2022-2023學年八年級數(shù)學常考點精練（蘇科版）：專題20 將軍飲馬與勾股定理（解析版）

專題20將軍飲馬與勾股定理1．如圖，圓柱的底面周長為，是底面圓的直徑，高，點P是上一點，且，一只螞蟻從A點出發(fā)沿著圓柱體的表面爬行到點P的最短距離是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】根據(jù)圓柱的側(cè)面展開可得AC=12cm，由PC=5BP求得PC，再利用勾股定理求得AP即可；【詳解】解：沿點A所在圓柱的高將圓柱展開可得：∵BC=6cm，PC=5BP，∴6BP=6cm∴PC=5cm，∵圓柱的底面周長為，AC是底面圓的直徑，∴AC=底面周長=12cm，∴A點到P點的最短距離為線段AP的長，Rt△ACP中，AP=cm故選：D．【點睛】本題考查了圓柱側(cè)面展開，兩點之間線段最短，勾股定理，掌握圓柱的側(cè)面展開特征是解題關鍵．2．如圖，長方體的底面邊長分別為1cm和3cm，高為6cm．如果用一根細線從點A開始經(jīng)過4個側(cè)面纏繞一圈到達點B，那么所用細線最短需要（

）A．8cm B．10cm C．12cm D．15cm【答案】B【解析】【分析】立體圖形展開后，利用勾股定理求解．【詳解】解：將長方體沿著邊側(cè)面展開，并連接，如下圖所示：由題意及圖可知：，，兩點之間，線段最短，故的長即是細線最短的長度，中，由勾股定理可知：，故所用細線最短需要．故選：B．【點睛】本題主要是考查了勾股定理求最短路徑、兩點之間線段最短以及立體圖形的側(cè)面展開圖，因此，正確得到立體圖形的側(cè)面展開圖，熟練運用勾股定理求邊長，是解決此類問題的關鍵．3．如圖，牧童在處放牛，牧童家在處，，處距河岸的距離、的長分別為5km和10km，且，兩點的距離為8km，天黑前牧童從處將牛牽到河邊飲水再回家，那么牧童最少要走的距離為（

）．A．15km B．16km C．17km D．18km【答案】C【解析】【分析】作出A點關于河岸的對稱點A'，根據(jù)兩點之間線段最短得出BA'的長即為牧童要走的最短路程，利用勾股定理解答即可．【詳解】解：作A點關于河岸的對稱點A'，連接BA'交河岸與P，連接A'B'，連接PA，過A'作A'B'⊥BD于B'，則PB＋PA＝PB＋PA'＝BA'最短，故牧童應將馬趕到河邊的P地點．∴B'D＝A'C＝CA＝5km，∴BB'＝BD＋BD'＝10＋5＝15km，∵A'B'＝CD＝8km，∴BA'＝．即牧童至少要走的距離為17km，故選：C．【點睛】此題考查了勾股定理、軸對稱??最短路徑問題在生活中的應用，熟練掌握勾股定理，正確作出輔助線是解題的關鍵．4．如圖，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，AB＝10，BD平分∠ABC，如果點M，N分別為BD，BC上的動點，那么CM+MN的最小值是（）A．6 B．8 C．10 D．4.8【答案】D【解析】【分析】先作CE⊥AB交BD于點M，再作MN垂直BC，根據(jù)角平分線的性質(zhì)：角分線上的點到角的兩邊距離相等，即可找到動點M和N，進而求得CM+MN的最小值．【詳解】解：如圖所示：過點C作CE⊥AB于點E，交BD于點M，過點M作MN⊥BC于點N，∵BD平分∠ABC，∴ME=MN，∴CM+MN=CM+ME=CE．∵Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，AB=10，CE⊥AB，∴，∴10CE=6×8，∴CE=4.8．即CM+MN的最小值是4.8，故應選：D．【點睛】本題考查了軸對稱-最短路線問題、角分線的性質(zhì)，找到使CM+MN最小時的動點M和N是解決本題的關鍵．5．正方形ABCD的邊長為8，M在DC上，且DM＝2，N是AC上的一動點，DN＋MN的最小值為（

