2022北京首都師大附中高三三模數(shù)學(xué)（教師版）

2022北京首都師大附中高三三模

數(shù)學(xué)

2022-05

一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分.在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中,選出符合題目要求的一項(xiàng).

1.在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)4-。）對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為（-1,2）,則實(shí)數(shù)。=（)

A.1B.-1C.2D.-2

2.若全集。=1<,4={x|x<l},5={x[%>-1},則()

A.B.AC.D.

3.下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)又在（0,2）上單調(diào)遞減的是（）

A.y=2.B.y=-x3

X

C.y=cos—D.y=In

2-2+x

4.如果實(shí)數(shù)a,b,。滿足：a>b>c,則下列不等式一定成立的是（)

A.ac23>be2B.a2>b2>c2C.a+c>2bD.a-c>b-c

5.在圓M:Y+V一2x-3=0中，過(guò)點(diǎn)E（O,1）的最長(zhǎng)弦和最短弦分別為AC和BD，則四邊形ABCD的面積為

()

A.20B.472C.6夜D.872

6.設(shè)函數(shù)/(x)=；sin3x+°),x€R,其中0>0,煙<萬(wàn).若/5萬(wàn)\\7V

0,且相鄰兩個(gè)零點(diǎn)之間

的距離大于不，則（）

1Ibr2兀

A.<y=—,(p=-----B.co=—,(p=—

324312

17乃211萬(wàn)

C.CD——,(p=---D.co=—,(p=-----

324312

7.已知等差數(shù)列{a,,},則“r=2”是""([ik+1*?

a但1,%,/,一^—GN廠成立的()

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

8.如圖，在正方體ABC。-A&GA中，E為棱BC上的動(dòng)點(diǎn)，R為棱用8的中點(diǎn)，則下列選項(xiàng)正確的是（）

A.直線A。1與直線EF相交

B.當(dāng)￡為棱8c上的中點(diǎn)時(shí)，則點(diǎn)E在平面49戶的射影是點(diǎn)E

C.存在點(diǎn)七，使得直線A。與直線所所成角為30

D.三棱錐石一4）產(chǎn)的體積為定值

9.已知函數(shù)=+若實(shí)數(shù)加以-2,0],貝在區(qū)間[私加+2]上的最大值的取值范

x-2x,x>0

圍是（）

A.[1,4]B,[2,4]C.[1,3]D.[1,2]

10.已知函數(shù)/（x）=e、-k+4,給出下列四個(gè)結(jié)論：

①若a=0,則有一個(gè)零點(diǎn)；

②若。€（1,中動(dòng)，則有三個(gè)零點(diǎn)；

③k>0,使得“X）在R上增函數(shù)；

④X/a<0,/（x）在R上是增函數(shù).

其中所有正確結(jié)論序號(hào)是（）

A.①②③B.①③④C.①@④D.②③④

二、填空題：本大題共5小題，每小題5分，共25分.把答案填在題中橫線上.

11.在（?-4]的展開(kāi)式中，常數(shù)項(xiàng)為_(kāi)________.（用數(shù)字作答）

IX）

12.若sinacos￡-cosasin￡=cos60,請(qǐng)寫出一組符合題意的.

13.點(diǎn)A（2,0）,3（1,2）,C（2,2）,\AP\=\AB-AC\,。為坐標(biāo)原點(diǎn)，則而與次的夾角的取值范圍是

14.已知雙曲線C的焦點(diǎn)為耳（—2,0）,乙（2,0）,實(shí)軸長(zhǎng)為2,則雙曲線。的離心率是；若點(diǎn)。是雙曲

線C的漸近線上一點(diǎn)，且-Q*LKQ,則△片鳥Q的面積為.

C-C

15.顆粒物過(guò)濾效率"是衡量口罩防護(hù)效果的一個(gè)重要指標(biāo)，計(jì)算公式為〃=巧;--X100%,其中Cw表示單

位體積環(huán)境大氣中含有的顆粒物數(shù)量（單位：ind./L）,G.表示經(jīng)口罩過(guò)濾后，單位體積氣體中含有的顆粒物數(shù)

量(單位：ind./L).某研究小組在相同的條件下，對(duì)兩種不同類型口罩的顆粒物過(guò)濾效率分別進(jìn)行了4次測(cè)試,

測(cè)試結(jié)果如圖所示.圖中點(diǎn)的橫坐標(biāo)表示第，?種口罩第J次測(cè)試時(shí)Cw的值，縱坐標(biāo)表示第，種口罩第/次測(cè)試

時(shí)4?的值［=1,2,/=1,2,3,4).

