中考數(shù)學(xué)考點(diǎn)大串講（北師大版）：專題02 一元二次方程 （易錯(cuò)50題6種題型）（解析版）

專題02一元二次方程（易錯(cuò)50題6種題型）一、認(rèn)識一元二次方程1．（2023秋·山西呂梁·九年級校聯(lián)考階段練習(xí)）若是方程的一個(gè)根，則m的值為（）A． B．1 C． D．3【答案】B【分析】根據(jù)方程根的含義，使方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值為方程的解或方程的根，求解即可．【詳解】解：將代入方程可得，，解得：，故選：B．【點(diǎn)睛】此題考查了方程根的含義，解題的關(guān)鍵是掌握相關(guān)基礎(chǔ)知識，正確的進(jìn)行求解．2．（2023秋·福建福州·九年級福州華倫中學(xué)?？茧A段練習(xí)）若是方程的一個(gè)解，則的值是（

）A．1 B．0 C．0或1 D．0或【答案】B【分析】根據(jù)一元二次方程的解的定義，將代入已知方程，即可求得的值．【詳解】解：是方程的一個(gè)解，滿足方程，，即．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的解的定義．一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能夠使方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值．3．（2023秋·全國·九年級專題練習(xí)）如果a是一元二次方程的根，則代數(shù)式的值為（

）A．2021 B．2022 C．2023 D．2024【答案】B【分析】根據(jù)方程根的定義得到，則，整體代入代數(shù)式即可得到答案．【詳解】解：∵a是一元二次方程的根，∴，∴∴，∴，故選：B．【點(diǎn)睛】此題考查了一元二次方程根的定義、代數(shù)式的求值等知識，根據(jù)一元二次方程根的定義得到是解題的關(guān)鍵．4．（2023秋·福建廈門·九年級廈門市檳榔中學(xué)?？奸_學(xué)考試）兩個(gè)關(guān)于的一元二次方程和，其中，，是常數(shù)，且．如果是方程的一個(gè)根，那么下列各數(shù)中，一定是方程的根的是(

)A． B． C．2 D．【答案】D【分析】根據(jù)一元二次方程的解的定義即可求出答案．【詳解】解：根據(jù)題意得：，∵，∴，∴兩個(gè)關(guān)于的一元二次方程和可變形為和，即和，∵是方程的一個(gè)根，∴是方程的一個(gè)根，，∴，∴是方程的一個(gè)根．故選：D【點(diǎn)睛】本題考查一元二次方程的解的定義：使一元二次方程成立的未知數(shù)的值就是方程的解．5．（2023秋·山西呂梁·九年級校聯(lián)考階段練習(xí)）閱讀與思考：下面是小華求一元二次方程的近似解的過程．如圖，這是一張長、寬的矩形紙板，將紙板四個(gè)角各剪去一個(gè)同樣大小的正方形，可制成一個(gè)底面積是的無蓋長方體紙盒．小華在做這道題時(shí)，設(shè)剪去的正方形邊長為，列出關(guān)于x的方程，整理得．

