2022-2023學(xué)年八年級(jí)數(shù)學(xué)?？键c(diǎn)精練（蘇科版）：專(zhuān)題30 已知等腰直角三角形求坐標(biāo)（解析版）

專(zhuān)題30已知等腰直角三角形求坐標(biāo)1．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，AB＝BC，∠ABC＝90°，A（3，0），B（0，-1），以AB為直角邊在A邊的下方作等腰直角△ABC，則點(diǎn)C的坐標(biāo)是______．【答案】【解析】【分析】過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn)，通過(guò)角的計(jì)算可找出，結(jié)合、，即可證出，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得出、，再結(jié)合點(diǎn)、的坐標(biāo)即可得出、的長(zhǎng)度，進(jìn)而可得出點(diǎn)的坐標(biāo)．【詳解】解：過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn)，如圖所示．，，，，．在和中，，，，．，，，，，點(diǎn)的坐標(biāo)為．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)以及坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是利用全等三角形的判定定理證出．2．如圖，等腰直角△OAB的斜邊OA在x軸上，且AB=，則點(diǎn)B坐標(biāo)為_(kāi)____．【答案】（-2，2）【解析】【分析】過(guò)點(diǎn)B作BH⊥OA，利用等腰直角三角形的性質(zhì)解答即可．【詳解】過(guò)點(diǎn)B作BH⊥OA，∵等腰直角△OAB的斜邊OA在x軸上，且AB=，∴∠BOA=∠BAO=45°，∴AH=BH=OH，∵，∴OH=BH=2，∴B的坐標(biāo)為（-2，2），故答案為：（-2，2）．【點(diǎn)睛】本題考查了坐標(biāo)與圖形，等腰直角三角形的性質(zhì)，關(guān)鍵是利用等腰直角三角形的性質(zhì)解答．3．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中擺放一等腰直角三角尺，已知直角頂點(diǎn)C的坐標(biāo)為），點(diǎn)A坐標(biāo)為，點(diǎn)在y軸正半軸上，則的值為_(kāi)_______．【答案】6【解析】【分析】過(guò)點(diǎn)C作DE⊥x軸于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)B作BD⊥DE于點(diǎn)D，可證得△BCD≌△CAE，從而得到CD=AE，BD=CE，再由點(diǎn)C的坐標(biāo)為），點(diǎn)A坐標(biāo)為，點(diǎn)在y軸正半軸上，可得DE=b，OE=CE=3，CD=AE=3-a，即可求解．【詳解】解：如圖，過(guò)點(diǎn)C作DE⊥x軸于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)B作BD⊥DE于點(diǎn)D，根據(jù)題意得：BC=AC，∠ACB=90°，∴∠BCD+∠ACE=90°，∵DE⊥x軸，BD⊥DE，即∠AEC=∠D=90°，∴∠ACE+∠CAE=90°，∴∠CAE=∠BCD，∴△BCD≌△CAE，∴CD=AE，BD=CE，∵點(diǎn)C的坐標(biāo)為），點(diǎn)A坐標(biāo)為，點(diǎn)在y軸正半軸上，∴DE=b，OE=CE=3，CD=AE=3-a，∵CE+CD=DE，∴3+3-a=b，∴a+b=6．故答案為：6【點(diǎn)睛】本題主要考查了坐標(biāo)與圖形，全等三角形的判定和性質(zhì)，根據(jù)題意得到△BCD≌△CAE是解題的關(guān)鍵．4．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，△ABC的頂點(diǎn)A、C分別在y軸、x軸上，且A（0，2），C（1，0），∠ACB＝90°，AC＝BC，點(diǎn)B在第一象限時(shí)，則點(diǎn)B的坐標(biāo)為_(kāi)____．