安徽省合肥市百花中學(xué)等四校2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題

絕密★啟用前合肥百花中學(xué)2023~2024學(xué)年度第一學(xué)期高二年級(jí)期中考試（學(xué)考模擬）數(shù)學(xué)本試卷共4頁(yè).全卷滿分100分，考試時(shí)間90分鐘.注意事項(xiàng)：1.答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上.2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無(wú)效.3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.第Ⅰ卷(選擇題共54分)一、選擇題(本大題共18小題，每小題3分，滿分54分.每小題4個(gè)選項(xiàng)中，只有1個(gè)選項(xiàng)符合題目要求，多選不給分)1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用并集運(yùn)算求解.【詳解】解：因?yàn)榧?，，所以，故選：D2.下列函數(shù)中，在其定義域上單調(diào)遞減的是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用冪函數(shù)與正余弦函數(shù)的單調(diào)性一一判定即可.【詳解】由冪函數(shù)的單調(diào)性可知在定義域上單調(diào)遞減，故A正確；在上單調(diào)遞減，上單調(diào)遞增，不符題意，在上單調(diào)遞增，不符題意，在上單調(diào)遞增，不符題意，即B、C、D錯(cuò)誤.故選：A3.在平面直角坐標(biāo)系中，下列與角終邊相同的角是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用終邊相同的角的定義計(jì)算即可.【詳解】由題意可知，所以與終邊相同.故選：B4.若，則A.1 B.1 C.i D.i【答案】C【解析】【詳解】試題分析：，故選C．【考點(diǎn)】復(fù)數(shù)的運(yùn)算、共軛復(fù)數(shù)．【舉一反三】復(fù)數(shù)的加、減法運(yùn)算中，可以從形式上理解為關(guān)于虛數(shù)單位“”的多項(xiàng)式合并同類項(xiàng)，復(fù)數(shù)的乘法與多項(xiàng)式的乘法相類似，只是在結(jié)果中把換成?1.復(fù)數(shù)除法可類比實(shí)數(shù)運(yùn)算的分母有理化．復(fù)數(shù)加、減法的幾何意義可依照平面向量的加、減法的幾何意義進(jìn)行理解．5.下列函數(shù)為奇函數(shù)的是（）A. B. C. D.y=log?x【答案】A【解析】【分析】根據(jù)題意，結(jié)合初等函數(shù)的圖象與性質(zhì)，逐項(xiàng)判定，即可求求解.【詳解】對(duì)于A中，函數(shù)為奇函數(shù)，符合題意；對(duì)于B中，函數(shù)為偶函數(shù)，不符合題意；對(duì)于C中，函數(shù)為非奇非偶函數(shù)，不符合題意；對(duì)于D中，函數(shù)為非奇非偶函數(shù)，不符合題意.故選：A.6.已知函數(shù)對(duì)于任意實(shí)數(shù)x滿足，若，則（）A.5 B.3 C.3 D.5【答案】C【解析】【分析】首先判斷函數(shù)的周期，利用周期求函數(shù)值.【詳解】由，，可知，函數(shù)的周期，.故選：C7.已知a+b>0，b<0，那么a，b，a，b的大小關(guān)系是（）A.a>b>a>b B.a>b>b>aC.a>b>a>b D.a>b>b>a【答案】D【解析】【分析】根據(jù)題目信息，a+b>0，b<0，則可知且，在對(duì)內(nèi)容排序即可【詳解】因?yàn)閍+b>0，b<0，則可知且，則，因此D正確.故選：D.8.已知向量，若，則實(shí)數(shù)λ的值是（）A.2 B.1 C.1 D.2【答案】D【解析】【分析】根據(jù)，由求解.【詳解】解：因?yàn)橄蛄浚?，所以，解得，故選：D9.已知函數(shù)的圖象過(guò)點(diǎn)，則（）A.3 B.3 C. D.【答案】C【解析】【分析】利用指數(shù)函數(shù)的定義求底數(shù)，再計(jì)算函數(shù)值即可.【詳解】由題意可知，所以.故選：C10.如圖，在長(zhǎng)方體中，AB＝AD＝2，，則四棱錐的體積為（）A.3 B.4 C.6 D.9【答案】B【解析】【分析】根據(jù)長(zhǎng)方體的特殊線面關(guān)系，結(jié)合棱錐體積公式求得結(jié)果.