他想知道剪去的邊長到底是多少，下面是他的探索過程．探索方程的解：第一步：x012179因此：____________．第二步：x1.51.61.71.80.750.36因此：____________.（1）請你幫助小華完成表格中未完成的部分，并寫出x的范圍；（2）通過以上探索，請直接估計(jì)出x的值．（結(jié)果保留一位小數(shù)）【答案】（1），，，，（2）【分析】（1）第一步:代入及,可求出的的值,進(jìn)而可得出;第二步:根據(jù)及時(shí),的值，進(jìn)而可得出；（2）由的結(jié)論,可得出的值約為.【詳解】解：（1）第一步:當(dāng)時(shí),，當(dāng)時(shí),,∴；第二步:當(dāng)時(shí),，當(dāng)時(shí),，∴.故答案為：，，，；（2）通過以上探索,的值約為.【點(diǎn)睛】本題考查了估算一元二次方程的近似解，熟練掌握用列舉法估算一元二次方程的近似解的方法是解題的關(guān)鍵.6．（2023秋·內(nèi)蒙古呼和浩特·九年級呼市二中?？茧A段練習(xí)）已知m是方程式的一個(gè)實(shí)數(shù)根，求代數(shù)式的值．【答案】8【分析】根據(jù)一元二次方程解的定義可得，從而得到，，再代入計(jì)算，即可求解．【詳解】解：∵m是方程式的一個(gè)實(shí)數(shù)根，∴，∴，，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查了一元二次方程的解，熟練掌握能使方程左右兩邊同時(shí)成立的未知數(shù)的值是方程的解是解題的關(guān)鍵．二、用配方法求解一元二次方程7．（2022秋·山西運(yùn)城·九年級校聯(lián)考階段練習(xí)）用配方法解方程，原方程可變形為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】兩邊都加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方，據(jù)此可得．【詳解】解：，即，故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查配方法解一元二次方程，熟練掌握配方法解方程的基本步驟是解題的關(guān)鍵．8．（2023秋·河南周口·九年級校聯(lián)考階段練習(xí)）將一元二次方程化成的形式，則（

）A．1 B． C． D．【答案】D【分析】先運(yùn)用配方可得，即，即可得．【詳解】解：，，，，即，則，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了配方法，完全平方公式，解題的關(guān)鍵是掌握這些知識點(diǎn)．9．（2023秋·河南新鄉(xiāng)·九年級校考開學(xué)考試）代數(shù)式的最小值是．【答案】3【分析】將配方得到，由得到，即可得到答案．【詳解】解：，，，代數(shù)式的最小值是3，故答案為：3．【點(diǎn)睛】本題考查了配方法的應(yīng)用，將配方得到是解題的關(guān)鍵．10．（2023秋·遼寧大連·九年級大連市第三十四中學(xué)校考階段練習(xí)）解下列一元二次方程：【答案】，【分析】利用配方法求解即可．【詳解】解：，配方，得，即，，，．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的解法——配方法，掌握配方法的步驟是解題的關(guān)鍵．11．（2023秋·吉林·九年級?？茧A段練習(xí)）下面是小明同學(xué)解方程的過程，請認(rèn)真閱讀并完成相應(yīng)的任務(wù)．解：

第一步，即

第二步

第三步

第四步任務(wù)一：填空：上述材料中小明同學(xué)解一元二次方程的數(shù)學(xué)方法是_________，依據(jù)的一個(gè)數(shù)學(xué)公式是_________；第_________步開始出現(xiàn)錯(cuò)誤；任務(wù)二：請你直接寫出該方程的正確解．【答案】任務(wù)一：配方法，完全平方公式，二；任務(wù)二：【分析】任務(wù)一：根據(jù)配方法和小明同學(xué)的解題步驟解答即可；任務(wù)二：利用配方法寫出正確的過程即可．【詳解】任務(wù)一：由解題步驟可知，小明同學(xué)解一元二次方程的數(shù)學(xué)方法是配方法，依據(jù)的一個(gè)數(shù)學(xué)公式是完全平方公式；第二步開始出現(xiàn)錯(cuò)誤．故答案為：配方法，完全平方公式，二；任務(wù)二：，，即，，．【點(diǎn)睛】本題考查了解一元二次方程-配方法，熟練掌握用配方法解一元二次方程的一般步驟是解決問題的關(guān)鍵．12．（2023秋·吉林長春·九年級校考階段練習(xí)）解方程(1)(2)【答案】(1)，(2)，【分析】（1）利用一元二次方程—直接開方法進(jìn)行求解即可；（2）利用配方法解方程即可．【詳解】（1）或，；（2）或，．【點(diǎn)睛】本題考查了解一元二次方程的直接開方法和配方法，熟練掌握解一元二次方程的方法并可以根據(jù)題目選擇合適的方法是解題的關(guān)鍵．13．（2023秋·貴州畢節(jié)·九年級?？茧A段練習(xí)）用適當(dāng)?shù)姆椒ń庀铝蟹匠?1)(2)【答案】(1)，(2)，【分析】（1）移項(xiàng)后，利用直接開方法求解即可．（2）利用配方法求解即可．【詳解】（1）解：，，，解得：，；（2），，，，，解得：，．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的解法，解一元二次方程常用的方法有：直接開平方法、配方法、因式分解法、公式法；要根據(jù)方程的特點(diǎn)靈活選用合適的方法．14．（2023秋·寧夏吳忠·九年級?？茧A段練習(xí)）解下列方程：(1)(2)【答案】(1)，(2)，【分析】（1）兩邊開方，即可得出兩個(gè)一元一次方程，再求出方程的解即可；（2）移項(xiàng)后配方，再開方，即可得出兩個(gè)一元一次方程，再求出方程的解即可．【詳解】（1）解：，開方，得，解得：，，所以方程的解為，；（2）解：，移項(xiàng)，得，配方，得，即，開方，得，解得：，，所以方程的解為，．【點(diǎn)睛】本題考查了解一元二次方程，能把一元二次方程轉(zhuǎn)化成一元一次方程是解（1）的關(guān)鍵，能正確配方是解（2）的關(guān)鍵．三、用公式法求解一元二次方程15．（2023秋·江西南昌·九年級南昌市外國語學(xué)校校考階段練習(xí)）一元二次方程的根的情況是（

