第05講相似三角形的應(yīng)用綜合（知識(shí)解讀真題演練課后鞏固）（原卷版）

第05講相似三角形的應(yīng)用綜合1、理解并掌握用不同方法構(gòu)造相似三角形測(cè)高的原理；2、通過典型實(shí)例認(rèn)識(shí)現(xiàn)實(shí)生活中物體的相似，掌握把實(shí)際問題抽象為數(shù)學(xué)問題方法.知識(shí)點(diǎn)1利用相似三角形測(cè)量高度測(cè)量不能到達(dá)頂部的物體的高度，通常使用“在同一時(shí)刻物高與影長的比例相等”的原理解決.注意：測(cè)量旗桿的高度的幾種方法：平面鏡測(cè)量法影子測(cè)量法手臂測(cè)量法標(biāo)桿測(cè)量法知識(shí)點(diǎn)2利用相似三角形測(cè)量距離測(cè)量不能直接到達(dá)的兩點(diǎn)間的距離，常構(gòu)造如下兩種相似三角形求解。

1．如甲圖所示，通?？上葴y(cè)量圖中的線段DC、BD、CE的距離（長度），根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，求出AB的長.2．如乙圖所示，可先測(cè)AC、DC及DE的長，再根據(jù)相似三角形的性質(zhì)計(jì)算AB的長.

注意：1．比例尺：表示圖上距離比實(shí)地距離縮小的程度，比例尺=圖上距離/實(shí)際距離;

2．太陽離我們非常遙遠(yuǎn)，因此可以把太陽光近似看成平行光線．在同一時(shí)刻，兩物體影子之比等于其對(duì)應(yīng)高的比;

3．視點(diǎn)：觀察事物的著眼點(diǎn)（一般指觀察者眼睛的位置）;4.仰（俯）角：觀察者向上（下）看時(shí)，視線與水平方向的夾角．【題型1利用相似三角形測(cè)量高度平面鏡測(cè)量法】【典例1】（2023?子洲縣校級(jí)模擬）西安大雁塔作為現(xiàn)存最早、規(guī)模最大的唐代四方樓閣式磚塔，它是佛塔這種古印度佛寺的建筑形式隨佛教傳入中原地區(qū)，并融入華夏文化的典型物證，凝聚了中國古代勞動(dòng)人民智慧結(jié)晶的標(biāo)志性建筑．小明同學(xué)想利用所學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)來測(cè)量大雁塔的高度，如圖，小明在點(diǎn)B處放置一個(gè)平面鏡，站在A處恰好能從平面鏡中看到塔的頂端D，此時(shí)測(cè)得小明到鏡面距離AB為2米，已知平面鏡到塔底部中心的距離BC為86米，小明眼睛到地面距離AE為1.5米，已知AE⊥AC，CD⊥AC，點(diǎn)A、B、C在一條水平線上．請(qǐng)你幫小明計(jì)算出大雁塔CD的高度．（平面鏡的大小忽略不計(jì)）【變式11】（2023春?綠園區(qū)期末）如圖，數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，為測(cè)量學(xué)校旗桿高度，小藝同學(xué)在腳下水平放置一平面鏡，然后向后退（保持腳、鏡和旗桿底端在同一直線上），直到她剛好在鏡子中看到旗桿的頂端．已知小藝的眼睛離地面高度為1.6米，同時(shí)量得小藝與鏡子的水平距離為2米，鏡子與旗桿的水平距離為10米，則旗桿的高度為米．?【變式12】（2023?寶雞模擬）成都熊貓基地瞭望塔可以看到熊貓基地的全貌，還可以看到339電視塔，成為了成都的新地標(biāo)，也是去成都觀光旅游的新景點(diǎn)．