多次相遇問題-技巧-秒殺

屢次相遇問題“屢次相遇〞問題有直線型和環(huán)型兩種模型。相對來講，直線型出題的模型更加復雜。環(huán)型只是單純的周期問題?，F在我們分開一一進行講解。首先，來看直線型屢次相遇問題。一、直線型直線型屢次相遇問題宏觀上分“兩岸型〞和“單岸型〞兩種?！皟砂缎通暿侵讣住⒁覂扇藦穆返膬啥送瑫r出發(fā)相向而行；“單岸型〞是指甲、乙兩人從路的一端同時出發(fā)同向而行?，F在分開向大家一一介紹：〔一〕兩岸型兩岸型甲、乙兩人相遇分兩種情況，可以是迎面碰頭相遇，也可以是反面追及相遇。題干如果沒有明確說明是哪種相遇，考生對兩種情況均應做出思考。1、迎面碰頭相遇：如下列圖，甲、乙兩人從A、B兩地同時相向而行，第一次迎面相遇在a處，〔為清楚表示兩人走的路程，將兩人的路線分開畫出〕那么共走了1個全程，到達對岸b后兩人轉向第二次迎面相遇在c處，共走了3個全程，那么從第一次相遇到第二次相遇走過的路程是第一次相遇的2倍。之后的每次相遇都多走了2個全程。所以第三次相遇共走了5個全程，依次類推得出：第n次相遇兩人走的路程和為〔2n-1〕S，S為全程。而第二次相遇多走的路程是第一次相遇的2倍，分開看每個人都是2倍關系，經?？梢杂眠@個2倍關系解題。即對于甲和乙而言從a到c走過的路程是從起點到a的2倍。相遇次數全程個數再走全程數111232352472………n2n-122、反面追及相遇與迎面相遇類似，反面相遇同樣是甲、乙兩人從A、B兩地同時出發(fā)，如下列圖，此時可假設全程為4份，甲1分鐘走1份，乙1分鐘走5份。那么第一次反面追及相遇在a處，再經過1分鐘，兩人在b處迎面相遇，到第3分鐘，甲走3份，乙走15份，兩人在c處相遇。我們可以觀察，第一次反面相遇時，兩人的路程差是1個全程，第二次反面相遇時，兩人的路程差為3個全程。同樣第二次相遇多走的路程是第一次相遇的2倍，單看每個人多走的路程也是第一次的2倍。依次類推，得：第n次反面追及相遇兩人的路程差為〔2n-1〕S?！捕硢伟缎蛦伟缎褪莾扇送瑫r從一端出發(fā)，與兩岸型相似，單岸型也有迎面碰頭相遇和反面追及相遇兩種情況。1、迎面碰頭相遇：如下列圖，假設甲、乙兩人同時從A端出發(fā)，假設全程為3份，甲每分鐘走2份，乙每分鐘走4份，那么甲乙第一次迎面相遇在a處，此時甲走了2份，乙走了4份，再過1分鐘，甲共走了4份，乙共走了8份，在b處迎面相遇，那么第二次相遇多走的跟第一次相遇相同，依次類推，可得出：當第n次碰頭相遇時，兩人的路程和為2ns。2、反面追及相遇與迎面相遇相似，假設全程為3份，甲每分鐘走1份，乙每分鐘走7份，那么第一次反面相遇在a處，2分鐘后甲走了2份，乙走了14份，兩人在b處相遇。第一次相遇，兩人走的路程差為2S，第二次相遇兩人走的路程差為4S，依次類推，可以得出：當第n次追及相遇時，兩人的路程差為2ns?！爸本€型〞總結〔熟記〕①兩岸型：第n次迎面碰頭相遇，兩人的路程和是〔2n-1〕S。第n次反面追及相遇，兩人的路程差是〔2n-1〕S。②單岸型：第n次迎面碰頭相遇，兩人的路程和為2ns。第n次反面追及相遇，兩人的路程差為2ns。下面列出幾種今后可能會考到的直線型屢次相遇問題常見的模型：{模型一}：根據2倍關系求AB兩地的距離?！纠?】甲、乙兩人在A、B兩地間往返散步，甲從A，乙從B同時出發(fā)，第一次相遇點距B60米，當乙從A處返回時走了10米第二次與甲相遇。A、B相距多少米？A、150B、170C、180D、200【答案及解析】B。如下列圖，第一次相遇在a處，第二次相遇在b處，aB的距離為60，Ab的距離為10。以乙為研究對象，根據2倍關系，乙從a到A，再到b共走了第一次相遇的2倍，即為60×2=120米，Ab為10，那么Aa的距離為120-10=110米，那么AB距離為110+60=170米。{模型二}：告訴兩人的速度和給定時間，求相遇次數。【例2】甲、乙兩人在長30米的泳池內游泳，甲每分鐘游37.5米，乙每分鐘游52.5米。