重難點(diǎn)01規(guī)律探究與新定義型問題（2類型10題型）

重難點(diǎn)01規(guī)律探究與新定義型問題目錄TOC\o"12"\p""\h\z\u類型一數(shù)式規(guī)律題型01記數(shù)類規(guī)律題型02乘方類規(guī)律題型03表格類規(guī)律題型04數(shù)陣類規(guī)律題型05個(gè)位數(shù)字規(guī)律題型06新定義運(yùn)算規(guī)律類型二圖形規(guī)律題型01圖形固定累加型題型02圖形漸變累加型題型03圖形個(gè)數(shù)分區(qū)域累加題型04圖形循環(huán)規(guī)律類型一數(shù)式規(guī)律方法總結(jié)：一、數(shù)字規(guī)律探索1）當(dāng)所給的一組數(shù)是整數(shù)時(shí)，先觀察這組數(shù)字是自然數(shù)列、正整數(shù)列、奇數(shù)列、偶數(shù)列、正整數(shù)數(shù)列或經(jīng)過平方、平方加1或減1等運(yùn)算后的數(shù)列，然后再看這組數(shù)字的符號(hào)，判斷數(shù)字符號(hào)的正負(fù)是交替出現(xiàn)還是只出現(xiàn)一種符號(hào)，如果是交替出現(xiàn)的可用(1)n或(1)n1表示數(shù)字的符號(hào)，最后把數(shù)字規(guī)律和符號(hào)規(guī)律結(jié)合起來從而得到結(jié)果.2)當(dāng)數(shù)字是分?jǐn)?shù)和整數(shù)結(jié)合的時(shí)候，先把這組數(shù)據(jù)的所有整數(shù)寫成分?jǐn)?shù)，然后分別推斷出分子和分母的數(shù)字規(guī)律(其方法同1))，從而得出分子和分母的規(guī)律，最后得到該組第n項(xiàng)的規(guī)律.二、數(shù)陣規(guī)律探索此類題目中的數(shù)據(jù)與有序數(shù)對是對應(yīng)的，設(shè)問方式有已知有序數(shù)對求數(shù)值和表示某個(gè)數(shù)值的有序數(shù)對，本質(zhì)上講，這兩種方式是相同的.此類型題的解決方法有：1）分析數(shù)陣中的數(shù)字排列方式:①每行的個(gè)數(shù);②每列的個(gè)數(shù);③相鄰數(shù)據(jù)的變化特點(diǎn)，并且觀察是否某一行或者某一列數(shù)據(jù)具有某些特別的性質(zhì)(如完全平方數(shù)，正整數(shù))等;2）找出該行或列上的數(shù)字與其所在的行數(shù)或列數(shù)的關(guān)系;3）使用1）中找出的具有特殊性質(zhì)的數(shù)字，根據(jù)2）中的性質(zhì)定位，求得答案三、等式規(guī)律探索1）標(biāo)序數(shù);2）對比式子與序數(shù)，即分別比較等式中各部分與序數(shù)(1，2，3，4，...，n)之間的關(guān)系，把其蘊(yùn)含的規(guī)律用含序數(shù)的式子表示出來.通常方法是將式子進(jìn)行拆分觀察式子中數(shù)字與序數(shù)是否存在倍數(shù)或者乘方的關(guān)系.3）根據(jù)找出的規(guī)律得出第n個(gè)等式，并進(jìn)行檢驗(yàn).題型01記數(shù)類規(guī)律【例1】（2023岳陽市二模）按一定規(guī)律排列的一列數(shù)依次是23、1、87、119、1411、1713…按此規(guī)律，這列數(shù)中第A．299199 B．299201 C．301201【答案】B【分析】觀察發(fā)現(xiàn)，是不變的，變的是數(shù)字，不難發(fā)現(xiàn)數(shù)字的規(guī)律，代入具體的數(shù)就可求解．【詳解】解：由23、1、87、119、1411、1713……可得第∵n=100，∴第100個(gè)數(shù)為：299故選B．【點(diǎn)睛】本題考查學(xué)生的觀察和推理能力，通過觀察發(fā)現(xiàn)數(shù)字之間的聯(lián)系，找出一般的規(guī)律，解決具體的問題；關(guān)鍵是找出一般的規(guī)律．【變式11】（2023·山東日照·日照市新營中學(xué)?？家荒＃┯^察下列各式：a1=1，a2=25，a3=14，…【答案】1【分析】由題意可得an【詳解】解：由題意可得：a1=1，a2∵1∴125∴a∵1∴114∴a同理可求a6∴a1∴a∴a故答案為：13034【點(diǎn)睛】本題考查了數(shù)字的變化類，找出數(shù)字的變化規(guī)律是解題的關(guān)鍵．【變式12】（2022·河北保定·統(tǒng)考模擬預(yù)測）有一列數(shù)1，x2，7，x4，x5，…，xn，從第二個(gè)數(shù)開始，（1）則x6為（2）若xm=52，則m=【答案】1618【分析】（1）根據(jù)從第二個(gè)數(shù)開始，每個(gè)數(shù)等于與它相鄰的兩個(gè)數(shù)的平均數(shù)直接計(jì)算即可；（2）根據(jù)（1）中計(jì)算的前幾個(gè)數(shù)找到規(guī)律xn=3n-2，根據(jù)【詳解】（1）解：∵從第二個(gè)數(shù)開始，每個(gè)數(shù)等于與它相鄰的兩個(gè)數(shù)的平均數(shù)，∴x∴7=12(∴x4=12∴x5=12故答案為：16；（2）解：根據(jù)前面幾項(xiàng)x1=1,x∴xm=3m-2=52，即3m=54故答案為：18．【點(diǎn)睛】本題考查有理數(shù)計(jì)算及數(shù)字規(guī)律的尋找，準(zhǔn)確理解題意，并根據(jù)計(jì)算的數(shù)據(jù)找到規(guī)律是解決問題的關(guān)鍵．【變式13】（2023六安市模擬）判斷下面各式是否成立（1）223=223

（2）3探究：①你判斷完上面各題后，發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律？并猜想：5②用含有n的代數(shù)式將規(guī)律表示出來，說明n的取值范圍，并給出證明【答案】都正確①5524②【分析】（1）①利用已知即可得出命題正確，同理即可得出其他正確性，猜想可得出55②利用①的方法，可以得出規(guī)律，并加以證明即可．【詳解】解：①上面三題都正確，22223=8333338=278444415=6415∴55②上面規(guī)律：n+n證明：n+nn2【點(diǎn)睛】此題主要考查了平方根的性質(zhì)，利用已知得出數(shù)字之間的規(guī)律是解決問題的關(guān)鍵．【變式14】（2023·安徽六安·統(tǒng)考模擬預(yù)測）觀察下列等式：第1個(gè)等式：1+1+第2個(gè)等式：2+第3個(gè)等式：3+第4個(gè)等式：4+17按照以上規(guī)律，解決下列問題：(1)寫出第5個(gè)等式：__________；(2)寫出你猜想的第n個(gè)等式：__________（用含n的等式表示），并證明．【答案】(1)5+(2)n+1【分析】將所給等式，豎列排放，觀察各式子的分母之間的關(guān)系發(fā)現(xiàn)：等式左邊第一個(gè)分母比第二個(gè)分母小1，第三個(gè)分母是前兩個(gè)分母的乘積，等式的右邊分母是序數(shù)，分子是分母的平方再加1.【詳解】（1）第5個(gè)等式為：5+故答案為：5+（2）猜想第n個(gè)等式為：n+1證明：∵左邊=n+=n+=n+=n+=n+=n右邊=n左邊=右邊，∴等式成立．故答案為：n+1【點(diǎn)睛】本題考查了規(guī)律型中數(shù)字的變化類，以及分式的加減法，根據(jù)等式中各數(shù)字的變化找出變化規(guī)律是解題的關(guān)鍵．【變式15】（2023·安徽宣城·校聯(lián)考一模）先觀察下列各式：1=11+3=1+3+5=1+3+5+7(1)計(jì)算：1+3+5+7+9；(2)已知n為正整數(shù)，通過觀察并歸納，請寫出：1+3+5+7+9+11+...+2n-1＝(3)應(yīng)用上述結(jié)論，請計(jì)算4+12+20+28+36+44+...【答案】(1)6(2)n(3)52【分析】（1）先求出1+3+5+7+9的值，再根據(jù)算術(shù)平方根的定義求解即可；（2）觀察可知左邊根式里面都是奇數(shù)，等式右邊的結(jié)果是等式左邊根號(hào)里面最后一個(gè)數(shù)加1后的一半，據(jù)此規(guī)律求解即可；（3）把根號(hào)里面的數(shù)字提取公因數(shù)4，然后根據(jù)（2）的規(guī)律求解即可．【詳解】（1）解：1+3+5+7+9=故答案為：5（2）解：∵1=11+3=1+3+5=1+3+5+7……∴可以發(fā)現(xiàn)規(guī)律1+3+5+7+9+11+（3）解：4+12+20+28+36+44+====52．【點(diǎn)睛】本題主要考查了與實(shí)數(shù)相關(guān)的規(guī)律探索，正確理解題意找到規(guī)律是解題的關(guān)鍵．題型02乘方類規(guī)律【例2】（2023·四川成都·?？家荒＃┨剿饕?guī)律：觀察下面的一列單項(xiàng)式：x、-2x2、4x3、-8x4、16xA．-256x9 B．256x9 C．【答案】B【分析】根據(jù)已知的式子可以得到系數(shù)是以-2為底的冪，指數(shù)是式子的序號(hào)減1，x的指數(shù)是式子的序號(hào)．【詳解】解：第9個(gè)單項(xiàng)式是-29-1故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了單項(xiàng)式規(guī)律題，正確理解式子的符號(hào)、次數(shù)與式子的序號(hào)之間的關(guān)系是關(guān)鍵．【變式21】（2023·湖北武漢·校考模擬預(yù)測）為了求1+2+22+?+22023的值，可令S=1+2+22+?+22023，則A．1-320242 B．3-320242【答案】C【分析】令S=1+3+32+?+32023【詳解】解：令S=1+3+3∴3S=3+3②減①，得：3S-S=3∴S=3即1+3+3故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)字的變化類，有理數(shù)的混合運(yùn)算，找到變化規(guī)律是解題的關(guān)鍵．【變式22】（2022隨州市一模）我們知道，一元二次方程x2=﹣1沒有實(shí)數(shù)根，即不存在一個(gè)實(shí)數(shù)的平方等于﹣1，若我們規(guī)定一個(gè)新數(shù)i，使其滿足i2=﹣1（即x2=﹣1方程有一個(gè)根為i），并且進(jìn)一步規(guī)定：一切實(shí)數(shù)可以與新數(shù)進(jìn)行四則運(yùn)算，且原有的運(yùn)算法則仍然成立，于是有i1=i，i2=﹣1，i3=i2?i=（﹣1）?i，i4=（i2）2=（﹣1）2=1，從而對任意正整數(shù)n，我們可得到i4n+1=i4n?i=（i4）n?i，同理可得i4n+2=﹣1，i4n+3=﹣i，i4n=1，那么，i+i2+i3+i4+…+i2016+i2017的值為（