Q(ind/L)

Qa/ind/L)

該研究小組得到以下結(jié)論：

①在第1種口罩的4次測(cè)試中，第4次測(cè)試時(shí)的顆粒物過(guò)濾效率最高；

②在第2種口罩的4次測(cè)試中，第3次測(cè)試時(shí)的顆粒物過(guò)濾效率最高；

③在每次測(cè)試中，第1種口罩的顆粒物過(guò)濾效率都比第2種口罩的顆粒物過(guò)濾效率高；

④在第3次和第4次測(cè)試中，第1種口罩的顆粒物過(guò)濾效率都比第2種口罩的顆粒物過(guò)濾效率低.

其中，所有正確結(jié)論的序號(hào)是.

三、解答題：本大題共6小題，共85分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步最.

16.如圖，直三棱柱ABC—45G中，AC=BC=^AAi,。是棱的中點(diǎn)，DCJBD.

(1)證明：DC,±BC-

(2)求二面角4一80—G的大小.

17.已知“IBC的內(nèi)角的對(duì)邊分別為a,b,c,且\/曲11仟+8)+5足仁一3卜0.

(1)求B8的值；

(2)給出以下三個(gè)條件:

條件①：a2-Z?2+c2-3c=0：條件②。=3；條件③5"蹂=”書?這三個(gè)條件中僅有兩個(gè)正確，請(qǐng)選出正確的

條件并回答下面的問(wèn)題：

(i)求sinA的值；

(ii)求NA6C的角平分線8D的長(zhǎng).

18.“十一”黃金周某公園迎來(lái)了旅游高峰期，為了引導(dǎo)游客有序游園，該公園每天分別在10時(shí)，12時(shí)，14時(shí)，16

時(shí)公布實(shí)時(shí)在園人數(shù).下表記錄了10月1日至7日的實(shí)時(shí)在園人數(shù)：

1日2日3114H51161170

10時(shí)在園人數(shù)115261800519682828413830101016663

12時(shí)在園人數(shù)26518370894293116845340172316814800

14時(shí)在園人數(shù)37322380454063120711365582470615125

16時(shí)在園人數(shù)27306296873063816181208211616910866

通常用公園實(shí)時(shí)在園人數(shù)與公園的最大承載量(同一時(shí)段在園人數(shù)的飽和量)之比來(lái)表示游園舒適度，40%以下

稱為“舒適”，已知該公園的最大承載量是8萬(wàn)人.

(I)甲同學(xué)從10月1日至7日中隨機(jī)選1天的下午14時(shí)去該公園游覽，求他遇上“舒適”的概率；

(II)從10月1日至7日中任選兩天，記這兩天中這4個(gè)時(shí)間的游覽舒適度都為“舒適”的天數(shù)為X，求X的分布

列和數(shù)學(xué)期望；

(III)根據(jù)10月1日至7日每天12時(shí)的在園人數(shù)，判斷從哪天開(kāi)始連續(xù)三天12時(shí)的在園人數(shù)的方差最大？(只需

寫出結(jié)論)

19.已知橢圓C：《+，=l(a>8>0)過(guò)點(diǎn)(0,1),離心率為孝.

(1)求橢圓C方程；

⑵直線>=Z(x+l)伏。0)與橢圓交于A、B兩點(diǎn),過(guò)A、8作直線/:尤=一2的垂線，垂足分別為〃、N,

點(diǎn)G為線段MN的中點(diǎn)，尸為橢圓C的左焦點(diǎn).求證：四邊形AGNE為梯形.

IZ7-?

20.已知函數(shù)/(x)=—or+--(tz>0).

22x

⑴若a=l,求曲線y=/(x)在點(diǎn)(1,/。))處切線方程；

(2)若對(duì)任意xe[l,+"),都有/(x)21nx,求實(shí)數(shù)。的取值范圍.

21.設(shè)〃..2且〃wN,集合={1,2,3,4,…,2小，若對(duì)。”的任意女元子集匕，都存在“小也匕，滿足：

a<h<c,a+b>c,且a+Z?+c為偶數(shù)，則稱匕為理想集，并將女的最小值記為K,,.

(1)當(dāng)〃=2時(shí)，是否存在理想集？并說(shuō)明理由.

(2)當(dāng)〃=3時(shí)，是否存在理想集？若存在，求出K3；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

(3)求K4

參考答案

一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分.在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng).

1.在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)溫一。)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為(一1,2),則實(shí)數(shù)。=()

A.1B.-1C.2D.-2

【答案】D

【解析】

【分析】由復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算公式對(duì)已知式子進(jìn)行整理，結(jié)合所給點(diǎn)的坐標(biāo)即可求出。.

【詳解】解：=由題意知，一1一出對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為(—1,2),貝ija=—2,

故選:D.

【點(diǎn)睛】本題考查了復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算，考查了已知復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)點(diǎn)坐標(biāo)求參數(shù)，屬于基礎(chǔ)題.

2.若全集。=1<,A={x|x<l},B={x|工>一1},則()

AA^BB.B^AC.D.

