班成績(jī)眾數(shù)的估計(jì)值為，即C正確；對(duì)于D，由圖可知成績(jī)最高區(qū)間為，最低區(qū)間為，但最高分和最低分不一定分別為，所以其成績(jī)極差不一定為40，即D錯(cuò)誤；故選：ABC10.已知平面平面，則下列結(jié)論一定正確的是（）A.存在直線平面，使得直線平面B.存在直線平面，使得直線平面C.存在直線平面，直線平面，使得直線直線D.存在直線平面，直線平面，使得直線直線【答案】BCD【解析】【分析】A.由面面垂直的判定定理判斷；B.由時(shí)，利用線面平行的判定定理判斷；C.由判斷；D.由判斷.【詳解】A.若存在直線平面，使得直線平面，則，故錯(cuò)誤；B.當(dāng)時(shí)，又，所以，故正確；C.當(dāng)時(shí)，，故正確；D.當(dāng)時(shí)，，故正確；故選：BCD11.若圓與直線相切，且與圓相切于點(diǎn)，則圓的半徑為（）A.5 B.3 C. D.【答案】BD【解析】【分析】由已知得圓心在軸，設(shè)圓心為，然后由圓與直線相切及過(guò)點(diǎn)列方程組求得圓心后再求得半徑．【詳解】圓的圓心為，半徑為1，圓與圓相切于點(diǎn)，則圓心在軸，設(shè)圓心為，則由題意，解得或，時(shí)，半徑為，時(shí)，半徑為，故選：BD．12.定義在上的函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，對(duì)于任意實(shí)數(shù)，都有，且滿足，則（）A.函數(shù)為奇函數(shù)B.不等式的解集為C.若方程有兩個(gè)根，，則D.在處的切線方程為【答案】AC【解析】【分析】根據(jù)奇函數(shù)的定義即可判定A，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算可得進(jìn)而可求解，即可求解BD，根據(jù)二次函數(shù)的圖象性質(zhì)，即可求解C.【詳解】對(duì)于A，，由可得，所以，且定義域?yàn)?，故為奇函?shù)，A正確，由于，所以為常數(shù)，則又在中，令，則，故，故，所以，對(duì)于B,可得，又，故，則，故B錯(cuò)誤，對(duì)于C，為單調(diào)遞增函數(shù)，而為開(kāi)口向上，且對(duì)稱軸為的二次函數(shù)，且是的兩個(gè)交點(diǎn)，的兩個(gè)交點(diǎn)設(shè)為，則，且，又為單調(diào)遞增函數(shù)，所以，所以，C正確，由得，所以在處的切線方程為，D錯(cuò)誤，故選：AC非選擇題部分（共90分）三、填空題：本大題共4小題，每題5分，共20分.把答案填在題中的橫線上.13.已知，則______（用表示）.【答案】【解析】【分析】根據(jù)誘導(dǎo)公式以及同角關(guān)系即可求解.【詳解】，故答案為：14.______.【答案】82【解析】【分析】用二項(xiàng)式定理展開(kāi)，注意合并相反項(xiàng)再求和.【詳解】可得兩式和的結(jié)果為82，故答案為：8215.與圓臺(tái)的上、下底面及側(cè)面都相切的球，稱為圓臺(tái)的內(nèi)切球，若圓臺(tái)的上下底面半徑為，，且，則它的內(nèi)切球的體積為_(kāi)_____.【答案】【解析】【分析】利用已知條件求得圓臺(tái)的母線長(zhǎng)，進(jìn)而根據(jù)勾股定理求得圓臺(tái)的高，即內(nèi)切球的直徑，最終利用球體體積公式求解即可.【詳解】由題意，畫(huà)出圓臺(tái)的直觀圖，其中為圓臺(tái)的母線長(zhǎng)，，分別為上、下底面的圓心，點(diǎn)為內(nèi)切球的球心，點(diǎn)為球與圓臺(tái)側(cè)面相切的一個(gè)切點(diǎn).則由題意可得：，.因此可得：內(nèi)切球半徑，即得內(nèi)切球的體積為.故答案為：16.斜率為1的直線與雙曲線（）交于兩點(diǎn)，點(diǎn)是曲線上的一點(diǎn)，滿足，和的重心分別為，的外心為，記直線，，的斜率為，，，若，則雙曲線的離心率為_(kāi)_____.