【答案】（3，1）【解析】【分析】過(guò)B作BD⊥x軸于D，先證∠CAO＝∠BCD，再證明△AOC≌△CDB，可得DB＝OC＝1，CD＝AO＝2，即可解決問(wèn)題．【詳解】解：過(guò)B作BD⊥x軸于D，如圖所示：∵A（0，2），C（1，0），∴OA＝2，OC＝1，∵∠ACO+∠CAO＝90°，∠ACO+∠BCD＝90°，∴∠CAO＝∠BCD，在△AOC和△CDB中，，∴△AOC≌△CDB（AAS），∴DB＝OC＝1，CD＝AO＝2，∴OD＝OC+CD＝3，∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（3，1）．故答案為：（3，1）．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)、坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線(xiàn)，構(gòu)造全等三角形解決問(wèn)題，屬于中考常考題型．5．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中、，軸，存在第一象限的一點(diǎn)使得是以為斜邊的等腰直角三角形，則點(diǎn)的坐標(biāo)（

）．A．或 B． C．或 D．【答案】C【解析】【分析】分點(diǎn)P在AB的上方和點(diǎn)P在AB的下方，根據(jù)全等三角形的判定與性質(zhì)進(jìn)行討論求解即可．【詳解】解：當(dāng)點(diǎn)P在AB的上方時(shí)，過(guò)P作x軸的平行線(xiàn)交y軸于E，交CB延長(zhǎng)線(xiàn)于F，如圖1，則∠AEP=∠PFB=∠APB=90°，E(0，2a﹣5)，F(xiàn)(6，2a﹣5)，∴PE=a，PF=6﹣a，AE=2a﹣9，∵∠EAP+∠EPA=90°，∠EPA+∠BPF=90°，∴∠EAP=∠BPF，又∠AEP=∠PFB，PA=PB，∴△AEP≌△PFB(AAS)，∴AE=PF，∴6﹣a=2a﹣9，解得：a=5，∴P(5，5)；當(dāng)點(diǎn)P在AB的下方時(shí)，同樣過(guò)P作x軸的平行線(xiàn)交y軸于E，交CB于F，如圖2，則∠AEP=∠PFB=∠APB=90°，E(0，2a﹣5)，F(xiàn)(6，2a﹣5)，∴PE=a，PF=6﹣a，AE=9﹣2a，∵∠EAP+∠EPA=90°，∠EPA+∠BPF=90°，∴∠EAP=∠BPF，又∠AEP=∠PFB，PA=PB，∴△AEP≌△PFB(AAS)，∴AE=PF，∴9﹣2a=6﹣a，解得：a=3，∴P（3，1），綜上，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（3，1）或（5，5），故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查等腰直角三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、等角的余角相等、坐標(biāo)與圖形性質(zhì)、解一元一次方程等知識(shí)，過(guò)已知點(diǎn)向坐標(biāo)軸作平行線(xiàn)或垂線(xiàn)，然后求出相關(guān)線(xiàn)段的長(zhǎng)是解決此類(lèi)問(wèn)題的基本方法．6．平面直角坐標(biāo)系中有點(diǎn)A（0，4）、B（3，0），連接AB，以AB為直角邊在第一象限內(nèi)作等腰直角三角ABC，則點(diǎn)C的坐標(biāo)為_(kāi)____．【答案】（4，7）或（7，3）【解析】【分析】根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)，分AC為直角邊和斜邊兩種情況進(jìn)行討論即可.【詳解】解：如圖，觀察圖象可知，滿(mǎn)足條件的點(diǎn)C的坐標(biāo)為（4，7）或（7，3）．故答案為：（4，7）或（7，3）．【點(diǎn)睛】本題主要考查了等腰直角三角形的性質(zhì)，點(diǎn)的坐標(biāo)，解題的關(guān)鍵在于能夠分類(lèi)討論AC是直角邊還是斜邊.7．