）A．只有一個(gè)實(shí)數(shù)根 B．有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根C．有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)拫 D．沒有實(shí)數(shù)根【答案】C【分析】根據(jù)方程的系數(shù)結(jié)合根的判別式，可得出，進(jìn)而可得出一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．【詳解】解：．∴一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了根的判別式，牢記“當(dāng)時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根”是解題的關(guān)鍵．16．（2022秋·安徽·九年級統(tǒng)考期末）關(guān)于的一元二次方程無實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)一元二次方程判別式與根情況的關(guān)系，列代數(shù)式求解即可．【詳解】解：一元二次方程無實(shí)數(shù)根，則判別式解得，故選：D．【點(diǎn)睛】此題考查了一元二次方程判別式與根情況的關(guān)系，解題的關(guān)鍵是掌握相關(guān)基礎(chǔ)知識，一元二次方程的判別式，當(dāng)時(shí)有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，當(dāng)時(shí)，有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，當(dāng)時(shí)，無實(shí)數(shù)根．17．（2023秋·山西大同·九年級校聯(lián)考階段練習(xí)）已知關(guān)于的一元二次方程有實(shí)數(shù)根，則的取值范圍是（

）A． B． C．且 D．且【答案】C【分析】由，即可求解；【詳解】解：∵一元二次方程有實(shí)數(shù)根，∴，∴，∵，∴，∴且．故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查一元二次方程根的判別，掌握相關(guān)知識并正確計(jì)算是解題的關(guān)鍵．18．（2023秋·河南平頂山·九年級校聯(lián)考階段練習(xí)）若關(guān)于的一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則的取值范圍是（