小輝想利用所學(xué)知識(shí)測(cè)量瞭望塔的高度（AB），測(cè)量方法如下：在地面上點(diǎn)C處平放一面鏡子，并在鏡子上做一個(gè)標(biāo)記，然后人向后退，直至站在點(diǎn)D處恰好看到瞭望塔AB的頂端A在鏡子中的像與鏡子上的標(biāo)記重合，如圖，其中B，C，D三點(diǎn)在同一直線上．已知小輝的眼睛距離地面的高度EDm，測(cè)得BC＝40m，CD＝1m，請(qǐng)你幫助他求出該瞭望塔的高度AB．【變式13】（2023?啟東市二模）如圖，小紅同學(xué)正在使用手電筒進(jìn)行物理光學(xué)實(shí)驗(yàn)，地面上從左往右依次是墻、木板和平面鏡．手電筒的燈泡在點(diǎn)G處，手電筒的光從平面鏡上點(diǎn)B處反射后，恰好經(jīng)過木板的邊緣點(diǎn)F，落在墻上的點(diǎn)E處．點(diǎn)E到地面的高度DEm，點(diǎn)F到地面的高度CFm，燈泡到木板的水平距離ACm，墻到木板的水平距離為CD＝4m．已知光在鏡面反射中的入射角等于反射角，圖中點(diǎn)A、B、C、D在同一水平面上．（1）求BC的長．（2）求燈泡到地面的高度AG．【題型2利用相似三角形測(cè)量高度影子測(cè)量法】【典例2】（2023春?岱岳區(qū)期末）如圖，小明欲測(cè)量一座信號(hào)發(fā)射塔的高度．他站在該塔的影子上前后移動(dòng)，直到他自己影子的頂端正好與塔的影子的頂端重合，此時(shí)他距離該塔20米．已知小明的身高是1.8米，他的影長是2米．（1）圖中△ABC與△ADE是否相似？為什么？（2）求信號(hào)發(fā)射塔的高度．【變式21】（2022秋?濱海新區(qū)校級(jí)期末）如圖，數(shù)學(xué)活動(dòng)小組為了測(cè)量學(xué)校旗桿AB的高度，使用長為2m的竹竿CD作為測(cè)量工具．移動(dòng)竹竿，使竹頂端的影子與旗桿頂端的影子在地面O處重合，測(cè)得OD＝4m，BD＝12m，則旗桿AB的高為m．【變式22】（2022秋?武侯區(qū)校級(jí)期末）大約在兩千四五百年前，如圖1墨子和他的學(xué)生做了世界上第1個(gè)小孔成倒像的實(shí)驗(yàn)．并在《墨經(jīng)》中有這樣的精彩記錄：“景到，在午有端，與景長，說在端”．如圖2所示的小孔成像實(shí)驗(yàn)中，若物距為10cm，像距為15cm，蠟燭火焰倒立的像的高度是9cm，則蠟燭火焰的高度是（）A．6cm B．8cm C．10cm D．12cm【變式23】（2022秋?鐵西區(qū)校級(jí)期末）如圖，小樹AB在路燈O的照射下形成投影BC．若樹高AB＝2m，樹影BC＝3m，樹與路燈的水平距離BP＝4m，求路燈的高度OP．【題型3利用相似三角形測(cè)量高度手臂測(cè)量法】【典例3】（2023?橫山區(qū)模擬）西安古城墻凝聚了中國古代勞動(dòng)人民的智慧，它作為古城西安的地標(biāo)性建筑，吸引了不少人慕名而來．節(jié)假日，樂樂去城墻游玩，看見宏偉的城墻后，他想要測(cè)量城墻的高度DE．如圖，他拿著一根筆直的小棍BC，站在距城墻約30米的點(diǎn)N處（即EN＝30米），把手臂向前伸直且讓小棍BC豎直，BC∥DE，樂樂看到點(diǎn)B和城墻頂端D在一條直線上，點(diǎn)C和底端E在一條直線上．已知樂樂的臂長CM約為60厘米，小棍BC的長為24厘米，AN⊥EN，CM⊥AN，DE⊥EN．求城墻的高度DE．【變式31】（2022?濱?？h校級(jí)三模）小明把手臂水平向前伸直，手持小尺豎直，瞄準(zhǔn)小尺的兩端E、F，不斷調(diào)整站立的位置，使在點(diǎn)D處時(shí)恰好能看到鐵塔的頂部B和底部A（如圖）．