在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A的坐標(biāo)是（﹣3，3），點(diǎn)B在x軸上，若△OAB是直角三角形（O為原點(diǎn)），則線(xiàn)段AB上任意一點(diǎn)可表示為_(kāi)______________．【答案】(-3，y)，(0≤y≤3)或(y-6，y)，(0≤y≤3)【解析】【分析】分兩種情況：①當(dāng)AB⊥OB時(shí)，②當(dāng)AB⊥OA時(shí)，解答即可．【詳解】分兩種情況：①當(dāng)AB⊥OB時(shí)，∠ABO=90o，此時(shí)AB=OB，點(diǎn)B的坐標(biāo)是(-3，0)，∴?ABO為等腰直角三角形，∵點(diǎn)P為線(xiàn)段AB上任意一點(diǎn)，∴P點(diǎn)的橫坐標(biāo)為-3，∴線(xiàn)段AB上任意一點(diǎn)可表示為(-3，y)，(0≤y≤3)；②當(dāng)AB⊥OA時(shí)，∠OAB=90o，此時(shí)AB=OA，?OAB為等腰直角三角形，點(diǎn)B的坐標(biāo)是(-6，0)，設(shè)直線(xiàn)AB的解析式為y=k(x+b)(k≠0)，經(jīng)過(guò)A點(diǎn)(-3，3)，代入y=k(x+b)得到3=k(-3+6)，解得：k=1，∴直線(xiàn)AB的解析式為：y=x+6，∴線(xiàn)段AB上任意一點(diǎn)可表示為(y-6，y)，(0≤y≤3)；綜上：當(dāng)∠ABO=90o，線(xiàn)段AB上任意一點(diǎn)可表示為(-3，y)，(0≤y≤3)；當(dāng)∠OAB=90o，線(xiàn)段AB上任意一點(diǎn)可表示為(y-6，y)，(0≤y≤3)；故答案為：(-3，y)，(0≤y≤3)或(y-6，y)，(0≤y≤3)．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)及待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式，解題的關(guān)鍵是掌握分類(lèi)討論思想的運(yùn)用．8．在平面直角坐標(biāo)系中，等腰三角形ABC，ACBC，C90，若點(diǎn)C（2，3），A（2，6），則點(diǎn)B的坐標(biāo)是______．【答案】（-1，3）或（5，3）【解析】【分析】根據(jù)已知條件得到AC=3，求得BC=AC=3，于是得到結(jié)論．【詳解】如圖所示，∵C（2，3），A（2，6），∴AC=6-3=3，∵AC=BC，∠C=90°，∴BC=AC=3，∴B（-1，3）或（5，3）．故答案為：（-1，3）或（5，3）．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰直角三角形的性質(zhì)、坐標(biāo)與圖形特點(diǎn)，利用坐標(biāo)與圖形特點(diǎn)根據(jù)坐標(biāo)寫(xiě)出線(xiàn)段的長(zhǎng)，反之，能根據(jù)線(xiàn)段的長(zhǎng)寫(xiě)出B的坐標(biāo)，注意象限的符號(hào)問(wèn)題．9．已知A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（0，3），（2，0），以線(xiàn)段AB為直角邊，在第一象限內(nèi)作等腰直角三角形ABC，使∠BAC＝90°，如果在第二象限內(nèi)有一點(diǎn)P（a，），且△ABP和△ABC的面積相等，則a＝_____．【答案】-．【解析】【分析】先根據(jù)AB兩點(diǎn)的坐標(biāo)求出OA、OB的值，再由勾股定理求出AB的長(zhǎng)度，根據(jù)三角形的面積公式即可得出△ABC的面積；連接OP，過(guò)點(diǎn)P作PE⊥x軸，由△ABP的面積與△ABC的面積相等，可知S△ABP＝S△POA+S△AOB﹣S△BOP＝，故可得出a的值．【詳解】∵A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（0，3），（2，0），∴OA＝3，OB＝2，∴，∵△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°，∴，作PE⊥x軸于E，連接OP，此時(shí)BE＝2﹣a，∵△ABP的面積與△ABC的面積相等，∴，，解得a＝﹣．