）A．0 B．1 C．﹣1 D．i【答案】D【詳解】試題解析：由題意得，i1=i，i2=1，i3=i2?i=（1）?i=i，i4=（i2）2=（1）2=1，i5=i4?i=i，i6=i5?i=1故可發(fā)現(xiàn)4次一循環(huán)，一個(gè)循環(huán)內(nèi)的和為0∵20174∴i+i2+i3+i4+…+i2013+i2017=i故選：D【變式23】（2022·廣西梧州·統(tǒng)考一模）找規(guī)律數(shù)：0，6，16，30，48，…，則第n個(gè)為（用含n的代數(shù)式表示）．【答案】2(【分析】現(xiàn)將這列數(shù)除以2，再利用平方差公式尋找規(guī)律即可求解【詳解】解：將原數(shù)列，每個(gè)數(shù)除以2，得到新數(shù)列，為：0，3，8，15，24，…，可以發(fā)現(xiàn)：0=11=123=41=228=91=3215=161=4224=251=52．．．依次類推，可知新數(shù)列的第n個(gè)數(shù)為：n2則原數(shù)列的第n個(gè)數(shù)為：2(n故答案為：2(n【點(diǎn)睛】此題考查了數(shù)字的變化規(guī)律，根據(jù)數(shù)字的特點(diǎn)，運(yùn)用平方差公式找到數(shù)字的規(guī)律是解答本題的關(guān)鍵．【變式24】觀察等式：1=1=12，1+3=4=22，1+3+5=9=32，1+3+5+7=16=【答案】10102.【分析】觀察給出的等式得到：從1開始的連續(xù)2個(gè)奇數(shù)和是22，連續(xù)3個(gè)奇數(shù)和是32，連續(xù)4個(gè)，5個(gè)奇數(shù)和分別為42，52…根據(jù)規(guī)律即可猜想從1開始的連續(xù)n個(gè)奇數(shù)的和，據(jù)此可解.【詳解】解：∵從1開始的連續(xù)2個(gè)奇數(shù)和是22，連續(xù)3個(gè)奇數(shù)和是32，連續(xù)4個(gè)，5個(gè)奇數(shù)和分別為42，52…；∴從1開始的連續(xù)n個(gè)奇數(shù)的和：1+3+5+7+…+（2n1）=n2；∴2n1=2019；∴n=1010；∴1+3+5+7…+2019=10102；故答案是：10102.【點(diǎn)睛】此題主要考查學(xué)生對規(guī)律型題的掌握，關(guān)鍵是要對給出的等式進(jìn)行仔細(xì)觀察分析，發(fā)現(xiàn)規(guī)律，根據(jù)規(guī)律解題．題型03表格類規(guī)律解題技巧：表格找規(guī)律其實(shí)是在數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)當(dāng)中一項(xiàng)比較常見的類型，以日歷的表格為基礎(chǔ)而展開的規(guī)律選擇最為常見.這類提醒我們要以其中一個(gè)數(shù)字為中心，上下左右的數(shù)字變化以及大小來展開，比如在日歷的表格當(dāng)中上下相差7，左右相差一，那么將中心的數(shù)字看作是字母a，則左邊為a1，右邊為a+1，上邊為a7，下邊為a+7.所以當(dāng)我們沒有關(guān)于表格規(guī)律的解題思路時(shí)，將以此為基礎(chǔ)來進(jìn)行觀察，雖然其規(guī)律有所不同，但是其思路是相通的，方法也可以類比進(jìn)行推論.【例3】（2020·山西臨汾·校聯(lián)考模擬預(yù)測）在日歷上，我們可以發(fā)現(xiàn)其中某些數(shù)滿足一定的規(guī)律，如圖是2019年1月份的日歷．我們?nèi)我膺x擇其中所示的菱形框部分將每個(gè)菱形框部分中去掉中間位置的數(shù)之后，相對的兩對數(shù)分別相乘，再相減，例如：9×11-3×17=48，13×15-7×21=48．不難發(fā)現(xiàn)，結(jié)果都是48．（1）請證明發(fā)現(xiàn)的規(guī)律；（2）若用一個(gè)如圖所示菱形框，再框出5個(gè)數(shù)字，其中最小數(shù)與最大數(shù)的積為435，求出這5個(gè)數(shù)的最大數(shù)；（3）小明說：他用一個(gè)如圖所示菱形框，框出5個(gè)數(shù)字，其中最小數(shù)與最大數(shù)的積是120．直接判斷他的說法是否正確．（不必?cái)⑹隼碛桑敬鸢浮浚?）見解析；（2）29；（3）他的說法不正確【分析】（1）設(shè)中間的數(shù)為a，則另外4個(gè)數(shù)分別為（a?7），（a?1），（a＋1），（a＋7），利用（a?1）（a＋1）?（a?7）（a＋7）＝48可證出結(jié)論；（2）設(shè)這5個(gè)數(shù)中最大數(shù)為x，則最小數(shù)為（x?14），根據(jù)兩數(shù)之積為435，可得出關(guān)于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出結(jié)論；（3）設(shè)這5個(gè)數(shù)中最大數(shù)為y，則最小數(shù)為（y?14），根據(jù)兩數(shù)之積為120，可得出關(guān)于y的一元二次方程，解之取其正值，由該值在第一列可得出小明的說法不正確．【詳解】（1）證明：設(shè)中間的數(shù)為a，∴a-1=a（2）解：設(shè)這五個(gè)數(shù)中最大數(shù)為x，由題意，得xx-14解方程，得x1=29，答：這5個(gè)數(shù)中最大的數(shù)是29．（3）他的說法不正確．解：設(shè)這5個(gè)數(shù)中最大數(shù)為y，則最小數(shù)為（y?14），依題意，得：y（y?14）＝120，解得：y1＝20，y2＝?6（不合題意，舍去）．∵20在第一列，∴不符合題意，∴小明的說法不正確．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用及菱形的性質(zhì)，以及規(guī)律型：數(shù)字的變化類，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．【變式31】觀察表格，回答問題：a…110010000…a…x1y100…(1)表格中x=________，y=________；(2)從表格中探究a與a數(shù)位的規(guī)律，并利用這個(gè)規(guī)律解決下面兩個(gè)問題：①已知10≈3.16，則1000≈②已知m=8.973，若b=897.3，用含m的代數(shù)式表示b，則b=(3)試比較a與a的大?。?dāng)________時(shí)，a>a；當(dāng)________時(shí)，a=a；當(dāng)________時(shí)，【答案】；10；(2)①；②10000m；(3)0<a<1，a=1或0，a>1．【分析】（1）由表格得出規(guī)律，求出x與y的值即可；（2）根據(jù)得出的規(guī)律確定出所求即可；（3）分類討論a的范圍，比較大小即可．【詳解】（1）解：x=0.01=0.1，故答案為：；10；（2）解：①根據(jù)題意得：1000≈31.6②結(jié)果擴(kuò)大100倍，則被開方數(shù)擴(kuò)大10000倍，∴b=10000m．故答案為：；10000m；（3）解：當(dāng)a=0或1時(shí)，a=a當(dāng)0<a<1時(shí)，a>a當(dāng)a=1或0時(shí)，a=a當(dāng)a>1時(shí)，a<a故答案為：0<a<1，a=1或0，a>1．【點(diǎn)睛】本題考查了實(shí)數(shù)的比較，弄清題中的規(guī)律是解本題的關(guān)鍵．【變式32】（2021宿州市一模）如圖，下列各正方形中的四個(gè)數(shù)之間具有相同的規(guī)律．根據(jù)此規(guī)律，回答下列問題：（1）第5個(gè)圖中4個(gè)數(shù)的和為______________．（2）a=___________；c=__________．（3）根據(jù)此規(guī)律，第n個(gè)正方形中，d=2564，則n的值為___________．【答案】（1）-152；（2）(-1)n?2n-1；(-1)n【分析】（1）觀察圖形可得第5個(gè)圖中4個(gè)數(shù)，相加即可求解；（2）由已知圖形得出a＝（?1）n?2n?1，b＝2a＝（?1）n?2n，c＝b＋4＝（?1）n?2n＋4，即可求解；（3）根據(jù)d＝a＋b＋c＝5×（?1）n?2n?1＋4＝2564求解可得．【詳解】（1）第5個(gè)圖形中的4個(gè)數(shù)分別是-16，-32，-28，-764個(gè)數(shù)的和為：-16-32-28-76=-152．故答案為：-152；（2）a＝（?1）n?2n?1；b＝2a＝（?1）n?2n，c＝b＋4＝（?1）n?2n＋4．故答案為：(-1)n?2（3）根據(jù)規(guī)律知道，若d=2564>0，則n為偶數(shù)，當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)a=2n-1，c=2n+4，2222n-1=9解得n=10．故答案為：10．【點(diǎn)睛】本題考查了規(guī)律型：圖形的變化類．