）A． B．且 C． D．且【答案】D【分析】一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根必須滿足：①二次項(xiàng)系數(shù)不為零；②根的判別式，由此即可求解．【詳解】解：∵關(guān)于的一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，∴，且，解得：且，∴的取值范圍是且．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查根據(jù)一元二次方程根的情況求參數(shù)，熟記判別式與根的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．19．（2023秋·遼寧沈陽·九年級沈陽市第七中學(xué)校考階段練習(xí)）對于實(shí)數(shù)a，b，定義運(yùn)算“※”如下：．例如，．若，則x的值為．【答案】或【分析】根據(jù)新定義運(yùn)算法則列方程，然后解方程求出x的值．【詳解】解：，，解得：，，故答案為：或．【點(diǎn)睛】本題考查接一元二次方程，理解新定義，掌握一元二次方程的解法是解題的關(guān)鍵．20．（2023秋·河北唐山·九年級統(tǒng)考階段練習(xí)）（1）解方程：（2）解方程：【答案】（1），（2），【分析】（1）可運(yùn)用配方法求解；（2）化為一般形式，可運(yùn)用公式法求解；【詳解】解：（1）移項(xiàng)得：，配方得：，即，開方得：，，．（2）原方程可化為：，，，，，，，．【點(diǎn)睛】本題考查一元二次方程的求解；掌握一元二次方程的求解方法是解題的關(guān)鍵．21．（2023秋·廣東汕頭·九年級校考階段練習(xí)）用適當(dāng)?shù)姆椒ń庀铝蟹匠蹋?1)；(2)．【答案】(1)，(2)，【分析】（1）利用公式法解一元二次方程即可得到答案；（2）利用直接開平方法解一元二次方程即可得到答案．【詳解】（1）解：，，，，，，，，原一元二次方程的解為：，；（2）解：，或，解得：或，原一元二次方程的解為：，．【點(diǎn)睛】本題考查了解一元二次方程，解一元二次方程的方法有：直接開平方法、配方法、公式法、因式分解法，選擇合適的方法，準(zhǔn)確進(jìn)行計(jì)算是解題的關(guān)鍵．22．（2023秋·河北石家莊·九年級統(tǒng)考階段練習(xí)）請用適當(dāng)?shù)姆椒ń庖辉畏匠蹋?1)．(2)．【答案】(1)(2)【分析】（1）利用公式法解方程；（2）利用公式法解方程．【詳解】（1）解：，，，，；（2）解：，，，，．【點(diǎn)睛】此題考查解一元二次方程，掌握解方程的方法：直接開平方法、公式法、配方法、因式分解法，根據(jù)每個(gè)方程的特點(diǎn)選用恰當(dāng)?shù)慕夥ㄊ墙忸}的關(guān)鍵．四、用因式分解法求解一元二次方程23．（2023秋·山西忻州·九年級校聯(lián)考階段練習(xí)）一元二次方程的解為（