【詳解】在長(zhǎng)方體中，底面ABCD，則四棱錐的體積為.故選：B11.在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，若則C=（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)正弦定理，即可求解.【詳解】根據(jù)正弦定理，即，則，，，則，所以.故選：B12.若函數(shù)的圖象與x軸沒有交點(diǎn)，則k的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】利用二次函數(shù)的性質(zhì)計(jì)算即可.【詳解】由題意可知無(wú)解，即.故答案為：A13.已知=(2,3)，=(3，t)，=1，則=A.3 B.2C.2 D.3【答案】C【解析】【分析】根據(jù)向量三角形法則求出t，再求出向量的數(shù)量積.【詳解】由，，得，則，．故選C．【點(diǎn)睛】本題考點(diǎn)為平面向量的數(shù)量積，側(cè)重基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能，難度不大．14.在籃球選修課上，男、女生各有5名編號(hào)為1，2，3，4，5的學(xué)生進(jìn)行投籃練習(xí)，每人投10次，投中的次數(shù)如圖所示，試根據(jù)折線圖通過(guò)計(jì)算比較本次投籃練習(xí)中男、女生的投籃水平，則（）A.男生投籃水平比女生投籃水平高B.女生投籃水平比男生投籃水平高C.男女同學(xué)的投籃水平相當(dāng)，但女同學(xué)要比男同學(xué)穩(wěn)定D.男女同學(xué)投籃命中數(shù)的極差相同【答案】C【解析】【分析】根據(jù)平均數(shù)和方差計(jì)算公式結(jié)合圖表數(shù)據(jù)計(jì)算出，，，，然后進(jìn)行比較即可求得結(jié)果.【詳解】由圖可知，，，，所以，，所以本次投籃練習(xí)中男女同學(xué)的投籃水平相當(dāng)，但女同學(xué)要比男同學(xué)穩(wěn)定，故選：C.15.向如圖放置的空容器中勻速注水，直至注滿為止.下列圖象中可以大致刻畫容器中水的高度與時(shí)間的函數(shù)關(guān)系的是（）A B.C D.【答案】C【解析】【分析】分析容器的形狀，結(jié)合勻速注水的條件可以直接得到答案.【詳解】由于容器上粗下細(xì)，所以勻速注水的過(guò)程中，高度的增長(zhǎng)會(huì)越來(lái)越慢，只有C選項(xiàng)的圖象符合條件，故選：C.16.函數(shù)零點(diǎn)所在區(qū)間是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)零點(diǎn)存在性定理，即可判斷選項(xiàng).【詳解】函數(shù)在上單調(diào)遞減，，，，，且函數(shù)單調(diào)遞減，連續(xù)不斷，所以函數(shù)的零點(diǎn)所在的區(qū)間是.故選：B17.從2名男生和2名女生中任選2人參加社區(qū)活動(dòng)，那么互斥而不對(duì)立的兩個(gè)事件是（）A.“恰有1名男生”與“全是男生”B.“至少有1名男生”與“全是女生”C.“至少有1名男生”與“全是男生”D.“至少有1名男生”與“至少有1名女生”【答案】A【解析】【分析】根據(jù)互斥事件和對(duì)立事件的概念結(jié)合選項(xiàng)進(jìn)行判斷.【詳解】對(duì)于A，“恰有1名男生”與“全是男生”不能同時(shí)發(fā)生，但不一定必有其一發(fā)生，所以是互斥而不對(duì)立事件；對(duì)于B，“至少有1名男生”與“全是女生”是對(duì)立事件；對(duì)于C，“至少有1名男生”與“全是男生”能同時(shí)發(fā)生，所以不是互斥事件；對(duì)于D，“至少有1名男生”與“至少有1名女生”能同時(shí)發(fā)生，所以不是互斥事件；故選：A.18.如圖，在長(zhǎng)方形中，，點(diǎn)P滿足，其中，則的取值范圍是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】建立平面直角坐標(biāo)系，寫出點(diǎn)的坐標(biāo)，得到，，從而求出，求出最值.【詳解】以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為軸，建立平面直角坐標(biāo)系，則，設(shè)，因?yàn)椋?，即，故，，則，則，因?yàn)椋?，，?故選：B第Ⅱ卷(非選擇題共46分)二、填空題(本大題共4小題，每小題4分，滿分16分，把答案填在題中的橫線上)19.若a>0，則的最小值是___________.