設(shè)小明的手臂長l＝50cm，小尺長a＝20cm，點(diǎn)D到鐵塔底部的距離AD＝40m，則鐵塔的高度為m．【題型4利用相似三角形測(cè)量高度標(biāo)桿測(cè)量法】【典例4】（2023春?河口區(qū)期末）學(xué)完了《圖形的相似》這一章后，某中學(xué)數(shù)學(xué)實(shí)踐小組決定利用所學(xué)知識(shí)去測(cè)量一棵大樹CD的高度，如圖，直立在B處的標(biāo)桿AB＝2.9米，小愛站在F處，眼睛E處看到標(biāo)桿頂A，樹頂C在同一條直線上（人，標(biāo)桿和樹在同一平面內(nèi)，且點(diǎn)F，B，D在同一條直線上）．已知BD＝6米，F(xiàn)B＝2米，EF＝1.7米，請(qǐng)根據(jù)以上測(cè)量數(shù)據(jù)，幫助實(shí)踐小組求出該樹的高度．【變式41】（2022秋?惠來縣期末）綜合實(shí)踐活動(dòng)在現(xiàn)實(shí)生活中，對(duì)于較高的建筑物，人們通常用圖形相似的原理測(cè)量建筑物的高度．如圖，九（1）班數(shù)學(xué)活動(dòng)小組的同學(xué)們?cè)诰C合實(shí)踐課里測(cè)量學(xué)校里一棟教學(xué)樓MN的高度，他們?cè)诮虒W(xué)樓前的D處豎立一個(gè)長度為4米的直桿CD，測(cè)得DN等于18米，讓同學(xué)調(diào)整自己的位置，使得他直立時(shí)眼睛A、直桿頂點(diǎn)C和高樓頂點(diǎn)M三點(diǎn)共線．此時(shí)測(cè)量人與直桿的距離BD＝3.2米，眼睛高度AB＝1.6米．請(qǐng)你根據(jù)以上測(cè)量數(shù)據(jù)求出這棟教學(xué)樓MN的高度．【變式42】（2023?榆林一模）某中學(xué)數(shù)學(xué)實(shí)踐小組決定利用所學(xué)知識(shí)去測(cè)量一古建筑的高度（如圖1）．如圖2，在地面BC上取E，G兩點(diǎn)，分別豎立兩根高為2m的標(biāo)桿EF和GH，兩標(biāo)桿間隔EG為23m，并且古建筑AB，標(biāo)桿EF和GH在同一豎直平面內(nèi)，從標(biāo)桿EF后退2m到D處（即ED＝2m），從D處觀察A點(diǎn)，A、F、D三點(diǎn)成一線；從標(biāo)桿GH后退4m到C處（即CG＝4m），從C處觀察A點(diǎn)，A、H、C三點(diǎn)也成一線．已知B、E、D、G、C在同一直線上，AB⊥BC，EF⊥BC，GH⊥BC，請(qǐng)根據(jù)以上測(cè)量數(shù)據(jù)，幫助實(shí)踐小組求出該古建筑AB的高度．【變式43】（2023?臨渭區(qū)二模）慶安寺塔（圖1），位于臨渭區(qū)交斜鎮(zhèn)東堡村南，當(dāng)?shù)厝擞址Q其為來化塔．如圖2，某校社會(huì)實(shí)踐小組為了測(cè)量慶安寺塔的高度AB，在地面上D處垂直于地面豎立了高度為2米的標(biāo)桿CD，這時(shí)地面上的點(diǎn)E，標(biāo)桿的頂端點(diǎn)C，慶安寺塔的塔尖點(diǎn)A正好在同一直線上，測(cè)得DE＝3米，將標(biāo)桿CD沿BD方向平移14米到點(diǎn)H處（DH＝14）．這時(shí)地面上的點(diǎn)F，標(biāo)桿的頂端點(diǎn)C，慶安寺塔的塔尖點(diǎn)A正好又在同一直線上，測(cè)得FH＝4米，點(diǎn)F，H，E，D與塔底處的點(diǎn)B在同一直線上，已知AB⊥BF，CD⊥BF，GH⊥BF．請(qǐng)你根據(jù)以上數(shù)據(jù)，計(jì)算慶安寺塔的高度AB．