九年級(jí)數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)【北師大版】：第1章特殊的四邊形單元測(cè)試（培優(yōu)強(qiáng)化卷）（解析版）

2022-2023學(xué)年九年級(jí)數(shù)學(xué)上學(xué)期復(fù)習(xí)備考高分秘籍（月考+期中+期末）【北師大版】專題2.2第1章特殊的四邊形單元測(cè)試（培優(yōu)強(qiáng)化卷）姓名：__________________班級(jí)：______________得分：_________________注意事項(xiàng)：本試卷滿分120分，試題共23題．答卷前，考生務(wù)必用0.5毫米黑色簽字筆將自己的姓名、班級(jí)等信息填寫在試卷規(guī)定的位置．一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，共30分）在每小題所給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．（2022?南京模擬）菱形具有而一般平行四邊形不具有的性質(zhì)是（）A．對(duì)邊平行 B．對(duì)邊相等 C．對(duì)角線互相平分 D．對(duì)角線互相垂直【分析】根據(jù)菱形的性質(zhì)、平行四邊形的性質(zhì)逐項(xiàng)進(jìn)行判斷即可．【解析】：A．對(duì)邊平行是菱形和一般平行四邊形都具有的性質(zhì)，故A不符合題意；B．對(duì)邊相等是菱形和一般平行四邊形都具有的性質(zhì)，故B不符合題意；C．對(duì)角線互相平分是菱形和一般平行四邊形都具有的性質(zhì)，故C不符合題意；D．對(duì)角線互相垂直是菱形具有而一般平行四邊形不具有的性質(zhì)，故D符合題意；故選：D．2．（2022?南京模擬）如圖，菱形ABCD中，∠ABD＝70°，則∠C的度數(shù)為（）A．30° B．40° C．50° D．60°【分析】根據(jù)菱形的性質(zhì)得到∠CDB＝∠CBD＝∠ADB＝∠ABD＝70°，再由三角形的內(nèi)角和求出∠C的度數(shù)即可．【解析】：∵四邊形ABCD是菱形，∴∠ADC＝∠ABC，DB平分∠ADC和∠ABC，∴∠CDB＝∠CBD＝∠ADB＝∠ABD＝70°，∴∠C＝180°﹣2∠CDB＝180°﹣2×70°＝40°，故選：B．3．（2022?雁塔區(qū)校級(jí)開學(xué)）如圖，?ABCD對(duì)角線AC，BD交于點(diǎn)O，請(qǐng)?zhí)砑右粋€(gè)條件：____使得?ABCD是菱形（）A．AB＝AC B．AC⊥BD C．AB＝CD D．AC＝BD【分析】由菱形的判定可直接求解．【解析】：當(dāng)AC⊥BD時(shí)，?ABCD是菱形，故選：B．4．（2022春?忻城縣期中）如圖，在菱形ABCD中，對(duì)角線AC，BD分別為16和12，DE⊥AB于點(diǎn)E，則DE＝（）A． B． C．10 D．8【分析】由菱形的性質(zhì)可得AO＝CO＝8，DO＝BO＝6，AC⊥BD，由勾股定理可求AB的長(zhǎng)，由菱形的面積公式可求解．【解析】：如圖，設(shè)AC與BD的交點(diǎn)為O，∵四邊形ABCD是菱形，∴AO＝CO＝8，DO＝BO＝6，AC⊥BD，∴AB＝＝＝10，∵S菱形ABCD＝×AC×BD＝AB×DE，∴×16×12＝10×DE，∴DE＝，故選：A．5．（2022春?忻城縣期中）在Rt△ABC中，∠C＝90°，CD是斜邊AB上的中線，且BC＝CD，則∠B的度數(shù)等于（）A．30° B．45° C．60° D．90°【分析】根據(jù)直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)得到CD＝BC＝BD，證明△BCD為等邊三角形，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)解答即可．