關(guān)鍵是由特殊到一般，找出數(shù)字算式運(yùn)算規(guī)律．【變式33】（2023·河北保定·統(tǒng)考一模）觀察：序號(hào)①②③④⑤⑥⑦數(shù)20212223242526…個(gè)位上數(shù)字12486mn…思考：（1）上面表格中m、n的值分別是多少？探究：（2）第⑩個(gè)數(shù)是什么？它個(gè)位上的數(shù)字是多少？延伸：（3）22023拓展：（4）用含k的代數(shù)式表示個(gè)位上的數(shù)字是6的數(shù)的序號(hào)．（k為正整數(shù)）【答案】（1）m=2，n=4；（2）第⑩個(gè)數(shù)是29，個(gè)位上的數(shù)字是2；（3）22023的個(gè)位數(shù)字是4；（4）第k【分析】（1）不難看出個(gè)位上的數(shù)字是以2，4，8，6重復(fù)出現(xiàn)，則可求解；（2）根據(jù)表格中的規(guī)律，可表示出第10個(gè)數(shù)，即可求解；（3）結(jié)合（1）進(jìn)行求解即可；（4）結(jié)合表格進(jìn)行求解即可．【詳解】解：（1）∵25=32∴m=2，n=4；（2）∵表格中的數(shù)是以2為底數(shù)，指數(shù)是從0開始的自然數(shù)，個(gè)位上的數(shù)字是以1，2，4，8，6，2，4，8，6，…排列，∴第⑩個(gè)數(shù)是29，2∴個(gè)位上的數(shù)字是2；（3）∵(2023-1)÷4=505……2，∴22023的個(gè)位數(shù)字是（4）∵個(gè)位上的數(shù)字是6的數(shù)的序號(hào)是：5，9，13，…，∴第k個(gè)6的序號(hào)為：4k+1．【點(diǎn)睛】本題主要考查列代數(shù)式，有理數(shù)的乘方，解答的關(guān)鍵是由表格分析出存在的規(guī)律．題型04數(shù)陣類規(guī)律【例4】（2023·福建廈門·廈門雙十中學(xué)?？既＃⒁唤M數(shù)2，2，6，22，．．．，42，2，6，2210，23，14，4……若2的位置記為1,2，14的位置記為2,3，則210的位置記為【答案】5,4【分析】先找出被開方數(shù)的規(guī)律，再求出210【詳解】解：原來的一組數(shù)即為2，4，6，8；10，12，14，16；……所以，規(guī)律為：被開方數(shù)為從2開始的偶數(shù)，每行4個(gè)數(shù)，∵210=40，40是第20∴210的位置為5,4故答案為：5,4．【點(diǎn)睛】本題考查了數(shù)字的規(guī)律探究，找準(zhǔn)規(guī)律是解題的關(guān)鍵．【變式41】（2022·陜西西安·?？寄M預(yù)測）觀察下列一系列數(shù)，按照這種規(guī)律排下去，那么第5行從左邊數(shù)第6個(gè)數(shù)是．【答案】22【分析】根據(jù)數(shù)陣中的數(shù)字，可以發(fā)現(xiàn)數(shù)字的變化特點(diǎn)，從而可以求得第5行從左邊數(shù)第6個(gè)數(shù)，本題得以解決．【詳解】解：由數(shù)陣可得，第一行有1個(gè)數(shù)字，前2行一共有：4個(gè)數(shù)字，前3行一共有：9個(gè)數(shù)字，前4行一共有：16個(gè)數(shù)字，則第5行從左邊數(shù)第6個(gè)數(shù)的絕對值是16+6=22，∵數(shù)陣中的奇數(shù)都是負(fù)數(shù)，偶數(shù)都是正數(shù)，∴第5行從左邊數(shù)第6個(gè)數(shù)是22，故答案為：22．【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)字的變化類，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，發(fā)現(xiàn)數(shù)字的變化特點(diǎn)，求出相應(yīng)的數(shù)字．【變式42】（2023·山東聊城·統(tǒng)考二模）將正整數(shù)按如圖所示的規(guī)律排列，若有序數(shù)對(n,m)表示第n排，從左到右第m個(gè)數(shù)，如4,2表示9，則表示123的有序數(shù)對是．【答案】16,14【分析】根據(jù)圖中的數(shù)字，可以發(fā)現(xiàn)每排的數(shù)字個(gè)數(shù)和每排中數(shù)字的排列順序，從而可以得到123在第多少排，然后即可寫出表示123的有序數(shù)對，本題得以解決．【詳解】解：由圖可知，第一排1個(gè)數(shù)，第二排2個(gè)數(shù)，數(shù)字從大到小排列，第三排3個(gè)數(shù)，數(shù)字從小到大排列，第四排4個(gè)數(shù)，數(shù)字從大到小排列，…，則前n排的數(shù)字共有：1+2+3+…+n=n(n+1)奇數(shù)排從小到大排列，偶數(shù)排從大到小排列，∵當(dāng)n=15時(shí)，15×162當(dāng)n=16時(shí)，16×172∴123在第16排，∵136-123+1=14，∴表示123的有序數(shù)對是16，故答案為：16，【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)字的變化類，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，發(fā)現(xiàn)數(shù)字的變化特點(diǎn)，寫出表示123的有序數(shù)對．【變式43】（2021·山東濟(jì)寧·統(tǒng)考一模）將1，2，3，6按如圖方式排列，若規(guī)定（m，n）表示第m排從左向右第n個(gè)數(shù)，則（6，3）與（2000，4）表示的兩數(shù)之積是．【答案】23．【分析】首先計(jì)算出前5排和前1999排共有多少個(gè)數(shù)，然后除以4，根據(jù)得到的余數(shù)確定（6，3）與（2000，4），即可得到結(jié)果．【詳解】前5排共有1+2+3+4+5=15個(gè)數(shù)，15÷4=3……3，∴第6排的第1個(gè)數(shù)為6，∴第6排的第3個(gè)數(shù)為2，前1999排共有1+2+3+4+……+1999=(1+1999)19992=1999000，1999000÷4=499750∴第2000排的第1個(gè)數(shù)為1，∴第2000排的第4個(gè)數(shù)為6，∴6?2=12=23故答案為：23．【點(diǎn)睛】本題考查了算術(shù)平方根與規(guī)律型：數(shù)字的變化類，根據(jù)規(guī)律判斷出是第幾個(gè)數(shù)是解本題的關(guān)鍵．【變式44】（2022鄂爾多斯市二模）我國古代數(shù)學(xué)的許多發(fā)現(xiàn)都曾位居世界前列，其中“楊輝三角”(如圖所示)就是一例.這個(gè)三角形的構(gòu)造法則為：兩腰上的數(shù)都是1，其余每個(gè)數(shù)均為其上方左右兩數(shù)之和.事實(shí)上，這個(gè)三角形給出了a+bn(n為正整數(shù))的展開式(按a的次數(shù)由大到小的順序排列)的系數(shù)規(guī)律.例如，在三角形中第三行的三個(gè)數(shù)1、2、1，恰好對應(yīng)a+b2=a2+2ab+b2展開式中各項(xiàng)的系數(shù)；第四行的四個(gè)數(shù)1、3、3、1，恰好對應(yīng)著a+b3=a3+3【答案】632【分析】根據(jù)三角形的構(gòu)造法則，確定出（a+b）4的展開式中各項(xiàng)系數(shù)最大的數(shù)；原式變形后，計(jì)算即可得到結(jié)果．【詳解】解：根據(jù)題意得：（a+b）4的展開式中各項(xiàng)系數(shù)分別為：1，4，6，4，1，∴最大的數(shù)為6；75+5×=(7-5)=25故答案為6；32．【點(diǎn)睛】此題考查了整式的混合運(yùn)算，以及乘方的運(yùn)算，熟練掌握運(yùn)算法則是解本題的關(guān)鍵．【變式44】（2021·湖北隨州·統(tǒng)考一模）我國古代數(shù)學(xué)家楊輝發(fā)現(xiàn)了如圖所示的三角形，我們稱之為“楊輝三角”，它具有一定的規(guī)律性．從圖中取一斜列數(shù)：1，3，6，10，15，…，我們把第一個(gè)數(shù)記為a1，第二個(gè)數(shù)記為a2，第三個(gè)數(shù)記為a3，…，第n個(gè)數(shù)記為an．1a【答案】4041【分析】首先根據(jù)題意得出an的關(guān)系式，然后用“裂項(xiàng)法”將1an裂成【詳解】解：由題意得a1=1，a2=3=1+2，∴an∴1a∴1=2=2=21-∴nn∴n=4041；故答案為：4041．【點(diǎn)睛】本題考查規(guī)律型：數(shù)字的變化規(guī)律．找到變化規(guī)律然后用“裂項(xiàng)法”求解是解本題的關(guān)鍵．【變式45】（2021合肥市一模）如圖1，觀察數(shù)表，如何計(jì)算數(shù)表中所有數(shù)的和?方法1：如圖1，先求每行數(shù)的和：第1行

