人教版九年級數(shù)學(xué)上冊 24.14 四點共圓（專項練習(xí)）

專題24.14四點共圓（專項練習(xí)）一、單選題1．如圖①，若BC是Rt△ABC和Rt△DBC的公共斜邊，則A、B、C、D在以BC為直徑的圓上，則叫它們“四點共圓”．如圖②，△ABC的三條高AD、BE、CF相交于點H，則圖②中“四點共圓”的組數(shù)為（）A．2 B．3 C．4 D．62．如圖，已知AB=AC=AD，∠CAD=20°，則∠CBD的度數(shù)是（）A．10° B．15° C．20° D．25°3．如圖，圓上有、、、四點，其中，若弧、弧的長度分別為、，則弧的長度為（

）A． B． C． D．4．如圖，四邊形內(nèi)接于，，為中點，，則等于（

）A． B． C． D．5．如圖，在中，，AB=AC=5，點在上，且，點E是AB上的動點，連結(jié)，點，G分別是BC，DE的中點，連接，，當AG=FG時，線段長為（

）A． B． C． D．46．如圖，在四邊形中，、為對角線，點、、、分別為、、、邊的中點，下列說法：①當時，、、、四點共圓．②當時，、、、四點共圓．③當且時，、、、四點共圓．其中正確的是（）A．①② B．①③ C．②③ D．①②③7．銳角的三條高、、交于，在、、、、、、七個點中．能組成四點共圓的組數(shù)是（

）A．組 B．組 C．組 D．組二、填空題8．如圖，正五邊形ABCDE內(nèi)接于⊙O，則∠ADE的度數(shù)是_____．9．如圖，四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形，若⊙O半徑為4，且∠C＝2∠A，則的長為__．10．如圖，將繞點順時針旋轉(zhuǎn)25°得到，EF交BC于點N，連接AN，若，則__________．11．如圖，是和的公共斜邊，AC=BC，，E是的中點，聯(lián)結(jié)DE、CE、CD，那么___________________．三、解答題12．如圖所示，，，求.13．如圖所示，正方形中，為對角線，點為上一點，過作，交于，求證：.14．如圖，四邊形是圓的內(nèi)接四邊形，延長、相交于點，已知．（1）求證：；（2）若是四邊形外接圓的直徑，求證：．15．如圖，AB＝AC，AE＝AF，∠BAC＝∠EAF＝90°，BE、CF交于M，連AM．⑴求證：BE＝CF；⑵求證：BE⊥CF；⑶求∠AMC的度數(shù)．如圖，△ABC中，BE⊥AC，CF⊥AB，垂足分別為E、F，M為BC的中點．（1）求證：ME=MF．（2）若∠A=50°，求∠FME的度數(shù)．17．如圖所示，在平行四邊形中，點為，的垂直平分線的交點，若，求.18．定義：有一個角是其對角一半的圓的內(nèi)接四邊形叫做圓美四邊形，其中這個角叫做美角．已知四邊形是圓美四邊形．（1）求美角的度數(shù)；（2）如圖1，若的半徑為5，求的長；（3）如圖2，若平分，求證：． 19．如圖1，在正方形中，點在邊上，過點作，且，連接、，點是的中點，連接．（1）用等式表示線段與的數(shù)量關(guān)系：______；（2）將圖1中的繞點按逆時針旋轉(zhuǎn)，使的頂點恰好在正方形的對角線上，點仍是的中點，連接、．①在圖2中，依據(jù)題意補全圖形；②用等式表示線段與的數(shù)量關(guān)系并證明．20．如圖所示，在△ABC中，AB=AC，任意延長CA到P，再延長AB到Q，使AP=BQ，求證：△ABC的外心O與點A、P、Q四點共圓．21．