故答案為﹣．【點(diǎn)睛】本題考查等腰直角三角形的性質(zhì)，坐標(biāo)與圖象性質(zhì)，三角形的面積公式，解題的關(guān)鍵是根據(jù)S△ABP=S△POA+S△AOB-S△BOP列出關(guān)于a的方程．三、解答題(共0分)10．如圖，平面直角坐標(biāo)系中有點(diǎn)A(-1，0)和y軸上一動(dòng)點(diǎn)B(0，a)，其中a＞0，以B點(diǎn)為直角頂點(diǎn)在第二象限內(nèi)作等腰直角ABC，設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)為(c，d)．(1)當(dāng)a=2時(shí)，則C點(diǎn)的坐標(biāo)為；(2)動(dòng)點(diǎn)B在運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，試判斷c＋d的值是否發(fā)生變化？若不變，請(qǐng)求出其值；若發(fā)生變化，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)(-2，3)(2)不變，1【解析】【分析】（1）過(guò)點(diǎn)C作CE⊥y軸于E，根據(jù)AAS證明△AEC≌△BOA，可得CE=OA=2，AE=BO=1，即可得出點(diǎn)C的坐標(biāo)；（2）過(guò)點(diǎn)C作CE⊥y軸于E，根據(jù)AAS證明△AEC≌△BOA，可得CE=OA=a，AE=BO=1，從而OE=a=1，即可得出點(diǎn)C的坐標(biāo)為（-a，a+1），據(jù)此可得c+d的值不變．(1)解：如圖1中，過(guò)點(diǎn)C作CE⊥y軸于E，則∠CEB=∠BOA．∵△ABC是等腰直角三角形，∴BC=BA，∠ABC=90°，∴∠BCE＋∠CBE=90°=∠ABO＋∠CBE，∴∠BCE=∠ABO，在△BCE和△ABO中，，∴△BCE≌△ABO（AAS），∵A（－1，0），B（0，2），∴AO=BE=1，OB=EC=2，∴OE=1＋2=3，∴C（－2，3），故答案為：（－2，3）；(2)解：動(dòng)點(diǎn)A在運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，c＋d的值不變．如圖2，過(guò)點(diǎn)C作CE⊥y軸于E，則∠CEB=∠BOA，∵△ABC是等腰直角三角形，∴BC=BA，∠ABC=90°，∴∠BCE＋∠CBE=90°=∠ABO＋∠CBE，∴∠BCE=∠ABO，在△BCE和△ABO中，，∴△BCE≌△ABO（AAS），∵A（－1，0），B（0，a），∴BE=AO=1，CE=BO=a，∴OE=1＋a，∴C（－a，1＋a），又∵點(diǎn)C的坐標(biāo)為（c，d），∴c＋d=－a＋1＋a=1，即c＋d的值不變.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了全等三角形的性質(zhì)和判定，余角的性質(zhì)，坐標(biāo)與圖形，以及等腰直角三角形性質(zhì)等知識(shí)，解決問(wèn)題的關(guān)鍵是作輔助線(xiàn)構(gòu)造全等三角形．11．（1）如圖1，OA=2，OB=4，以A點(diǎn)為頂點(diǎn)、AB為腰在第三象限作等腰Rt△ABC．求C點(diǎn)的坐標(biāo)，寫(xiě)出過(guò)程；（2）如圖2，已知點(diǎn)F坐標(biāo)為(-4，-4)，點(diǎn)G在y軸的負(fù)半軸上沿負(fù)方向運(yùn)動(dòng)時(shí)，作Rt△FGH，始終保持∠GFH=90°，F(xiàn)G與y軸負(fù)軸交于點(diǎn)G(0，m)，F(xiàn)H與x軸正半軸交于點(diǎn)H(n，0)，當(dāng)G點(diǎn)在y軸的負(fù)半軸上沿負(fù)方向運(yùn)動(dòng)時(shí)，求m+n的值．【答案】（1）點(diǎn)C的坐標(biāo)為（-6，-2）；（2）m+n=-8．【解析】【分析】（1）過(guò)C作CM⊥x軸于M點(diǎn)，由“AAS”證明△MAC≌△OBA，可得出CM=OA=2，MA=OB=4，即可求點(diǎn)C坐標(biāo)；（2）如圖，過(guò)點(diǎn)F分別作FS⊥x軸于S點(diǎn)，F(xiàn)T⊥y軸于T點(diǎn)，由“AAS”證明△FSH≌△FTG，可得GT=HS，即可求得m+n的值．