1+2+3+?+n=第2行

2+4+6+?+2n=2第n行

n+2n+3n+?+故表中所有數(shù)的和：1+2+3+?+n+2方法2：如圖2．依次以第1行每個(gè)數(shù)為起點(diǎn)，按順時(shí)針方向計(jì)算各數(shù)的和：第1組

1=第2組

2+4+2=第3組

3+6+9+6+3=…第n組

n+2m+?+n2用這n組數(shù)計(jì)算的結(jié)果，表示數(shù)表中所有數(shù)的和為：，綜合上面兩種方法所得的結(jié)果可得等式：；利用上面得到的規(guī)律計(jì)算：13【答案】方法1：14n2n+12；方法2：n3；1【分析】方法1：先提取公因式，然后利用計(jì)算公式1+2+3+?+n=n(n+1)方法2：根據(jù)規(guī)律第1組1=13，第2組2+4+2=23，第3根據(jù)表中所有數(shù)的和相等，將方法1和方法2綜合即可得等式．13+2【詳解】方法1:1+2+3+?+=n(n+1)=n(n+1)=n(n+1)=n方法2：n+2m+?+=n用這n組數(shù)計(jì)算的結(jié)果，表示數(shù)表中所有數(shù)的和為：13綜合上面兩種方法所得的結(jié)果可得等式：n2(n計(jì)算13【點(diǎn)睛】本題是找規(guī)律的一道題目，掌握計(jì)算公式1+2+3+?+n=n(n+1)題型05個(gè)位數(shù)字規(guī)律【例5】（2023·湖南岳陽·統(tǒng)考一模）觀察下列等式：70=1，71=7，72=49，73=343，74【答案】0【分析】由已知可得7n的尾數(shù)1，7，9，3循環(huán)，則70+【詳解】解：∵70=1，71=7，72=49，7∴7n的尾數(shù)1，7，9，∴70+∵0，1，…，2023，一共有2024個(gè)數(shù)，∴2024÷4=506，∴70+∴70+故答案為：0．【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)的尾數(shù)特征，能夠通過所給數(shù)的特點(diǎn)，確定尾數(shù)的循環(huán)規(guī)律是解題的關(guān)鍵．【變式51】（2022·山東聊城·統(tǒng)考二模）計(jì)算31，32，33，34，35，36，并觀察這些A．31 B．32 C．33【答案】B【提示】先計(jì)算幾個(gè)冪的運(yùn)算，然后從中發(fā)現(xiàn)規(guī)律即可得出結(jié)果．【詳解】解：3132333435?據(jù)此發(fā)現(xiàn)，這些冪的個(gè)位數(shù)字分別為3，9，7，1四個(gè)循環(huán)一次，∴2022÷4=505?2，∴32022個(gè)位數(shù)字為9，與3故選：B．【點(diǎn)睛】題目主要考查有理數(shù)乘方運(yùn)算及規(guī)律問題，理解題意，找出相應(yīng)規(guī)律是解題關(guān)鍵．【變式52】計(jì)算：21-1=1,22-1=3,A．1 B．3 C．7 D．5【答案】A【提示】根據(jù)題目中的式子可以計(jì)算出前幾個(gè)數(shù)字，從而可以發(fā)現(xiàn)個(gè)位數(shù)字的變化規(guī)律，進(jìn)而可以得到220211的個(gè)位數(shù)字．【詳解】解：由211=1，221=3，231=7，241=15，251=31，261=63，271=127，281=255，…，可知計(jì)算結(jié)果中的個(gè)位數(shù)字以1、3、7、5為一個(gè)循環(huán)組依次循環(huán)，∵2021÷4=505...1，∴220211的個(gè)位數(shù)字是1，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)字的變化類、尾數(shù)特征，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，發(fā)現(xiàn)個(gè)位數(shù)字的變化特點(diǎn)，求出所求式子的個(gè)位數(shù)字．【變式53】發(fā)現(xiàn)：41＝4，42＝16，43＝64，44＝256，45＝1024，46＝4096，47＝16384，48＝65536（1）觀察上面運(yùn)算結(jié)果的個(gè)位數(shù)字，寫出你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律；（2）依據(jù)（1）中的規(guī)律，通過計(jì)算判斷3×（4+1）（42+1）（44+1）…（432+1）+1的結(jié)果的個(gè)位數(shù)字是多少，【答案】（1）當(dāng)4的指數(shù)是奇數(shù)時(shí)，運(yùn)算結(jié)果的個(gè)位數(shù)字是4；當(dāng)4的指數(shù)是偶數(shù)時(shí)，運(yùn)算結(jié)果的個(gè)位數(shù)字是6；（2）個(gè)位數(shù)字是6．【提示】（1）注意4的指數(shù)的奇偶性與個(gè)位數(shù)字的關(guān)系；（2）利用平方差公式進(jìn)行計(jì)算，然后利用（1）中的規(guī)律解答．【詳解】解：（1）41＝4，42＝16，43＝64，44＝256，45＝1024，46＝4096，47＝16384，48＝65536觀察上面運(yùn)算結(jié)果發(fā)現(xiàn)：當(dāng)4的指數(shù)是奇數(shù)時(shí)，運(yùn)算結(jié)果的個(gè)位數(shù)字是4；當(dāng)4的指數(shù)是偶數(shù)時(shí)，運(yùn)算結(jié)果的個(gè)位數(shù)字是6；（2）3×（4+1）（42+1）（44+1）…（432+1）+1＝（4﹣1）×（4+1）（42+1）（44+1）…（432+1）+1＝（42﹣1）×（42+1）（44+1）…（432+1）+1＝（44﹣1）（44+1）…（432+1）+1＝464．可知464的個(gè)位數(shù)字是6，故3×（4+1）（42+1）（44+1）…（432+1）+1的結(jié)果的個(gè)位數(shù)字是6．【點(diǎn)睛】本題考查了平方差公式的應(yīng)用，題型較好，難度適中，是一道不錯(cuò)的題目，通過此題能培養(yǎng)學(xué)生的觀察能力．題型06新定義運(yùn)算規(guī)律解題技巧：新定義運(yùn)算的規(guī)律其實(shí)是這幾種規(guī)律當(dāng)中最為簡單的一種，因?yàn)槠湟?guī)律都是由題目給出的，想要找到其規(guī)律，需要從所給的條件當(dāng)中進(jìn)行簡單的推論.這時(shí)候就考驗(yàn)大家的觀察能力，以及對數(shù)字的敏感程度.【例6】（2020·河南·統(tǒng)考中考真題）定義運(yùn)算：m?n=mn2-mn-1．例如:4×2=4×A．有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根 B．有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根C．無實(shí)數(shù)根 D．只有一個(gè)實(shí)數(shù)根【答案】A【分析】先根據(jù)新定義得出方程，再根據(jù)一元二次方程的根的判別式可得答案．【詳解】解：根據(jù)定義得：1×x=∵a=1,b=-1,c=-1,∴Δ=b2-4ac=∴原方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，故選A.【點(diǎn)睛】本題考查了新定義，考查學(xué)生的學(xué)習(xí)與理解能力，同時(shí)考查了一元二次方程的根的判別式，掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．【變式61】（2023·遼寧朝陽·校聯(lián)考三模）我們知道，一元二次方程x2=-1沒有實(shí)數(shù)根，即不存在一個(gè)實(shí)數(shù)的平方等于-1．如果我們規(guī)定一個(gè)新數(shù)“i”使它滿足i2=-1（即x2=-1有一個(gè)根為i），并且進(jìn)一步規(guī)定：一切實(shí)數(shù)可以與新數(shù)“i”進(jìn)行四則運(yùn)算，且原有的運(yùn)算律和運(yùn)算法則仍然成立．于是有：i1=i，i2【答案】-i【分析】根據(jù)所給的新定義找到規(guī)律即可得到答案．【詳解】解：i1i2i3i4i5……∴可以發(fā)現(xiàn)每4個(gè)運(yùn)算為一個(gè)循環(huán)，結(jié)果為i，∵2023÷4=505…3，∴i2023故答案為：-i．【點(diǎn)睛】此題主要考查了新定義下的實(shí)數(shù)運(yùn)算和數(shù)字類的規(guī)律探索，正確得出數(shù)字變化規(guī)律是解題關(guān)鍵．【變式62】（2022·浙江寧波·統(tǒng)考中考真題）定義一種新運(yùn)算：對于任意的非零實(shí)數(shù)a，b，a?b=1a+1b．若(x+1)?x=【答案】-12【分析】根據(jù)新定義可得(x+1)?x=2x+1x2【詳解】解：∵a?b=1∴(x+1)?x=1又∵(x+1)?x=2x+1∴2x+1x∴x2∴x2∴x2∵(x+1)?x=2x+1x即∴2x+1=0，解得x=-1經(jīng)檢驗(yàn)x=-12是方程故答案為：-1【點(diǎn)睛】本題主要考查了新定義下的實(shí)數(shù)運(yùn)算，解分式方程，正確理解題意得到關(guān)于x的方程是解題的關(guān)鍵．【變式63】（2022·湖南張家界·張家界市民族中學(xué)?？家荒＃┒x：如果一個(gè)數(shù)的平方等于-1，記為i2=-1，這個(gè)數(shù)i叫做虛數(shù)單位，把形如a+bi（a，b為實(shí)數(shù)）的數(shù)叫做復(fù)數(shù)，其中a叫這個(gè)復(fù)數(shù)的實(shí)部，b叫做這個(gè)復(fù)數(shù)的虛部，它的加，減，乘法運(yùn)算與整式的加，減，乘法運(yùn)算類似．例如，計(jì)算：(3-i)+(5+3i)=(3+5)+(-1+3)i=8+2i；(1)填空：i3=________，i(2)計(jì)算：(2+i)×(3-4i)；(3)計(jì)算：i+i【答案】(1)?i，1；(2)105i；(3)i?1【分析】（1）把i3化為i2×i，把i4化為（2）根據(jù)復(fù)數(shù)的乘法法則進(jìn)行計(jì)算即可；（3）根據(jù)i2=-1，i3=-i，i4=1可知i+i2【詳解】（1）解：∵i2∴i3=i故答案為：?i，1；（2）解：2+i=6-8i+3i-4=6-5i+4=10-5i；（3）∵i2=-1，i3∴i+i2+i3+i∴i5+i6+i7∴i+＝＝0＋……＋0＋i－1＝i?1．【點(diǎn)睛】此題考查了新定義，實(shí)數(shù)的運(yùn)算，關(guān)鍵是能根據(jù)新定義和實(shí)數(shù)的運(yùn)算方法進(jìn)行準(zhǔn)確計(jì)算．【變式64】（2023石家莊二模）對于任意一個(gè)四位數(shù)，我們可以記為abcd，即abcd=1000a+100b+10c+d．若規(guī)定：對四位正整數(shù)abcd進(jìn)行（1）計(jì)算：F2137（2）當(dāng)c=e+2時(shí)，證明：Fabcd-Fabed（3）求出滿足F32xy【答案】（1）33；（2）詳見解析；（3）滿足條件的四位數(shù)有3209，3218，3225，3230．【分析】（1）直接根據(jù)定義求解可得；（2）先根據(jù)定義，化簡求出Fabcd-Fabed，將c=e+2（3）F32xy=34+23+x2+y【詳解】解：（1）F2137=（2）∴F==∵c=e+2，原式===4∵e≥0，且e是整數(shù)，∴4e+1所以，當(dāng)c=e+2時(shí)，F(xiàn)abcd-Fabed的結(jié)果一定是（3）∵F32xy∴34+23+x∵0≤y≤9，∴0≤x∴0≤x≤3，且x為整數(shù)．∴x=0，y=9或x=1，y=8所以，滿足條件的四位數(shù)有3209，3218，3225，3230．【點(diǎn)睛】本題是定義新運(yùn)算的運(yùn)用，解題關(guān)鍵是根據(jù)題干定義的運(yùn)算規(guī)則進(jìn)行轉(zhuǎn)化求解．類型二圖形規(guī)律方法總結(jié)：解決這類問題首先要從簡單圖形入手，抓住隨著“編號(hào)”或“序號(hào)”增加時(shí)，后一個(gè)圖形與前一個(gè)圖形相比，在數(shù)量上增加（或倍數(shù)）情況的變化，找出數(shù)量上的變化規(guī)律，從而推出一般性的結(jié)論．題型01圖形固定累加型解題技巧：對于圖形固定累加首先要確定基礎(chǔ)圖形中含所求圖形的個(gè)數(shù)a,在確定出后一個(gè)圖形在前一個(gè)圖形的基礎(chǔ)上累加的所求圖形的個(gè)數(shù)b(即固定累加圖形個(gè)數(shù))，再根據(jù)固定累加的圖形規(guī)律推導(dǎo)出與序數(shù)n有關(guān)的關(guān)系式為a+b(n1).【例1】（2022·重慶·統(tǒng)考中考真題）用正方形按如圖所示的規(guī)律拼圖案，其中第①個(gè)圖案中有5個(gè)正方形，第②個(gè)圖案中有9個(gè)正方形，第③個(gè)圖案中有13個(gè)正方形，第④個(gè)圖案中有17個(gè)正方形，此規(guī)律排列下去，則第⑨個(gè)圖案中正方形的個(gè)數(shù)為（

