廣東省東莞市四校2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題（含答案）

-2024學(xué)年上學(xué)期期中考試四校聯(lián)考高二數(shù)學(xué)試題（考試時(shí)間：120分鐘滿分：150分）命題人：李善紅王小勇劉和陽張秀敏審題人：時(shí)華一、單選題：本大題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.設(shè)有四邊形，為空間任意一點(diǎn)，且，則四邊形是（）A.空間四邊形 B.平行四邊形 C.等腰梯形 D.矩形2.已知向量，，滿足，則的值為（）A.2 B. C. D.3.直線的傾斜角是（）A. B. C. D.4.已知橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)為，則的值為（）A.1 B.3 C.9 D.815.已知直線：，：，：，若且，則的值為（）A. B.10 C. D.26.已知圓：和：，則兩圓的位置關(guān)系是（）A.內(nèi)切 B.外切 C.相交 D.外離7.若圓經(jīng)過點(diǎn)，，且圓心在直線：上，則圓的方程為（）A. B.C. D.8.如圖，在棱長為1的正方體中，，分別是線段，上的點(diǎn)，是直線上的點(diǎn)，滿足平面，且、不是正方體的頂點(diǎn)，則的最小值是（）A. B. C. D.二、多項(xiàng)選擇題：每小題5分，共20分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，有選錯(cuò)的得0分，部分選對(duì)的得2分。9.關(guān)于空間向量，以下說法正確的是（）A.空間中的三個(gè)向量，若有兩個(gè)向量共線，則這三個(gè)向量一定共面；B.若對(duì)空間中任意一點(diǎn)，有，則，，，四點(diǎn)共面；C.已知是空間的一組基底，若，則也是空間的一組基底；D.若，則是銳角10.已知直線過直線：和：的交點(diǎn)，且原點(diǎn)到直線的距離為3，則的方程可以為（）A. B.C. D.11.在空間直角坐標(biāo)系中，，，，則（）A.B.C.異面直線與所成角的余弦值為D.點(diǎn)到直線的距離是12.已知圓：，直線，則下列結(jié)論正確的是（）A.圓與曲線恰有三條公切線，則B.當(dāng)時(shí)，圓上有且僅有三個(gè)點(diǎn)到直線的距離都等于1C.直線恒過第二象限D(zhuǎn).當(dāng)時(shí)，上動(dòng)點(diǎn)作圓的切線，，且，為切點(diǎn)，則經(jīng)過點(diǎn)三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分。13.，，則______.14.已知圓的方程，圓與圓是同心圓且過點(diǎn)，則圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為______.15.已知橢圓：的左焦點(diǎn)為，過原點(diǎn)的直線交橢圓于點(diǎn)，，且，若，則橢圓的離心率是______.16.在如圖所示的三棱錐中，平面，，，，為中點(diǎn)，為內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)（含邊界），且.當(dāng)在上時(shí)，______；點(diǎn)的軌跡的長度為______.四、解答題：本大題共6小題，第17題10分，18、19、20、21、22題各12分，共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.必須把解答過程寫在答題卡相應(yīng)題號(hào)指定的區(qū)域內(nèi)，超出指定區(qū)域的答案無效。17.（本題10分）設(shè)，向量，，，且，.（1）求；（2）求向量與夾角的大小。18.（本題12分）已知的頂點(diǎn)，.（1）求直線的方程；（2）若邊上的中線所在直線方程為，且的面積為5，求頂點(diǎn)的坐標(biāo).19.（本題12分）已知橢圓：的焦距為2，點(diǎn)在橢圓上，過原點(diǎn)作直線交橢圓于、兩點(diǎn)，且點(diǎn)不是橢圓的頂點(diǎn)，過點(diǎn)作軸的垂線，垂足為，點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，直線交橢圓于點(diǎn)，連接（1）求橢圓的方程及離心率；（2）求證：.20.（本題12分）已知直線：與圓：相交于，不同兩點(diǎn).（1）求的范圍；（2）設(shè)是圓上的一動(dòng)點(diǎn)（異于，），為坐標(biāo)原點(diǎn)，若，求面積的最大值.21.（本題12分）如圖甲，在矩形中，，為線段的中點(diǎn)，沿直線折起，使得如圖乙.甲 乙（1）求證：平面；（2）線段上是否存在一點(diǎn)，使得平面與平面所成的角為？若不存在，說明理由；若存在，求出點(diǎn)的位置.22.（本題12分）已知圓心在原點(diǎn)的圓被直線截得的弦長為.（1）求圓的方程；（2）設(shè)動(dòng)直線與圓交于，兩點(diǎn)，問在軸正半軸上是否存在定點(diǎn)，使得直線與直線關(guān)于軸對(duì)稱？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由；2023-2024第一學(xué)期高二數(shù)學(xué)期中四校聯(lián)考參考答案一、單選題：本大題共8小題，每小題5分，共40分。題號(hào)12345678答案BABACBAA二、多項(xiàng)選擇題（全部選對(duì)的得5分，選對(duì)但不全的得2分，有選錯(cuò)的得0分）題號(hào)9101112答案ABCACACACD三、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分，16題第一空2分，第二空3分）13.6 14. 15. 16.4，.四、解答題：本大題共6小題，第17題10分，18、19、20、21、22題各12分，共70分。17.解：【詳解】（1）由題意，，可得，解得，則，，所以故（2）因?yàn)?，所以故向量與的夾角為18.解：（1）直線的方程為，即（2）中點(diǎn)的坐礿為，點(diǎn)在上，則解得即中線所在直線的方程為，設(shè)頂點(diǎn)，所以，因?yàn)椋c(diǎn)到直線的距離，因?yàn)椋?，整理得，所以或，即或，由，得，此時(shí)頂點(diǎn)由得，此時(shí)頂點(diǎn)，所以頂點(diǎn)的坐標(biāo)為或19.解：（1）由題可知：，，又所以，故橢圓的方程為，離心率（2）設(shè)點(diǎn)，，由點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，所以由①，②則②①：由，，三點(diǎn)共線，所以，則即所以20.解：（1）∵直線與圓交于兩點(diǎn)，∴，解得，（2）設(shè)，將代入方程，整理得，∴，，解得，由（1）知，所以直線的方程為，可知圓心在直線上，∴是圓的直徑，且，∵是圓上的一動(dòng)點(diǎn)（異于，），∴到直線的最大距離即為半徑為1，∴面積的最大值為21.（1）證明：連接，取線段的中點(diǎn)，連接，，在中，，∴，在中，，，，由余弦定理可得：，∴在中，，∴又，，平面，∴平面，又平面，∴平面平面，在中，，，∴∵平面平面，平面，∴平面.（2）過作的平行線，以為原點(diǎn)，，，分別為軸，軸，軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，，，，平面的法向量，在平面直角坐標(biāo)系中，直線的方程為，設(shè)的坐標(biāo)為，則，設(shè)平面的法向量為，，所以