【答案】D

【解析】

【分析】由條件可得8uA={RxNl},然后可判斷出答案.

【詳解】因?yàn)锳={x|x<l},B={x|x>-l},

所以gA={x|xNl},所以.KaB

故選：D

3.下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)又在(0,2)上單調(diào)遞減的是()

A.y=2|v|B.y=-x3

【答案】C

【解析】

【分析】利用函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性的定義以及導(dǎo)數(shù)分別判斷四個(gè)選項(xiàng)即可得出答案.

【詳解】對(duì)于A,函數(shù)/。)=2N的定義域?yàn)镽,關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，

且/(-%)=2T=2W=/(x),所以函數(shù)f(x)為偶函數(shù)，

當(dāng)xe(0,2)時(shí)〃x)=2',函數(shù)/(x)單調(diào)遞增，故A不符合題意；

對(duì)于B,函數(shù)/(x)=-d定義域?yàn)镽,關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，

且/(一x)=-(—x)3=/=一/(尤)，所以函數(shù)/(x)為奇函數(shù)，

由嘉函數(shù)的性質(zhì)知函數(shù))，=無(wú)3在R上單調(diào)遞增，

所以函數(shù)/(；1)=-1在區(qū)上單調(diào)遞減，故B不符合題意；

對(duì)于C,函數(shù)/(x)=cos］的定義域?yàn)镽,關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，

XX

且/(一X)=cos(--)=cos-=/(X),所以函數(shù)f(x)為偶函數(shù),

當(dāng)X€(0,2)時(shí)］€(0,1),又(0,1)=(o,,

所以函數(shù)f(x)=cos］在(0,1)上單調(diào)遞減，故C符合題意；

2—x

對(duì)于D,函數(shù)〃x)=ln——的定義域?yàn)?-2,2),關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，

2+x

且/(一可=In言=In(2尸=-InU=一/(H,

Z—AZ,-rX/+X

112x

所以/(X)是奇函數(shù)，又='——不一-一

令/'(x)<0n-2Vx<0,令/'(x)>0n0<x<2,

所以函數(shù)/(x)在(-2,0)上單調(diào)遞減，在(0,2)上單調(diào)遞增，故D不符合題意.

故選：C.

4.如果實(shí)數(shù)。，b,C滿足：a>b>c,則下列不等式一定成立的是()

A.ac1>be1B.a1>b2>c2C.a+c>2hD.a-c>b-c

【答案】D

【解析】

【分析】直接利用賦值法和不等式的基本性質(zhì)的應(yīng)用求出結(jié)果.

【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A,當(dāng)c=0時(shí)，ad=bd,故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；

對(duì)于選項(xiàng)B,當(dāng)。=-1,。=一2,。=一3時(shí)，層>出>/錯(cuò)誤；

對(duì)于選項(xiàng)C,當(dāng)a=l,6=0,c=—3時(shí)，a+c>2Z?錯(cuò)誤；

對(duì)于選項(xiàng)D,直接利用不等式的基本性質(zhì)的應(yīng)用求出方一C,故選項(xiàng)D正確.

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查不等式的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.

5.在圓M:爐+^-2x_3=0中，過(guò)點(diǎn)E(0,l)的最長(zhǎng)弦和最短弦分別為AC和BD，則四邊形ABCD的面積為

()

A.272B.472C.6近D.872

【答案】B

【解析】

【分析】將圓的方程配成標(biāo)準(zhǔn)式，即可得到圓心坐標(biāo)與半徑，從而求出最短、最長(zhǎng)弦，即可得解;

【詳解】解：圓加：/+丁―2x—3=0,即〃：（％-1）2+丁=4,圓心為M（1,O）,半徑r=2.

又=J『+（—if=瓶,所以過(guò)點(diǎn)E（0,l）的最長(zhǎng)弦|AC|=2r=4,最短弦忸。|=2尸彳麗7=20，

且最短弦與最長(zhǎng)弦互相垂直，所以SABS=1|AC|x|fir）|=472；

故選：B

6.設(shè)函數(shù)/(x)=；sin3x+°),x€R,其中0>0,煙<%.若/5萬(wàn)\\7V

0,且相鄰兩個(gè)零點(diǎn)之間

的距離大于乃，則（）

111萬(wàn)2兀

A.<y=—,(p=-------B.co=—,(p=—

324312

17萬(wàn)211萬(wàn)

C.CD=—,(p----D.a)=—,(p=-------

324312

【答案】B

【解析】

【分析】由題意求得?再由周期公式求得。，最后由若〃冷毛求得。值，即可得解.