）A．32 B．34 C．37 D．41【答案】C【提示】第1個(gè)圖中有5個(gè)正方形，第2個(gè)圖中有9個(gè)正方形，第3個(gè)圖中有13個(gè)正方形，……，由此可得：每增加1個(gè)圖形，就會(huì)增加4個(gè)正方形，由此找到規(guī)律，列出第n個(gè)圖形的算式，然后再解答即可．【詳解】解：第1個(gè)圖中有5個(gè)正方形；第2個(gè)圖中有9個(gè)正方形，可以寫成：5+4=5+4×1；第3個(gè)圖中有13個(gè)正方形，可以寫成：5+4+4=5+4×2；第4個(gè)圖中有17個(gè)正方形，可以寫成：5+4+4+4=5+4×3；．．．第n個(gè)圖中有正方形，可以寫成：5+4（n1）=4n+1；當(dāng)n=9時(shí)，代入4n+1得：4×9+1=37．故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了圖形的變化規(guī)律以及數(shù)字規(guī)律，通過歸納與總結(jié)結(jié)合圖形得出數(shù)字之間的規(guī)律是解決問題的關(guān)鍵．【變式11】（2022·重慶·統(tǒng)考中考真題）把菱形按照如圖所示的規(guī)律拼圖案，其中第①個(gè)圖案中有1個(gè)菱形，第②個(gè)圖案中有3個(gè)菱形，第③個(gè)圖案中有5個(gè)菱形，…，按此規(guī)律排列下去，則第⑥個(gè)圖案中菱形的個(gè)數(shù)為（

）A．15 B．13 C．11 D．9【答案】C【提示】根據(jù)第①個(gè)圖案中菱形的個(gè)數(shù)：1；第②個(gè)圖案中菱形的個(gè)數(shù)：1+2=3；第③個(gè)圖案中菱形的個(gè)數(shù)：1+2×2=5；…第n個(gè)圖案中菱形的個(gè)數(shù)：1+2n-1，算出第⑥【詳解】解：∵第①個(gè)圖案中菱形的個(gè)數(shù)：1；第②個(gè)圖案中菱形的個(gè)數(shù)：1+2=3；第③個(gè)圖案中菱形的個(gè)數(shù)：1+2×2=5；…第n個(gè)圖案中菱形的個(gè)數(shù)：1+2n-1∴則第⑥個(gè)圖案中菱形的個(gè)數(shù)為：1+2×6-1=11，故故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查的是圖案的變化，解題的關(guān)鍵是根據(jù)已知圖案歸納出圖案個(gè)數(shù)的變化規(guī)律．【變式12】（2022·江西·統(tǒng)考中考真題）將字母“C”，“H”按照如圖所示的規(guī)律擺放，依次下去，則第4個(gè)圖形中字母“H”的個(gè)數(shù)是（

）A．9 B．10 C．11 D．12【答案】B【提示】列舉每個(gè)圖形中H的個(gè)數(shù)，找到規(guī)律即可得出答案．【詳解】解：第1個(gè)圖中H的個(gè)數(shù)為4，第2個(gè)圖中H的個(gè)數(shù)為4+2，第3個(gè)圖中H的個(gè)數(shù)為4+2×2，第4個(gè)圖中H的個(gè)數(shù)為4+2×3=10，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了規(guī)律型：圖形的變化類，通過列舉每個(gè)圖形中H的個(gè)數(shù)，找到規(guī)律：每個(gè)圖形比上一個(gè)圖形多2個(gè)H是解題的關(guān)鍵．【變式13】（2023·山西忻州·校聯(lián)考模擬預(yù)測）如圖是一組有規(guī)律的圖案，它們是由邊長相同的正方形和正三角形鑲嵌而成，第（1）個(gè)圖案有4個(gè)正三角形和4個(gè)正方形，第（2）個(gè)圖案有10個(gè)正三角形和8個(gè)正方形，第（3）個(gè)圖案有16個(gè)正三角形和12個(gè)正方形，…，依此規(guī)律，第（n）個(gè)圖案中正三角形和正方形的總個(gè)數(shù)為個(gè)．（用含n的代數(shù)式表示）．【答案】(10n-2)【提示】先依次寫出圖圖案的序號(hào)和對應(yīng)的正三角形和正方形的個(gè)數(shù)，觀察后寫出第n個(gè)圖案正三角形和正方形的個(gè)數(shù)，相加即可．【詳解】解：觀察發(fā)現(xiàn)：正三角形的個(gè)數(shù)從4開始依次增加6，正方形的個(gè)數(shù)從4開始依次增加4．∴第n個(gè)圖案有(6n-2)個(gè)正三角形，有4n個(gè)正方形．∴第n個(gè)圖案中正三角形和正方形的總個(gè)數(shù)為(10n-2)個(gè)．故答案為：(10n-2)．【點(diǎn)睛】本題考查了圖形的變化類，掌握圖象的變換規(guī)律是解題的關(guān)鍵．【變式14】（2022·湖南懷化·?？级＃┯^察下列的“蜂窩圖”按照它呈現(xiàn)的規(guī)律第n個(gè)圖案中的“

”的個(gè)數(shù)是（用含n的代數(shù)式表示）【答案】3n+1【提示】根據(jù)題意可知：第1個(gè)圖有4個(gè)“六邊形”，第2個(gè)共有7個(gè)“六邊形”，第3個(gè)共有10個(gè)“六邊形”，第4個(gè)共有13個(gè)“六邊形”，由此可得出規(guī)律，從而可求解．【詳解】解：∵第1個(gè)圖有“六邊形”的個(gè)數(shù)為：4，第2個(gè)圖有“六邊形”的個(gè)數(shù)為：7=4+3=4+3×1，第3個(gè)圖有“六邊形”的個(gè)數(shù)為：10=4+3+3=4+3×2，第4個(gè)圖有“六邊形”的個(gè)數(shù)為：13=4+3+3+3=4+3×3，..，∴第n個(gè)圖有“六邊形”的個(gè)數(shù)為：4+3n-1故答案為：3n+1．【點(diǎn)睛】本題考查規(guī)律型：圖形的變化類，解題的關(guān)鍵是熟練正確找出圖中的規(guī)律．【變式15】（2023·山東濟(jì)南·統(tǒng)考二模）學(xué)校食堂按如圖方式擺放餐桌和椅子．若用x表示餐桌的張數(shù)，y表示椅子的把數(shù)，請你寫出椅子數(shù)y（把）與餐桌數(shù)x（張）之間的函數(shù)關(guān)系式．【答案】y=2x+2【提示】由圖形可知，第一張餐桌上可以擺放4=2+2把椅子，進(jìn)一步觀察發(fā)現(xiàn)：多一張餐桌，多放2把椅子，則x張餐桌共有2x+2，依此即可得到椅子數(shù)y（把）與餐桌數(shù)x（張）之間的函數(shù)關(guān)系式．【詳解】解：觀察圖形：當(dāng)x=1時(shí)，y=2+2=4，當(dāng)x=2時(shí)，y=2+2×2=6；當(dāng)x=3時(shí)，y=2+2×3=8；…可見每增加一張桌子，便增加2個(gè)座位，∴x張餐桌共有2x+2個(gè)座位．∴可坐人數(shù)y=2x+2，故函數(shù)關(guān)系式可以為y=2x+2．故答案為：y=2x+2．【點(diǎn)睛】本題主要考查了根據(jù)實(shí)際問題列一次函數(shù)關(guān)系式，難度一般，關(guān)鍵是依據(jù)圖形得出變量x的變化規(guī)律．【變式16】（2022·安徽·校聯(lián)考模擬預(yù)測）觀察下面的點(diǎn)陣圖形和與之相對應(yīng)的等式探究其中的規(guī)律．①→4×0=4×1-3；②→4×1+1=4×2-3；③→4×2+1=4×3-3；④→；⑤→．(1)請?jiān)冖芎廷莺竺娴臋M線上分別寫出相應(yīng)的等式；(2)猜想第n（n是正整數(shù)）個(gè)圖形相對應(yīng)的等式，并證明．【答案】(1)4×3+1=4×4-3，4×4+1=4×5-3；(2)4n-1【提示】（1）結(jié)合圖形，根據(jù)所給的等式即可繼續(xù)寫出等式；（2）在計(jì)算（1）的過程中，發(fā)現(xiàn)：第n個(gè)圖中，等式的左邊是n-1個(gè)4，再加上1，右邊是n個(gè)4減去3．【詳解】（1）∵①→4×0+1=4×1-3②→4×1+1=4×2-3③→4×2+1=4×3-3∴④4×3+1=4×4-3，⑤故答案為：4×3+1=4×4-3，4×4+1=4×5-3；（2）由①→4×0+1=4×1-3②→4×1+1=4×2-3③→4×2+1=4×3-3④→4×3+1=4×4-3⑤→4×4+1=4×5-3?；∴第n個(gè)圖形：4n-1右邊=4n-1∴左邊=右邊，即4n-1【點(diǎn)睛】此題考查了圖形變化規(guī)律，仔細(xì)觀察圖形，從每一條線上的點(diǎn)的個(gè)數(shù)考慮求解是解題的關(guān)鍵．題型02圖形漸變累加型解題技巧：對于個(gè)數(shù)不固定,1）首先觀察圖形，直接可以從圖形或者補(bǔ)全圖形后就能找出規(guī)律，根據(jù)圖形擺放形狀的規(guī)律總結(jié)推導(dǎo)出關(guān)系式即可.2）如果圖形也看不出規(guī)律的應(yīng)該先數(shù)出所求圖形的個(gè)數(shù),在比較后一個(gè)圖形和前一個(gè)圖形通過作差(商)來觀察圖形個(gè)數(shù)或?qū)D形個(gè)數(shù)與n進(jìn)行對比，尋找是否與n有關(guān)的平方、平方加1、平方減1等關(guān)系,從而總結(jié)規(guī)律推導(dǎo)出關(guān)系式.【例2】（2023·重慶江北·?？家荒＃┫铝袌D形都是由相同的小正方形按照一定規(guī)律擺放而成的，照此規(guī)律排列下去，第1個(gè)圖形中小正方形的個(gè)數(shù)是3個(gè)，第2個(gè)圖形中小正方形的個(gè)數(shù)是8個(gè)，第3個(gè)圖形中小正方形的個(gè)數(shù)是15個(gè)，第9個(gè)圖形中小正方形的個(gè)數(shù)是（