如圖，已知A，B，C，D四點共圓，且AC=BC．求證：DC平分∠BDE．22．如圖，已知矩形ABCD．求證：A、B、C、D四點共圓．23．在正方形中，是邊上一點，點在射線上，將線段繞點順時針旋轉(zhuǎn)得到線段，連接，．（1）如圖1，求證：；（2）如圖2，若點，，三點共線，求證：，，，四點共圓；（3）若點，，三點共線，且，求的長．24．如圖，在RtABC中，∠BAC＝90°，∠ABC＝40°，將ABC繞A點順時針旋轉(zhuǎn)得到ADE，使D點落在BC邊上．（1）求∠BAD的度數(shù)；（2）求證：A、D、B、E四點共圓．25．如圖1，ABC中，AC＝BC＝4，∠ACB＝90°，過點C任作一條直線CD，將線段BC沿直線CD翻折得線段CE，直線AE交直線CD于點F．直線BE交直線CD于G點．(1)小智同學(xué)通過思考推得當點E在AB上方時，∠AEB的角度是不變的，請按小智的思路幫助小智完成以下推理過程：∵AC＝BC＝EC，∴A、B、E三點在以C為圓心以AC為半徑的圓上，∴∠AEB＝∠ACB，（填寫數(shù)量關(guān)系）∴∠AEB＝°．(2)如圖2，連接BF，求證A、B、F、C四點共圓；(3)線段AE最大值為，若取BC的中點M，則線段MF的最小值為．26．閱讀以下材料，并完成相應(yīng)的任務(wù)：西姆松定理是一個平面幾何定理，其表述為：過三角形外接圓上異于三角形頂點的任意一點作三邊或其延長線的垂線，則三垂足共線（此線常稱為西姆松線）．數(shù)學(xué)興趣小組的同學(xué)們嘗試證明該定理．如圖1，已知內(nèi)接于⊙O，點P在⊙O上（不與點A、B、C重合），過點P分別作AB，BC，AC的垂線，垂足分別為D，E，F(xiàn)求證：點D，E，F(xiàn)在同一條直線上以下是他們的證明過程：如圖1，連接PB，PC，DE，EF，取PC的中點Q，連接QE，QF，則（依據(jù)1），∴E，F(xiàn)，P，C四點共圓．∴（依據(jù)2）．又∵，∴．∵，∴B，D，P，E四點共圓．∴（依據(jù)3）．∵，∴（依據(jù)4）．∴點D，E，F(xiàn)在同一條直線上．任務(wù)：(1)填空：①依據(jù)1指的的是中點的定義及______；②依據(jù)2指的是______；③依據(jù)3指的是______；④依據(jù)4指的是______．(2)善于思考的小英發(fā)現(xiàn)當點P是的中點時，．請你利用圖2證明該結(jié)論的正確性．27．[發(fā)現(xiàn)]如圖∠ACB=∠ADB=90°，那么點D在經(jīng)過A，B，C三點的圓上（如圖①）[思考]如圖②，如果∠ACB=∠ADB=a（a≠90°）（點C，D在AB的同側(cè)），那么點D還在經(jīng)過A，B，C三點的圓上嗎？

我們知道，如果點D不在經(jīng)過A，B，C三點的圓上，那么點D要么在圓O外，要么在圓O內(nèi)，以下該同學(xué)的想法說明了點D不在圓O外．

請結(jié)合圖④證明點D也不在⊙O內(nèi).[結(jié)論]綜上可得結(jié)論：如圖②，如果∠ACB=∠ADB=a（點C，D在AB的同側(cè)），那么點D在經(jīng)過A，B，C三點的圓上，即：點A、B、C、D四點共圓．[應(yīng)用]利用上述結(jié)論解決問題：

如圖⑤，已知△ABC中，∠C=90°，將△ACB繞點A順時針旋轉(zhuǎn)一個角度得△ADE，連接BE

CD，延長CD交BE于點F，（1）求證：點B、C、A、F四點共圓；（2）求證：BF=EF.