【答案】【解析】【分析】根據(jù)直線與雙曲線的性質(zhì)，得出二級(jí)結(jié)論斜率之積為定值，取的中點(diǎn)，得到，再由，，結(jié)合所以，求得，利用，即可求解.【詳解】若直線與雙曲線有兩個(gè)交點(diǎn)，設(shè)的中點(diǎn)為，聯(lián)立方程組，整理得，可得，則，又由在直線上，可得，所以，所以，即直線與雙曲線相交線的中點(diǎn)與原點(diǎn)的連線的斜率與直線的斜率之積為定值，如圖所示，取的中點(diǎn)，因?yàn)榈闹匦脑谥芯€上，的重心在中線上，所以，，可得，即，又由，可得，可得因?yàn)?，且的外心為點(diǎn)，則為線段的中點(diǎn)，可得，因?yàn)?，所以，所以，所以，所?故答案為：.【點(diǎn)睛】知識(shí)方法：求解圓錐曲線的離心率的常見(jiàn)方法：1、定義法：通過(guò)已知條件列出方程組，求得得值，根據(jù)離心率的定義求解離心率；2、齊次式法：由已知條件得出關(guān)于的二元齊次方程或不等式，然后轉(zhuǎn)化為關(guān)于的一元二次方程或不等式，結(jié)合離心率的定義求解；3、特殊值法：根據(jù)特殊點(diǎn)與圓錐曲線的位置關(guān)系，利用取特殊值或特殊位置，求出離心率問(wèn)題.四、解答題：本大題共5小題，共70分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.17.已知四棱錐的底面為等腰梯形，，，，平面.（1）求證：；（2）若四棱錐的體積為2，求平面與平面夾角的余弦值.【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)梯形的性質(zhì)求解可證，進(jìn)而根據(jù)線線垂直即可求證，（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用法向量求解平面夾角，或者利用幾何法，結(jié)合線面垂直找到兩平面夾角，根據(jù)三角形的邊角關(guān)系即可求解.【小問(wèn)1詳解】∵平面，平面，∴，過(guò)點(diǎn)作，由為等腰梯形，，故，所以，即，即，平面，∴平面，平面，故.【小問(wèn)2詳解】方法一:，∵,，∴.如圖，建立空間直角坐標(biāo)系，，，，，,設(shè)平面法向量為，則，，取，得同理，設(shè)面法向量為，則，，取，得，由題意，.設(shè)平面與平面的夾角為，則，方法二：，∵,，∴.∵平面，平面，∴平面平面，過(guò)作，則平面垂足，平面，則,過(guò)作的垂線，垂足為，連，由于平面,所以平面,平面，故，則為所求二面角夾角平面角.，所以,,，，.18.設(shè)的三個(gè)內(nèi)角，，所對(duì)的邊分別為，，，且.（1）若，求的最小值；（2）求的值.【答案】（1）（2）0【解析】【分析】（1）首先應(yīng)用余弦定理得，然后方法1：使用均值不等式求解的最小值；方法2：利用已知條件，將轉(zhuǎn)化成關(guān)于的二次函數(shù)，進(jìn)而求解最小值.（2）方法1：利用三角形內(nèi)角和為，得：，將其代入原式中利用和差角公式即可化簡(jiǎn)求值；方法2：將，代入原式，然后利用和差角公式即可化簡(jiǎn)求值；【小問(wèn)1詳解】由余弦定理知，方法1：所以，當(dāng)時(shí)取等，此時(shí)為正三角形.故的最小值為.方法2：所以，當(dāng)時(shí)取等.故的最小值為.【小問(wèn)2詳解】方法1：因?yàn)?所以原式方法2：因?yàn)?，原式綜上所述：.19.等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，，.（1）求；（2）記為數(shù)列的前項(xiàng)和，若，且是以2為公差的等差數(shù)列，求數(shù)列的通項(xiàng)公式.