兩人同時分別從泳池的兩端出發(fā)，觸壁后原路返回，如是往返。如果不計轉向的時間，那么從出發(fā)開始計算的1分50秒內兩人共相遇多少次？A、2B、3C、4D、5【答案及解析】B。題目沒說是迎面還是反面，所以兩種相遇的次數都應該計算。分開討論，如是是迎面相遇，那么走的全程的個數為個，根據迎面相遇n次，走的全程為2n-1=5，求得n=3；如果是反面相遇，那么走的全程數為，故在1分50秒內，不能反面相遇。所以共相遇3次。{模型三}：告訴兩人的速度和任意兩次迎面相遇的距離，求AB兩地的距離?！纠?】甲、乙兩車分別從A、B兩地同時出發(fā)，在A、B間不斷往返行駛。甲車每小時行20千米，乙車每小時行50千米，兩車第10次與第18次迎面相遇的地點相距60千米，那么A、B相距多少千米？A、95B、100C、105D、110【答案及解析】C。走相同時間內，甲乙走的路程比為20：50=2：5。將全程看成7份，那么第一次相遇走1個全程時，甲走2份，乙走5份。以甲為研究對象〔也可以以乙〕，第10次迎面相遇走的全程數為2×10-1=19個，甲走1個全程走2份，那么走19個全程可走19×2=38份。7份是一個全程，那么38份共有38÷7=5…3份〔當商是偶數時從甲的一端數，0也是偶數；當商是奇數時從乙的一端數，比方第1個全程在乙的一端，第2個全程在甲的一端〕從乙端數3份。同理當第18次相遇，甲走的份數為〔2×18-1〕×2=70份。共有70÷7=10個全程，10為偶數在甲的端點。如下列圖：那么第10次相遇與第18次相遇共有4份為60千米，所以AB長為千米。w點評：對于給定任意兩次的距離，主要是根據速度轉化為全程的份數，找一個為研究對象，看在相遇次數內走的全程數，從而轉化為份數，然后根據一個全程的份數，將研究對象走的總份數去掉全程的個數看剩余的份數，注意由全程的個數決定剩余的份數從哪一端數?！纠?】甲、乙兩車分別從A、B兩地同時出發(fā)，在A、B間不斷往返行駛。甲車每小時行45千米，乙車每小時行36千米，兩車第2次與第3次迎面相遇的地點相距40千米，那么A、B相距多少千米？A、90B、180C、270D、110【答案及解析】A。法一：同上題。相同時間，甲、乙路程比為45：36=5：4，那么將全程分成9份。那么一個全程時甲走5份，乙走4份。以甲為研究對象，第2次相遇，走的全程數為2×2-1=3個，那么甲走的份數為3×5=15份，一個全程為9份，那么第2次相遇甲走的份數轉化為全程的個數為15÷9=1…6份，那么從乙端數6份。第3次相遇走的份數為〔2×3-1〕×5=25份，轉化為全程的個數為25÷9=2…7，那么從甲端數7份。如下列圖：由圖第2次和第3次相遇之間共有4份為40千米，那么AB相距=90千米。法二：在此引入“沙漏模型〞。利用沙漏模型解題的前提是題干中兩人的速度。將速度轉化為相同路程的條件下兩人的時間比，那么以時間為刻度，畫出兩人到達對岸的路線圖，兩人走的路線圖相交的點即為兩人相遇的地點。s-t圖中的路線因像古代記時間的沙漏故稱為“沙漏模型〞。此題中，甲、乙走到端點用的時間比為36：45=4：5。如下列圖：根據路線圖看出甲乙第2次相遇和第3次相遇的交點E和O，根據三角形相似，可得CE:EG=3:6=1:2，那么求得第2次相遇距A地的比例為S/3，同理DO:ON=7：2，那么第3次相遇距A地的比例為7S/9，那么兩次相遇比例為為40千米，那么S=90千米。w點評：考生如果能掌握“沙漏〞模型，那么會直觀快速的提高解題速度。用交點判斷是迎面相遇還是反面相遇的技巧：看相交的兩條線是由同一岸引出還是兩岸，同一岸那么說明是反面相遇，不同岸那么說明是迎面相遇。用時注意：一般題干預及到的相遇次數較少時可畫，相遇次數太多，那么會花費大量時間，不利于提高速度；畫時的單位刻度要看時間比，如果時間比中的數據較大可把刻度畫大。{模型四}：告訴兩人的速度，相遇次數較少時，利用s-t圖形成“沙漏〞模型速解。【例5】A、B兩地相距950米。甲、乙兩人同時由A地出發(fā)往返鍛煉半小時。甲步行，每分鐘走40米；乙跑步，每分鐘行150米。