T71

【詳解】解：因?yàn)楹瘮?shù)相鄰兩個(gè)零點(diǎn)之間的距離大于萬(wàn)，所以/（%）的最小正周期大于24，所以一>一,

42

口“5%1,JI乃、TIbr543萬(wàn)

又八可）='"玄）=°n'所RC以r）W=H一至二7

2萬(wàn)2

??T=3兀，則—=34，即。=—

CD3

f(x)=~sin(s+夕)=gsin(|x+(p),

54、13?/5萬(wàn)、,

由/x—+<?)=-.得sin(s+—)=l.

oL12

5兀71~

(pH-----——F2k7c,kfeZ.

122

因?yàn)閮?lt;4，所以取Z=0,得⑴弋.

271

CD——9（P—---.

312

故選：B.

7.已知等差數(shù)列{4},則）=2”是“產(chǎn)幺=a剋，,成立的（）

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)充分條件、必要條件的定義及等差數(shù)列的通項(xiàng)公式計(jì)算可得；

【詳解】解：因?yàn)閒,左,/,=eN",設(shè)等差數(shù)列的首項(xiàng)為4,公差為d，

t

當(dāng)f=2時(shí)％；%+(%_l)a+q+(/-l)d]=q+]k+l

F里，故充分性成立;

k+l,

若~^=4,+/,即4+"/一至，即4+(%—1)d+4+(/_l)d=/q+--------1

所以24+伏+/-2）4=/+（左+/7”，即（2T）（4—d）=0,所以t=2或q=d,故必要性不成立,

ci.+ci,（iik+1

故“E=2”是“七」=a區(qū)丁wNJ”成立的充分不必要條件；

故選：A

8.如圖，在正方體A3CD-44GA中，E為棱3c上的動(dòng)點(diǎn)，/為棱的中點(diǎn)，則下列選項(xiàng)正確的是（）

A.直線4。與直線￡7?相交

B.當(dāng)E為棱BC上的中點(diǎn)時(shí)，則點(diǎn)E在平面A。F的射影是點(diǎn)F

C.存在點(diǎn)E，使得直線A。與直線所所成角為30。

D.三棱錐石一4）產(chǎn)的體積為定值

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)線面平行的判定定理可得AA//平面片GC8,進(jìn)而可判斷A；

利用勾股定理和反證法即可判斷B；建立如圖空間直角坐標(biāo)系，利用向量法和反證法即可判斷C；根據(jù)等體積法即

可判斷D.

【詳解】A：由題意知，ADJ/BG，Bgu平面B￡C8,AQ|Z平面B|GCB

所以A2〃平面BCCB,

又EFU平面BCCB，所以4。與EE不相交，故A錯(cuò)誤；

B：連接A。、Dp、AF.AE.CB{,如圖,

當(dāng)點(diǎn)￡為8C的中點(diǎn)時(shí)，EF〃CB\,又AAJ.C4,所以

若點(diǎn)E在平面A。尸的射影為尸，則所_L平面4。尸，垂足為尸，

所以砂_LAF，設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為2,則4￡：=4/=石，EF=6,

△A￡F中，WA￡2,所以NAFEK9()°，

即EF1A/不成立，故B錯(cuò)誤；

C：建立如圖空間直角坐標(biāo)系。一盯z,連接8G，則AR//BC；,

所以異面直線EF與A"所成角為直線EF與BC］所成角，

設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為2,若存在點(diǎn)E(a,2,0)(0Wa<2)使得EF與BC、所成角為30°，

則3(2,2,0),F(2,2,1),G(0,2,2),所以喬=(2-。,0,1),用=(—2,0,2),

所以而?西=2a—2,又|喬?鑿卜同|阿cos30°,

得|2a—2|=2&xJ(2—a)2+lx等,解得a=4土石，

不符合題意，故不存在點(diǎn)E使得所與A3所成角為30°,故C錯(cuò)誤；

D：如圖，

由等體積法可知％_ADF=VF-ADE>

=

又％rfA\DtjF~3^△ADFBF3=2-x—xADxABxBF,

AD.AB,跖為定值，所以匕“DE為定值，

所以三棱錐E—的體積為定值，故D正確.

故選：D.

9.已知函數(shù)=+若實(shí)數(shù)小以-2,0],貝力/(幻--(一1)|在區(qū)間[見(jiàn)加+2]上的最大值的取值范

x-2x,x>0

圍是()

A.[1,4]B.⑵4]C.[1,3]D.[1,2]

【答案】D

【解析】

【分析】

先求出了(—1)=1,進(jìn)而可知l/(x)—/(-l)R/(x)-1|,由〃?€[-2,0],可知區(qū)間[加,加+2]￡[—2,2],且該區(qū)間

長(zhǎng)度為2,然后畫出函數(shù)/(x)的圖象，進(jìn)而可得到y(tǒng)=|/(x)-1|在[-2,2]上的圖象，結(jié)合圖象可求得

y=|/(x)-1]在區(qū)間[加，加+2]上的最大值的取值范圍.