）A．100 B．99 C．98 D．80【答案】B【提示】根據(jù)圖形間變化可得第n個(gè)圖中小正方形的個(gè)數(shù)是n+12-1，再代入【詳解】解：∵第1個(gè)圖中小正方形的個(gè)數(shù)是3=2第2個(gè)圖中小正方形的個(gè)數(shù)是8=3第3個(gè)圖中小正方形的個(gè)數(shù)是15=4第4個(gè)圖中小正方形的個(gè)數(shù)是24=5…∴第n個(gè)圖中小正方形的個(gè)數(shù)是n+12∴第9個(gè)圖中小正方形的個(gè)數(shù)是9+12故選：B．【點(diǎn)睛】此題考查了圖形變化類規(guī)律問題的解決能力，關(guān)鍵是能根據(jù)圖案變化觀察、猜想、驗(yàn)證而得到此題蘊(yùn)含的規(guī)律．【變式21】（2022下·安徽合肥·八年級(jí)?？计谀┪覀冇萌鹊恼呅纹闯扇缦聢D形，按此規(guī)律則第10個(gè)圖形中有小正六邊形（

）個(gè)．A．270 B．271 C．272 D．273【答案】B【提示】根據(jù)圖形特點(diǎn)，首先寫出前三個(gè)圖形中小正六邊形的個(gè)數(shù)，從而得到規(guī)律并寫出第n個(gè)圖形中小正六邊形的個(gè)數(shù)，然后把n=10代入進(jìn)行計(jì)算即可得解．【詳解】解：如圖，第1個(gè)圖形中有小正六邊形1個(gè)，1=3×123×1+1，第2個(gè)圖形中有小正六邊形7個(gè)，7=3×223×2+1，第3個(gè)圖形中有小正六邊形19個(gè)，19=3×323×3+1，…，依此類推，第n個(gè)圖形中有小正六邊形（3n23n+1）個(gè)，所以，第10個(gè)圖形中有小正六邊形3×1023×10+1=271個(gè)．故選：B．【點(diǎn)睛】此題考查了規(guī)律型：圖形的變化類，得到第n個(gè)圖形中小正六邊形的個(gè)數(shù)變化規(guī)律的表達(dá)式是解題的關(guān)鍵．【變式22】（2023·重慶九龍坡·重慶市育才中學(xué)校聯(lián)考二模）小明如圖疊放了一些星星，第1個(gè)圖形有4顆星星，第2個(gè)圖形有8顆星星，第3個(gè)圖形有14顆星星，請問第9個(gè)圖形的星星顆數(shù)為（

）A．92 B．88 C．76 D．64【答案】A【提示】第1個(gè)圖形中星星的個(gè)數(shù)為：4=1×2+2；第2個(gè)圖形中星星的個(gè)數(shù)為：8=2×3+2；第3個(gè)圖形中星星的個(gè)數(shù)為：14=3×4+2；由此可推出：第n個(gè)圖形中星星的個(gè)數(shù)為n(【詳解】解：第1個(gè)圖形中星星的個(gè)數(shù)為：4=1×2+2；第2個(gè)圖形中星星的個(gè)數(shù)為：8=2×3+2；第3個(gè)圖形中星星的個(gè)數(shù)為：14=3×4+2；由此可推出：第n個(gè)圖形中星星的個(gè)數(shù)為n(故第9個(gè)圖形中星星的個(gè)數(shù)為：9×10+2=92個(gè)．故選：A．【點(diǎn)睛】本題主要考查圖形的變化規(guī)律，解答的關(guān)鍵是由圖形總結(jié)出存在的規(guī)律．【變式23】（2022·遼寧大連·統(tǒng)考一模）如圖，用大小相同的小正方形拼圖形，第1個(gè)圖形是一個(gè)小正方形；第2個(gè)圖形由9個(gè)小正方形拼成；第3個(gè)圖形由25個(gè)小正方形拼成，依此規(guī)律，若第n個(gè)圖形比第（n1）個(gè)圖形多用了72個(gè)小正方形，則n的值是.【答案】10【提示】依次觀察前幾個(gè)圖形以及正方形的個(gè)數(shù)，進(jìn)而歸納得到拼成第n個(gè)圖形需要(2n-1)2個(gè)【詳解】第1個(gè)圖形是一個(gè)小正方形；第2個(gè)圖形由9=(2×2-1)2第3個(gè)圖形由25=(2×3-1)2……拼成第n-1個(gè)圖形需要(2n-3)2個(gè)拼成第n個(gè)圖形需要(2n-1)2個(gè)(2n-1)解得：n=10；故答案為：10．【點(diǎn)睛】本題主要考查了圖形類規(guī)律探索，根據(jù)圖形得出小正方形的變化規(guī)律是解題的關(guān)鍵．【變式24】如圖，用長度相等的小木棒搭成的三角形網(wǎng)格，當(dāng)層數(shù)為n時(shí)，所需小木棒的根數(shù)為．【答案】3n(n+1)【提示】分別列出一層、二層、三層、四層這四個(gè)圖形中所含小三角形個(gè)數(shù)和所需小木棒的根數(shù)，得出n層時(shí)，所需小木棒的根數(shù)為3×（1+2+···+n）即可．【詳解】解：當(dāng)n=1時(shí)，木棒根數(shù)為3×1；當(dāng)n=2時(shí)，木棒根數(shù)為3×（1+2）=3×2×(2+1)當(dāng)n=3時(shí)，3×（1+2+3）=3×3×(3+1)依次規(guī)律，當(dāng)層數(shù)為n時(shí)，小木棒的根數(shù)為3×（1+2+3+…+n）=3n(n+1)2故答案為：3n(n+1)2【點(diǎn)睛】本題考查圖形規(guī)律列代數(shù)式，根據(jù)題意找出規(guī)律是解題關(guān)鍵．【變式25】（2023·廣東·統(tǒng)考二模）如圖是由同樣大小的圓按一定規(guī)律排列所組成的，其中第1個(gè)圖形中一共有4個(gè)圓，第2個(gè)圖形中一共有8個(gè)圓，第3個(gè)圖形中一共有14個(gè)圓，第4個(gè)圖形中一共有22個(gè)圓．……按此規(guī)律排列下去，現(xiàn)已知第n個(gè)圖形中圓的個(gè)數(shù)是134個(gè)，則n=．【答案】11【提示】根據(jù)前幾個(gè)圖形圓的個(gè)數(shù)，找出一般求出規(guī)律，得出第n個(gè)圖形中圓的個(gè)數(shù)nn+1【詳解】解：因?yàn)榈?個(gè)圖形中一共有1×1+1+2=4第2個(gè)圖形中一共有2×2+1+2=8第3個(gè)圖形中一共有3×3+1+2=14第4個(gè)圖形中一共有4×4+1+2=22可得第n個(gè)圖形中圓的個(gè)數(shù)是nn+1nn+1解得n=-12（舍），n=11，故答案為：11．【點(diǎn)睛】本題主要考查了圖形規(guī)律探索，一元二次方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是找出一般規(guī)律，列出方程．題型03圖形個(gè)數(shù)分區(qū)域累加解題技巧：首先應(yīng)觀察圖形區(qū)分圖形累加的各部分,分別求出各部分累加規(guī)律,再將各部分關(guān)系式相加,得到第n項(xiàng)（某項(xiàng))圖形的數(shù)量與序數(shù)關(guān)系式.【例3】（2022揭陽市一模）將一些相同的“○”按如圖所示的規(guī)律依次擺放，觀察每個(gè)“龜圖”中的“○”的個(gè)數(shù)，則第16個(gè)“龜圖”中有個(gè)“○”．【答案】245【分析】由前幾個(gè)“龜圖”可發(fā)現(xiàn)，每個(gè)“龜圖”中的“四腳”和“頭”不可缺少，即有5個(gè)?是固定的；而“龜背”上的?的個(gè)數(shù)恰好是兩個(gè)相鄰正整數(shù)的積，根據(jù)其與排列圖形序號(hào)間的關(guān)系即可由圖形序號(hào)表示出來，則每個(gè)圖形的?數(shù)可知．【詳解】第一個(gè)圖形有：5個(gè)?，第二個(gè)圖形有：2×1+5=7個(gè)?，第三個(gè)圖形有：3×2+5=11個(gè)?，第四個(gè)圖形有：4×3+5=17個(gè)?，由此可得第n個(gè)圖形有：[n(n?1)+5]個(gè)?，把n=16代入可得：[n(n?1)+5]=245故填：245．【點(diǎn)睛】此題主要考查了圖形的規(guī)律以及數(shù)字規(guī)律，通過歸納與總結(jié)結(jié)合圖形得出數(shù)字之間的規(guī)律是解決問題的關(guān)鍵，注意公式必須符合所有的圖形．【變式31】某班舉行拼漢字比賽，小梅用●排列成數(shù)字“上”，圖①共用10個(gè)●，圖②共用13個(gè)●，圖③共用16個(gè)●，……按此規(guī)律排列下去，則第⑥個(gè)圖共用●的個(gè)數(shù)是（）A．22 B．25 C．28 D．32【答案】B【提示】根據(jù)題意可得圖①共用10個(gè)●，圖②共用13=（10+3）個(gè)●，圖③共用16=（10+3×2）個(gè)●，……，由此發(fā)現(xiàn)規(guī)律，即可求解．【詳解】解：根據(jù)題意得：圖①共用10個(gè)●，圖②共用13=（10+3）個(gè)●，圖③共用16=（10+3×2）個(gè)●，……，由此發(fā)現(xiàn)，第n個(gè)圖共用●的個(gè)數(shù)是10+3（n1），∴第⑥個(gè)圖共用●的個(gè)數(shù)是10+3×5=25．故選B【點(diǎn)睛】本題主要考查了圖形類規(guī)律題，明確題意，準(zhǔn)確得到規(guī)律是解題的關(guān)鍵．【變式32】（2023·重慶沙坪壩·重慶南開中學(xué)?？级＃┫铝袌D形都是由同樣大小的★按照一定規(guī)律組成的，其中第①個(gè)圖形中共有5個(gè)★，第②個(gè)圖形中共有8個(gè)★，第③個(gè)圖形中共有11個(gè)★，…，按此規(guī)律排列下去，第⑥個(gè)圖形中的★個(gè)數(shù)為（