【題型5利用相似三角形測(cè)量距離】【典例5】（2022春?港閘區(qū)校級(jí)月考）如圖，有一池塘，要測(cè)池塘兩端A，B的距離，可先在平地上取一個(gè)點(diǎn)C，從點(diǎn)C不經(jīng)過池塘可以直接到達(dá)點(diǎn)A和B，連結(jié)AC并延長到點(diǎn)D，使CD＝AC，連結(jié)BC并延長到點(diǎn)E，使CE＝BC，連結(jié)DE．量得DE的長為15米，求池塘兩端A，B的距離．【變式51】（2023春?新泰市期末）如圖，為估算某河的寬度，在河對(duì)岸選定一個(gè)目標(biāo)點(diǎn)A，在近岸取B，C，D三點(diǎn)，使得AB⊥BC，CD⊥BC，點(diǎn)E在BC上，并且點(diǎn)A，E，D在同一條直線上，若測(cè)得BE＝20m，CE＝10m，CD＝20m，則河的寬度為（）A．20m B．30m C．40m D．60m【變式52】（2022?柳北區(qū)模擬）如圖，為了估算河的寬度，我們可以在河對(duì)岸選定一個(gè)目標(biāo)點(diǎn)A，再在河岸的這一邊選取點(diǎn)B和點(diǎn)C，使AB⊥BC，然后再選取點(diǎn)E，使EC⊥BC，用視線確定BC和AE的交點(diǎn)D，此時(shí)如果測(cè)得BD＝160m，DC＝80m，EC＝50m，求A、B間的大致距離．1．（2022?十堰）如圖，某零件的外徑為10cm，用一個(gè)交叉卡鉗（兩條尺長AC和BD相等）可測(cè)量零件的內(nèi)孔直徑AB．如果OA：OC＝OB：OD＝3，且量得CD＝3cm，則零件的厚度x為（）cm cm cm D．1cmm的竹竿AB斜靠在石壩旁，量出竿長1mm，則石壩的高度為（）m m m m3．（2022?鹽城）“跳眼法”是指用手指和眼睛估測(cè)距離的方法，步驟：第一步：水平舉起右臂，大拇指緊直向上，大臂與身體垂直；第二步：閉上左眼，調(diào)整位置，使得右眼、大拇指、被測(cè)物體在一條直線上；第三步：閉上右眼，睜開左眼，此時(shí)看到被測(cè)物體出現(xiàn)在大拇指左側(cè)，與大拇指指向的位置有一段橫向距離，參照被測(cè)物體的大小，估算橫向距離的長度；第四步：將橫向距離乘以10（人的手臂長度與眼距的比值一般為10），得到的值約為被測(cè)物體離觀測(cè)點(diǎn)的距離值．如圖是用“跳眼法”估測(cè)前方一輛汽車到觀測(cè)點(diǎn)距離的示意圖，該汽車的長度大約為4米，則汽車到觀測(cè)點(diǎn)的距離約為（）A．40米 B．60米 C．80米 D．100米4．（2023?小店區(qū)校級(jí)模擬）如圖①，是生活中常見的人字梯，也稱折梯，用于在平面上方空間進(jìn)行工作的一類登高工具，因其使用時(shí)，左右的梯桿及地面構(gòu)成一個(gè)等腰三角形，看起來像一個(gè)“人”字，因而把它形象的稱為“人字梯”．如圖②，是其工作示意圖，AB＝AC，拉桿EF∥BC，AE＝，EF＝0.35米，則兩梯桿跨度B、C之間距離為（）A．2米 D．米5．（2023?南關(guān)區(qū)四模）據(jù)《墨經(jīng)》記載，在兩千多年前，我國學(xué)者墨子和他的學(xué)生做了“小孔成像”實(shí)驗(yàn)，闡釋了光的直線傳播原理．小孔成像的示意圖如圖所示，光線經(jīng)過小孔O，物體AB在幕布上形成倒立的實(shí)像CD（點(diǎn)A、B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別是C、D）．