【詳解】由題意，當(dāng)xW—l時(shí)，/(%)=%+2；當(dāng)—l<x<0時(shí)，/(%)=-%；當(dāng)xNO時(shí)，f(x)=x2-2x.

所以/(一1)=1,則"(x)-/(-I)H/(%)—11,

因?yàn)楦?2,0J,所以區(qū)間[加，加+2]1[—2,2],且該區(qū)間長(zhǎng)度為2.

作出函數(shù)f(x)的圖象，如圖1,進(jìn)而可得到y(tǒng)=|/(x)-l|在[-2,2]上的圖象，如圖2,

根據(jù)圖象可知在區(qū)間[加,機(jī)+2]上的最大值的取值范圍是[1,2].

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)圖象的應(yīng)用，考查分段函數(shù)的性質(zhì)，考查學(xué)生的計(jì)算求解能力與推理論證能力，屬于中檔題.

10.已知函數(shù)/(%)="一1+4,給出下列四個(gè)結(jié)論:

①若a=0,則/(X)有一個(gè)零點(diǎn)；

②若aw(l,+x)),則/(x)有三個(gè)零點(diǎn)；

③丸>0,使得“X)在R上是增函數(shù)；

④Va40J(%)在R上是增函數(shù).

其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是()

A.①②③B.①③④C.@@④D.②③④

【答案】C

【解析】

【分析】利用導(dǎo)數(shù)分段研究函數(shù)/(x)的單調(diào)遞增，結(jié)合零點(diǎn)的存在性定理依次判斷命題即可.

/、丫??/\[ex+x+a,(x<-a]

【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)"x)=e*—k+4,所以函數(shù)/(x)=(*'，，

e-x-ciAx^—ci)

則/⑺=;'+JG(X<0)

對(duì)于①，當(dāng)。=0時(shí)

x—x,(x>0)

當(dāng)x<0時(shí)，/(力單調(diào)遞增,

當(dāng)X20B寸，八x)=e*—120,所以/(X)單調(diào)遞增，所以函數(shù)“X)在R上單調(diào)遞增，且/(—l)=e--l<(),

/(l)=e'-l>0,所以函數(shù)/(x)有一個(gè)零點(diǎn)，故①正確;

e'+x+tz,(x<-a)

對(duì)于②,若ae(l,+oo),則—a<—l,

ex-a)>

當(dāng)x<-n時(shí)，/(x)單調(diào)遞增，且〃-a)=e-"-a+a=e-">0,

f(-2a)=e-2a-2a+a=e2a-a<e2a-l<0,

所以函數(shù)/(x)在(-0,—a)上有1個(gè)零點(diǎn)；

當(dāng)時(shí)，令/'(九)=e*-1=0,解得x=0,

當(dāng)一a<%<0時(shí)，.f'(x)<(),貝ij〃x)單調(diào)遞減；

當(dāng)x>0時(shí)，/(x)>0,則/(X)單調(diào)遞增，如圖,

所以〃力產(chǎn)〃°)=6°-0-2=-1<0，

所以函數(shù)/(力在(-a,+oo)上有2個(gè)零點(diǎn)，

綜上，當(dāng)aG(1,+00)時(shí)函數(shù)/(x)有3個(gè)零點(diǎn)，故②正確;

對(duì)于③，當(dāng)a>0,即一。<0時(shí)，則/(x)=〈x'/)、,

[e-X-a,(x>-a)

當(dāng)x<一“時(shí)，y(x)單調(diào)遞增，

當(dāng)xN-a時(shí)，令/''(》)=e*-1=0,解得x=0,

所以當(dāng)一a<x<0時(shí)，所以/'(x)=e*-l<0,/(x)單調(diào)遞減；

當(dāng)xX)時(shí)，所以/(%)=爐一1>0,/")單調(diào)遞增，

所以當(dāng)a>0時(shí)，函數(shù)“X)在和(0，+8)上單調(diào)遞增，

在(-。，0)上單調(diào)遞減，所以不存在a>0,使得/(x)在R上是增函數(shù)，故③錯(cuò)誤;

“、[ex+x+aAx<-a]

對(duì)于④，當(dāng)a<0,即一a>0時(shí)，則/(%)=〈t、)、,

[e-x-a,(x>-a)

當(dāng)X<-4時(shí)，/(X)單調(diào)遞增，

A

當(dāng)XN-Q時(shí)，f'(x)=e-1>0,

則/(X)單調(diào)遞增，所以函數(shù)/(X)R上單調(diào)遞增，

結(jié)合命題①的分析可知當(dāng)a=0時(shí)函數(shù)/(x)在R上單調(diào)遞增，

綜上，Va<0,/(x)在R上是增函數(shù)，故④正確；

故選：C.

二、填空題：本大題共5小題，每小題5分，共25分.把答案填在題中橫線上.