圖⑤28．定義：如果同一平面內(nèi)的四個點在同一個圓上，那么我們把這稱為四點共圓．(1)下列幾何圖形的四個頂點構(gòu)成四點共圓的有．（填序號）①平行四邊形；②菱形；③矩形；④正方形；⑤等腰梯形．(2)已知△ABC中，∠A＝40°，如圖1，平面上一點D，使得A、B、C、D四點共圓，試求∠BDC的度數(shù)．(3)若△ABC的外接圓為⊙O，半徑為r，平面上有兩點E、F，分別與△ABC的三個頂點構(gòu)成四點共圓（E在AB的左側(cè)，F(xiàn)點在AC的右側(cè)），如圖2．①試判斷∠E+∠F﹣∠BAC的值是否為定值？如果是，請求出這個值；如果不是，請說明理由；②若BC弦的長度與⊙O的半徑r之比為：1，并且邊AB經(jīng)過圓心O，如圖3，試求五邊形AEBCF的最大面積（用含r的式子表示）．參考答案1．D【分析】根據(jù)兩個直角三角形公共斜邊時，四個頂點共圓，結(jié)合圖形求解可得．解：如圖，以AH為斜邊的兩個直角三角形，四個頂點共圓（A、F、H、E），以BH為斜邊的兩個直角三角形，四個頂點共圓（B、F、H、D），以CH為斜邊的兩個直角三角形，四個頂點共圓（C、D、H、E），以AB為斜邊的兩個直角三角形，四個頂點共圓（A、E、D、B），以BC為斜邊的兩個直角三角形，四個頂點共圓（B、F、E、C），以AC為斜邊的兩個直角三角形，四個頂點共圓（A、F、D、C），共6組．故選D．【點撥】本題考查四點共圓的判斷方法．解題的關(guān)鍵是明確有公共斜邊的兩個直角三角形的四個頂點共圓．2．A解：如圖，AB=AC=AD∵，故選A．3．C【分析】先求出圓的周長，再根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)可得，然后根據(jù)圓周角定理可得弧所對圓心角的度數(shù)，最后根據(jù)弧長的定義即可得．解：弧、弧的長度分別為、圓的周長為（圓內(nèi)接四邊形的對角互補）弧所對圓心角的度數(shù)為則弧的長度為故選：C．【點撥】本題考查了圓周角定理、弧長的定義、圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，熟記圓的相關(guān)定理與性質(zhì)是解題關(guān)鍵．4．A【分析】根據(jù)，為中點求出∠CBD=∠ADB=∠ABD，再根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)得到∠ABC+∠ADC=180°，即可求出答案．解：∵為中點，∴,∴∠ADB=∠ABD，AB=AD，∵，∴∠CBD=∠ADB=∠ABD，∵四邊形內(nèi)接于，∴∠ABC+∠ADC=180°，∴3∠ADB+60°=180°，∴=40°，故選：A．【點撥】此題考查圓周角定理：在同圓中等弧所對的圓周角相等、相等的弦所對的圓周角相等，圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)：對角互補．5．A【分析】連接DF，EF，過點F作FN⊥AC，F(xiàn)M⊥AB，結(jié)合直角三角形斜邊中線等于斜邊的一半求得點A，D，F(xiàn)，E四點共圓，∠DFE=90°，然后根據(jù)勾股定理及正方形的判定和性質(zhì)求得AE的長度，從而求解．解：連接DF，EF，過點F作FN⊥AC，F(xiàn)M⊥AB∵在中，，點G是DE的中點，∴AG=DG=EG又∵AG=FG∴點A，D，F(xiàn)，E四點共圓，且DE是圓的直徑∴∠DFE=90°∵在Rt△ABC中，AB=AC=5，點是BC的中點，∴CF=BF=，F(xiàn)N=FM=又∵FN⊥AC，F(xiàn)M⊥AB，∴四邊形NAMF是正方形∴AN=AM=FN=又∵，∴∴△NFD≌△MFE∴ME=DN=AN-AD=∴AE=AM+ME=3∴在Rt△DAE中，DE=故選：A．【點撥】本題考查直徑所對的圓周角是90°，四點共圓及正方形的判定和性質(zhì)和用勾股定理解直角三角形，掌握相關(guān)性質(zhì)定理正確推理計算是解題關(guān)鍵．6．C【分析】連接EM、MF、FN、NE，連接EF、MN，交于點O，利用三角形中位線定理可證到四邊形ENFM是平行四邊形；然后根據(jù)條件判定四邊形ENFM的形狀，就可知道M、E、N、F四點是否共圓．