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高考數(shù)學(xué)概率與統(tǒng)計知識點高考數(shù)學(xué)概率與統(tǒng)計知識點/高考數(shù)學(xué)概率與統(tǒng)計知識點高中數(shù)學(xué)之概率與統(tǒng)計求等可能性事件、互斥事件和相互獨立事件的概率解此類題目常應(yīng)用以下知識:(1)等可能性事件(古典概型)的概率:P(A)==;等可能事件概率的計算步驟:計算一次試驗的基本事件總數(shù);設(shè)所求事件A,并計算事件A包含的基本事件的個數(shù);依公式求值;答,即給問題一個明確的答復(fù).(2)互斥事件有一個發(fā)生的概率:P(A+B)=P(A)+P(B);特例:對立事件的概率:P(A)+P()=P(A+)=1.(3)相互獨立事件同時發(fā)生的概率:P(A·B)=P(A)·P(B);特例:獨立重復(fù)試驗的概率:(k)=.其中P為事件A在一次試驗中發(fā)生的概率,此式為二項式[(1)]n展開的第1項.(4)解決概率問題要注意“四個步驟,一個結(jié)合”:求概率的步驟是:第一步,確定事件性質(zhì)即所給的問題歸結(jié)為四類事件中的某一種.第二步,判斷事件的運算即是至少有一個發(fā)生,還是同時發(fā)生,分別運用相加或相乘事件.第三步,運用公式求解第四步,答,即給提出的問題有一個明確的答復(fù).在五個數(shù)字中,。若隨機取出三個數(shù)字,則剩下兩個數(shù)字都是奇數(shù)的概率是(結(jié)果用數(shù)值表示).[解答過程]0.3提示:例2.一個總體含有100個個體,以簡單隨機抽樣方式從該總體中抽取一個容量為5的樣本,則指定的某個個體被抽到的概率為.[解答過程]提示:例3.接種某疫苗后,出現(xiàn)發(fā)熱反應(yīng)的概率為0.80.現(xiàn)有5人接種該疫苗,至少有3人出現(xiàn)發(fā)熱反應(yīng)的概率為.(精確到0.01)[考查目的]本題主要考查運用組合、概率的基本知識和分類計數(shù)原理解決問題的能力,以與推理和運算能力.[解答提示]至少有3人出現(xiàn)發(fā)熱反應(yīng)的概率為.故填0.94.離散型隨機變量的分布列1.隨機變量與相關(guān)概念①隨機試驗的結(jié)果可以用一個變量來表示,這樣的變量叫做隨機變量,常用希臘字母ξ、η等表示.②隨機變量可能取的值,可以按一定次序一一列出,這樣的隨機變量叫做離散型隨機變量.③隨機變量可以取某區(qū)間內(nèi)的一切值,這樣的隨機變量叫做連續(xù)型隨機變量.2.離散型隨機變量的分布列①離散型隨機變量的分布列的概念和性質(zhì)一般地,設(shè)離散型隨機變量可能取的值為,,……,,……,取每一個值(1,2,……)的概率P()=,則稱下表.……PP1P2……為隨機變量的概率分布,簡稱的分布列.由概率的性質(zhì)可知,任一離散型隨機變量的分布列都具有下述兩個性質(zhì):(1),1,2,…;(2)…=1.②常見的離散型隨機變量的分布列:(1)二項分布次獨立重復(fù)試驗中,事件A發(fā)生的次數(shù)是一個隨機變量,其所有可能的取值為0,1,2,…n,并且,其中,,隨機變量的分布列如下:01……P…稱這樣隨機變量服從二項分布,記作,其中、為參數(shù),并記:.(2)幾何分布在獨立重復(fù)試驗中,某事件第一次發(fā)生時所作的試驗的次數(shù)是一個取值為正整數(shù)的離散型隨機變量,“”表示在第k次獨立重復(fù)試驗時事件第一次發(fā)生.隨機變量的概率分布為:123…k…Pp……例1.廠家在產(chǎn)品出廠前,需對產(chǎn)品做檢驗,廠家將一批產(chǎn)品發(fā)給商家時,商家按合同規(guī)定也需隨機抽取一定數(shù)量的產(chǎn)品做檢驗,以決定是否接收這批產(chǎn)品.(Ⅰ)若廠家?guī)旆恐械拿考a(chǎn)品合格的概率為0.8,從中任意取出4件進(jìn)行檢驗,求至少有1件是合格的概率;(Ⅱ)若廠家發(fā)給商家20件產(chǎn)品中,其中有3件不合格,按合同規(guī)定該商家從中任取2件.都進(jìn)行檢驗,只有2件都合格時才接收這批產(chǎn)品.否則拒收,求出該商家檢驗出不合格產(chǎn)品數(shù)的分布列與期望,并求出該商家拒收這批產(chǎn)品的概率.[解答過程](Ⅰ)記“廠家任取4件產(chǎn)品檢驗,其中至少有1件是合格品”為事件A用對立事件A來算,有(Ⅱ)可能的取值為.,,.記“商家任取2件產(chǎn)品檢驗,都合格”為事件B,則商家拒收這批產(chǎn)品的概率.所以商家拒收這批產(chǎn)品的概率為.例12.某項選拔共有三輪考核,每輪設(shè)有一個問題,能正確回答問題者進(jìn)入下一輪考核,否則即被淘汰.已知某選手能正確回答第一、二、三輪的問題的概率分別為、、,且各輪問題能否正確回答互不影響.