）A． B． C．或 D．或【答案】D【分析】用因式分解法解一元二次方程即可得到答案．【詳解】解：因式分解得，，∴，，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查因式分解法解一元二次方程，解題的關(guān)鍵是正確因式分解．24．（2023秋·山西朔州·九年級?？茧A段練習(xí)）若是方程的解，則代數(shù)式的值為．【答案】【分析】先計(jì)算出來一元二次方程的解，然后將的值代入即可求得結(jié)果．【詳解】解：，因式分解得：，即，∵是方程的解，∴當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的解，解題的關(guān)鍵是把一元二次方程的解代入代數(shù)式．25．（2022秋·山西運(yùn)城·九年級校聯(lián)考階段練習(xí)）現(xiàn)定義運(yùn)算“※”，規(guī)定對于任意實(shí)數(shù)m、n，都有，如：，若，則實(shí)數(shù)x的值是．【答案】或1【分析】根據(jù)新定義型運(yùn)算法則列出算式進(jìn)行求解即可．【詳解】解：∵，∴，∴，∴或．故答案為：或1．【點(diǎn)睛】本題主要考查了一元二次方程，解題的關(guān)鍵是熟練運(yùn)用一元二次方程的解法以及正確理解新定義運(yùn)算法則．26．（遼寧省本溪市2023-2024學(xué)年九年級上學(xué)期10月月考數(shù)學(xué)試題）若，滿足方程，則．【答案】【分析】令，則，解一元二次方程，即可求解．【詳解】令，則，原方程為解得：或（舍去）故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了換元法解一元二次方程，掌握換元法解一元二次方程是解題的關(guān)鍵．27．（2023秋·江蘇宿遷·九年級沭陽縣懷文中學(xué)校考階段練習(xí)）若與的值互為相反數(shù)，則的值是．【答案】1【分析】由與的值互為相反數(shù)，可得，再解方程即可．【詳解】解：∵與的值互為相反數(shù)，∴，∴，∴，解得：，故答案為：1【點(diǎn)睛】本題考查的是一元二次方程的應(yīng)用，熟練的利用相反數(shù)的含義建立方程求解是解本題的關(guān)鍵．28．（2023秋·江蘇無錫·九年級無錫市東林中學(xué)校考階段練習(xí)）若是方程（為常數(shù)）的根，則．【答案】或3【分析】將代入方程，解關(guān)于的一元二次方程即可．【詳解】解：將代入方程，得：，解得，，故答案為：或3．【點(diǎn)睛】本題考查了解一元二次方程，熟練掌握解一元二次方程是解題的關(guān)鍵．29．（2023秋·江西南昌·九年級南昌市外國語學(xué)校?？茧A段練習(xí)）解方程：(1)；(2)．【答案】(1)，(2)，【分析】（1）利用因式分解法求解；（2）移項(xiàng)后，利用因式分解法求解．【詳解】（1）解：，∴或，∴，；（2）解：，∴，∴或，∴，．【點(diǎn)睛】本題考查了解一元二次方程，屬于基礎(chǔ)題，要有一定的運(yùn)算求解能力，熟練運(yùn)用因式分解法解一元二次方程是解決本題的關(guān)鍵．30．（2023秋·山西晉中·九年級校考階段練習(xí)）解下列方程：(1)(2)(3)【答案】(1)，；(2)，；(3)，．【分析】（1）利用因式分解法求解一元二次方程即可；（2）利用公式法求解一元二次方程即可；（3）利用因式分解法求解一元二次方程即可．【詳解】（1）解：解得，；（2），，，；（3）則，即解得，．【點(diǎn)睛】此題考查了一元二次方程的求解，解題的關(guān)鍵是掌握一元二次方程的求解方法，公式法、因式分解法以及配方法．31．（2023秋·江蘇徐州·九年級?？茧A段練習(xí)）解下列方程(1)．(2)(3)(4)．【答案】(1)，(2)，(3)，(4)，【分析】（1）先把方程化為，再利用直接開平方法解方程即可；（2）先把方程化為，可得，再利用直接開平方法解方程即可；（3）把方程化為，再化為兩個(gè)一次方程，從而可得答案；（4）先移項(xiàng)可得，可得，從而可得答案．【詳解】（1）解：，∴，即，∴，；（2），∴，∴，∴，，解得：，；（3），∴，∴，，解得：，；（4），∴，∴，即，∴或，解得：，．【點(diǎn)睛】本題考查的是一元二次方程的解法，掌握直接開平方法，配方法，因式分解法解一元二次方程是解本題的關(guān)鍵．32．（2022秋·江西贛州·九年級統(tǒng)考階段練習(xí)）解下列方程(1)；(2)【答案】(1)(2)【分析】（1）先移項(xiàng)，再利用提公因式法將方程的左邊因式分解后求解可得；（2）利用提公因式法將方程的左邊因式分解后求解可得．【詳解】（1）解：解得：；（2）解：解得：．【點(diǎn)睛】本題主要考查解一元二次方程，解一元二次方程的常用方法有直接開平方法、公式法、因式分解法，解題的關(guān)鍵是根據(jù)方程的特點(diǎn)選擇合適、簡便的方法求解．五、一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系33．（2023秋·福建福州·九年級福建省福州則徐中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知，是方程的兩個(gè)根，則．【答案】/【分析】根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，即可求解．【詳解】解：∵，是方程的兩個(gè)根，∴，∴，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系：若是一元二次方程的兩根，，，掌握一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．34．（2023秋·陜西西安·九年級交大附中分校?？茧A段練習(xí)）設(shè)是一元二次方程的兩個(gè)根，則．【答案】2023【分析】根據(jù)方程解的定義、根與系數(shù)關(guān)系，得，，對待求解代數(shù)式變形，用已知的代數(shù)式表示求解．【詳解】解：由題意，得，∴．∴．故答案為：2023【點(diǎn)睛】本題考查方程解的定義，一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系；掌握根與系數(shù)關(guān)系是解題的關(guān)鍵．35．（2023秋·廣東廣州·九年級廣州大學(xué)附屬中學(xué)?？奸_學(xué)考試）已知，是方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則的值為．