【詳解】解：（1）過(guò)C作CM⊥x軸于M點(diǎn)，如圖，∵CM⊥OA，AC⊥AB，∴∠MAC+∠OAB=90°，∠OAB+∠OBA=90°，則∠MAC=∠OBA，在△MAC和△OBA中，，∴△MAC≌△OBA（AAS），∴CM=OA=2，MA=OB=4，∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（-6，-2）；（2）如圖，過(guò)點(diǎn)F分別作FS⊥x軸于S點(diǎn)，F(xiàn)T⊥y軸于T點(diǎn)，∵點(diǎn)F坐標(biāo)為（-4，-4），∴FS=FT=4，∠FHS=∠HFT=∠FGT，在△FSH和△FTG中，∵，∴△FSH≌△FTG（AAS），∴GT=HS，又∵G（0，m），（n，0），點(diǎn)F坐標(biāo)為（-4，-4），∴OT=OS=4，OG=-m，OH=n，∴GT=OG-OT=-m-4，HS=OH+OS=n+4，∴-m-4=n+4，∴m+n=-8．【點(diǎn)睛】本題考查了坐標(biāo)與圖形，全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)等知識(shí)，正確作出輔助線(xiàn)構(gòu)造全等三角形是本題的關(guān)鍵．12．在平面直角坐標(biāo)系中，等腰直角△ABC頂點(diǎn)A、C分別在y軸、x軸上，且∠ACB=90°，AC=BC．(1)如圖1，當(dāng)A(0，?2)，C(1，0)，點(diǎn)B在第四象限時(shí)，求點(diǎn)B的坐標(biāo)．(2)如圖2，當(dāng)點(diǎn)C在x軸正半軸上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)A(0，a)在y軸正半軸上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)B(m，n)在第四象限時(shí)，作BD⊥y軸于點(diǎn)D，求a，m，n之間的關(guān)系．【答案】(1)點(diǎn)B的坐標(biāo)為（3，-1）；(2)a+m+n=0．【解析】【分析】（1）過(guò)點(diǎn)B作BD⊥x軸于D，利用同角的余角相等求出∠OAC=∠BCD，然后利用“角角邊”證明△AOC和△CDB全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得AO=CD，OC=BD，然后求出OD，再根據(jù)點(diǎn)D在第四象限寫(xiě)出點(diǎn)D的坐標(biāo)即可；（2）過(guò)點(diǎn)B作BE⊥x軸于E，利用同角的余角相等求出∠2=∠3，再利用“角角邊”證明△CEB和△AOC全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得AO=CE，BE=CO，然后代入a、m、n整理即可得解．(1)解：點(diǎn)B的坐標(biāo)為（3，-1）．理由如下：作BD⊥x軸于D，∴∠AOC=90°=∠BDC，∴∠OAC+∠ACO=90°，∵∠ACB=90°，AC=BC，∴∠ACO+∠BCD=90°，∴∠OAC=∠BCD，在△AOC和△CDB中，，∴△AOC≌△CDB（AAS），∴AO=CD，OC=BD，∵A（0，-2），C（1，0），∴AO=CD=2，OC=BD=1，∴OD=3，∵B在第四象限，∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（3，-1）；(2)解：a+m+n=0．證明：作BE⊥x軸于E，∴∠BEC=∠AOC=90°，∴∠1+∠2=90°，∵∠ACB=90°，∴∠1+∠3=90°，∴∠2=∠3，在△CEB和△AOC中，，∴△CEB≌△AOC（AAS），∴AO=CE=a，BE=CO，∵BE⊥x軸于E，∴BE∥y軸，∵BD⊥y軸于點(diǎn)D，EO⊥y軸于點(diǎn)O，∴EO=BD=m，∴BE=-n，∴a+m=-n，∴a+m+n=0．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，同角的余角相等的性質(zhì)，作輔助線(xiàn)構(gòu)造出全等三角形是解題的關(guān)鍵．