解：連接EM、MF、FN、NE，連接EF、MN，交于點O，如圖所示．∵點M、E、N、F分別為AD、AB、BC、CD邊的中點，∴EM∥BD∥NF，EN∥AC∥MF，EM=NF=BD，EN=MF=AC．∴四邊形ENFM是平行四邊形．①當AC=BD時，則有EM=EN，所以平行四邊形ENFM是菱形．而菱形的四個頂點不一定共圓，故①不一定正確．②當AC⊥BD時，由EM∥BD，EN∥AC可得：EM⊥EN，即∠MEN=90°．所以平行四邊形ENFM是矩形．則有OE=ON=OF=OM．所以M、E、N、F四點共圓，故②正確．③當AC=BD且AC⊥BD時，同理可得：四邊形ENFM是正方形．則有OE=ON=OF=OM所以M、E、N、F四點共圓，故③正確．故選C．【點撥】本題考查了四點共圓、三角形的中位線定理、平行四邊形的判定與性質(zhì)、矩形的判定與性質(zhì)、菱形的判定與性質(zhì)、正方形的判定與性質(zhì)等知識．熟練掌握平行四邊形、矩形、菱形、正方形的判定定理是解題關(guān)鍵．7．C【分析】根據(jù)兩個直角三角形公共斜邊時，四個頂點共圓，完整選擇．解：如圖，以AH為斜邊的兩個直角三角形，四個頂點共圓（A、F、H、E），以BH為斜邊的兩個直角三角形，四個頂點共圓（B、F、H、D），以CH為斜邊的兩個直角三角形，四個頂點共圓（C、D、H、E），以AB為斜邊的兩個直角三角形，四個頂點共圓（A、E、D、B），以BC為斜邊的兩個直角三角形，四個頂點共圓（B、F、E、C），以AC為斜邊的兩個直角三角形，四個頂點共圓（A、F、D、C），共6組．故選C．【點撥】本題考查四點共圓的判斷方法．解題關(guān)鍵是明確有公共斜邊的兩個直角三角形的四個頂點共圓．8．36°##36度【分析】先利用正多邊形的性質(zhì)求出∠AED度數(shù)、再利用等腰三角形的性質(zhì)以及三角形內(nèi)角和定理求解即可．解：∵正五邊形ABCDE內(nèi)接于⊙O，∴AE=ED，∠AED==108°，∴∠ADE=∠EAD=（180°-108°）=36°，故答案為：36°．【點撥】本題考查正多邊形與圓，等腰三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理等知識，解題的關(guān)鍵是記住正多邊形的內(nèi)角和公式．9．4【分析】連接OB，OD，利用內(nèi)接四邊形的性質(zhì)得出∠A=60°，進而得出∠BOD=120°，利用含30°的直角三角形的性質(zhì)解答即可．解：連接OB，OD，過O作OE⊥BD，∵四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形，∠C=2∠A，∴∠C+∠A=3∠A=180°，解得：∠A=60°，∴∠BOD=120°，在Rt△BEO中，OB=4，∴BE=2，∴AC=4，故答案為：4．【點撥】此題考查內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，關(guān)鍵是利用內(nèi)接四邊形的性質(zhì)得出∠A=60°．10．102.5°【分析】先根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到，，得到點A、N、F、C共圓，再利用，根據(jù)平角的性質(zhì)即可得到答案；解：如圖，AF與CB相交于點O，連接CF，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到：AC=AF，，，，∴點A、N、F、C共圓，∴，又∵點A、N、F、C共圓，∴，∴（平角的性質(zhì)），故答案為：102.5°【點撥】本題主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、平角的性質(zhì)、點共圓的判定，掌握平移的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵；11．13【分析】先證明A、C、B、D四點共圓，得到∠DCB與∠BAD的是同弧所對的圓周角的關(guān)系，得到∠DCB的度數(shù)，再證∠ECB=45°，得出結(jié)論．