2022-2023學(xué)年八年級(jí)數(shù)學(xué)?？键c(diǎn)精練（蘇科版）：專題08 三角形全等中的數(shù)學(xué)活動(dòng)（原卷版）

專題08三角形全等中的數(shù)學(xué)活動(dòng)活動(dòng)一邊邊角特殊情況下證全等1．教材呈現(xiàn)：如圖為華師版八年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué)教材第65頁(yè)的部分內(nèi)容．做一做：如圖，已知兩條線段和一個(gè)角，以長(zhǎng)的線段為已知角的鄰邊，短的線段為已知角的對(duì)邊，畫(huà)一個(gè)三角形．把你畫(huà)的三角形與其他同學(xué)畫(huà)的三角形進(jìn)行比較，所畫(huà)的三角形都全等嗎？此時(shí)，符合條件的角形有多少種？（1）[操作發(fā)現(xiàn)]如圖1，通過(guò)作圖我們可以發(fā)現(xiàn)，此時(shí)（即“邊邊角”對(duì)應(yīng)相等）的兩個(gè)三角形全等（填“一定”或“不一定”）．（2）[探究證明]閱讀并補(bǔ)全證明已知：如圖2，在ABC和DEF中，∠B＝∠E，AC＝DF，∠C+∠F＝180°（∠C＜∠F）．求證：AB＝DE．證明：在BC上取一點(diǎn)G，使AG＝AC．∵AG＝AC，∴∠C＝．又∵∠C+∠F＝180°，而∠AGC+∠AGB＝180°，∴∠AGB＝．∵AC＝DF，∴AG＝又∵∴ABC≌DEF（AAS）．∴AB＝DE．（3）[拓展應(yīng)用]在ABC中，AB＝AC，點(diǎn)D在射線BA上，點(diǎn)E在AC的延長(zhǎng)線上，且BD＝CE，連結(jié)DE，DE與BC邊所在的直線交于點(diǎn)F．①當(dāng)點(diǎn)D在線段BA上時(shí)，如圖3所示，求證：DF＝EF．②過(guò)點(diǎn)D作DH⊥BC交直線BC于點(diǎn)H，若BC＝4，CF＝1，則BH＝（直接寫(xiě)出答案）．2．【問(wèn)題提出】學(xué)習(xí)了三角形全等的判定方法（即“SAS”、“ASA”、“AAS”、“SSS”）和直角三角形全等的判定方法（即“HL”）后，我們繼續(xù)對(duì)“兩個(gè)三角形滿足兩邊和其中一邊的對(duì)角對(duì)應(yīng)相等”的情形進(jìn)行研究．【初步思考】我們不妨將問(wèn)題用符號(hào)語(yǔ)言表示為：在△ABC和△DEF中，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E，然后，對(duì)∠B進(jìn)行分類，可分為“∠B是直角、鈍角、銳角”三種情況進(jìn)行探究．【深入探究】第一種情況：當(dāng)∠B是直角時(shí)，△ABC≌△DEF．（1）如圖①，在△ABC和△DEF，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E=90°，根據(jù)，可以知道Rt△ABC≌Rt△DEF．第二種情況：當(dāng)∠B是鈍角時(shí)，△ABC≌△DEF．（2）如圖②，在△ABC和△DEF，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E，且∠B、∠E都是鈍角，求證：△ABC≌△DEF．第三種情況：當(dāng)∠B是銳角時(shí)，△ABC和△DEF不一定全等．（3）在△ABC和△DEF，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E，且∠B、∠E都是銳角，請(qǐng)你用尺規(guī)在圖③中作出△DEF，使△DEF和△ABC不全等．（不寫(xiě)作法，保留作圖痕跡）（4）∠B還要滿足什么條件，就可以使△ABC≌△DEF？請(qǐng)直接寫(xiě)出結(jié)論：在△ABC和△DEF中，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E，且∠B、∠E都是銳角，若，則△ABC≌△DEF．活動(dòng)二構(gòu)造HL證全等3．?dāng)?shù)學(xué)課上，老師在黑板上展示了如下一道探究題：在中，，，點(diǎn)D，E分別在邊AC，AB上，且，試探究線段AE和線段AD的數(shù)量關(guān)系．(1)初步嘗試如圖①，若，請(qǐng)?zhí)骄緼E和AD的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．