）A．18個(gè) B．20個(gè) C．22個(gè) D．24個(gè)【答案】B【提示】仔細(xì)觀察圖形，找到圖形中★個(gè)數(shù)的通項(xiàng)公式，然后代入n=6求解即可．【詳解】解：∵第①個(gè)圖形中共有3×1+2=5個(gè)★，第②個(gè)圖形中共有3×2+2=8個(gè)★，第③個(gè)圖形中共有3×3+2=11個(gè)★，…，∴按此規(guī)律排列下去，第n個(gè)圖形中共有3n+2個(gè)★，∴第⑥個(gè)圖形中的★個(gè)數(shù)為3×6+2=20，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了圖形的變化類問題，解題的關(guān)鍵是仔細(xì)的讀題并找到圖形變化的規(guī)律，難度不大．【變式33】（2023·重慶沙坪壩·重慶一中?？家荒＃┤鐖D，每個(gè)圖形都由同樣大小的“△”按照一定的規(guī)律組成，其中第1個(gè)圖形有5個(gè)“△”，第2個(gè)圖形有10個(gè)“△”，第3個(gè)圖形有15個(gè)“△”，…，則第8個(gè)圖形中“△”的個(gè)數(shù)為（）A．40 B．42 C．44 D．46【答案】A【提示】觀察圖形，找到圖形變化的規(guī)律，利用規(guī)律求解即可．【詳解】解：根據(jù)題意可得：圖①中有1+1+3=5個(gè)△，圖②中有2+3+5=10個(gè)△，圖③中有3+5+7=15個(gè)△，圖④中有4+7+9=20個(gè)△，…，則第8個(gè)圖形中有8+15+17=40個(gè)△，故選：A．【點(diǎn)睛】本題是對圖形變化規(guī)律的考查，解題的關(guān)鍵是仔細(xì)觀察圖形并找到圖形的變化規(guī)律，難度不大．【變式34】（2022·安徽蕪湖·統(tǒng)考二模）某花卉生產(chǎn)基地舉行花卉展覽，如圖所示是用這兩種花卉擺成的圖案，白色圓點(diǎn)為盆景，灰色圓點(diǎn)為盆花．圖1中盆景數(shù)量為2，盆花數(shù)量為2；圖2中盆景數(shù)量為4，盆花數(shù)量為6；圖3中盆景數(shù)量為6，盆花數(shù)量為12……按照以上規(guī)律，解決下列問題：(1)圖6中盆景數(shù)量為________，盆花數(shù)量為___________；(2)已知該生產(chǎn)基地展出以上兩種花卉在某種圖案中的數(shù)量之和為130盆，分別求出該圖案中盆景和盆花的數(shù)量；(3)若有n（n為偶數(shù)，且n≥2）盆盆景需要展出（只擺一種圖案），照此組合圖案，需要盆花的數(shù)量為________．（用含n的代數(shù)式表示）【答案】(1)12；42(2)該圖案中盆景和盆花的數(shù)量分別為20和110(3)n【提示】（1）由圖可知，依次寫出圖1到圖5的盆景的數(shù)量，盆花的數(shù)量；推導(dǎo)出一般性規(guī)律：圖n中盆景的數(shù)量為：2n；盆花的數(shù)量為：n(n+1)，將n=6代入求解即可；（2）由題意知，2n+n(n+1)=130，求出滿足要求的n值，進(jìn)而可得盆景，盆花的數(shù)量；（3）根據(jù)推導(dǎo)出的一般性規(guī)律作答即可．【詳解】（1）解：由圖可知，盆景的數(shù)量依次為：1×2、2×2、3×2、4×2、5×2······盆花的數(shù)量依次為：1×2、2×3、3×4、4×5、5×6······∴可推導(dǎo)出一般性規(guī)律：圖n中盆景的數(shù)量為：2n；盆花的數(shù)量為：n(n+1)∴圖6中盆景的數(shù)量為：2×6=12；盆花的數(shù)量為：6×(6+1)=42故答案為：12；42．（2）解：由題意知，2n+n(n+1)=130整理得n(n-10)(n+13)=0解得n=10，n=-13（不合題意，舍去）當(dāng)n=10時(shí)，盆景數(shù)量為2n=2×10=20，盆花數(shù)量為130-20=110∴該圖案中盆景和盆花的數(shù)量分別為20和110．（3）解：由一般性規(guī)律可知，當(dāng)有n盆盆景需要展出時(shí)，需要盆花的數(shù)量為n故答案為：n2【點(diǎn)睛】本題考查了圖形類規(guī)律探究，列代數(shù)式，解一元二次方程．解題的關(guān)鍵在于推導(dǎo)出一般性規(guī)律．題型04圖形循環(huán)規(guī)律解題技巧：①先找出一個(gè)周期的圖形個(gè)數(shù)n:②N(第N個(gè))÷n=b……m(0≤m<n);③第N個(gè)圖形是一個(gè)周期中第m次變化后的圖形.【例4】如圖，一串有趣的圖案按一定規(guī)律排列．請仔細(xì)觀察，按此規(guī)律畫出的第10個(gè)圖案是；在前16個(gè)圖案中“”有個(gè)．【答案】5【詳解】試題解析：本題中，三個(gè)圖案一組，依次循環(huán)．故第10個(gè)圖案是與第一個(gè)相同，是．在前16個(gè)圖案中有五組，故有5．【變式41】（2020·湖南常德·統(tǒng)考一模）下面擺放的圖案，從第二個(gè)起，每個(gè)都是前一個(gè)按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°得到，第2020個(gè)圖案中箭頭的指向是（）A．上方 B．左方 C．下方 D．右方【答案】B【提示】直接利用已知圖案得出旋轉(zhuǎn)規(guī)律，進(jìn)而可得出答案．【詳解】由圖可知，每旋轉(zhuǎn)4次為一周2020÷4=505則第2020個(gè)圖案中箭頭的指向與第4個(gè)圖案方向一致，即箭頭的指向是左方故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了圖形的旋轉(zhuǎn)，觀察已知圖案，發(fā)現(xiàn)一般規(guī)律是解題關(guān)鍵．【變式42】（2021·山東濟(jì)寧·統(tǒng)考一模）如圖，矩形ABCD中AB是3cm，BC是2cm，一個(gè)邊長為1cm的小正方形沿著矩形ABCD的邊AB→BC→CD→DA→AB連續(xù)地翻轉(zhuǎn)，那么這個(gè)小正方形第一次回到起始位置時(shí)，小正方形箭頭的方向是（

）A． B． C． D．【答案】C【提示】由題意可知，矩形ABCD的邊長AB和BC分別是3cm和2cm，小正方形的邊長為1cm，則這個(gè)小正方形第一次回到起始位置時(shí)需10次翻轉(zhuǎn)，而每翻轉(zhuǎn)4次，它的方向重復(fù)依次，小正方形共翻轉(zhuǎn)10次回到起始位置，即可得到它的方向．【詳解】解：根據(jù)題意可得：小正方形沿著矩形ABCD的邊AB→BC→CD→DA→AB連續(xù)地翻轉(zhuǎn)，矩形ABCD的邊長AB和BC分別是3cm和2cm，小正方形的邊長為1cm，則這個(gè)小正方形第一次回到起始位置時(shí)需10次翻轉(zhuǎn)，而每翻轉(zhuǎn)4次，它的方向重復(fù)1次，故回到起始位置時(shí)它的方向是向下．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了圖形類規(guī)律題，關(guān)鍵是得出小正方形共翻轉(zhuǎn)10次回到起始位置．【變式43】等邊三角形（三條邊都相等的三角形是等邊三角形）紙板ABC在數(shù)軸上的位置如圖所示，點(diǎn)A、B對應(yīng)的數(shù)分別為2和1，若△ABC繞著頂點(diǎn)逆時(shí)針方向在數(shù)軸上連續(xù)翻轉(zhuǎn)，翻轉(zhuǎn)第1次后，點(diǎn)C所對應(yīng)的數(shù)為0，則翻轉(zhuǎn)2023次后，點(diǎn)C所對應(yīng)的數(shù)是（）A．﹣2021 B．﹣2022 C．﹣2023 D．﹣2024【答案】B【提示】作出草圖，不難發(fā)現(xiàn)，每3次翻轉(zhuǎn)為一個(gè)循環(huán)組依次循環(huán)，用2023除以3，根據(jù)余數(shù)為1可知點(diǎn)C在數(shù)軸上，然后進(jìn)行計(jì)算即可得解．【詳解】解：如圖，每3次翻轉(zhuǎn)為一個(gè)循環(huán)組依次循環(huán)，∵2023÷3＝674…1，，∴翻轉(zhuǎn)2023次后點(diǎn)C在數(shù)軸上，∴點(diǎn)C對應(yīng)的數(shù)是0﹣674×3＝﹣2022．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了數(shù)軸，根據(jù)翻轉(zhuǎn)的變化規(guī)律確定出每3次翻轉(zhuǎn)為一個(gè)循環(huán)組依次循環(huán)是解題的關(guān)鍵1．（2023·山東·中考真題）已知一列均不為1的數(shù)a1，a2，a3，?，aA．-12 B．13 C．-3【答案】A【提示】根據(jù)題意可把a(bǔ)1=2代入求解a2=-3，則可得a3=-【詳解】解：∵a1∴a2=1+21-2=-3，a3=由此可得規(guī)律為按2、-3、-12、13∵2023÷4=505.....3∴a2023故選A．【點(diǎn)睛】本題主要考查數(shù)字規(guī)律，解題的關(guān)鍵是得到數(shù)字的一般規(guī)律．2．（2023·四川綿陽·中考真題）如下圖，將形狀、大小完全相同的“●”和線段按照一定規(guī)律擺成以下圖形，第1幅圖形中“●”的個(gè)數(shù)為a1，第2幅圖形中“●”的個(gè)數(shù)為a2，第3幅圖形中“●”的個(gè)數(shù)為a3，…，以此類推，那么1A．2021 B．6184 C．589840【答案】C【提示】首先根據(jù)圖形中“●”的個(gè)數(shù)得出數(shù)字變化規(guī)律，進(jìn)而求解即可．【詳解】解：a1a2a3a4…，an∴1====589故選∶C．【點(diǎn)睛】此題考查圖形的變化規(guī)律，找出圖形之間的聯(lián)系，找出規(guī)律是解題的關(guān)鍵．3．（2022·湖北鄂州·中考真題）生物學(xué)中，描述、解釋和預(yù)測種群數(shù)量的變化，常常需要建立數(shù)學(xué)模型．在營養(yǎng)和生存空間沒有限制的情況下，某種細(xì)胞可通過分裂來繁殖后代，我們就用數(shù)學(xué)模型2n來表示．即：21＝2，22＝4，23＝8，24＝16，25＝32，……，請你推算22022的個(gè)位數(shù)字是（