13．如圖，已知在直角坐標(biāo)系中，A（4,0）,B（0，3），以線(xiàn)段AB為直角邊在第一象限內(nèi)作等腰Rt△ABC，∠BAC=90°．點(diǎn)P是x軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，設(shè)P（x,0）．（1）求△ABC的面積；（2）若△ABP是等腰三角形，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；（3）是否存在這樣的點(diǎn)P，使得|PC-PB|的值最大？如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；如果存在，請(qǐng)?jiān)趥溆脠D中標(biāo)出點(diǎn)P的位置．【答案】（1）S△ABC=12．5；（2）點(diǎn)P的坐標(biāo)為：（9，0），（-1，0），（-4，0）；（，0）；（3）存在這樣的P點(diǎn)．【解析】【詳解】試題分析：（1）先求AC=5，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)即得△ABC的面積，繼而求得答案．（2）△ABP是等腰三角形分情況進(jìn)行分析，得出點(diǎn)P的坐標(biāo)；（3）存在這樣的P點(diǎn)．當(dāng)P、B、C在一條直線(xiàn)時(shí)，|PC-PB|的值最大．試題解析：（1）∵A（4,0）,B（0，3），∴AB＝＝5，∵△ABC是等腰直角三角形，且∠BAC=90°，∴S△ABC=×5×5=12．5；（2）當(dāng)△ABP是等腰三角形，點(diǎn)P的坐標(biāo)有三種情況：當(dāng)∠BAP為頂角時(shí)，∵AB=5，∴AP=5，可得4+5=9，或4-5=-1，此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（9，0）或（-1，0），當(dāng)∠BPA為頂角時(shí)，可得OP=OA=4，所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為（-4，0）當(dāng)∠APB為頂角時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（，0）；綜上所述：點(diǎn)P的坐標(biāo)為：（9，0），（-1，0），（-4，0）；（，0）；（3）存在這樣的P點(diǎn)．當(dāng)P、B、C在一條直線(xiàn)時(shí)，|PC-PB|的值最大，如圖：考點(diǎn)：一次函數(shù)綜合題14．如圖，等腰直角△ABC中，BC＝AC，∠ACB＝90°，現(xiàn)將該三角形放置在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)B坐標(biāo)為（0，2），點(diǎn)C坐標(biāo)為（6，0）．（1）過(guò)點(diǎn)A作AD⊥x軸，求OD的長(zhǎng)及點(diǎn)A的坐標(biāo)；（2）連接OA，若Р為坐標(biāo)平面內(nèi)不同于點(diǎn)A的點(diǎn)，且以O(shè)、P、C為頂點(diǎn)的三角形與△OAC全等，請(qǐng)直接寫(xiě)出滿(mǎn)足條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)；（3）已知OA＝10，試探究在x軸上是否存在點(diǎn)Q，使△OAQ是以O(shè)A為腰的等腰三角形？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】（1）OD＝8，點(diǎn)A的坐標(biāo)（8，6）；（2）（8，-6）或（-2，6）或（-2，-6）；（3）（16，0）或（10，0）或（-10，0）【解析】【分析】（1）通過(guò)證明△BOC≌△CDA，可得CD＝OB＝2，即可求OD的長(zhǎng)，進(jìn)而即可得到A的坐標(biāo)；（2）分三種情況：①作△OAC關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)圖形得到△OP1C；作△OAC關(guān)于直線(xiàn)x=3的對(duì)稱(chēng)圖形得到△OP2C；③作△OP2C關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)圖形得到△OP3C，分別求解，即可；（3）分三種情況：①當(dāng)以點(diǎn)A為頂角頂點(diǎn)時(shí)，且OA是腰；②當(dāng)以點(diǎn)A為底角頂點(diǎn)時(shí)，且OA是腰，形成銳角三角形時(shí)；③當(dāng)以點(diǎn)A為底角頂點(diǎn)時(shí)，且OA是腰，形成鈍角三角形時(shí)，分別求解即可．