(2)類比探究如圖②，若，小組討論后，有小組利用120°的角作垂線構(gòu)造直角三角形，通過(guò)證明兩次三角形全等，得到AE和AD的數(shù)量關(guān)系仍然成立，請(qǐng)你寫(xiě)出推理過(guò)程；(3)延伸拓展如圖③，將第（2）中的“點(diǎn)E在邊AB上”改為“點(diǎn)E在邊BA的延長(zhǎng)線上”，其它條件不變，請(qǐng)?zhí)骄緼E和AD的數(shù)量關(guān)系（用含m的式子表示），并說(shuō)明理由．活動(dòng)三截長(zhǎng)補(bǔ)短證全等4．?dāng)?shù)學(xué)課上，李老師提出問(wèn)題：如圖1，在正方形ABCD中，點(diǎn)E是邊BC的中點(diǎn)，∠AEF＝90°，且EF交正方形外角的平分線CF于點(diǎn)F．求證：AE＝EF．經(jīng)過(guò)思考，小聰展示了一種正確的解題思路．取AB的中點(diǎn)H，連接HE，則△BHE為等腰直角三角形，這時(shí)只需證△AHE與△ECF全等即可．在此基礎(chǔ)上，同學(xué)們進(jìn)行了進(jìn)一步的探究：（1）小穎提出：如圖2，如果把“點(diǎn)E是邊BC的中點(diǎn)”改為“點(diǎn)E是邊BC上（不含點(diǎn)B，C）的任意一點(diǎn)”，其他條件不變，那么結(jié)論“AE＝EF”仍然成立，你認(rèn)為小穎的觀點(diǎn)正確嗎？如果正確，寫(xiě)出證明過(guò)程，如果不正確，請(qǐng)說(shuō)明理由；（2）小華提出：如圖3，如果點(diǎn)E是邊BC延長(zhǎng)線上的任意一點(diǎn)，其他條件不變，那么結(jié)論“AE＝EF”是否成立？（填“是”或“否”）；（3）小麗提出：如圖4，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)O與點(diǎn)B重合，正方形的邊長(zhǎng)為1，當(dāng)E為BC邊上（不含點(diǎn)B，C）的某一點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)F恰好落在直線y＝﹣2x+3上，請(qǐng)直接寫(xiě)出此時(shí)點(diǎn)E的坐標(biāo)．活動(dòng)四尺規(guī)作圖中的全等5．下面是某數(shù)學(xué)興趣小組探究用不同方法作一個(gè)角的平分線的討論片段，請(qǐng)仔細(xì)閱讀，并完成相應(yīng)的任務(wù)．小明：如圖1，（1）分別在射線OA，OB上截取OC＝OD，OE＝OF（點(diǎn)C，E不重合）；（2）分別作線段CE，DF的垂直平分線l1，l2，交點(diǎn)為P，垂足分別為點(diǎn)G，H；（3）作射線OP，射線OP即為∠AOB的平分線．簡(jiǎn)述理由如下：由作圖知，∠PGO＝∠PHO＝90°，OG＝OH，OP＝OP，所以Rt△PGO≌Rt△PHO，則∠POG＝∠POH，即射線OP是∠AOB的平分線．小軍：我認(rèn)為小明的作圖方法很有創(chuàng)意，但是太麻煩了，可以改進(jìn)如下，如圖2，（1）分別在射線OA，OB上截取OC＝OD，OE＝OF（點(diǎn)C，E不重合）；（2）連接DE，CF，交點(diǎn)為P；（3）作射線OP．射線OP即為∠AOB的平分線．……任務(wù)：（1）小明得出Rt△PGO≌Rt△PHO的依據(jù)是_______（填序號(hào)）．①SSS；②SAS；③AAS；④ASA；⑤HL（2）如圖2，連接EF．①求證：△CEF≌△DFE；②求證：△PEF是等腰三角形；③小軍作圖得到的射線OP是∠AOB的平分線嗎？請(qǐng)判斷并說(shuō)明理由．活動(dòng)五和角分線結(jié)合的全等6．問(wèn)題情境：七下教材第149頁(yè)提出這樣一個(gè)問(wèn)題：如圖1，∠AOB＝90°，OC平分∠AOB，把三角尺的直角頂點(diǎn)落在OC的任意一點(diǎn)P上，并使三角尺的兩條直角邊分別與OA、OB相交于點(diǎn)E、F，PE與PF相等嗎？(1)七年級(jí)學(xué)習(xí)這部分內(nèi)容時(shí)，我們還無(wú)法對(duì)這個(gè)問(wèn)題的結(jié)論加以證明，八下教材第59頁(yè)第11題不僅對(duì)這一問(wèn)題給出了答案：“通過(guò)實(shí)驗(yàn)可以得到PE＝PF”，還要求“現(xiàn)在請(qǐng)你證明這個(gè)結(jié)論”，請(qǐng)你給出證明：