）A．6 B．8 C．10 D．9【答案】C【解析】【分析】要使DN＋MN最小,首先應分析點N的位置，根據(jù)正方形的性質(zhì)：正方形的對角線互相垂直平分，知點D的對稱點是點B，連接MB交AC于點N，此時DN＋MN最小值及時BM的長．【詳解】根據(jù)題意，連接BN，BM，三點共線時，DN＋MN取得最小值，則BM就是DN＋MN的最小值，在Rt△BCM中，BC=8，CM=6，根據(jù)勾股定理得：，即DN＋MN的最小值是10，故選C【點睛】本題主要考查了正方形性質(zhì)的應用，結(jié)合勾股定理判斷最小路徑是解題的關鍵．第II卷（非選擇題）請點擊修改第II卷的文字說明二、填空題6．如圖，A，B是一棱長為3cm的正方體的頂點，點C在棱上，且BC＝1cm．若一只螞蟻每秒爬行2cm，在頂點A處的螞蟻沿著正方體的前側(cè)面和右側(cè)面爬行到C點，至少爬行______________秒？【答案】2.5【解析】【分析】把此正方體的點A所在的面展開，然后在平面內(nèi)，利用勾股定理求點A和C點間的線段長，即可得到螞蟻爬行的最短距離，根據(jù)螞蟻爬行的距離，即可求出爬行時間．【詳解】解：將正方體的前側(cè)面和右側(cè)面展開，如圖所示：根據(jù)題意可得：，∴螞蟻爬行的最短距離為：，∵螞蟻每秒爬行2cm，∴螞蟻爬行的最短時間為：（秒）．故答案為：2.5．【點睛】本題主要考查了勾股定理的拓展應用，“化曲面為平面”是解決“怎樣爬行最近”這類問題的關鍵．7．如圖，一個三棱柱盒子底面三邊長分別為3cm，4cm，5cm，盒子高為9cm，一只螞蟻想從盒底的點A沿盒子的表面爬行一周到盒頂?shù)狞cB，螞蟻要爬行的最短路程是_______cm．【答案】15【解析】【分析】將三棱柱側(cè)面展開得出矩形，求出矩形對角線的長度即可．【詳解】解：如圖，右側(cè)為三棱柱的側(cè)面展開圖，AA′＝3+4+5＝12cm，A′B＝9cm，∠AA′B＝90°，∴AB＝＝15cm，故答案為：15．【點睛】本題考查了三棱柱的側(cè)面展開圖，兩點之間線段最短，勾股定理，畫出三棱柱的側(cè)面展開圖，運用勾股定理是解題關鍵．8．已知△ABC的面積等于3，AB=3，則AC+BC的最小值等于___________．【答案】5【解析】【分析】由△ABC的面積等于3，AB=3，可知AB邊上的高為2，過點C作CD∥AB，作點A關于CD的對稱點，交CD于點D，連接，此時與CD的交點為點C，連接AC，利用軸對稱的性質(zhì)以及勾股定理即可求解．【詳解】解：過點C作CD∥AB，作點A關于CD的對稱點，連接，交CD于點D，連接，此時與CD的交點為點C，連接AC，此時AC+BC的值最小，如圖，由題可知，，，∴，∴AC+BC的最小值，在中，，∴AC+BC的最小值=5．故答案為5．【點睛】本題主要考查了軸對稱的性質(zhì)、最短路徑問題以及勾股定理．9．要在街道旁修建一個奶站，向居民區(qū)A、B提供牛奶，小聰根據(jù)實際情況，以街道旁為x軸，測得A點的坐標為(0，3)，B點的坐標為(6，5)，則從A、B兩點到奶站距離之和的最小值是____．【答案】10【解析】【分析】作A點關于x軸的對稱點A'，連接A'B與x軸交于點P，連接AP，則A'B即為所求．【詳解】解：作A點關于x軸的對稱點A'，連接A'B與x軸交于點P，連接AP，∵AP＝A'P，∴AP+BP＝A'P+BP＝A'B，此時P點到A、B的距離最小，∵A（0，3），∴A'（0，﹣3），∵B（6，5），5-（-3）=8，6-0=6∴A'B＝=10，∴P點到A、B的距離最小值為10，故答案為：10．【點睛】本題考查軸對稱求最短距離，熟練掌握軸對稱求最短距離的方法，會根據(jù)兩點坐標求兩點間距離是解題的關鍵．10．如圖，長方形BCFG是一塊草地，折線ABCDE是一條人行道，BC＝12米，CD＝5米．為了避免行人穿過草地（走虛線BD，踐踏綠草，管理部門分別在B、D處各掛了一塊牌子，牌子上寫著“少走____米，踏之何忍”．【答案】4【解析】【分析】根據(jù)勾股定理求得的長，用即可求解【詳解】解：在中，則（米）故答案為：【點睛】本題考查了勾股定理的應用，求得的長是解題的關鍵．11．如圖，在長方形中，，．點、點分別在、上，且，點是邊上的動點，點是邊上的動點．則的是小值是___________________．【答案】41【解析】【分析】作點E關于CD的對稱點E'，點F關于AB的對稱點F'，得到BG+HG+HF的最小值即為E'F'的長，利用勾股定理即可求解．【詳解】作點E關于CD的對稱點E'，點F關于AB的對稱點F'，則EG=E'G，HF=HF'，∴EG+HG+HF=E'G+HG+HF'，連接E'F'，交AB、CD于H、G點，BG+HG+HF的最小值即為E'F'的長，過點E'作E'H⊥BC，交BC的延長線于H，則F'H=14+2×13=40，E'H=9，在Bt△FH中，由勾股定理得E'F'=41，∴BG+G+HF的最小值為：41，故答案為：41．【點睛】本題主要考查了勾股定理，軸對稱一最短路線問題，通過作對稱點，將BG+HG+HF的最小值轉(zhuǎn)化為E'F'的長是解題的關鍵．