【解析】：在Rt△ABC中，∠C＝90°，CD是斜邊AB上的中線，則CD＝BC＝BD，∵BC＝CD，∴BC＝CD＝BD，∴△BCD為等邊三角形，∴∠B＝60°，故選：C．6．（2022?南京模擬）如圖，四邊形ABCD為平行四邊形，延長(zhǎng)AD到E，使DE＝AD，連接EB，EC，DB，添加一個(gè)條件，不能使四邊形DBCE成為矩形的是（）A．AB＝BE B．CE⊥DE C．∠ADB＝90° D．BE⊥AB【分析】先證四邊形DBCE為平行四邊形，再由矩形的判定和菱形的判定分別對(duì)各個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行判斷即可．【解析】：∵四邊形ABCD是平行四邊形∴AB＝CD，BC＝AD，BC∥AD，AB∥CD，∵DE＝AD，∴BC＝DE，∵BC∥AD，∴BC∥DE，∴四邊形DBCE是平行四邊形A、∵AB＝BE時(shí)，AB＝CD，∴BE＝CD，∴平行四邊形DBCE是矩形，故選項(xiàng)A不符合題意；B、∵CE⊥DE，∴∠CED＝90°時(shí)，∴平行四邊形DBCE是矩形，故選項(xiàng)B不符合題意；C、∵∠ADB＝90°，∴∠BDE＝180°﹣∠ADB＝90°，∴平行四邊形DBCE是矩形，故選項(xiàng)C不符合題意；D、∵BE⊥AB，AB∥CD，∴BE⊥CD，∴平行四邊形DBCE是菱形，故選項(xiàng)D符合題意．故選：D．7．（2022春?唐縣期末）琳琳在做數(shù)學(xué)作業(yè)時(shí)，因鋼筆漏水，不小心將部分字跡污染了，作業(yè)過(guò)程如下（涂黑部分即為污染部分）．如圖，已知四邊形ABCD是矩形，對(duì)角線AC，BD交于點(diǎn)O，求證：AC＝BD．證明：∵四邊形ABCD是矩形，∴①，∠ABC＝∠DCB＝90°．又∵②，∴△ABC≌△DCB．∴AC＝BD．污染部分的內(nèi)容有以下四個(gè)選項(xiàng)供選擇，a．AD＝BC；b．AB＝CD；c．AO＝CO；d．BC＝CB．下列說(shuō)法正確的是（）A．①是a，②是d B．①是b，②是c C．①是a，②是c D．①是b，②是d【分析】根據(jù)矩形的性質(zhì)得出AB＝CD，∠ABC＝∠DCB＝90°，利用邊角邊判定△ABC≌△DCB即可證明結(jié)論．【解答】證明：∵四邊形ABCD是矩形，∴①AB＝CD，∠ABC＝∠DCB＝90°．又∵②BC＝CB，∴△ABC≌△DCB（SAS）．∴AC＝BD．故選：D．8．（2022春?德城區(qū)校級(jí)期中）如圖，在△ABC中，點(diǎn)D、E、F分別在邊AB、BC、CA上，且DE∥CA，DF∥BA．下列四種說(shuō)法，其中正確的有（）個(gè)①四邊形AEDF是平行四邊形：②如果∠BAC＝90°，則四邊形AEDF是矩形：③如果AD平分∠BAC，則四邊形AEDF是菱形：④如果AD⊥BC且AB＝AC，則四邊形AEDF是菱形，A．1 B．2 C．3 D．4【分析】先由兩組對(duì)邊分別平行的四邊形為平行四邊形，根據(jù)DE∥CA，DF∥BA，得出AEDF為平行四邊形，得出①正確；當(dāng)∠BAC＝90°，根據(jù)推出的平行四邊形AEDF，利用有一個(gè)角為直角的平行四邊形為矩形可得出②正確；若AD平分∠BAC，得到一對(duì)角相等，再根據(jù)兩直線平行內(nèi)錯(cuò)角相等又得到一對(duì)角相等，等量代換可得∠EAD＝∠EDA，利用等角對(duì)等邊可得一組鄰邊相等，根據(jù)鄰邊相等的平行四邊形為菱形可得出③正確；由AB＝AC，AD⊥BC，根據(jù)等腰三角形的三線合一可得AD平分∠BAC，同理可得四邊形AEDF是菱形，④正確，進(jìn)而得到正確說(shuō)法的個(gè)數(shù)．【解析】：∵DE∥CA，DF∥BA，∴四邊形AEDF是平行四邊形，選項(xiàng)①正確；若∠BAC＝90°，∴平行四邊形AEDF為矩形，選項(xiàng)②正確；若AD平分∠BAC，∴∠EAD＝∠FAD，又∵DE∥CA，∴∠EDA＝∠FAD，∴∠EAD＝∠EDA，∴AE＝DE，∴平行四邊形AEDF為菱形，選項(xiàng)③正確；若AB＝AC，AD⊥BC，∴AD平分∠BAC，同理可得平行四邊形AEDF為菱形，選項(xiàng)④正確，則其中正確的個(gè)數(shù)有4個(gè)．