【答案】2【解析】【分析】利用基本不等式求解.【詳解】解：∵a>0，∴（當(dāng)且僅當(dāng)a=1時(shí)取“=”）.故答案：220.某校高一年級(jí)有學(xué)生1000人，高二年級(jí)有學(xué)生800人，為制訂學(xué)生課外活動(dòng)方案，采用分層抽樣的方法從兩個(gè)年級(jí)分別抽取學(xué)生參加問卷調(diào)查，若從高一年級(jí)抽取學(xué)生50人，則應(yīng)從高二年級(jí)抽取的學(xué)生人數(shù)是_______________.【答案】40【解析】【分析】根據(jù)分層抽樣計(jì)算公式，即可求解.【詳解】設(shè)高二年級(jí)抽取的學(xué)生人數(shù)為，則，則.故答案為：21.設(shè)正方體的表面積為24，那么其外接球的體積是___________.【答案】【解析】【分析】正方體外接球球心為其體對(duì)角線的中點(diǎn)，體對(duì)角線即為外接球的直徑.【詳解】設(shè)正方體棱長(zhǎng)為a，則，根據(jù)正方體和球的對(duì)稱性可知，正方體外接球球心為其體對(duì)角線的中點(diǎn)，其體對(duì)角線即為外接球的直徑，設(shè)外接球半徑為R，則，∴外接球體積.故答案為：.22.在精準(zhǔn)扶貧工作中，某單位幫助農(nóng)戶銷售當(dāng)?shù)靥厣a(chǎn)品，該產(chǎn)品的成本是30元/千克，產(chǎn)品的日銷售量P(千克)與銷售單價(jià)x(元/千克)滿足關(guān)系式，要使農(nóng)戶獲得日利潤(rùn)最大，則該產(chǎn)品銷售單價(jià)x(元/千克)為_______________.【答案】42【解析】【分析】利用分段函數(shù)、二次函數(shù)的性質(zhì)計(jì)算即可.【詳解】由題意可知農(nóng)戶的日利潤(rùn)，由二次函數(shù)的單調(diào)性可知：若，有時(shí)，；若，有時(shí)，；故時(shí)，日利潤(rùn)取得最大值.故答案為：42三、解答題(本大題共3小題，每小題10分，滿分30分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟)23.已知函數(shù).（1）求函數(shù)的最小正周期；（2）已知，且求的值.【答案】（1）（2）1【解析】【分析】（1）根據(jù)周期公式求解即可；（2）先根據(jù)平方關(guān)系求得，進(jìn)而結(jié)合二倍角的正弦公式求解即可.【小問1詳解】函數(shù)的最小正周期為.【小問2詳解】因?yàn)椋瑒t，所以.24.如圖，在三棱錐中，平面，為等邊三角形，點(diǎn)為棱的中點(diǎn)，（1）求證:平面；（2）求三棱錐的體積.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)線面垂直的性質(zhì)可得，再根據(jù)線面垂直的判定定理即可得證；（2）根據(jù)棱錐的體積公式計(jì)算即可.【小問1詳解】因?yàn)槠矫?，平面，所以，因?yàn)闉榈冗吶切?，點(diǎn)為棱的中點(diǎn)，所以，又平面，所以平面；【小問2詳解】，，因?yàn)槠矫?，所?25.某家庭記錄了未使用節(jié)水龍頭天的日用水量數(shù)據(jù)（單位：）和使用了節(jié)水龍頭天的日用水量數(shù)據(jù)，得到頻數(shù)分布表如下：未使用節(jié)水龍頭天的日用水量頻數(shù)分布表日用水量頻數(shù)使用了節(jié)水龍頭天的日用水量頻數(shù)分布表日用水量頻數(shù)（1）作出使用了節(jié)水龍頭天日用水量數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖：（2）估計(jì)該家庭使用節(jié)水龍頭后，日用水量小于的概率；（3）估計(jì)該家庭使用節(jié)水龍頭后，一年能節(jié)省多少水？（一年按天計(jì)算，同一組中的數(shù)據(jù)以這組數(shù)據(jù)所在區(qū)間中點(diǎn)的值作代表．）【答案】（1）直方圖見解析；（2）；（3）.【解析】【分析】（1）根據(jù)題中所給的使用了節(jié)水龍頭天的日用水量頻數(shù)分布表，算出落在相應(yīng)區(qū)間上的頻率，借助于直方圖中長(zhǎng)方形的面積表示的就是落在相應(yīng)區(qū)間上的頻率，從而確定出對(duì)應(yīng)矩形的高，從而得到直方圖；（2）結(jié)合直方圖，算出日用水量小于的矩形的面積總和，即為所求的頻率；（3）根據(jù)組中值乘以相應(yīng)的頻率作和求得天日用水量的平均值，作差乘以天得到一年能節(jié)約用水多少，從而求得結(jié)果.【詳解】（1）頻率分布直方圖如下圖所示：（2