若物體AB的高為9cm，小孔O到物體和實(shí)像的水平距離BE、CE分別為12cm、9cm，則實(shí)像CD的高度為（）cm．A．6cm cm cm D．7cm6．（2023?裕華區(qū)校級(jí)模擬）如圖，某同學(xué)在A處看見河對(duì)岸有一大樹P，想測(cè)得A與P的距離，他先從A向正西走90米到達(dá)P的正南方C處，再回到A向正南走30米到D處，再從D處向正東走到E處，使得E，A、P三點(diǎn)恰好在一條直線上，測(cè)得DE＝22.5米，則A與P的距離為（） B．120米 C．135米 D．150米7．（2023?南崗區(qū)校級(jí)四模）如圖，小明設(shè)計(jì)的用激光筆測(cè)量城墻高度的示意圖，在點(diǎn)P處水平放置一面平面鏡，光線從點(diǎn)A出發(fā)經(jīng)平面鏡反射后剛好射到城墻CD的頂端C處，已知AB⊥BD，CD⊥BD，AB＝1.2米，BP＝1.8米，PD＝12米，那么該城墻CD的高度為（）A．6 B．8 C．10 D．188．（2023?順義區(qū)二模）如圖，要測(cè)量樓高M(jìn)N，在距MN為15m的點(diǎn)Bm的直桿AB，恰好使得觀測(cè)點(diǎn)E、直桿頂點(diǎn)A和高樓頂點(diǎn)N在同一條直線上，若DB＝5m，DEm，則樓高M(jìn)N是（）m m m D．22m（2023?濰坊）在《數(shù)書九章》（宋?秦九韶）中記載了一個(gè)測(cè)量塔高的問題：如圖所示，AB表示塔的高度，CD表示竹竿頂端到地面的高度，EF表示人眼到地面的高度，AB、CD、EF在同一平面內(nèi)，點(diǎn)A、C、E在一條水平直線上．已知AC＝20米，CE＝10米，CD＝7米，EF＝1.4米，人從點(diǎn)F遠(yuǎn)眺塔頂B，視線恰好經(jīng)過竹竿的頂端D，可求出塔的高度．根據(jù)以上信息，塔的高為米．10.（2022?廣西）古希臘數(shù)學(xué)家泰勒斯曾利用立桿測(cè)影的方法，在金字塔影子的頂部直立一根木桿，借助太陽光測(cè)金字塔的高度．如圖，木桿EF長2米，它的影長FD是4米，同一時(shí)刻測(cè)得OA是268米，則金字塔的高度BO是米．1．（2023秋?濟(jì)陽區(qū)期中）如圖，李老師用自制的直角三角形紙板去測(cè)“步云閣”的高度，他調(diào)整自己的位置，設(shè)法使斜邊DP保持水平，邊DE與點(diǎn)B在同一直線上．已知直角三角紙板中DE＝18cm，EP＝12cm，測(cè)得眼睛Dm，他與“步云閣”的水平距離CD為114m，則“步云閣”的高度AB是（）m m m m2．（2023秋?霞浦縣期中）大約在兩千四五百年前，墨子和他的學(xué)生做了世界上第一個(gè)小孔成像的實(shí)驗(yàn)如圖（1），并在《墨經(jīng)》中有這樣的精彩記錄：“景到，在午有端，與景長，說在端．”在如圖（2）所示的小孔成像實(shí)驗(yàn)中，若物距為10cm，像距為15cm，蠟燭火焰倒立的像的高度是9cm，則蠟燭火焰的高度是（）A．12cm B．10cm C．8cm D．6cm3．（2023春?萊州市期末）一種燕尾夾如圖1所示，圖2是在閉合狀態(tài)時(shí)的示意圖，圖3是在打開狀態(tài)時(shí)的示意圖（數(shù)據(jù)如圖，單位：mm），從圖2閉合狀態(tài)到圖3打開狀態(tài)，則點(diǎn)B，D之間的距離減少了（）A．25mm B．20mm C．15mm D．8mm4．（2023秋?