故選：D．9．（2022春?于洪區(qū)期末）如圖，正方形ABCD的對(duì)角線AC，BD交于點(diǎn)O，E是邊CD上一點(diǎn)，連接OE，過(guò)點(diǎn)O作OF⊥OE，交AD于點(diǎn)F．若四邊形EOFD的面積是1，則AB的長(zhǎng)為（）A．1 B． C．2 D．2【分析】通過(guò)證明△DOF≌△COE，把四邊形EOFD的面積轉(zhuǎn)化成△COD的面積，利用△COD是等腰直角三角形求出CD的長(zhǎng)，即AB的長(zhǎng)．【解析】：∵四邊形ABCD是正方形，∴OD＝OC，OD⊥OC，∠ODF＝∠OCE＝45°，∴∠DOE+∠COE＝90°，∵OF⊥OE，∴∠DOF+∠DOE＝90°，∴∠DOF＝∠COE，在△DOF與△COE中，．∴△DOF≌△COE（ASA）．∴S△DOF＝S△COE．∴S△COD＝S四邊形EOFD＝1．∴S△COD＝OD?OC＝OD2＝1．∴OD＝．在Rt△COD中，CD＝＝2∴AB＝CD＝2．故選：C．10．（2022?灞橋區(qū)校級(jí)開學(xué)）如圖，在正方形ABCD中，E為對(duì)角線AC上一點(diǎn)，連接DE，過(guò)點(diǎn)E作EF⊥DE，交BC延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，以DE，EF為鄰邊作矩形DEFG，連接CG．在下列結(jié)論中：①DE＝EF；②△DAE≌△DCG；③AC⊥CG；④CE＝CF．其中正確的是（）A．②③④ B．①②③ C．①②④ D．①③④【分析】①過(guò)E作EM⊥BC于M點(diǎn)，過(guò)E作EN⊥CD于N點(diǎn)，如圖所示：根據(jù)正方形的性質(zhì)得到∠BCD＝90°，∠ECN＝45°，推出四邊形EMCN為正方形，由矩形的性質(zhì)得到EM＝EN，∠DEN+∠NEF＝∠MEF+∠NEF＝90°，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到ED＝EF，故①正確；②利用已知條件可以推出矩形DEFG為正方形；根據(jù)正方形的性質(zhì)得到AD＝DC，∠ADE+∠EDC＝90°推出△ADE≌△CDG（SAS），故②正確；③根據(jù)②的結(jié)論可得∠ACG＝90°，所以AC⊥CG，故③正確；④當(dāng)DE⊥AC時(shí)，點(diǎn)C與點(diǎn)F重合，得到CE不一定等于CF，故④錯(cuò)誤．【解析】：①過(guò)E作EM⊥BC于M點(diǎn)，過(guò)E作EN⊥CD于N點(diǎn)，如圖所示：∵四邊形ABCD是正方形，∴∠BCD＝90°，∠ECN＝45°，∴∠EMC＝∠ENC＝∠BCD＝90°，∴NE＝NC，∴四邊形EMCN為正方形，∵四邊形DEFG是矩形，∴EM＝EN，∠DEN+∠NEF＝∠MEF+∠NEF＝90°，∴∠DEN＝∠MEF，又∠DNE＝∠FME＝90°，在△DEN和△FEM中，，∴△DEN≌△FEM（ASA），∴ED＝EF，故①正確；②∵矩形DEFG為正方形；∴DE＝DG，∠EDC+∠CDG＝90°，∵四邊形ABCD是正方形，∵AD＝DC，∠ADE+∠EDC＝90°，∴∠ADE＝∠CDG，在△ADE和△CDG中，，∴△ADE≌△CDG（SAS），故②正確；③根據(jù)②得AE＝CG，∠DAE＝∠DCG＝45°，∴∠ACG＝90°，∴AC⊥CG，故③正確；④當(dāng)DE⊥AC時(shí)，點(diǎn)C與點(diǎn)F重合，∴CE不一定等于CF，故④錯(cuò)誤，綜上所述：①②③正確．故選：B．二．填空題（共6小題）11．（2022?南京模擬）如圖，平行四邊形ABCD的對(duì)角線AC與BD交于點(diǎn)O，請(qǐng)你添加一個(gè)條件使它是菱形，你添加的條件是AB＝AD（答案不唯一）．