【詳解】解：（1）∵點(diǎn)B坐標(biāo)為（0，2），點(diǎn)C坐標(biāo)為（6，0），∴OB＝2，OC＝6，∵∠ACB＝90°，∴∠BCO＋∠ACD＝90°，且∠BCO＋∠OBC＝90°，∴∠ACD＝∠OBC，且AC＝BC，∠BOC＝∠ADC＝90°，∴△BOC≌△CDA（AAS），∴CD＝OB＝2，∴OD＝OC＋CD＝8，AD=OC=6，∴點(diǎn)A的坐標(biāo)（8，6）；（2）①作△OAC關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)圖形得到△OP1C，∴△OAC△OP1C，∴P1（8，-6）；②∵點(diǎn)O，C關(guān)于直線(xiàn)x=3對(duì)稱(chēng)，∴作△OAC關(guān)于直線(xiàn)x=3的對(duì)稱(chēng)圖形得到△OP2C，∴△OAC△CP2O，∴P2（-2，6）；③作△OP2C關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)圖形得到△OP3C，∴△OP2C△OP3C，即：△OP3C△OCA，∴P3（-2，-6），綜上所述：P的坐標(biāo)為：（8，-6）或（-2，6）或（-2，-6）；（3）①當(dāng)以點(diǎn)A為頂角頂點(diǎn)時(shí)，且OA是腰，∵AD⊥x軸，∴點(diǎn)Q1，O關(guān)于直線(xiàn)AD對(duì)稱(chēng)，即：Q1（16，0）；②當(dāng)以點(diǎn)A為底角頂點(diǎn)時(shí)，且OA是腰，形成銳角三角形時(shí)，則OQ2=OA=10，∴Q2（10，0）；③當(dāng)以點(diǎn)A為底角頂點(diǎn)時(shí)，且OA是腰，形成鈍角三角形時(shí)，則OQ3=OA=10，∴Q2（-10，0），綜上所述：Q的坐標(biāo)為：（16，0）或（10，0）或（-10，0）．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)等知識(shí)，靈活運(yùn)用這些性質(zhì)進(jìn)行推理，掌握分類(lèi)討論思想方法是本題的關(guān)鍵．15．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知、分別在坐標(biāo)軸的正半軸上．（1）如圖1，若a、b滿(mǎn)足，以B為直角頂點(diǎn)，為直角邊在第一象限內(nèi)作等腰直角，則點(diǎn)C的坐標(biāo)是（________）；（2）如圖2，若，點(diǎn)D是的延長(zhǎng)線(xiàn)上一點(diǎn)，以D為直角頂點(diǎn)，為直角邊在第一象限作等腰直角，連接，求證：；（3）如圖3，設(shè)，的平分線(xiàn)過(guò)點(diǎn)，直接寫(xiě)出的值．【答案】（1）點(diǎn)C的坐標(biāo)是；（2）見(jiàn)解析；（3）【解析】【分析】（1）根據(jù)偶次冪的非負(fù)性以及算術(shù)平方根的非負(fù)性得出的值，過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn)，然后證明，進(jìn)而得出結(jié)論；（2）過(guò)點(diǎn)E作軸于點(diǎn)M，根據(jù)題意證明，在和中，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可得結(jié)論；（3）作DF⊥y軸于H，DH⊥x軸于H，DK⊥BA交BA的延長(zhǎng)線(xiàn)于K，先證明可得BK＝BF＝b＋2，然后證明Rt△DAH≌Rt△DAK可得BK＝c＋a?2，進(jìn)一步可得結(jié)果．