【答案】2021【分析】根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系得到，根據(jù)解的概念得到，然后代入求解即可．【詳解】解：∵，是的兩根，∴，，∴，∴．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查一元二次方程的解以及根與系數(shù)的關(guān)系，熟練掌握一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．36．（2023秋·全國·九年級專題練習(xí)）關(guān)于x的一元二次方程有實(shí)數(shù)根．(1)求m的取值范圍；(2)若兩根為、且，求m的值．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)方程的系數(shù)結(jié)合根的判別式，即可得出關(guān)于的一元一次不等式，解之即可得出的取值范圍；（2）根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系可得出，，結(jié)合可得出關(guān)于的一元二次方程，解之取其小于等于的值即可得出結(jié)論．【詳解】（1）解：關(guān)于的一元二次方程有實(shí)數(shù)根，，解得：．（2），是一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，，，，即，整理得：，解得：，．又，．【點(diǎn)睛】本題考查了根的判別式以及根與系數(shù)的關(guān)系，解題的關(guān)鍵是：（1）牢記“當(dāng)時(shí)，方程有實(shí)數(shù)根”；（2）根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系結(jié)合，找出關(guān)于的一元二次方程．37．（2023秋·江蘇蘇州·九年級校考階段練習(xí)）已知關(guān)于x的方程．(1)當(dāng)m取什么值時(shí)，原方程沒有實(shí)數(shù)根；(2)對m選取一個(gè)合適的非零整數(shù)，使原方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，并求這兩個(gè)實(shí)數(shù)根的平方和．【答案】(1)當(dāng)時(shí)，原方程沒有實(shí)數(shù)根；(2)當(dāng)時(shí)，原方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，這兩個(gè)實(shí)數(shù)根的平方和是14．【分析】（1）要使原方程沒有實(shí)數(shù)根，只需即可，然后可以得到關(guān)于m的不等式，由此即可求出m的取值范圍；（2）根據(jù)（1）中求得的范圍，在范圍之外確定一個(gè)m的值，再根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系求得兩根的平方和．【詳解】（1）解：∵方程沒有實(shí)數(shù)根，，∴當(dāng)時(shí)，原方程沒有實(shí)數(shù)根；（2）解：由（1）可知，時(shí)，方程有實(shí)數(shù)根，∴當(dāng)時(shí)，原方程變?yōu)?，設(shè)此時(shí)方程的兩根分別為，，則，，，∴當(dāng)時(shí)，原方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，這兩個(gè)實(shí)數(shù)根的平方和是14．【點(diǎn)睛】此題要求學(xué)生能夠用根的判別式求解字母的取值范圍，熟練運(yùn)用根與系數(shù)的關(guān)系求關(guān)于兩個(gè)根的38．（2023秋·福建泉州·九年級福建省泉州市培元中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知關(guān)于的一元二次方程．(1)求證：該一元二次方程總有兩個(gè)實(shí)數(shù)根；(2)若該方程兩根之和等于5，求兩根之積．【答案】(1)見詳解(2)6【分析】（1）根據(jù)一元二次方程根的判別式可進(jìn)行求解；（2）根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系可進(jìn)行求解．【詳解】（1）證明：由題意得：，∴該一元二次方程總有兩個(gè)實(shí)數(shù)根；（2）解：由韋達(dá)定理可得：，∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查一元二次方程根的判別式及根與系數(shù)的關(guān)系，熟練掌握一元二次方程根的判別式及根與系數(shù)的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．六、應(yīng)用一元二次方程39．（2023秋·江蘇連云港·九年級灌云縣實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）受國際油價(jià)影響，今年我國汽油價(jià)格總體呈上升趨勢．某地號汽油價(jià)格三月底是元升，五月底是元升．設(shè)該地號汽油價(jià)格這兩個(gè)月平均每月的增長率為，根據(jù)題意列出方程，正確的是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】設(shè)該地號汽油價(jià)格這兩個(gè)月平均每月的增長率為，根據(jù)題意列出一元二次方程，即可求解．【詳解】解：設(shè)該地號汽油價(jià)格這兩個(gè)月平均每月的增長率為，根據(jù)題意列出方程，，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，根據(jù)題意列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．40．（2023秋·江蘇蘇州·九年級?？茧A段練習(xí)）某水果批發(fā)商經(jīng)銷一種高檔水果，如果將進(jìn)貨價(jià)為每千克6元的水果以每千克16元的價(jià)格售出，每天可售出500千克．經(jīng)市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)，在進(jìn)貨價(jià)格不變的情況下，出售價(jià)每千克漲價(jià)1元，日銷售量將減少20千克．若該商場要想保證每天盈利6000元，同時(shí)又要使顧客得到實(shí)惠，那么每千克應(yīng)漲價(jià)多少元?（

