隨機(jī)信號(hào)分析-第四章-隨機(jī)信號(hào)通過線性系統(tǒng)

第四章

隨機(jī)信號(hào)通過線性系統(tǒng)內(nèi)容：一、線性系統(tǒng)的知識(shí)二、時(shí)間連續(xù)和離散線性系統(tǒng)的分析三、白噪聲通過線性系統(tǒng)的分析四、線性系統(tǒng)輸出的特性4.1

線性系統(tǒng)的基本知識(shí)電子技術(shù)中，通常把電子系統(tǒng)分成

線性系統(tǒng)（如線性放大器、線性濾波器

等）和非線性系統(tǒng)（如檢波器、限幅器、調(diào)制解調(diào)器等）兩大類。系統(tǒng)的輸出響應(yīng)y(t)與輸入信號(hào)x(t)之間的關(guān)系可以用示意圖來表示：y(t)＝L[x(t)]L[?]表示對(duì)輸入信號(hào)進(jìn)行某種運(yùn)算，稱作算子。4.1.1

時(shí)不變線性系統(tǒng)定義如果系統(tǒng)的輸入和輸出都是連續(xù)時(shí)間信號(hào)，則稱該系統(tǒng)為連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)；如果系統(tǒng)的輸入和輸出都是離散時(shí)間信號(hào)，則稱為離散時(shí)間系統(tǒng)。如果輸入信號(hào)是從t=-∞開始一直作用于系統(tǒng)，則輸入信號(hào)稱為雙側(cè)信號(hào)，系統(tǒng)稱為雙側(cè)系統(tǒng)；而從t=0開始作用于系統(tǒng)的輸入信號(hào)為單側(cè)信號(hào)，系統(tǒng)為單側(cè)系統(tǒng)。如果系統(tǒng)對(duì)于任意的常數(shù)a和b、輸入信號(hào)x1(t)和x2(t)，有：L[ax1(t)+bx2(t)]=

aL[x1(t)]+b

L[x2(t)]則稱該系統(tǒng)為線性系統(tǒng)。如果系統(tǒng)的輸出和輸入信號(hào)具有相同的時(shí)間位移特性，即：y(t-c)＝L[x(t-c)]c為常數(shù)，則該系統(tǒng)就被稱為時(shí)不變系統(tǒng)。定義線性時(shí)不變系統(tǒng)可以有多種描述方法，通常有三種：輸入－輸出關(guān)系法（即用單位沖激響應(yīng)函數(shù)或者傳遞函數(shù)來表示）；常微分方程法；狀態(tài)變量法。其中第1種方法最常用。描述線性系統(tǒng)的方法對(duì)于連續(xù)時(shí)不變線性系統(tǒng)，當(dāng)輸入信號(hào)為單位沖激函數(shù)δ(t)的時(shí)候，系統(tǒng)的輸出h(t)被定義為系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)。則對(duì)于任意輸入信號(hào)x(t)，系統(tǒng)的輸出y(t)可以由卷積積分得到：4.1.2

連續(xù)時(shí)不變線性系統(tǒng)如果x(t)和h(t)絕對(duì)可積，即：則此系統(tǒng)被稱為是穩(wěn)定的。兩者的傅利葉變換存在，有：H(ω)被稱作連續(xù)時(shí)不變系統(tǒng)的傳遞函數(shù)，它與h(t)構(gòu)成一對(duì)傅利葉變換對(duì)，即：如果Y(ω)是輸出y(t)的傅利葉變換，則有：在實(shí)際分析中，通常用s=σ+jω代替jω來表示復(fù)頻率，上式可以寫成拉普拉斯變換的形式：H(s)與h(t)構(gòu)成一對(duì)拉氏變換對(duì)，即：如果系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)滿足：

h(t)＝0，當(dāng)t<0的時(shí)候則該系統(tǒng)被稱為是因果系統(tǒng)。所有實(shí)際存在的物理可實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)都是因果的。那么對(duì)于物理可實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)來說，物理可實(shí)現(xiàn)的穩(wěn)定系統(tǒng)傳遞函數(shù)