解：∵AB是Rt△ABC和Rt△ABD的公共斜邊，E是AB中點，∴AE=EB=EC=ED，∴A、C、B、D在以E為圓心的圓上，∵∠BAD=32°，∴∠DCB=∠BAD=32°，又∵AC=BC，E是Rt△ABC的中點，∴∠ECB=45°，∴∠ECD=∠ECB-∠DCB=13°．故答案為：13．【點撥】本題考查直角三角形的性質(zhì)、等腰三角形性質(zhì)、圓周角定理和四點共圓問題，綜合性較強．12．30°.【分析】由AB=AC=AD，可得B，C，D在以A為圓心，AB為半徑的圓上，然后由圓周角定理，證得∠CAD=2∠CBD，∠BAC=2∠BDC，繼而可得∠CAD=2∠BAC．解：∵AB=AC=AD，∴B，C，D在以A為圓心，AB為半徑的圓上，∴∠CAD=2∠CBD，∠BAC=2∠BDC，∵∠CBD=2∠BDC，∠BAC=60°，∴∠CAD=2∠BAC=120°．∴∠BDC=30°.【點撥】此題考查了圓周角定理．注意得到B，C，D在以A為圓心，AB為半徑的圓上是解此題的關(guān)鍵．13．見分析.【分析】先根據(jù)正方形的性質(zhì)可得∠CDA=90°，再根據(jù)得到∠AEF=90°，從而得證，，，共圓，，繼而得出AE=FE.解：在正方形ABCD中，,∠BDC=45°∵∴∴∠ADC+∠AEF=180°∴，，，共圓，∴，∴∴.【點撥】本題考查了正方形的性質(zhì)，四點共圓，以及等腰三角形的判定，熟練掌握相關(guān)知識是解題的關(guān)鍵14．（1）見分析；（2）見分析．【分析】（1）根據(jù)圓內(nèi)接四邊形對角互補證得∠B＝∠C，從而利用等角對等邊證得AB＝AC；（2）連接AE，將證明弧相等轉(zhuǎn)化為弧相對的圓周角相等來實現(xiàn)．解：（1）∵四邊形ABED是圓內(nèi)接四邊形，∴∠B+∠ADE=180°又∵∠EDC+∠ADE=180°∴∠EDC=∠B又∵∠EDC=∠C∴∠B=∠C∴AB=AC（2）連接AE∵AB是圓的直徑∴∠AEB=90°又∵AB=AC∴AE平分∠BAC∴∠BAE=∠EAD∴【點撥】本題考查圓內(nèi)接四邊形及圓的有關(guān)性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是知道圓內(nèi)接四邊形及圓的有關(guān)性質(zhì)．15．(1)見分析；（2）見分析；（3）135°解：試題分析：⑴證△BEA≌△CFA．⑵∠ABE＝∠ACF，∴∠CMB＝∠CAB＝90°．⑶作AG⊥BE于G，AH⊥CF于H，證△AGB≌△AHC，AG＝AH，∠AMG＝45°，可得∠AMC＝135°試題解析：（1）∵∠BAC=∠EAF=90°∴∠BAE=∠CAF∵AE=AF，AB=AC，∴三角形BAE全等于三角形CAF，∴BE=CF（2）∵∠AEB=∠AFC設(shè)CF與AE相交于點H則∠MHE=∠AHF∵三角形EMH與三角形HAF的內(nèi)角和都為180°∴∠EMF=∠EAF即BE⊥CF（3）∵∠ABE=∠ACF∴

A，B，C，M四點共圓∴∠AMC+∠ABC=180°∵AB=AC，∠BAC=90°,∠ABC=45°∴∠AMC=180°--∠ABC=135°也可以作AG⊥BE于G，AH⊥CF于H，證△AGB≌△AHC，AG＝AH，∠AMG＝45°，可得∠AMC＝135.16．（1）證明見分析（2）80°．試題分析：（1）根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半得到ME=BC，MF=BC，得到答案；（2）根據(jù)四點共圓的判定得到B、C、E、F四點共圓，根據(jù)圓周角定理得到答案．（1）證明：∵BE⊥AC，CF⊥AB，M為BC的中點，∴ME=BC，MF=BC，∴ME=MF；（2）解：∵CF⊥AB，∠A=50°，∴∠ACF=40°，∵BE⊥AC，CF⊥AB，∴B、C、E、F四點共圓，∴∠FME=2∠ACF=80°．【點撥】1．直角三角形斜邊上的中線；2．等腰三角形的判定與性質(zhì)．17．【分析】由點為，的垂直平分線的交點知，，所以，，在以為圓心，為半徑的圓上，由圓的性質(zhì)知，再由平行四邊形的性質(zhì)，問題得解.解：連結(jié)，∵點為，的垂直平分線的交點∴，∴，，在以為圓心，為半徑的圓上，作出輔助圓，由圓的性質(zhì)知，又平行四邊形中，∴【點撥】作輔助圓，可以將直線型問題轉(zhuǎn)化為曲線型問題，為我們解決問題時提供更開闊思路，更簡捷的方法.18．