2022-2023學(xué)年八年級數(shù)學(xué)常考點精練（蘇科版）：專題12 共定點等邊三角形的六大結(jié)論及應(yīng)用（原卷版）

專題12共定點等邊三角形的六大結(jié)論及應(yīng)用六大結(jié)論基本模型：如圖，△ABC和△CDE是共頂點（C）三角形，則有以下六大結(jié)論.結(jié)論1：△ACD≌△BCE（SAS），∴AD=BE結(jié)論2：∠AOB=60°結(jié)論3：△ACP≌△BCQ（ASA），∴AP=BQ，PC=QC結(jié)論4：△PCQ是等邊三角形結(jié)論5：∴結(jié)論6：點C在∠AOE的平分線上如圖，為線段上一動點（不與點、重合），在同側(cè)分別作正三角形和正三角形，與交于點，與交于點，與交于點，連接。求證：①；②；③；④；⑤；⑥是等邊三角形；⑦點在的平分線上2．已知：如圖，△ABC、△CDE都是等邊三角形，AD、BE相交于點O，點M、N分別是線段AD、BE的中點．(1)求∠DOE的度數(shù)；(2)試判斷△MNC的形狀，并說明理由；(3)連接OC，求證：OC是∠AOE的平分線．3．如圖，分別以△ABC的邊AB，AC向外作兩個等邊三角形△ABD，△ACE．連接BE、CD交點F，連接AF．（1）求證：△ACD≌△AEB；（2）求證：AF+BF+CF=CD．4．已知為等邊三角形．（1）如圖1，點D為邊上一點，以為邊作等邊三角形，連接，求證：．（2）如圖2，當點D在邊的延長線上時，以為邊作等邊三角形，求證：無論點D的位置如何變化，的內(nèi)角平分線的交點P始終在的角平分線上．（3）如圖3，以為腰作等腰直角三角形，取斜邊的中點E，連接，交于點F．試判斷線段，，之間存在何種數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．5．如圖1，點C在線段AB上，（點C不與A、B重合），分別以AC、BC為邊在AB同側(cè)作等邊三角形ACD和等邊三角形BCE，連接AE、BD交于點P．【觀察猜想】①AE與BD的數(shù)量關(guān)系是；②∠APD的度數(shù)為．【數(shù)學(xué)思考】如圖2，當點C在線段AB外時，（1）中的結(jié)論①、②是否仍然成立？若成立，請給予證明；若不成立，請你寫出正確結(jié)論再給予證明；【拓展應(yīng)用】如圖3，點E為四邊形ABCD內(nèi)一點，且滿足∠AED＝∠BEC＝90°，AE＝DE，BE＝CE，對角線AC、BD交于點P，AC＝10，則四邊形ABCD的面積為．6．已知，點是線段所在平面內(nèi)任意一點，分別以、為邊，在同側(cè)作等邊和等邊，聯(lián)結(jié)、交于點．(1)如圖1，當點在線段上移動時，線段與的數(shù)量關(guān)系是:________；(2)如圖2，當點在直線外，且，仍分別以、為邊，在同側(cè)作等邊和等邊，聯(lián)結(jié)、交于點．(1)的結(jié)論是否還存在？若成立，請證明；若不成立，請說明理由．此時是否隨的大小發(fā)生變化？若變化，寫出變化規(guī)律，若不變，請求出的度數(shù)；(3)如圖3，在(2)的條件下，聯(lián)結(jié)，求證：平分．7．如圖，已知△CAD與△CEB都是等邊三角形，BD、EA的延長線相交于點F．（1）求證：△ACE≌△DCB．（2）求∠F的度數(shù)．（3）若AD⊥BD，請直接寫出線段EF與線段BD、DF之間的數(shù)量關(guān)系．8．如圖，在等邊△ABC中，線段AM為BC邊上的中線．動點D在直線AM上時，以CD為一邊在CD的下方作等邊△CDE，連結(jié)BE．（1）求∠CAM的度數(shù)；（2）若點D在線段AM上時，求證：△ADC≌△BEC；（3）當動D在直線AM上時，設(shè)直線BE與直線AM的交點為O，試判斷∠AOB是否為定值？并說明理由．9．已知點C為線段AB上一點，分別以AC，BC為邊在線段AB同側(cè)作△ACD和△BCE，且CA＝CD，CB＝CE，∠ACD＝∠BCE，直線AE與BD交于點F．（1）如圖1，若∠ACD＝58°，求∠BCE的度數(shù)．（2）如圖2，將圖1中△ACD繞點C順時針旋轉(zhuǎn)任意角度（交點F至少在BD，AE中的一條線段上）①請直接寫出∠EFB與∠ECB的數(shù)量關(guān)系；②若∠ACD＝α，試探究∠AFB與α的數(shù)量關(guān)系，并予以證明．（3）如圖3，若∠ACD＝α，連AB，求∠BAE一∠ABD的值．10．如圖1，點M為銳角三角形內(nèi)任意一點，連接．以為一邊向外作等邊三角形，將繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)得到，連接．（1）求證：；（2）若的值最小，則稱點M為的費馬點．若點M為的費馬點，求此時的度數(shù)；（3）受以上啟發(fā)，你能想出作銳角三角形的費馬點的一個方法嗎？請利用圖2畫出草圖，并說明作法以及理由．11．已知：△ABC與△BDE都是等腰三角形．BA＝BC，BD＝BE（AB＞BD）且有∠ABC＝∠DBE．（1）如圖1，如果A、B、D在一直線上，且∠ABC＝60°，求證：△BMN是等邊三角形；（2）在第（1）問的情況下，直線AE