）A．8 B．6 C．4 D．2【答案】C【提示】利用已知得出數(shù)字個(gè)位數(shù)的變化規(guī)律進(jìn)而得出答案．【詳解】解：∵21＝2，22＝4，23＝8，24＝16，25＝32，…，∴尾數(shù)每4個(gè)一循環(huán)，∵2022÷4＝505……2，∴22022的個(gè)位數(shù)字應(yīng)該是：4．故選：C．【點(diǎn)睛】此題主要考查了尾數(shù)特征，根據(jù)題意得出數(shù)字變化規(guī)律是解題關(guān)鍵．4．（2023·重慶·中考真題）用長度相同的木棍按如圖所示的規(guī)律拼圖案，其中第①個(gè)圖案用了9根木棍，第②個(gè)圖案用了14根木棍，第③個(gè)圖案用了19根木棍，第④個(gè)圖案用了24根木棍，……，按此規(guī)律排列下去，則第⑧個(gè)圖案用的木棍根數(shù)是（

）A．39 B．44 C．49 D．54【答案】B【提示】根據(jù)各圖形中木棍的根數(shù)發(fā)現(xiàn)計(jì)算的規(guī)律，由此即可得到答案．【詳解】解：第①個(gè)圖案用了4+5=9根木棍，第②個(gè)圖案用了4+5×2=14根木棍，第③個(gè)圖案用了4+5×3=19根木棍，第④個(gè)圖案用了4+5×4=24根木棍，……，第⑧個(gè)圖案用的木棍根數(shù)是4+5×8=44根，故選：B．【點(diǎn)睛】此題考查了圖形類規(guī)律的探究，正確理解圖形中木棍根數(shù)的變化規(guī)律由此得到計(jì)算的規(guī)律是解題的關(guān)鍵．5．（2023·重慶·中考真題）用圓圈按如圖所示的規(guī)律拼圖案，其中第①個(gè)圖案中有2個(gè)圓圈，第②個(gè)圖案中有5個(gè)圓圈，第③個(gè)圖案中有8個(gè)圓圈，第④個(gè)圖案中有11個(gè)圓圈，…，按此規(guī)律排列下去，則第⑦個(gè)圖案中圓圈的個(gè)數(shù)為（

）A．14 B．20 C．23 D．26【答案】B【提示】根據(jù)前四個(gè)圖案圓圈的個(gè)數(shù)找到規(guī)律，即可求解.【詳解】解：因?yàn)榈冖賯€(gè)圖案中有2個(gè)圓圈，2=3×1-1；第②個(gè)圖案中有5個(gè)圓圈，5=3×2-1；第③個(gè)圖案中有8個(gè)圓圈，8=3×3-1；第④個(gè)圖案中有11個(gè)圓圈，11=3×4-1；…，所以第⑦個(gè)圖案中圓圈的個(gè)數(shù)為3×7-1=20；故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查了圖形類規(guī)律探究，根據(jù)前四個(gè)圖案圓圈的個(gè)數(shù)找到第n個(gè)圖案的規(guī)律為3n-1是解題的關(guān)鍵.6．（2023·山東聊城·中考真題）如圖，圖中數(shù)字是從1開始按箭頭方向排列的有序數(shù)陣．從3開始，把位于同一列且在拐角處的兩個(gè)數(shù)字提取出來組成有序數(shù)對：3,5；7,10；13,17；21,26；31,37…如果單把每個(gè)數(shù)對中的第一個(gè)或第二個(gè)數(shù)字按順序排列起來研究，就會(huì)發(fā)現(xiàn)其中的規(guī)律．請寫出第n個(gè)數(shù)對：．【答案】n【提示】根據(jù)題意單另把每個(gè)數(shù)對中的第一個(gè)或第二個(gè)數(shù)字按順序排列起來研究，可發(fā)現(xiàn)第n個(gè)數(shù)對的第一個(gè)數(shù)為：nn+1+1，第n個(gè)數(shù)對的第二個(gè)位：【詳解】解：每個(gè)數(shù)對的第一個(gè)數(shù)分別為3，7，13，21，31，…即：1×2+1，2×3+1，3×4+1，4×5+1，5×6+1，…則第n個(gè)數(shù)對的第一個(gè)數(shù)為：nn+1每個(gè)數(shù)對的第二個(gè)數(shù)分別為5，10，17，26，37，…即：22+1；32+1；42+1則第n個(gè)數(shù)對的第二個(gè)位：n+12∴第n個(gè)數(shù)對為：n2故答案為：n2【點(diǎn)睛】此題考查數(shù)字的變化規(guī)律，找出數(shù)字之間的排列規(guī)律，利用拐彎出數(shù)字的差的規(guī)律解決問題．7．（2023·湖北恩施·中考真題）觀察下列兩行數(shù)，探究第②行數(shù)與第①行數(shù)的關(guān)系：-2，4，-8，16，-32，64，0，7，-4，21，-26，71，……②根據(jù)你的發(fā)現(xiàn)，完成填空：第①行數(shù)的第10個(gè)數(shù)為；取每行數(shù)的第2023個(gè)數(shù)，則這兩個(gè)數(shù)的和為．【答案】1024-【提示】通過觀察第一行數(shù)的規(guī)律為(-2)n，第二行數(shù)的規(guī)律為(-2)n【詳解】第一行數(shù)的規(guī)律為(-2)n，∴第①行數(shù)的第10個(gè)數(shù)為(-2)第二行數(shù)的規(guī)律為(-2)n∴第①行數(shù)的第2023個(gè)數(shù)為(-2)2023，第②行數(shù)的第2023個(gè)數(shù)為(-2)∴-2故答案為：1024；-2【點(diǎn)睛】本題主要考查數(shù)字的變化，找其中的規(guī)律，是今年考試中常見的題型.8．（2023·黑龍江大慶·中考真題）1261年，我國宋朝數(shù)學(xué)家楊輝在其著作《詳解九章算法》中提到了如圖所示的數(shù)表，人們將這個(gè)數(shù)表稱為“楊輝三角”．觀察“楊輝三角”與右側(cè)的等式圖，根據(jù)圖中各式的規(guī)律，(a+b)7展開的多項(xiàng)式中各項(xiàng)系數(shù)之和為【答案】128【提示】仿照閱讀材料中的方法將原式展開，即可得出結(jié)果．【詳解】根據(jù)題意得：a+b5展開后系數(shù)為：1,5,10,10,5,1系數(shù)和：1+5+10+10+5+1=32=2a+b6系數(shù)和：1+6+15+20+15+6+1=64=2a+b7系數(shù)和：1+7+21+35+35+21+7+1=128=2故答案為：128．【點(diǎn)睛】此題考查了多項(xiàng)式的乘法運(yùn)算，以及規(guī)律型：數(shù)字的變化類，解題的關(guān)鍵是弄清系數(shù)中的規(guī)律．9．（2023·四川·中考真題）在我國南宋數(shù)學(xué)家楊輝所著的《詳解九章算術(shù)》（1261年）一書中，用如圖的三角形解釋二項(xiàng)和的乘方規(guī)律，因此我們稱這個(gè)三角形為“楊輝三角”，根據(jù)規(guī)律第八行從左到右第三個(gè)數(shù)為．【答案】21【提示】根據(jù)前六行的規(guī)律寫出第7，8行的規(guī)律進(jìn)而即可求解．【詳解】解：根據(jù)規(guī)律可得第七行的規(guī)律為1,6,15第八行的規(guī)律為1,7,21,35,35,21,7,1∴根據(jù)規(guī)律第八行從左到右第三個(gè)數(shù)為21，故答案為：21．【點(diǎn)睛】本題考查了數(shù)字類規(guī)律，找到規(guī)律是解題的關(guān)鍵．10．（2023·西藏·中考真題）按一定規(guī)律排列的單項(xiàng)式：5a，8a2，11a3，14a4，…．則按此規(guī)律排列的第n【答案】3n+2【提示】根據(jù)系數(shù)和字母的次數(shù)與單項(xiàng)式的序號(hào)關(guān)系寫出即可．【詳解】解：5a系數(shù)為3×1+2=5，次數(shù)為1；8a2系數(shù)為3×2+2=8，次數(shù)為11a3系數(shù)為3×3+2=11，次數(shù)為14a4系數(shù)為3×4+2=14，次數(shù)為∴第n個(gè)單項(xiàng)式的系數(shù)可表示為：3n+2，字母a的次數(shù)可表示為：n，∴第n個(gè)單項(xiàng)式為：3n+2a【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)字變化類規(guī)律探究，掌握單項(xiàng)式的系數(shù)和次數(shù)并發(fā)現(xiàn)其變化規(guī)律是解題的關(guān)鍵．11．（2023·黑龍江綏化·中考真題）在求1+2+3+??+100的值時(shí)，發(fā)現(xiàn)：1+100=101，2+99=101??，從而得到1+2+3+?+100=101×50=5050．按此方法可解決下面問題．圖（1）有1個(gè)三角形，記作a1=1；分別連接這個(gè)三角形三邊中點(diǎn)得到圖（2），有5個(gè)三角形，記作a2