H(s)的所有極點(diǎn)都位于s平面的左半平面（不包含虛軸）。對(duì)于離散時(shí)不變線性系統(tǒng)，系統(tǒng)的輸出y(n)與輸入x(n)之間的關(guān)系為：h(n)為單位沖激響應(yīng)。4.1.3

離散時(shí)不變線性系統(tǒng)如果x(n)和h(n)絕對(duì)可和，即：則此系統(tǒng)被稱為是穩(wěn)定的。兩者的離散傅利葉變換存在，設(shè)T=1，有：H(ω)被稱作離散時(shí)不變系統(tǒng)的頻率響應(yīng)或者傳遞函數(shù)，它的傅利葉反變換就是h(n)。如果Y(ω)是輸出y(n)的離散傅利葉變換，則有：如果取z=ejω，上式可以寫成：式中Y(z),X(z),H(z)分別代表的是y(n),x(n)和h(n)的Z變換。h(n)和H(z)構(gòu)成一對(duì)Z變換。即：式中l(wèi)表示H(z)zn-1包含所有極點(diǎn)的單位圓。如果系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)滿足：

h(n)＝0，當(dāng)n<0的時(shí)候則該系統(tǒng)被稱為是因果系統(tǒng)。物理可實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)的極點(diǎn)都位于z平面的單位圓內(nèi)。4.2

隨機(jī)信號(hào)通過連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)在許多實(shí)際應(yīng)用中，僅僅需要考

慮輸出信號(hào)的均值、相關(guān)函數(shù)和功率

譜密度這些參數(shù)。在給定系統(tǒng)條件下，上述特性今取決于輸入隨機(jī)信號(hào)的均

值、相關(guān)函數(shù)和功率譜密度，而與其

它參數(shù)無關(guān)。對(duì)于連續(xù)時(shí)不變線性系統(tǒng)，系統(tǒng)的

輸出可以由輸入和傳遞函數(shù)卷積得到。

而對(duì)于隨機(jī)信號(hào)X(t)的一個(gè)樣本函數(shù)x(t,ζ)，也是一個(gè)確定性時(shí)間函數(shù)，同樣可

以得到輸出：h(τ)為系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)。4.2.1

時(shí)域分析法對(duì)于不同的ζ，就可以在輸出端得到一族樣本函數(shù)，構(gòu)成一個(gè)新的隨機(jī)信號(hào)，記做Y(t)。因此，隨機(jī)信號(hào)通過線性系統(tǒng)可以直接用下式表示：如果已知輸入隨機(jī)信號(hào)的均值，為

mx(t)，則輸出均值為：輸出的均值輸入與輸出之間的互相關(guān)函數(shù)輸出的自相關(guān)函數(shù)輸出的高階矩系統(tǒng)輸入為平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào)的時(shí)候，

其輸出信號(hào)的統(tǒng)計(jì)特性的討論可以分為

兩種情況：一種是輸入為雙側(cè)隨機(jī)信號(hào)，另一種是單側(cè)隨機(jī)信號(hào)。對(duì)于同一個(gè)系

統(tǒng)來說，兩者的結(jié)論是不一樣的。4.2.2

系統(tǒng)輸出的平穩(wěn)性及其統(tǒng)計(jì)特性系統(tǒng)輸入為雙側(cè)隨機(jī)信號(hào)，即隨機(jī)信號(hào)X(t)在t=-∞時(shí)刻開始就作用于系統(tǒng)。這樣在t=0時(shí)系統(tǒng)輸出響應(yīng)已經(jīng)處于穩(wěn)定狀態(tài)。如果X(t)具有平穩(wěn)性和遍歷性，則有以下幾個(gè)結(jié)論：一、雙側(cè)隨機(jī)信號(hào)1.若輸入X(t)是寬平穩(wěn)的，則系統(tǒng)輸出Y(t)也是寬平穩(wěn)的，且輸入與輸出聯(lián)合寬平

穩(wěn)。有：RXY(τ)=

RX(τ)*h(τ)1.2.3.4.RYX(τ)=

RX(τ)*

h(-τ)RY(τ)=

RX(τ)