12．如圖，在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，點D在BC上，BD＝3，DC＝1，點P是AB上的動點，則PC+PD的最小值為____【答案】5【解析】【詳解】解：過點C作CO⊥AB于O，延長CO到C′，使OC′=OC，連接DC′，交AB于P，連接CP．此時DP+CP=DP+PC′=DC′的值最?。連D=3，DC=1，∴BC=4，∴BD=3，連接BC′，由對稱性可知∠C′BA=∠CBA=45°，∴∠CBC′=90°，∴BC′⊥BC，∠BCC′=∠BC′C=45°∴BC=BC′=4，根據(jù)勾股定理可得：DC′==5．故答案為5．【點睛】本題考查了軸對稱﹣線路最短的問題，確定動點P何位置時，使PC+PD的值最小是解題的關鍵．13．已知，等腰△ABC中，AB＝AC，E是高D上任一點，F(xiàn)是腰AB上任一點，腰AC＝5，BD＝3，AD＝4，那么線段BE＋EF的最小值是_____．【答案】【解析】【分析】由等腰三角形的對稱性，可得BE=CE，作CG⊥AB于G點，根據(jù)垂線段最短可知，當C、E、F三點共線時，及CG的長為最小值．【詳解】解：過C點作CG⊥AB于點G，連接CE；∵AB=AC，且AC=5，∴AB=5，在△ABD中，AD=4，BD=3，AB=5，∵，∴△ABD是直角三角形，∴∠ADB=90°，∴AD⊥BC，∵△ABC為等腰三角形，∴AD平分BC，∴AD是BC的垂直平分線，∴BE=CE，BD=CD=3，∵BE+EF=CE+EF，根據(jù)垂線段最短可知，當C、E、F三點共線，且與G點重合時，CE+EF的值最小，最小值就是線段CG的長．在△ABC中，，∴CG=，∴BE＋EF的最小值，故答案為：．【點睛】本題考查軸對稱-最短問題，等腰三角形的性質(zhì)，解直角三角形等知識，學會應用對稱解決最小值是問題的關鍵，是中考常考題．14．如圖，∠AOB＝30°，點M、N分別在邊OA、OB上，且OM＝3，ON＝4，點P、Q分別在邊OB、OA上，則MP+PQ+QN的最小值是___．【答案】5【解析】【分析】作M關于OB的對稱點，作N關于OA的對稱點，連接，連接，即為MP+PQ+QN的最小值，根據(jù)軸對稱的定義可推出為等邊三角形，為等邊三角形，得再根據(jù)勾股定理即可得出結(jié)果．【詳解】解：如圖，作M關于OB的對稱點，作N關于OA的對稱點，連接，連接，則，當共線時取得最小值，即為MP+PQ+QN的最小值，根據(jù)軸對稱的定義得∴為等邊三角形，為等邊三角形，∴在中，∴MP+PQ+QN的最小值為5，故答案為：5．【點睛】本題考查了軸對稱﹣最短路線問題，勾股定理，等邊三角形的判定與性質(zhì)等知識，正確作出輔助線，找出MP+PQ+QN的最小值即的長是解題的關鍵．三、解答題15．如圖，圓柱形容器的高為120cm，底面周長為100cm，在容器內(nèi)壁離容器底部40cm的點B處有一蚊子，此時一只壁虎正好在容器外壁，離容器上沿40cm與蚊子相對的點A處，求壁虎捕捉蚊子的最短距離．【答案】130cm【解析】【分析】將容器側(cè)面展開，建立A關于EC的對稱點，根據(jù)兩點之間線段最短可知B的長度即為所求．【詳解】解：如圖，將容器側(cè)面展開，作A關于EC的對稱點，連接B交EC于F，則B即為最短距離．∵高為120cm，底面周長為100cm，在容器內(nèi)壁離容器底部40cm的點B處有一蚊子，此時一只壁虎正好在容器外壁，離容器上沿40cm與蚊子相對的點A處，∴D＝50cm，BD＝120cm，∴在直角△DB中，B＝＝130（cm）．故壁虎捕捉蚊子的最短距離為130cm．【點睛】本題考查了平面展開﹣﹣﹣最短路徑問題，將圖形展開，利用軸對稱的性質(zhì)和勾股定理進行計算是解題的關鍵．同時也考查了同學們的創(chuàng)造性思維能力．16．如圖是一個棱長為6cm的正方體的有蓋紙盒，一只螞蟻想從盒底的A點爬到盒頂?shù)腂點，其中BC＝2cm，那么螞蟻爬行的最短行程是多少？【答案】10cm【解析】【分析】將正方體側(cè)面展開圖展開，由勾股定理計算即可．【詳解】解：如圖所示．∵BC＝2cm，棱長為6cm，∴AD＝6+2＝8（cm），BD＝6cm由勾股定理得，AB＝＝10（cm），答：螞蟻爬行的最短行程是10cm．【點睛】此題考查了平面展開一最短路徑問題，利用勾股定理是解題的關鍵．17．如圖，牧童在離河邊3km的A處牧馬，小