（1）60°；（2）；（3）見分析【分析】（1）根據(jù)美角的定義可得，然后根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)即可求出結(jié)論；（2）連接DO并延長，交與點E，連接BE，根據(jù)同弧所對的圓周角相等可得∠E=∠A=60°，然后根據(jù)直徑所對的圓周角是直角可得∠DBE=90°，最后利用銳角三角函數(shù)即可求出結(jié)論；（3）延長CB至F，使BF=DC，連接AF、BD，先證出△ABD為等邊三角形，然后利用SAS證出△ABF≌△ADC，從而得出AF=AC，∠F=∠DCA=60°，再證出△ACF為等邊三角形，利用等邊三角形的性質(zhì)和等量代換即可得出結(jié)論．解：（1）根據(jù)題意可得：，而∠A＋∠C=180°∴∠A=60°（2）連接DO并延長，交與點E，連接BE∴∠E=∠A=60°∵DE為的直徑，的半徑為5，∴∠DBE=90°，DE=10在Rt△DBE中，BD=DE·sin∠E=10×=；（3）延長CB至F，使BF=DC，連接AF、BD由（1）可知：∠BAD=60°，∠BCD=2∠BAD=120°∵平分，∴∠BCA=∠DCA==60°∴∠ABD=∠DCA=60°∴∠ADB=180°－∠ABD－∠BAD=60°∴△ABD為等邊三角形∴AB=AD根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)可得∠ABF=∠ADC在△ABF和△ADC中∴△ABF≌△ADC∴AF=AC，∠F=∠DCA=60°∴∠FAC=180°－∠F－∠ACF=60°∴△ACF為等邊三角形∴CF=AC∴BC＋BF=AC∴BC＋CD=AC【點撥】此題考查的是新定義類問題、圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)、圓周角定理及推論、銳角三角函數(shù)、等邊三角形的判定及性質(zhì)和全等三角形的判定及性質(zhì)，掌握新定義、圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)、圓周角定理及推論、銳角三角函數(shù)、等邊三角形的判定及性質(zhì)和全等三角形的判定及性質(zhì)是解決此題的關(guān)鍵．19．（1）；（2）①畫圖見分析；②，證明見分析【分析】（1）先判斷出△AGB≌△CGB，得到∠GBF＝45°，再判斷出△EFG≌△CFG，得到∠GFB＝45°，從而得到△BGF為等腰直角三角形，即可．（2）①畫圖2即可；②如圖2，連接BF、BG，證明△ADF≌△ABF得DF＝BF，根據(jù)直角三角形斜邊中線的性質(zhì)得：AG＝EG＝BG＝FG，由圓的定義可知：點A、F、E、B在以點G為圓心，AG長為半徑的圓上，∠BGF＝2∠BAC＝90°，所以△BGF是等腰直角三角形，可得結(jié)論．解：（1）BF＝，理由是：如圖1，連接BG，CG，∵四邊形ABCD為正方形，∴∠ABC＝90°，∠ACB＝45°，AB＝BC，∵EF⊥BC，F(xiàn)E＝FC，∴∠CFE＝90°，∠ECF＝45°，∴∠ACE＝90°，∵點G是AE的中點，∴EG＝CG＝AG，∵BG＝BG，∴△AGB≌△CGB（SSS），∴∠ABG＝∠CBG＝∠ABC＝45°，∵EG＝CG，EF＝CF，F(xiàn)G＝FG，∴△EFG≌△CFG（SSS），∴∠EFG＝∠CFG＝（360°﹣∠BFE）＝（360°﹣90°）＝135°，∵∠BFE＝90°，∴∠BFG＝45°，∴△BGF為等腰直角三角形，∴BF＝FG．故答案為：BF＝FG；（2）①如圖2所示，②；理由如下：如圖2，連接BF、BG，∵四邊形ABCD是正方形，∴AD＝AB，∠ABC＝∠BAD＝90°，AC平分∠BAD，∴∠BAC＝∠DAC＝45°，∵AF＝AF，∴△ADF≌△ABF（SAS），∴DF＝BF，∵EF⊥AC，∠ABC＝90°，點G是AE的中點，∴AG＝EG＝BG＝FG，∴點A、F、E、B在以點G為圓心，AG長為半徑的圓上，∵，∠BAC＝45°，∴∠BGF＝2∠BAC＝90°，∴△BGF是等腰直角三角形，∴BF＝FG，∴DF＝FG．