2022-2023學(xué)年八年級數(shù)學(xué)?？键c精練（蘇科版）：專題05 鄰邊相等對角互補半角模型證全等（原卷版）

專題05鄰邊相等對角互補半角模型證全等類型一正方形中的半角模型1．如圖，已知：正方形，點，分別是，上的點，連接，，，且，求證：．2．如圖，在正方形ABCD中，點P在直線BC上，作射線AP，將射線AP繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)45°，得到射線AQ，交直線CD于點Q，過點B作BE⊥AP于點E，交AQ于點F，連接DF．（1）依題意補全圖形；（2）用等式表示線段BE，EF，DF之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．3．如圖：E、F分別是正方形ABCD的邊CD、DA上一點，且CE+AF=EF，請你用旋轉(zhuǎn)的方法求∠EBF的大?。愋投胀ㄋ倪呅沃械陌虢悄Ｐ?．（1）如圖，在正方形中，、分別是，上的點，且．直接寫出、、之間的數(shù)量關(guān)系；（2）如圖，在四邊形中，，，、分別是，上的點，且，求證：；（3）如圖，在四邊形中，，，延長到點，延長到點，使得，則結(jié)論是否仍然成立？若成立，請證明；不成立，請寫出它們的數(shù)量關(guān)系并證明．5．已知四邊形ABCD中，AB⊥AD，BC⊥CD，AB＝BC，∠ABC＝120°，∠MBN＝60°，∠MBN繞B點旋轉(zhuǎn)，它的兩邊分別交AD，DC（或它們的延長線）于E、F．（1）當(dāng)∠MBN繞B點旋轉(zhuǎn)到AE＝CF時（如圖1），試猜想AE，CF，EF之間存在怎樣的數(shù)量關(guān)系？請將三條線段分別填入后面橫線中：＋＝．（不需證明）（2）當(dāng)∠MBN繞B點旋轉(zhuǎn)到AE≠CF（如圖2）時，上述（1）中結(jié)論是否成立？請說明理由．（3）當(dāng)∠MBN繞B點旋轉(zhuǎn)到AE≠CF（如圖3）時，上述（1）中結(jié)論是否成立？若不成立，線段AE，CF，EF又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請直接寫出你的猜想，不需證明．6．綜合與實踐（1）如圖1，在正方形ABCD中，點M、N分別在AD、CD上，若∠MBN＝45°，則MN，AM，CN的數(shù)量關(guān)系為．（2）如圖2，在四邊形ABCD中，BC∥AD，AB＝BC，∠A+∠C＝180°，點M、N分別在AD、CD上，若∠MBN＝∠ABC，試探索線段MN、AM、CN有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請寫出猜想，并給予證明．（3）如圖3，在四邊形ABCD中，AB＝BC，∠ABC+∠ADC＝180°，點M、N分別在DA、CD的延長線上，若∠MBN＝∠ABC，試探究線段MN、AM、CN的數(shù)量關(guān)系為．7．【探索發(fā)現(xiàn)】如圖①，四邊形ABCD是正方形，M，N分別在邊CD、BC上，且，我們把這種模型稱為“半角模型”，在解決“半角模型”問題時，旋轉(zhuǎn)是一種常用的方法．如圖①，將繞點A順時針旋轉(zhuǎn)，點D與點B重合，得到，連接AM、AN、MN．（1）試判斷DM，BN，MN之間的數(shù)量關(guān)系，并寫出證明過程．（2）如圖②，點M、N分別在正方形ABCD的邊BC、CD的延長線上，，連接MN，請寫出MN、DM、BN之間的數(shù)量關(guān)系，并寫出證明過程．（3）如圖③，在四邊形ABCD中，AB=AD，，，點N，M分別在邊BC，CD上，，請直接寫出線段BN，DM，MN之間的數(shù)量關(guān)系．類型三三角形中的半角模型8．如圖，△ABC是邊長為3的等邊三角形，△BDC是等腰三角形，且∠BDC＝120°.以點D為頂點作一個60°角，使其兩邊分別交AB于點M，交AC于點N，連接MN.(1)求證：MN＝BM＋NC；(2)求△AMN的周長．9．問題情境在等邊△ABC的兩邊AB，AC上分別有兩點M，N，點D為△ABC外一點，且∠MDN＝60°，∠BDC＝120°，BD＝DC．特例探究如圖1，當(dāng)DM＝DN時，（1）∠MDB＝度；（2）MN與BM，NC之間的數(shù)量關(guān)系為；歸納證明（3）如圖2，當(dāng)DM≠DN時，在NC的延長線上取點E，使CE＝BM，連接DE，猜想MN與BM，NC之間的數(shù)量關(guān)系，并加以證明．拓展應(yīng)用（4）△AMN的周長與△ABC的周長的比為．10．如圖1，是等邊三角形，是頂角為的等腰三角形（即），以為頂點作一個角，角兩邊分別交，邊于，兩點，連接．（1）探究：線段，，之間的關(guān)系，并加以證明；（2）若點是的延長線上的一點，是的延長線上的一點，其它條件不變，請你再探究線段，，之間的關(guān)系，在圖2中畫出圖形，并說明理由．11．（2019秋?東臺市期末）在等邊△ABC的兩邊AB、AC所在直線上分別有兩點M、N，D為△ABC外一點，且∠MDN＝60°，∠BDC＝120°，BD＝DC．探究：當(dāng)M、N分別在直線AB、AC上移動時，BM、NC、MN之間的數(shù)量關(guān)系及△AMN的周長Q與等邊△ABC的周長L的關(guān)系．（1）如圖1，當(dāng)點M、N邊AB、AC上，且DM＝DN時，BM、NC、MN之間的數(shù)量關(guān)系是；此時；（2）如圖2，點M、N在邊AB、AC上，且