11.在(6-』]的展開(kāi)式中，常數(shù)項(xiàng)為_(kāi)_________.(用數(shù)字作答)

IX)

【答案】-84

【解析】

【分析】求出二項(xiàng)式展開(kāi)式的通項(xiàng)，再令匕包=0,求出r,再代入計(jì)算可得；

2

9一r9-3r

【詳解】解：二項(xiàng)式的展開(kāi)式通項(xiàng)公式為7；M=q.x才.㈠廣廠?、鍙V弓犬丁-

令二9一一3r=0,解得r=3,

2

故展開(kāi)式的常數(shù)項(xiàng)為7；=-孀=-84,

故答案為：-84.

12.若sinacos,一cosasin/?=cos60,請(qǐng)寫出一組符合題意的a、。.

【答案】a=45°、尸=15°(答案不唯一)

【解析】

【分析】本題屬于開(kāi)放性問(wèn)題，只需填寫符合題意的答案即可，再利用兩角差的正弦公式及誘導(dǎo)公式計(jì)算可得;

【詳解】解：因?yàn)閟inacos用一cosasin4=sin(a-0,cos60"-cos(90-30)=sin30,

所以sin(?-/?)=sin30°,

所以。一/=30°+攵x360°,ZeZ或a-〃=150°+攵x360°,k&Z,

不妨令a=45。、Z?=15°；

故答案為：a=45°、#=15。(答案不唯一)

13.點(diǎn)A(2,0),8(1,2),C(2,2),\AP\=\AB-AC\,。為坐標(biāo)原點(diǎn)，則而與3A的夾角的取值范圍是

7T

【答案】0

_)70_

【解析】

【分析】根據(jù)向量得模的幾何意義可得點(diǎn)P的軌跡是以A(2,0)為圓心，1為半徑的圓，再利用圓的切線可求得答

案.

【詳解】因?yàn)?(1,2),C(2,2),所以而=(—1,0),

所以|QH荏-ACHCB\=1,

所以點(diǎn)尸的軌跡是以42,0)為圓心，1為半徑的圓，

如圖：

由圖可知，當(dāng)OP與圓相切時(shí)，NPOA最大，也就是而與赤夾角最大,

TT

此時(shí)OPLBA,OA=2,PA=l,所以/尸。4二一,

6

71

所以而與礪夾角的取值范圍是0，工.

_0_

兀

故答案為：0,-.

o

【點(diǎn)睛】本題考查了向量的減法法則和向量的模的幾何意義，考查了向量的夾角，考查了數(shù)形結(jié)合思想，屬于基礎(chǔ)

題.

14.已知雙曲線C的焦點(diǎn)為耳（一2,0）,瑪（2,0）,實(shí)軸長(zhǎng)為2,則雙曲線C的離心率是；若點(diǎn)。是雙曲

線C的漸近線上一點(diǎn)，且則△片入。的面積為.

【答案】①.2②.在

2

【解析】

【分析】直接求出心c,即可求出離心率；利用幾何法求出|且@=1,|耳。|=6,直接求出面積.

【詳解】因?yàn)殡p曲線C的焦點(diǎn)為耳（―2,0）,E（2,0）,實(shí)軸長(zhǎng)為2,所以c=2,a=l,所以離心率e=￡=2.

a

因?yàn)閏=2,a=l,所以（==6,

所以直線/：y=—x,即y=gx為雙曲線的一條漸近線.不妨設(shè)點(diǎn)。是/上一點(diǎn)，

a

且々QJ_gQ,則NQO8=60。.

因?yàn)镵Q_LgQ,。為耳工的中點(diǎn)，所以|0。|=|乙。|,所以A。鳥Q為等邊三角形，

所以怩。1=1,由勾股定理解得：忻0=瑪瑪2_優(yōu)?！?也2一］2=百

所以△耳居。的面積為"LXGXI=T5.

22

如圖示：

故答案為：2；

2

C-C

15.顆粒物過(guò)濾效率〃是衡量口罩防護(hù)效果的一個(gè)重要指標(biāo)，計(jì)算公式為〃二°；1x100%,其中Cw表示單

位體積環(huán)境大氣中含有的顆粒物數(shù)量（單位：ind./L）,表示經(jīng)口罩過(guò)濾后，單位體積氣體中含有的顆粒物數(shù)

量（單位：ind./L）.某研究小組在相同的條件下，對(duì)兩種不同類型口罩的顆粒物過(guò)濾效率分別進(jìn)行了4次測(cè)試，

測(cè)試結(jié)果如圖所示.圖中點(diǎn)&的橫坐標(biāo)表示第i種口罩第/次測(cè)試時(shí)Cm,的值，縱坐標(biāo)表示第i種口罩第/次測(cè)試

時(shí)Gn的值(j=l,2,J=l,2,3,4).