【點撥】本題是四邊形綜合題，主要考查了正方形的性質(zhì)，直角三角形斜邊中線的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，圓的性質(zhì)，判斷△BGF為等腰直角三角形是解本題的關(guān)鍵，作出輔助線是解本題的難點．20．見分析解：試題分析：先作△ABC的外接圓⊙O，并作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，連接OP、OQ、OB、OA，證出BE=AF，OE=OF，再證Rt△OPF≌Rt△OQE，得到∠P=∠Q即可得到答案．證明：作△ABC的外接圓⊙O，并作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，連接OP、OQ、OB、OA，∵O是△ABC的外心，∴OE=OF，OB=OA，由勾股定理得：BE2=OB2﹣OE2，AF2=OA2﹣OF2，∴BE=AF，∵AP=BQ，∴PF=QE，∵OE⊥AB，OF⊥AC∴∠OFP=∠OEQ=90°，∴Rt△OPF≌Rt△OQE，∴∠P=∠Q，∴O、A、P、Q四點共圓．即：△ABC的外心O與點A、P、Q四點共圓．【點撥】本題主要考查了四點共圓，勾股定理，全等三角形的性質(zhì)和判定，確定圓的條件等知識點，作輔助線構(gòu)造全等三角形證∠P=∠Q是解此題的關(guān)鍵．21．證明見分析．【分析】根據(jù)圓周角定理和圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)得到∠2=∠1，∠3=∠ABC，由等腰三角形的性質(zhì)得到∠1=∠ABC，等量代換得到∠2=∠3，于是得到結(jié)論．證明：∵A，B，C，D四點共圓，∴∠2=∠1，∠3=∠ABC，∵AC=BC，∴∠1=∠ABC，∴∠2=∠3，∴DC平分∠BDE．【點撥】本題考查了圓周角定理，圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，角平分線的判定，熟練掌握圓周角定理是解題的關(guān)鍵．22．見分析【分析】連接AC、BD，根據(jù)矩形的性質(zhì)可得OA=OB=OC=OD，即可得結(jié)論.解：連接、交于點，∵四邊形為矩形，∴.∴.∴、、、到點的距離相等，∴、、、在以為圓心，為半徑的圓上．即A、B、C、D四點共圓.【點撥】本題考查了矩形的性質(zhì)及圓的認識，熟練掌握矩形的性質(zhì)，理解四點共圓的意義是解題關(guān)鍵.23．（1）見分析；（2）見分析；（3）【分析】（1）證明即可得出答案；（2）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)以及圓內(nèi)接四邊形對角和為即可得出結(jié)論；（3）證明為等腰直角三角形，得出，然后得出，根據(jù)圓周角定理可得點在圓上，結(jié)論可得．解：（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得，，∵，∴，∵，∴，∴；（2）∵，∴，∵點，，三點共線，∴，∴，∴，，，四點共圓；（3）∵，，∴為等腰直角三角形，∴，以點為圓心，為半徑作，∵，，∴，∴點在圓上，∴．【點撥】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，四點共圓，圓周角定理等知識，熟練掌握基礎(chǔ)知識是解本題的關(guān)鍵．24．（1）10°；（2）見分析【分析】（1）由三角形內(nèi)角和定理和已知條件求得∠C的度數(shù)，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出AC＝AD，即可得出∠ADC＝∠C，最后由外角定理求得∠BAD的度數(shù)；（2）由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到∠ABC＝∠AED，由四點共圓的判定得出結(jié)論．解：（1）∵在RtABC中，∠BAC＝90°，∠ABC＝40°，∴∠C＝50°，∵將ABC繞A點順時針旋轉(zhuǎn)得到ADE，使D點落在BC邊上，∴AC＝AD，∴∠ADC＝∠C＝50°，∴∠ADC＝∠ABC+∠BAD＝50°，∴∠BAD＝50°－40°＝10°證明（2）∵將ABC繞A點順時針旋轉(zhuǎn)得到ADE，∴∠ABC＝∠AED，∴A、D、B、E四點共圓．