那么甲、乙二人第幾次迎面相遇時距B地最近。A、1B、2C、3D、4【答案及解析】B。利用“沙漏模型〞。甲乙走到端點用的時間比為150：40=15：4，半小時兩人共走的全程數為個。對于單岸型，相遇6個全程，那么是迎面第三次相遇〔由前邊公式推出〕畫出s-t圖：觀察上圖可知，可第3次迎面相遇的過程中，甲乙有一次反面相遇〔交點由同一點引出〕。而在三次迎面相遇中第2次相遇離B地最近，并且可根據三角形相似求出離B地的距離?！纠?】河道賽道長120米，水流速度為2米/秒，甲船靜水速度為6米/秒，乙船靜水速度為4米/秒。比賽進行兩次往返，甲、乙同時從起點出發(fā)，先順水航行，問多少秒后甲、乙船第二次迎面相遇？A、48B、50C、52D、54【答案及解析】C。由題知，得出如下關系：順流逆流甲8〔15〕4〔30〕乙6〔20〕2〔60〕注：〔〕中為走完全程的時間。假設A到B是順流，由上表可知甲、乙兩人第2次迎面相遇共有4個全程。由于甲的速度快，那么第2次相遇前甲已走了2個全程。共15+30=45秒。當第45秒時乙走了一個順流全程20秒和25秒的逆流，走的路程為25×2=50米，那么在剩余的70米內，甲乙分別以順流和逆流相遇時間為t，那么有70=〔8+2〕×t，求得t=7秒，那么共用時間45+7=52秒。此題同樣可用“沙漏模型〞解決。根據上表中的速度關系，可得出一個全程時的時間關系如下：順流逆流甲36乙412根據時間的關系，得出s-t圖像，如下：觀察上圖，可看出第二次迎面相遇在P點，以甲為研究對象計算時間，此時甲走了一個順流，一個逆流，另外EP段為順流，根據三角形相似可求出走EP用的時間EP:PN=EF:MN=7:8，由上表，求出走EP用的時間為，那么甲共走的時間為15+30+7=52。二、環(huán)型環(huán)型主要分兩種情況，一種是甲、乙兩人同地同時反向迎面相遇〔不可能反面相遇〕，一種是甲、乙兩人同地同時同向反面追及相遇〔不可能迎面相遇〕。分開討論如下：〔一〕甲、乙兩人從A地同時反向出發(fā)：如下列圖，一個周長分成4份，假設甲是順時針每分鐘走1份到B，乙是逆時針每分鐘走3份到B，那么第一次相遇兩人走了1個周長，那么再過1分仲，甲再走1份到C，同樣乙走3份也到C，那么第二次相遇共走了2個周長，依次類推，可得出：第n次迎面相遇共走了n圈?！捕臣?、乙兩人從A地同時同向出發(fā)：如下列圖，全程分成4份。假設甲、乙兩人都是順時針同時出發(fā)，甲每分鐘走1份，乙每分鐘走5份，那么1分鐘后兩人在B處第一次反面追及相遇，兩人走的路程差為1個周長。再過1分鐘后，甲到C處，乙也到C處，兩人第二次反面追及相遇，多走的路程差同樣為一個周長，依次類推，可以得出：第n次反面追及相遇，路程差為n圈。環(huán)型屢次相遇問題相比照擬簡單，當甲、乙不在同一地點出發(fā)時相對具有難度。比方在直徑兩端出發(fā)?？忌赏ㄟ^下面的例題把握?！纠?】老張和老王兩個人在周長為400米的圓形池塘邊散步。老張每分鐘走9米，老王每分鐘走16米?，F在兩個人從同一點反方向行走，那么出發(fā)后多少分鐘他們第三次相遇？A、33B、45C、48D、56【答案及解析】C。第一次迎面相遇時間為400÷〔9+16〕=16，那么第三次迎面相遇時間為16×3=48。【例2】小明、小亮從400米環(huán)形跑道的同一點出發(fā)，背向而行。當他們第一次相遇時，小明轉身往回跑；再次相遇時，小亮轉身往回跑；以后的每次相遇分別是小明和小亮兩人交替調轉方向，小明速度3米/秒，小亮速度5米/秒，那么在兩人第30次相遇時小明共跑了多少米？A、11250B、11350C、11420D、11480【答案及解析】A。由題意知，第1次是迎面相遇，第2次是反面追及相遇，之后都是迎面與反面相遇交替。那么在30次相遇中，迎面相遇15次，反面相遇15次。迎面相遇一次用時為400÷〔3+5〕=50，反面相遇一次用時為400÷〔5-3〕=200，那么30次相遇共用時為15×〔50+200〕=3