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)等差數(shù)列基本量的計(jì)算即可得公差，進(jìn)而可求解，（2）方法一根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)列方程即可求解，進(jìn)而可求解，進(jìn)而根據(jù)的關(guān)系即可求解，方法二，利用待定系數(shù)法，結(jié)合等差數(shù)列性質(zhì)的運(yùn)算即可得，即可利用根據(jù)的關(guān)系即可求解.【小問(wèn)1詳解】解一：設(shè)等差數(shù)列的公差為，則，由可得，即，解得，，故.解二：由得，故，則故，則.【小問(wèn)2詳解】解一：由題意知，則，移項(xiàng)平方得，則可得是首項(xiàng)為3，公差為2的等差數(shù)列，則，可得，則，當(dāng)時(shí)，，故，故.解二：由題意可設(shè)（是常數(shù)），則，平方相減可得，則，可得，則，當(dāng)時(shí)，，故，故.20.已知（）.（1）求導(dǎo)函數(shù)的最值；（2）試討論關(guān)于的方程（）的根的個(gè)數(shù)，并說(shuō)明理由.【答案】（1）最大值等于（2）答案見(jiàn)解析【解析】【分析】（1）求出導(dǎo)函數(shù)，令，對(duì)再求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)確定單調(diào)性得最值；（2）方程變形為，令，對(duì)求導(dǎo)，確定單調(diào)性，得出函數(shù)值域后可得結(jié)論．【小問(wèn)1詳解】∵，記∴，解得：當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，所以的最大值等于.【小問(wèn)2詳解】方法1：由，即，即.令，∴，由解得：∴在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，∴，且所以：當(dāng)時(shí)，方程無(wú)解；當(dāng)時(shí)，方程有1個(gè)解；當(dāng)時(shí)，方程有2個(gè)解.方法2：由，即，即.令，，∴，由解得：∴在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，∴，且所以：當(dāng)時(shí)，方程無(wú)解；當(dāng)時(shí)，方程有1個(gè)解；當(dāng)時(shí)，方程有2個(gè)解.方法3：由，即，兩邊取對(duì)數(shù)得：，即.令，所以由，解得當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減所以當(dāng)，即時(shí)，方程無(wú)解；當(dāng)，即時(shí)，方程有1個(gè)解；當(dāng)，即時(shí)，方程有2個(gè)解.21.已知拋物線的焦點(diǎn)為，拋物線上的點(diǎn)處的切線為.（1）求的方程（用，表示）；（2）若直線與軸交于點(diǎn)，直線與拋物線交于點(diǎn)，若為鈍角，求的取值范圍.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由相切利用導(dǎo)數(shù)或判別式求斜率，再由點(diǎn)斜式寫(xiě)出方程；（2）由為鈍角，所以，將向量坐標(biāo)化得關(guān)于坐標(biāo)的不等式，再利用韋達(dá)定理消元代入不等關(guān)系化簡(jiǎn)求解范圍【小問(wèn)1詳解】解法1：拋物線：即，則，則在處切線的斜率為，所以，：，即.解法2：（1）設(shè)切線方程為，與拋物線：聯(lián)立得，，（*）因?yàn)橹本€與拋物線相切，故方程（*）的判別式即，解得，所以，：，即.【小問(wèn)2詳解】易知，.設(shè)直線：，.代入拋物線方程得，故，，因?yàn)闉殁g角，所以，即，即，（*）因?yàn)?，不等式?）即，解得，所以.22.某電子器件