）A．10元 B．8元 C．3元 D．5元【答案】D【分析】設(shè)每千克水果應(yīng)漲價(jià)x元，得出日銷售量將減少千克，再由盈利額每千克盈利日銷售量，依題意得方程求解即可．【詳解】解：設(shè)每千克應(yīng)漲價(jià)x元，依題意得方程：，整理，得，解這個(gè)方程，得，．要使顧客得到實(shí)惠，應(yīng)?。蔬x：D．【點(diǎn)睛】此題考查了一元二次方程的應(yīng)用，解題關(guān)鍵是要讀懂題目的意思，根據(jù)題目給出的條件，找出合適的等量關(guān)系，列出方程，再求解．41．（2023秋·河南周口·九年級校聯(lián)考階段練習(xí)）在畢業(yè)季，3班同學(xué)互贈畢業(yè)禮物，每兩位同學(xué)之間互贈一件禮物，據(jù)統(tǒng)計(jì)，全班共贈送了2070件禮物，則這個(gè)班有同學(xué)（

）A．42位 B．43位 C．45位 D．46位【答案】D【分析】此題利用一元二次方程應(yīng)用中的基本數(shù)量關(guān)系：人參加聚會，每兩名同學(xué)之間都互送了一件禮物，所有同學(xué)共送了件禮物解決問題即可．【詳解】解：設(shè)這個(gè)班有同學(xué)位，每兩人都互贈了一件禮物，則每人有件禮物，依題意，得；解得：（不符合題意，舍去）；答：這個(gè)班有同學(xué)46位．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用．理清題意，找對等量關(guān)系是解答此類題目的關(guān)鍵；需注意的是本題中“每兩人都互贈了一件禮物”的條件，類似于球類比賽的雙循環(huán)賽制．42．（2023秋·河北石家莊·九年級統(tǒng)考階段練習(xí)）我國古代著作《四元玉鑒》記載“買椽多少”問題：“六貫二百一十錢，現(xiàn)人去買幾株椽，每株腳錢三文足，無錢準(zhǔn)與一株椽．”其大意：現(xiàn)請人代買一批椽，這批椽的價(jià)錢為6210文，如果每株椽的運(yùn)費(fèi)是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的運(yùn)費(fèi)恰好等于一株椽的價(jià)錢．設(shè)這批椽的數(shù)量為株，則下列方程正確的是（