【分析】根據(jù)菱形的判定定理“有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形”，可以添加鄰邊相等的條件．【解析】：條件：AB＝AD，∵四邊形ABCD是平行四邊形，AB＝AD，∴四邊形ABCD是菱形．故答案為：AB＝AD（答案不唯一）．12．（2022春?忻城縣期中）菱形ABCD的一個(gè)內(nèi)角為120°，邊長(zhǎng)為6，則這個(gè)菱形較長(zhǎng)的對(duì)角線長(zhǎng)＝6．【分析】首先證得△ABC是等邊三角形，得到AO＝AC＝3，再利用勾股定理列式求出OB，即可得解．【解析】：如圖，∵四邊形ABCD是菱形，∠BAD＝120°，∴AD∥BC，AB＝BC，AC⊥BD，∴∠ABC＝60°，∴△ABC是等邊三角形，∴AC＝6，∠AOB＝90°∴AO＝AC＝3，在Rt△AOB中，BO＝＝＝3，∴菱形較長(zhǎng)的對(duì)角線長(zhǎng)BD是：2×3＝6．故答案為：6．13．（2022春?南寧期中）如圖，Rt△ABC中，BC＝3，中線BO＝2，則AB的長(zhǎng)度是．【分析】根據(jù)直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)可得AC＝2BO＝4，然后再利用勾股定理進(jìn)行計(jì)算即可解答．【解析】：在Rt△ABC中，BO是斜邊AC上的中線，BO＝2，∴AC＝2BO＝4，∵BC＝3，∴AB＝＝＝，故答案為：．14．（2022?南京模擬）如圖，矩形ABCD的對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，OF⊥AB，垂足為點(diǎn)F，BE⊥AC，垂足為點(diǎn)E，且E是OC的中點(diǎn)．若OF＝2，則BD的長(zhǎng)為8．【分析】根據(jù)矩形的性質(zhì)可以得到OC＝OB，再根據(jù)BE⊥AC及E點(diǎn)為CO的中點(diǎn)，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)證得△CBO是等邊三角形，從而得到∠DBA＝30°，然后根據(jù)30°直角三角形的性質(zhì)求得BO長(zhǎng)，BD＝2BO，即可得出答案．【解析】：∵BE⊥AC，E點(diǎn)為CO的中點(diǎn)，∴BE垂直平分OC，∴BC＝OB，∵四邊形ABCD是矩形，∴AC＝BD，OC＝OA，OD＝OB，∠CBA＝90°，∴OC＝OB，∴CB＝BO＝CO，∴△OBC是等邊三角形，∴∠CBD＝60°，∴∠DBA＝30°，∵OF⊥AB，OF＝2，∴BO＝2OF＝4，∵O點(diǎn)為BD中點(diǎn)，∴BD＝2BO＝8．故答案為：8．15．（2022春?沂水縣期中）如圖，E是正方形ABCD的對(duì)角線BD上一點(diǎn)，連接CE，過(guò)點(diǎn)E作EF⊥AD，垂足為點(diǎn)F．若AF＝6，EC＝10，則正方形ABCD的面積為196．【分析】連接AE，先證明△ABE≌△CBE，得出AE＝CE＝10，再利用勾股定理求出EF＝8，利用等腰直角三角形的性質(zhì)求出DF＝FE＝8，進(jìn)而求出AD＝14，繼而得出答案．【解析】：如圖，連接AE，∵四邊形ABCD是正方形，∴AB＝BC，∠ABE＝∠CBE＝∠FDE＝45°，在△ABE和△CBE中，，∴△ABE≌△CBE（SAS），∴AE＝CE，∵EC＝10，∴AE＝10，∵EF⊥AD，AF＝6，∴EF＝＝＝8，∵EF⊥AD，∠FDE＝45°，∴∠FED＝45°，∴DF＝FE＝8，∴AD＝AF+FD＝6+8＝14，∴＝196，故答案為：196．16．（2022春?豐澤區(qū)校級(jí)期末）平面直角坐標(biāo)系中，對(duì)于不在坐標(biāo)軸上的P（x1，y1），Q（x2，y2）兩點(diǎn)，規(guī)定其坐標(biāo)“積和”運(yùn)算為：P⊕Q＝x1y1+x2y2．