*

h(τ)

*

h(-τ)RY(τ)=

RXY(τ)*

h(-τ)RY(τ)=

RYX(τ)*

h(τ)2.若輸入X(t)是嚴(yán)平穩(wěn)的，則系統(tǒng)輸出Y(t)也是嚴(yán)平穩(wěn)的。3.若輸入X(t)是寬遍歷的，則系統(tǒng)輸出Y(t)也是寬遍歷的。如圖所示的RC低通電路，已知輸

入信號(hào)X(t)是寬平穩(wěn)的雙側(cè)隨機(jī)信號(hào)，均值為mX，求輸出Y(t)的均值。例4.1

P242解：該電路的單位沖激響應(yīng)為：h(t)=be-btU(t)，b=1/(RC)則輸入均值為：如果例4.1中的輸入信號(hào)X(t)是自相關(guān)函數(shù)為δ(τ)N0/2的白噪聲，求：輸出的自相關(guān)函數(shù)；輸出的平均功率；輸入和輸出的互相關(guān)函數(shù)。例4.2

P242解：

1.2.2.輸出平均功率為：

E[Y2(t)]=RY(0)=bN0/4在電子系統(tǒng)中，通常定義3dB帶寬fd，本例中，fd

＝1/(2πRC)=b/(2π)。3.4.5.所以輸出平均功率又可以寫為：

E[Y2(t)]=fd

πN0/2結(jié)論：該系統(tǒng)的輸出平均功率隨著輸出帶寬的增加而線性增大。3.系統(tǒng)輸入隨機(jī)信號(hào)X(t)在t=0時(shí)刻才開始作用于系統(tǒng)。二、單側(cè)隨機(jī)信號(hào)若X(t)是寬平穩(wěn)的，則有：輸出響應(yīng)的均值和自相關(guān)函數(shù)不再

符合平穩(wěn)性，因?yàn)檩斎胄盘?hào)也是非平穩(wěn)

的。當(dāng)時(shí)間t,t1,t2足夠大的時(shí)候，輸出可以近似看作是平穩(wěn)的。今后，如果不作特殊聲明，所研究的輸入信號(hào)都是雙側(cè)信號(hào)。線性時(shí)不變系統(tǒng)輸入為確定信號(hào)的時(shí)候，可以直接通過頻域計(jì)算的方法簡(jiǎn)化計(jì)算。當(dāng)輸入為隨機(jī)信號(hào)的時(shí)候，由于其傅利葉變換不存在，所以無法直接進(jìn)行頻域分析。但是當(dāng)輸入和輸出都是平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào)的時(shí)候，可以利用頻域分析的方法對(duì)其功率譜密度等統(tǒng)計(jì)特性進(jìn)行研究。4.2.3

頻域分析法假定線性時(shí)不變系統(tǒng)的輸入X(t)為

平穩(wěn)雙側(cè)隨機(jī)信號(hào)，由前面的討論知道：其輸出Y(t)也是寬平穩(wěn)的，且X(t)和

Y(t)聯(lián)合平穩(wěn)。下面分別討論輸入輸出的一些統(tǒng)計(jì)特性。mY=mXH(0)一、系統(tǒng)輸出的均值如果系統(tǒng)的沖激響應(yīng)h(t)是實(shí)函數(shù)，則有：SY(ω)=

SX(ω)

H(ω)

H(-ω)=

|H(ω)|2

SX(ω)式中H(ω)為系統(tǒng)的傳輸函數(shù)；|H(ω)|2表示幅頻特性的平方，通常又稱為系統(tǒng)的功率傳輸函數(shù)。二、系統(tǒng)輸出的功率譜密度系統(tǒng)輸出的功率譜密度與系統(tǒng)的相頻特性無關(guān)。實(shí)際分析中，可以由輸入輸出的功率譜密度來確定系統(tǒng)的幅頻特性。即：SXY

(ω)=

SX(ω)

H(ω)SYX

(ω)

=

SX(ω)

H(-ω)SY(ω)＝

SXY

(ω)

H(-ω)SY(ω)＝

SYX

(ω)