）A．B． C． D．【答案】C【分析】先根據(jù)少拿一株椽后，剩下的椽的運(yùn)費(fèi)恰好等于一株椽的價(jià)錢可得一株椽的價(jià)錢為文，再根據(jù)總價(jià)錢等于一株椽的價(jià)錢乘以椽的數(shù)量建立方程即可．【詳解】解：由題意得：一株椽的價(jià)錢為文，則可列方程為：．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了列一元二次方程，找準(zhǔn)等量關(guān)系是解題關(guān)鍵．43．（2023秋·山西忻州·九年級校聯(lián)考階段練習(xí)）某校九年級各班進(jìn)行拔河比賽，每兩個(gè)班之間都要賽一場，共賽28場.設(shè)共有個(gè)班參賽，根據(jù)題意可列方程為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)互動(dòng)問題直接列式即可得到答案；【詳解】解：由題意可得，，故選：C；【點(diǎn)睛】本題考查一元二次方程解應(yīng)用題，解題的關(guān)鍵是互動(dòng)問題注意重復(fù)問題．44．（2023秋·湖北武漢·九年級校聯(lián)考階段練習(xí)）直角三角形的兩直角邊之和是14，面積是24，則它的斜邊長是．【答案】10【分析】可設(shè)直角三角形一直角邊為x，則另一直角邊為，由面積為24作為相等關(guān)系列方程求得x的值，進(jìn)而求得斜邊的長．【詳解】解：設(shè)直角三角形一直角邊為x，則另一直角邊為，根據(jù)題意得，解得：或，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以斜邊長為．故答案為：10．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理的運(yùn)用，根據(jù)直角三角形的面積公式列出關(guān)于直角邊的方程，解得直角邊的長，再根據(jù)勾股定理求斜邊的長，熟練運(yùn)用勾股定理和一元二次方程是解題的關(guān)鍵．45．（2023秋·河北唐山·九年級統(tǒng)考階段練習(xí)）連續(xù)兩個(gè)整數(shù)的乘積為12，則這兩個(gè)整數(shù)中較小的一個(gè)是．【答案】3或/或3【分析】設(shè)這兩個(gè)整數(shù)中較小的一個(gè)是，則較大的一個(gè)是，根據(jù)兩數(shù)之積為12，即可得出關(guān)于的一元二次方程，解之即可得出結(jié)論．【詳解】解：設(shè)這兩個(gè)整數(shù)中較小的一個(gè)是，則較大的一個(gè)是，根據(jù)題意得：，解得：，．故答案為：3或【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．46．（2023秋·江蘇連云港·九年級灌云縣實(shí)驗(yàn)中學(xué)校考階段練習(xí)）某學(xué)校要組織一次籃球比賽，賽制為單循環(huán)形式（每兩隊(duì)之間都只賽一場），計(jì)劃安排21場比賽，則參賽隊(duì)數(shù)為個(gè).【答案】7【分析】設(shè)參賽隊(duì)數(shù)為x個(gè)，根據(jù)計(jì)劃安排21場比賽列方程，解方程即可得到答案.【詳解】解：設(shè)參賽隊(duì)數(shù)為x個(gè)，則，解得（不合題意，舍去），∴參賽隊(duì)數(shù)為7個(gè)故答案為：7【點(diǎn)睛】此題考查了一元二次方程的應(yīng)用，讀懂題意，準(zhǔn)確列出方程是解題的關(guān)鍵.47．（2022秋·山西運(yùn)城·九年級校聯(lián)考階段練習(xí)）綜合與實(shí)踐山西地處偉大祖國的中部地區(qū)，是中華文明的重要發(fā)祥地，這里山川秀美，古跡眾多．近年來，山西加快建設(shè)文化旅游強(qiáng)省，致力做強(qiáng)黃河長城太行三大品牌，取得了顯著成效．某景區(qū)的門票價(jià)格為每人80元，每天最多能接待2500名游客，在旅游旺季平均每天能售出1000張門票，為了吸引更多的游客，提高景區(qū)知名度，景區(qū)決定適當(dāng)降低門票價(jià)格，經(jīng)過調(diào)查