【詳解】解：（1）∵，∴，∴，過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn)，∵為等腰直角三角形，∴，∴,∵，∴，在和中，，∴,∴,∴，∴點(diǎn)C的坐標(biāo)是；（2）證明：過(guò)點(diǎn)E作軸于點(diǎn)M，依題意有，∵為等腰直角三角形，∴，，∴，∵，∴，在和中，，∴，∴，，又，即，∴，∴，即，又，設(shè)與相交于點(diǎn)N，∴在和中，，，∴；（3）作DF⊥y軸于H，DH⊥x軸于H，DK⊥BA交BA的延長(zhǎng)線(xiàn)于K，則DF＝DH＝2，∵BD平分∠ABO，DF⊥y軸，DK⊥BA，∴DF＝DK＝2，∵，,，∴,∴DF＝DH＝DK，BK＝BF＝b＋2，在Rt△DAH和Rt△DAK中，，∴Rt△DAH≌Rt△DAK（HL）∴AK＝AH＝a?2，∴BK＝c＋a?2，∴c＋a?2＝b＋2，∴a?b＋c＝4．【點(diǎn)睛】本題考查了坐標(biāo)與圖形，等腰三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，偶次方與算數(shù)平方根的非負(fù)性的性質(zhì)，根據(jù)題意構(gòu)建出全等三角形是解本題的關(guān)鍵．16．如圖，等腰直角三角形ABC中，，．（1）如圖1，等腰直角三角形ABC的頂點(diǎn)A在x軸的負(fù)半軸上，點(diǎn)B在y軸的負(fù)半軸上，且，，求點(diǎn)C的坐標(biāo)；（2）如圖2，等腰直角三角形ABC頂點(diǎn)A在y軸的負(fù)半軸上，點(diǎn)C在x軸的負(fù)半軸上，過(guò)點(diǎn)B作軸于點(diǎn)D，求證：；（3）如圖3，點(diǎn)A的坐標(biāo)為，點(diǎn)在y軸上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)在x軸上運(yùn)動(dòng)，在點(diǎn)B、C的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，能否使得是一個(gè)以點(diǎn)A為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形，如果存在，請(qǐng)你直接寫(xiě)出m和n的數(shù)量關(guān)系；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】（1）點(diǎn)C的坐標(biāo)為（-6，-2）；（2）證明見(jiàn)解析；（3）存在，m＋n=-6【解析】【分析】（1）過(guò)點(diǎn)C作CD⊥x軸于D，利用AAS證出△DCA≌△OAB，從而得出AD=OB=4，CD=OA=2，然后求出OD的長(zhǎng)，結(jié)合點(diǎn)C所在象限即可求出結(jié)論；（2）過(guò)點(diǎn)B作BE⊥y軸于E，根據(jù)平行線(xiàn)之間的距離處處相等可得BD=EO，利用AAS證出△OCA≌△EAB，從而證出OC=AE，即可證出結(jié)論；（3）過(guò)點(diǎn)A作AD⊥x軸于D，作AE⊥y軸于E，根據(jù)點(diǎn)C和點(diǎn)D的位置關(guān)系分類(lèi)討論，分別畫(huà)出對(duì)應(yīng)的圖形，利用SAS證出△ADC≌△AEB，從而證出CD=BE，利用m和n表示出CD和BE，即可求出結(jié)論．【詳解】解：（1）過(guò)點(diǎn)C作CD⊥x軸于D，∵等腰直角三角形ABC中，，∴∠DAC＋∠OAB=90°∵∠CDA=∠AOB=90°∴∠DAC＋∠DCA=90°∴∠DCA=∠OAB在△DCA和△OAB中，∴△DCA≌△OAB∴AD=OB=4，CD=OA=2，∴OD=AD＋OA=6∵點(diǎn)C在第三象限∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（-6，-2）；（2）過(guò)點(diǎn)B作BE⊥y軸于E∵BE⊥y軸，DO⊥y軸∴BE∥OD∵軸，EO⊥x軸∴BD=EO∵等腰直角三角形ABC中，，∴∠OAC＋∠EAB=90°∵∠COA=∠AEB=90°∴∠OAC＋∠OCA=90°∴∠OCA=∠EAB在△