開封期中）如圖，已知厚度為xcm的零件外徑為10cm，用一個(gè)交叉卡鉗（兩條尺長AC和BD相等）測(cè)量出零件的內(nèi)孔直徑AB，如果，且量得CD＝3cm，則零件厚度x為（）A． B．2cm C．1cm D．5．（2022秋?滕州市校級(jí)期末）如圖，小明同學(xué)用自制的直角三角形紙板DEF測(cè)量樹的高度AB，他調(diào)整自己的位置，設(shè)法使斜邊DF保持水平，并且邊DE與點(diǎn)B在同一直線上，已知紙板的兩條直角邊DE＝40cm，EF＝20cm，測(cè)得邊DF離地面的高度ACm，CD＝9m，則樹高AB為（）A．4m m C．5m D．6m6．（2023秋?金臺(tái)區(qū)校級(jí)期中）如圖，是圓桌正上方的燈泡Om，桌面距離地面1m，若燈泡O距離地面3m，則地面上陰影部分的面積為（）πm2 πm2 πm2 πm27．（2022秋?宜賓期末）如圖，它是物理學(xué)中小孔成像的原理示意圖，已知物體AB＝30，根據(jù)圖中尺寸（AB∥CD），則CD的長應(yīng)是（）A．15 B．30 C．20 D．108．（2023秋?長子縣期中）如圖是小孔成像原理的示意圖，這支蠟燭在暗盒中所成的像CD的長是1cm，則像CD到小孔O的距離為（）A．1cm B．2cm C．3cm D．4cm9．（2023?鄖陽區(qū)模擬）如圖，比例規(guī)是伽利略發(fā)明的一種畫圖工具，使用它可以把線段按一定比例伸長或縮短，它是由長度相等的兩腳AD和BC交叉構(gòu)成的．如果把比例規(guī)的兩腳合上，使螺絲釘固定在刻度3的地方（即同時(shí)使OA＝3OD，OB＝3OC），然后張開兩腳，使A、B兩個(gè)尖端分別在線段l的兩個(gè)端點(diǎn)上，若CD＝4cm，則AB的長是（）A．16cm B．12cm C．8cm D．6cm10．（2022秋?德化縣期末）如圖1所示的是用杠桿撬石頭的示意圖，當(dāng)用力壓杠桿時(shí)，杠桿繞著支點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)，另一端會(huì)向上翹起，石頭就被翹動(dòng)了．在圖2中，杠桿的D端被向上翹起B(yǎng)D＝9cm，動(dòng)力臂OA與阻力臂OB滿足AO＝3OB（AB與CD相交于點(diǎn)O）），要把這塊石頭翹動(dòng)，至少要將杠桿的C點(diǎn)向下壓（）A．3cm B．9cm C．15cm D．27cm二．填空題（共4小題）11．（2023秋?福山區(qū)期中）如圖，小明利用自己的身高測(cè)量路燈ABm，在路燈下的影長為2m，小明到路燈底部的距離為12m．則路燈的高度為．12．（2023?乾安縣一模）如圖，在河兩岸分別有A、B兩村，現(xiàn)測(cè)得三點(diǎn)A、B、D在一條直線上，A、C、E在一條直線上，若BC∥DE，DE＝90米，BC＝70米，BD＝20米，那么A、B兩村間的距離為米．13．（2023?海安市一模）為測(cè)量附中國旗桿的高度，小宇的測(cè)量方法如下：如圖，將直角三角形硬紙板△DEF的斜邊DF與地面保持平行，并使邊DE與旗桿頂點(diǎn)A在同一直線上．測(cè)得DE＝0.5米，EF＝0.25米，目測(cè)點(diǎn)D到地面的距離DG＝1.6米，到旗桿的水平距離DC＝18米，按此方法，可計(jì)算出旗桿的高度為米．14．（2023?錫山區(qū)模擬）如圖，利用標(biāo)桿DE測(cè)量樓高，點(diǎn)A，D，B在同一直線上，DE⊥AC，BC⊥AC，垂足分別為E，C．若測(cè)得AE＝1m，DEm，AC＝5m，樓高BC是．15．（2023秋?德化縣期中）如圖，李林欲測(cè)量一座信