八Jind/L)

O

“ind/L)

該研究小組得到以下結(jié)論：

①在第1種口罩的4次測(cè)試中，第4次測(cè)試時(shí)的顆粒物過(guò)濾效率最高；

②在第2種口罩的4次測(cè)試中，第3次測(cè)試時(shí)的顆粒物過(guò)濾效率最高；

③在每次測(cè)試中，第1種口罩的顆粒物過(guò)濾效率都比第2種口罩的顆粒物過(guò)濾效率高；

④在第3次和第4次測(cè)試中，第1種口罩的顆粒物過(guò)濾效率都比第2種口罩的顆粒物過(guò)濾效率低.

其中，所有正確結(jié)論的序號(hào)是.

【答案】②④

【解析】

【分析】

,C

先根據(jù)題意分析得直線。&?的斜率％=寸越大，顆粒物過(guò)濾效率〃越小，再看圖逐一分析結(jié)論即可.

^out

Q-Q(C、C

【詳解】依題意，n=inxioo%=xioo%,知直線的斜率上=子越大，顆粒物過(guò)濾效率

QulIc°Jc0M

77越小.看圖分析如下：

在第1種口罩的4次測(cè)試中，四條直線。4/(/=1,2,3,4)中，直線。4H斜率最大，故〃最小，第4次測(cè)試時(shí)的顆

粒物過(guò)濾效率最低，則①錯(cuò)誤；

在第2種口罩的4次測(cè)試中，四條直線。&/(./=1,2,3,4)中，直線。43斜率最小，故〃最大，第3次測(cè)試時(shí)的顆

粒物過(guò)濾效率最高，則②正確；

在第1次和第2次測(cè)試中，直線。A2,斜率大于。斜率，(7=1,2),即第1種口罩的顆粒物過(guò)濾效率高，在第3

次和第4次測(cè)試中，斜率大于直線。4廠斜率(j=l,2),即第2種口罩的顆粒物過(guò)濾效率高，故③錯(cuò)誤，④

正確.

故答案為：②④.

三、解答題：本大題共6小題，共85分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步最.

16.如圖，直三棱柱ABC—A5G中，AC=BC=^AAl,。是棱的中點(diǎn)，DCJBD.

ClBl

(1)證明：DC,±BC-

(2)求二面角4一8?！狦的大小.

【答案】(1)見(jiàn)解析；(2)30°

【解析】

【詳解】試題分析：(D易證DG_LBD,再根據(jù)勾股定理證DCiLDC,從而可證得DCi，平面DCB,得到DGLBC.

(II)求二面角關(guān)鍵是作出二面角的平面角，取AIBJ的中點(diǎn)為M,連結(jié)CiM、DM,證明/GDM是Ai-BD-G的平面

角即可.

(I)證明：由題設(shè)知，三棱柱的側(cè)面為矩形.

是AAi的中點(diǎn)，/.DC=DCi

XAC=—AAi,ADC,2+DC2=CCi2,.—DC

2

又DC」BD,且DCiClDC=D,DCi_L平面DCB.

/.DCi±BC

（II）由（I）知，DCilBC,又CCi_LBC,DCiClCC產(chǎn)Ci

，BC_L平面CDCi,BiCi〃BC；.BiCiJ_平面CDCi

二BiCUAC,△A1C1B1為等腰直角三角形

取A山?的中點(diǎn)為M,連結(jié)CiM、DM

直棱柱的底面AIBICIL側(cè)面AB”CiMlA.Bi

GM_L平面ABi,CiMIBD.

由（I）知，DG_L平面DCB,ADCilBD

又CiMCDCkC,，BD_L平面CiMD,MD1BD

ZCiDM是ALBD-G的平面角.

在RtZ\GMD中，C|M=斗A?1,CQ=+A。；=84cl，

.\sinZCDM=-1^-=i

1.,.ZCiDM=30°

C,D2

二面角AI-BD-CI的大小為30°.

考點(diǎn)：本小題主要考查了線線，線面，面面之間的垂直與平行關(guān)系，以及二面角等知識(shí).

點(diǎn)評(píng)：掌握線線，線面，面面平行與垂直的判定與性質(zhì)是求解空間的角與距離的關(guān)鍵.求角的步驟為：一作，二證,

三指，四求.

17.已知“WC的內(nèi)角A,8,C的對(duì)邊分別為a,0,c,且瓜in《+8)+sin?-8)=0.

(1)求B8的值；

(2)給出以下三個(gè)條件：

條件①：a2-b2+c2-3c=0；條件②。=3；條件③5“隧=今后?這三個(gè)條件中僅有兩個(gè)正確，請(qǐng)選出正確的

條件并回答下面的問(wèn)題：

(i)求sinA的值；

(ii)求NA5C的角平分線8。的長(zhǎng).

【答案】(1)—；

3

4R15

(2)條件?2也正確，⑴1；(ii)—.