若A，B，C，D四個(gè)點(diǎn)的“積和”運(yùn)算滿足：A⊕B＝B⊕C＝C⊕D＝D⊕B，若A，B，C，D為不在坐標(biāo)軸上的四個(gè)不相同的點(diǎn)，則下列關(guān)于以A，B，C，D為頂點(diǎn)的四邊形的結(jié)論：①四邊形ABCD可以是平行四邊形；②四邊形ABCD可以是菱形；③四邊形ABCD可以是矩形；④四邊形ABCD不可能是正方形；其中正確的①③④．（寫出所有正確結(jié)論的序號(hào)）【分析】根據(jù)新運(yùn)算得到x1y1＝x2y2＝x3y3＝x4y4，即可得到點(diǎn)A，B，C，D在同一反比例函數(shù)的圖象上，根據(jù)反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征即可判斷以A，B，C，D為頂點(diǎn)的四邊形不可能是菱形，正方形．【解析】：∵A⊕B＝B⊕C＝C⊕D＝D⊕B，∴x1y1+x2y2＝x2y2+x3y3＝x3y3+x4y4＝x4y4+x2y2，∴x1y1＝x2y2＝x3y3＝x4y4，∴點(diǎn)A，B，C，D在同一反比例函數(shù)的圖象上，∴以A，B，C，D為頂點(diǎn)的四邊形可以是平行四邊形或矩形，不可能是菱形，也不可能是正方形．故答案為：①③④．三．解答題（共7小題）17．（2022春?聊城期中）如圖，△ABC中，D，E分別是AC，AB的中點(diǎn)，，過(guò)點(diǎn)B作BF∥CE，交DE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F．求證：四邊形BCEF是菱形．【分析】先證四邊形BCFE是平行四邊形．再證BC＝CE，即可得出結(jié)論．【解答】證明：∵D、E分別是AC、AB的中點(diǎn)，∴DE∥BC，DE＝BC，∴EF∥BC，∵BF∥CE，∴四邊形BCEF是平行四邊形，∵DE＝CE，∴BC＝CE，∴四邊形BCEF是菱形．18．（2022春?定州市期末）如圖，已知四邊形ABCD是正方形，對(duì)角線AC、BD相交于O，設(shè)E、F分別是AD、AB上的點(diǎn)，且∠EOF＝90°．求證：AE＝BF．【分析】由正方形的性質(zhì)得出OA＝OB，∠OAE＝∠OBF＝45°，∠AOB＝90°，再由∠EOF＝90°，推出∠AOE＝∠BOF，由ASA證得△AOE≌△BOF，即可得出結(jié)論．【解答】證明：∵四邊形ABCD是正方形，∴OA＝OB，∠OAE＝∠OBF＝45°，∠AOB＝90°，∵∠EOF＝90°，∴∠EOF﹣∠AOF＝∠AOB﹣∠AOF，即∠AOE＝∠BOF，在△AOE和△BOF中，，∴△AOE≌△BOF（ASA），∴AE＝BF．19．（2022春?黔江區(qū)期末）（1）如圖，請(qǐng)用尺規(guī)在△ABC的邊BC，AC，AB上分別取點(diǎn)D，E，F(xiàn)使得四邊形BDEF為菱形；（保留作圖痕跡，不寫作法）（2）在（1）的菱形BDEF中，若∠A＝80°，∠C＝30°，求∠BED的度數(shù)．【分析】（1）作△ABC的角平分線BE，作線段BE的垂直平分線交AB于F，交BC于D，連接DE，EF，四邊形BDEF即為所求．（2）根據(jù)菱形的性質(zhì)和三角形的內(nèi)角和定理解答即可．【解析】：（1）D，E，F(xiàn)的位置如圖所示．（2）∵∠A＝80°，∠C＝30°，∴∠B＝180°﹣80°﹣30°＝70°，∵四邊形BDEF是菱形，∴∠FED＝∠ABC＝70°，∴∠BED＝FED＝35°，故∠BED的度數(shù)為35°．20．（2022春?聊城期中）已知：如圖，BE，BF分別是∠ABC與它的鄰補(bǔ)角∠ABD的平分線，AE⊥BE，垂足為點(diǎn)E，AF⊥BF，垂足為點(diǎn)F，EF分別交邊AB，AC于點(diǎn)M和N．求證：（1）四邊形AFBE是矩形；（2）MN∥BC．【分析】（1）由BF、BE是角平分線可得∠EBF是90°，進(jìn)而由條件中的兩個(gè)垂直可得兩個(gè)直角，可得四邊形AEBF是矩形；（2）由矩形的性質(zhì)可得∠2＝∠5進(jìn)而利用角平分線的性質(zhì)可得∠1＝∠5，可得MF∥BC，進(jìn)而可得△AMN∽△ABC，那么MN∥BC．