【點撥】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、外角定理以及四點共圓的判定，解題的關(guān)鍵是理解旋轉(zhuǎn)后的圖形與原圖形對應(yīng)邊相等，對應(yīng)角相等．25．(1)，45；(2)見分析；(3)8，【分析】（1）根據(jù)同弧所對的圓周角等于圓心角的一半解答；（2）由題意知，CD垂直平分BE，連接BF，則BF=EF，求得∠EBF=∠AEB＝45°，利用外角的性質(zhì)得到∠AFB=∠EBF+∠AEB＝90°，即可得到結(jié)論；（3）當點A、C、E在一條直線上時，線段AE最大，最大值為4+4=8，當MF⊥BC時線段MF最小，根據(jù)BC的中點M，得到CF=BF，設(shè)BG=FG=x，則CF=BF=x，CG=(+1)x，由勾股定理得，求出，根據(jù)，即可求出．(1)解：∵AC＝BC＝EC，∴A、B、E三點在以C為圓心以AC為半徑的圓上，∴∠AEB＝∠ACB，∴∠AEB＝45°．故答案為：，45；(2)解：由題意知，CD垂直平分BE，連接BF，則BF=EF，∴∠EBF=∠AEB＝45°．∴∠AFB=∠EBF+∠AEB＝90°．∵∠ACB＝90°，∴A、B、F、C在以AB為直徑的圓上，即A、B、F、C四點共圓；(3)解：當點A、C、E在一條直線上時，線段AE最大，最大值為4+4=8，當MF⊥BC時線段MF最小，∵BC的中點M，∴CF=BF，

設(shè)BG=FG=x，則CF=BF=x，CG=(+1)x，∵，∴，得，∵，∴，得，故答案為：8，．．【點撥】此題考查了圓周角定理，四點共圓的判定及性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì)，勾股定理，等腰直角三角形的性質(zhì)，熟記各知識點并熟練應(yīng)用解決問題是解題的關(guān)鍵．26．(1)①直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半；②圓內(nèi)接四邊形對角互補；③同弧或等弧所對的圓周角相等；④等量代換(2)見分析【分析】（1）根據(jù)直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)，圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，同弧或等弧所對的圓周角相等進行求解即可；（2）如圖，連接PA，PB，PC，只需要證明即可證明結(jié)論．(1)解：①直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半；②圓內(nèi)接四邊形對角互補；③同弧或等弧所對的圓周角相等；④等量代換；(2)證明：如圖，連接PA，PB，PC．∵點P是的中點，∴．∴，．又∵，，∴．∴（HL）．∴．【點撥】本題主要考查了圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)與判定，弧，弦，圓周角的關(guān)系，同弧或等弧所對的圓周角相等等等，正確作出輔助線和熟知相關(guān)知識是解題的關(guān)鍵．27．【思考】證明見分析；【應(yīng)用】（1證明見分析；（2）證明見分析試題分析：【思考】假設(shè)點D在⊙O內(nèi)，利用圓周角定理及三角形外角的性質(zhì)，可證得與條件相矛盾的結(jié)論，從而證得點D不在⊙O內(nèi)；[應(yīng)用]（1）由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得∠ACD=∠ABE，故B、C、A、F四點共圓，

（2）由圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)得∠BCA+∠BFA=180°即可證明．【思考】【證】如圖，假設(shè)點D在⊙O內(nèi)，延長AD交⊙O于點E，連接BE；則∠AEB=∠ACB∵∠ADB是△DBE的一個外角∴∠ADB＞∠AEB∴∠ADB＞∠ACB這與條件∠ACB=∠ADB矛盾∴點D不在⊙O內(nèi)

【證】（1）∵AC=AD，AB=AE，∴∠ACD=∠ADC，∠ABE=∠AEB，∵∠CAB=∠DAE，∴∠