H(ω)根據(jù)互譜密度和輸入的功率譜密度可以得到系統(tǒng)的傳遞函數(shù)：H(ω)＝

SXY

(ω)/

SX(ω)三、系統(tǒng)輸入與輸出的互譜密度如果線性系統(tǒng)的傳遞函數(shù)表示為：φH(ω)表示系統(tǒng)的相頻特性。可以得到：如果將SXY

(ω)表示為：則有：所以φH(ω)＝θH(ω)如果例4.1中的輸入信號(hào)X(t)是自相關(guān)函數(shù)為δ(τ)N0/2的白噪聲，求：輸出的自相關(guān)函數(shù)；輸出的平均功率；輸入和輸出的互相關(guān)函數(shù)。例4.6

P253

例4.2的頻域計(jì)算法解：低通RC電路的傳輸函數(shù)為：1.2.輸出平均功率為：

E[Y2(t)]=RY(0)=bN0/42.3.

互相關(guān)函數(shù)為：同理四、系統(tǒng)輸出的的平均功率4.3

隨機(jī)信號(hào)通過離散時(shí)間系統(tǒng)本節(jié)僅討論離散時(shí)不變的物理可實(shí)現(xiàn)的線性系統(tǒng)，輸入為平穩(wěn)雙側(cè)隨機(jī)信號(hào)時(shí)的情況。對(duì)于離散時(shí)不變線性系統(tǒng)，系統(tǒng)的輸出等于輸入與傳遞函數(shù)的卷積和。設(shè)

X(n)是離散時(shí)間隨機(jī)信號(hào)，則具有單位沖激響應(yīng)h(n)的離散時(shí)間系統(tǒng)的輸出

Y(n)也是一個(gè)離散時(shí)間隨機(jī)信號(hào)，表達(dá)式為：4.3.1

時(shí)域分析法1.輸出均值：如果系統(tǒng)是穩(wěn)定的且輸入均值是有限的，則和式一定存在。系統(tǒng)輸出的統(tǒng)計(jì)特性系統(tǒng)輸出的統(tǒng)計(jì)特性2.

自相關(guān)函數(shù)系統(tǒng)輸出的統(tǒng)計(jì)特性3.

輸入輸出的互相關(guān)函數(shù)平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào)輸入的情況當(dāng)輸入為雙側(cè)平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào)時(shí)，有：

mX(n)=mX,RX(n,n+m)=RX(m)則：輸出的平均功率為：因此，輸出也是平穩(wěn)的，且輸入和輸出是聯(lián)合寬平穩(wěn)的。平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào)輸入的情況設(shè)一個(gè)平穩(wěn)離散時(shí)間雙側(cè)隨機(jī)信號(hào)

X(n)的自相關(guān)函數(shù)為σ2δ(m)，線性系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)是h(k)=rk,

k>=0其中|r|<1。求輸出Y(n)的自相關(guān)函數(shù)。例4.10

P259解：根據(jù)幾何級(jí)數(shù)求和公式：對(duì)于非負(fù)的m，得到輸出的自相關(guān)函數(shù)：同理，對(duì)于負(fù)的m，有：可以統(tǒng)一寫成：輸出的平均功率為：根據(jù)上面的討論，若離散時(shí)不變線性系統(tǒng)的輸入隨機(jī)信號(hào)是寬平穩(wěn)的，則系統(tǒng)的輸出也是寬平穩(wěn)的?？梢越柚?/p>

Z變換或者離散傅利葉變換來分析系統(tǒng)輸出的統(tǒng)計(jì)特性。設(shè)H(z)為h(n)的Z變換，RY(m)與

S’Y(z)互為Z變換對(duì)（其它類似），將前面討論的幾個(gè)式子求Z變換，則有：4.3.2

頻域分析法如果將z=ejω代入，可以得到離散傅利葉變換的形式，有：SXY(ω)=H(ejω)

SX(ω)SYX(ω)=H(e-jω)

SX(ω)SY(ω)

=H(ejω)

H(e-jω)