【解答】證明：（1）∵BE，BF分別是∠ABC與它的鄰補(bǔ)角∠ABD的平分線，∴∠1＝∠2，∠3＝∠4．∵∠1+∠2+∠3+∠4＝180°，∴∠2+∠3＝90°．∵AE⊥BE，E為垂足，AF⊥BF，F(xiàn)為垂足，∴∠AFB＝∠AEB＝90°，∴四邊形AEBF為矩形；（2）∵四邊形AEBF為矩形，∴BM＝MA＝ME，∴∠2＝∠5，∵∠2＝∠1，∴∠1＝∠5∴ME∥BC，∴△AMN∽△ABC，∵M(jìn)是AB的中點(diǎn)，∴MN為△ABC的中位線，∴MN∥BC．21．（2022?岳陽(yáng)）如圖，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在?ABCD的邊AB，BC上，AE＝CF，連接DE，DF．請(qǐng)從以下三個(gè)條件：①∠1＝∠2；②DE＝DF；③∠3＝∠4中，選擇一個(gè)合適的作為已知條件，使?ABCD為菱形．（1）你添加的條件是①或③（填序號(hào)）；（2）添加了條件后，請(qǐng)證明?ABCD為菱形．【分析】（1）添加合適的條件即可；（2）添加①，證△ADE≌△CDF（AAS），得AD＝CD，再由菱形的判定即可得出結(jié)論；添加③，證△ADE≌△CDF（ASA），得AD＝CD，再由菱形的判定即可得出結(jié)論．【解答】（1）解：添加的條件是∠1＝∠2或∠3＝∠4，故答案為：①或③；（2）證明：添加①，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴∠A＝∠C，在△ADE和△CDF中，，∴△ADE≌△CDF（AAS），∴AD＝CD，∴?ABCD為菱形；添加③，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴∠A＝∠C，在△ADE和△CDF中，，∴△ADE≌△CDF（ASA），∴AD＝CD，∴?ABCD為菱形．22．（2022春?夏邑縣期中）如圖，正方形ABCD中，AB＝4，點(diǎn)E是對(duì)角線AC上的一點(diǎn)，連接DE，過(guò)點(diǎn)E作EF⊥ED，交AB于點(diǎn)F，以DE、EF為鄰邊作矩形DEFG，連接AG．（1）求證：矩形DEFG是正方形；（2）求AG+AE的值；（3）若F恰為AB的中點(diǎn)，連接DF，求點(diǎn)E到DF的距離．【分析】（1）如圖，作EM⊥AD于M，EN⊥AB于N．只要證明△EMD≌△ENF即可解決問(wèn)題；（2）只要證明△ADG≌△CDE，可得AG＝EC即可解決問(wèn)題；（3）求出DF的長(zhǎng)，由正方形的面積公式可得出答案．【解答】（1）證明：如圖，作EM⊥AD于M，EN⊥AB于N．∵四邊形ABCD是正方形，∴∠EAD＝∠EAB，∵EM⊥AD于M，EN⊥AB于N，∴EM＝EN，∵∠EMA＝∠ENA＝∠DAB＝90°，∴四邊形ANEM是矩形，∵EF⊥DE，∴∠MEN＝∠DEF＝90°，∴∠DEM＝∠FEN，∵∠EMD＝∠ENF＝90°，∴△EMD≌△ENF，∴ED＝EF，∵四邊形DEFG是矩形，∴四邊形DEFG是正方形．（2）解：∵四邊形DEFG是正方形，四邊形ABCD是正方形，∴DG＝DE，DC＝DA＝AB＝4，∠GDE＝∠ADC＝90°，∴∠ADG＝∠CDE，∴△ADG≌△CDE（SAS），∴AG＝CE，∴AE+AG＝AE+EC＝AC＝AD＝4．（3）解：連接DF，∵四邊形ABCD是正方形，∴AB＝AD＝4，AB∥CD，∵F是AB中點(diǎn)，∴AF＝FB，∴DF＝＝2，∴點(diǎn)E到DF的距離＝DF＝．23．（2022春?禹州市期末）請(qǐng)閱讀下列材料，并完成相應(yīng)的任務(wù)．三等分角是古希臘三大幾何問(wèn)題之一．如圖（1），任意∠ABC可被看作是矩形BCAD的對(duì)角線BA與邊BC的夾角，以B為端點(diǎn)的射線BF交CA于點(diǎn)E，交DA的延長(zhǎng)線