148

【解析】

7T

【分析】(1)根據(jù)兩角和與差的正弦公式、輔助角公式化簡(jiǎn)計(jì)算可得2sin(8+§)=0,即可求得B；

(2)利用余弦定理即可推出條件①不正確；根據(jù)三角形面積公式和余弦定理求出力，結(jié)合正弦定理即可求出

BDCD

sinA、sinC,再次利用正弦定理可得，,解方程組即可.

BD_AD

,sinA-sinZABZ)

【小問(wèn)1詳解】

也sin彳+8)+sin(y-8)=0,

3J

—cosBH—sinB4-----cosB—sinB—0?

2222

sin3+cosB=0，

TTTT

2sin(B+y)=0,得B+~j=k兀，k

由0<3VTT,得8=2^；

3

【小問(wèn)2詳解】

若條件①正確，由/一從+。2一3°=0，得一/=3c，

13c3

由余弦定理，得cos8="+L*n即n—=---=—

lac22ac2a

解得。=-3不符合題意,故條件①不正確，則條件②③正確;

1573

⑴由SABC=—acsinB,q

24

得國(guó)Lkxq,解得c=5,

422

由余弦定理，得"2=a2+c2-2accosB=9+25-30x(--)=49,

2

因?yàn)?>0,所以b=7,由正弦定理，

得上=，,即sinA=3=辿；

sinsinAb14

(ii)由正弦定理，得一也=—即sinC=￡*0=±v5,

sinBsinCh14

因?yàn)锽O平方NA5C,ZABC=——，所以NA3O=NCB￡>=、，

33

在△A3。中，由正弦定理，得=———

sinAsinZABD

BDCD

在△CB。中，由正弦定理，得

sinCsinZCBD

sjnrAn

又CD=7—A￡>,上述兩式相除，得^一=-------

sinA1-AD

35ADsinA35315

解得所以8D二_____—_x—=_

8sinZABQ一87-8

D

18.“十一”黃金周某公園迎來(lái)了旅游高峰期，為了引導(dǎo)游客有序游園，該公園每天分別在10時(shí)，12時(shí)，14時(shí)，16

時(shí)公布實(shí)時(shí)在園人數(shù).下表記錄了1（）月1日至7日的實(shí)時(shí)在園人數(shù)：

1S2日3日4H5日6H7日

10時(shí)在園人

115261800519682828413830101016663

數(shù)

12時(shí)在園人

26518370894293116845340172316814800

數(shù)

14時(shí)在園人

3732238(M54063120711365582470615125

數(shù)

16時(shí)在園人

27306296873063816181208211616910866

數(shù)

通常用公園實(shí)時(shí)在園人數(shù)與公園的最大承載量（同一時(shí)段在園人數(shù)的飽和量）之比來(lái)表示游園舒適度，40%以下

稱為“舒適”，己知該公園的最大承載量是8萬(wàn)人.

（I）甲同學(xué)從10月1日至7日中隨機(jī)選1天的下午14時(shí)去該公園游覽，求他遇上“舒適”的概率；

（II）從10月1日至7日中任選兩天，記這兩天中這4個(gè)時(shí)間的游覽舒適度都為“舒適”的天數(shù)為X，求X的分布

列和數(shù)學(xué)期望；

（10）根據(jù)10月1日至7日每天12時(shí)的在園人數(shù)，判斷從哪天開(kāi)始連續(xù)三天12時(shí)的在園人數(shù)的方差最大？（只需

寫出結(jié)論）

【答案】（I）,；（H）X的分布列見(jiàn)解析，數(shù)學(xué)期望E（X）=m；（111）從10月3日開(kāi)始連續(xù)三天12時(shí)的在

園人數(shù)的方差最大.

【解析】

【分析】（I）由題意得，在園人數(shù)為8x40%=3.2萬(wàn)人以下為“舒適”，由此根據(jù)古典概型的概率計(jì)算公式求解

即可；

（II）從1（）月1日至7日中，這4個(gè)時(shí)間的游覽舒適度都為“舒適”的有4日、6日、70,得X的取值可能為0，

1,2,且服從超幾何分布，由此可求出答案；

（III）根據(jù)方差的定義觀察波動(dòng)幅度，由此可得出結(jié)論.

【詳解】解：：40%以下稱為“舒適”，該公園的最大承載量是8萬(wàn)人，

在園人數(shù)為8x40%=3.2萬(wàn)人以下為“舒適”，

（I）1（）月1日至7日的下午14時(shí)去該公園游覽，“舒適''的天數(shù)為3天，

3

甲同學(xué)遇上“舒適”的概率P=二；

7

（H）從10月1日至7日中，這4個(gè)時(shí)間的游覽舒適度都為“舒適'’的有4日、6日、7日,

???X的取值可能為o，1，2,且服從超幾何分布,

C：C；_6