SX(ω)=|

H(ejω)

|2

SX(ω)例4.11

P261（例4.10

的頻域計(jì)算）解：

系統(tǒng)函數(shù)為：4.4

白化濾波器一個(gè)線性系統(tǒng)的輸入為具有單位功率譜密度的白噪聲激勵(lì)下，其輸出的功率譜密度為：SY(s)=H(s)H(-s)或者SY(ω)=|H(ω)|2S’Y(z)=H(z)H(z-1)或者SY(ω)=|H(ejω)|2根據(jù)第三章的討論，對(duì)于實(shí)平穩(wěn)連續(xù)時(shí)間隨機(jī)信號(hào)，其功率譜密度可以寫為：SY(s)=

S-Y(s)

S+Y(s)其中S-Y(s)為有理函數(shù)，它的極點(diǎn)全部在s平面的左平面、零點(diǎn)全部在左平面或者虛軸上。我們可以令H(s)＝

S-Y(s)同理，對(duì)于實(shí)平穩(wěn)離散時(shí)間隨機(jī)信號(hào)，可以令H(z)＝

S-Y(z)其中S-Y(z)為有理函數(shù)，它的零、極點(diǎn)全部在z平面的單位圓內(nèi)。我們就可以設(shè)計(jì)一個(gè)系統(tǒng)，使其輸入為具有單位功率譜密度的白噪聲情況下，輸出為實(shí)平穩(wěn)的隨機(jī)信號(hào)。設(shè)計(jì)一個(gè)穩(wěn)定的線性系統(tǒng)，使其在具有單位譜的白噪聲激勵(lì)下，輸出信號(hào)的功率譜為例4.13

P270解：

系統(tǒng)函數(shù)用s復(fù)頻域表達(dá)為：在實(shí)際問題的分析中，還可以遇到將輸入的有色噪聲變成白噪聲的情況。完成這一功能的系統(tǒng)稱為白化濾波器。其實(shí)現(xiàn)方法可以根據(jù)前面的討論，令系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為：H(s)＝

1/S-Y(s)H(z)＝

1/S-Y(z)連續(xù)時(shí)間離散時(shí)間該系統(tǒng)也是穩(wěn)定的因果系統(tǒng)。設(shè)計(jì)一個(gè)物理可實(shí)現(xiàn)的白化濾波器，可以使具有功率譜為的有色噪聲輸入時(shí)，輸出白噪聲。例4.14

P271解：

系統(tǒng)函數(shù)用z表達(dá)為：4.5

白噪聲通過線性系統(tǒng)的分析實(shí)際中很多平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào)都可以看作是受白噪聲激勵(lì)的線性系統(tǒng)的輸出。因此對(duì)白噪聲通過線性系統(tǒng)的研究就等價(jià)于對(duì)這些平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào)的研究。設(shè)連續(xù)線性系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為H(ω)，其輸入是功率譜密度為SX(ω)＝N0/2的白噪聲，則系統(tǒng)輸出的功率譜密度為：SY(ω)＝|H(ω)|2N0/2輸出的自相關(guān)函數(shù)為：4.5.1

白噪聲通過線性系統(tǒng)輸出的平均功率為：表明輸出隨機(jī)信號(hào)的功率譜密度主要由系統(tǒng)的幅頻特性|H(ω)|決定。如果H(ω)比較復(fù)雜，直接計(jì)算系統(tǒng)輸出的統(tǒng)計(jì)特性比較困難。通常用一個(gè)理想系統(tǒng)來等效，這個(gè)理想系統(tǒng)的帶寬就被稱為是等效噪聲帶寬，用Δωe來表示。等效的原則是：理想系統(tǒng)與實(shí)際系統(tǒng)在同一個(gè)白噪聲激勵(lì)下，兩個(gè)系統(tǒng)的輸出功率相等且理想系統(tǒng)的增益等于實(shí)際系統(tǒng)的最大增益。實(shí)際低通系統(tǒng)理想低通系統(tǒng)如果系統(tǒng)輸入白噪聲的功率譜密度為N0/2，輸出負(fù)載為單位電阻，則系統(tǒng)輸出的總平均功率為