(Ⅰ)求該選手被淘汰的概率;(Ⅱ)該選手在選拔中回答問題的個數(shù)記為,求隨機變量的分布列與數(shù)學(xué)期望.(注:本小題結(jié)果可用分?jǐn)?shù)表示)[解答過程]解法一:(Ⅰ)記“該選手能正確回答第輪的問題”的事件為,則,,,該選手被淘汰的概率.(Ⅱ)的可能值為,,,.的分布列為123.解法二:(Ⅰ)記“該選手能正確回答第輪的問題”的事件為,則,,.該選手被淘汰的概率.(Ⅱ)同解法一.(3)離散型隨機變量的期望與方差隨機變量的數(shù)學(xué)期望和方差 (1)離散型隨機變量的數(shù)學(xué)期望:…;期望反映隨機變量取值的平均水平.⑵離散型隨機變量的方差:……;方差反映隨機變量取值的穩(wěn)定與波動,集中與離散的程度.⑶基本性質(zhì):;.(4)若~B(n,p),則;D(這里1);如果隨機變量服從幾何分布,,則,D=其中1.例1.甲、乙兩名工人加工同一種零件,兩人每天加工的零件數(shù)相等,所得次品數(shù)分別為ε、η,ε和η的分布列如下:ε012η012PP則比較兩名工人的技術(shù)水平的高低為.思路:一是要比較兩名工人在加工零件數(shù)相等的條件下出次品數(shù)的平均值,即期望;二是要看出次品數(shù)的波動情況,即方差值的大小.解答過程:工人甲生產(chǎn)出次品數(shù)ε的期望和方差分別為:,;工人乙生產(chǎn)出次品數(shù)η的期望和方差分別為:,由Eεη知,兩人出次品的平均數(shù)相同,技術(shù)水平相當(dāng),但Dε>Dη,可見乙的技術(shù)比較穩(wěn)定.小結(jié):期望反映隨機變量取值的平均水平;方差反映隨機變量取值的穩(wěn)定與波動,集中與離散的程度.例2.某商場經(jīng)銷某商品,根據(jù)以往資料統(tǒng)計,顧客采用的付款期數(shù)的分布列為123450.40.20.20.10.1商場經(jīng)銷一件該商品,采用1期付款,其利潤為200元;分2期或3期付款,其利潤為250元;分4期或5期付款,其利潤為300元.表示經(jīng)銷一件該商品的利潤.(Ⅰ)求事件:“購買該商品的3位顧客中,至少有1位采用1期付款”的概率;(Ⅱ)求的分布列與期望.[解答過程](Ⅰ)由表示事件“購買該商品的3位顧客中至少有1位采用1期付款”.知表示事件“購買該商品的3位顧客中無人采用1期付款”,.(Ⅱ)的可能取值為元,元,元.,,.的分布列為(元).抽樣方法與總體分布的估計抽樣方法1.簡單隨機抽樣:設(shè)一個總體的個數(shù)為N,如果通過逐個抽取的方法從中抽取一個樣本,且每次抽取時各個個體被抽到的概率相等,就稱這樣的抽樣為簡單隨機抽樣.常用抽簽法和隨機數(shù)表法.2.系統(tǒng)抽樣:當(dāng)總體中的個數(shù)較多時,可將總體分成均衡的幾個部分,然后按照預(yù)先定出的規(guī)則,從每一部分抽取1個個體,得到所需要的樣本,這種抽樣叫做系統(tǒng)抽樣(也稱為機械抽樣).3.分層抽樣:當(dāng)已知總體由差異明顯的幾部分組成時,常將總體分成幾部分,然后按照各部分所占的比進(jìn)行抽樣,這種抽樣叫做分層抽樣.總體分布的估計由于總體分布通常不易知道,我們往往用樣本的頻率分布去估計總體的分布,一般地,樣本容量越大,這種估計就越精確.總體分布:總體取值的概率分布規(guī)律通常稱為總體分布.當(dāng)總體中的個體取不同數(shù)值很少時,其頻率分布表由所取樣本的不同數(shù)值與相應(yīng)的頻率表示,幾何表示就是相應(yīng)的條形圖.當(dāng)總體中的個體取值在某個區(qū)間上時用頻率分布直方圖來表示相應(yīng)樣本的頻率分布.總體密度曲線:當(dāng)樣本容量無限增大,分組的組距無限縮小,那么頻率分布直方圖就會無限接近于一條光滑曲線,即總體密度曲線.典型例題例1.某工廠生產(chǎn)A、B、C三種不同型號的產(chǎn)品,產(chǎn)品數(shù)量之比依次為2:3:5.現(xiàn)用分層抽樣方法抽出一個容量為n的樣本,樣本中A種型號產(chǎn)品有16件.那么此樣本的容量.解答過程:A種型號的總體是,則樣本容量.例2.一個總體中有100個個體,隨機編號0,1,2,…,99,依編號順序平均分成10個小組,組號依次為1,2,3,…,10.現(xiàn)用系統(tǒng)抽樣方法抽取一個容量為10的樣本,規(guī)定如果在第1組隨機抽取的號碼為,那么在第組中抽取的號碼個位數(shù)字與的個位數(shù)字相同,若,則在第7組中抽取的號碼是.解答過程:第K組的號碼為,,…,,當(dāng)6時,第k組抽取的號的個位數(shù)字為的個位數(shù)字,所以第7組中抽取的號碼的個位數(shù)字為3,所以抽取號碼為63.正態(tài)分布與線性回歸1.正態(tài)分布的概念與主要性質(zhì)(1)正態(tài)分布的概念如果連續(xù)型隨機變量的概率密度函數(shù)為,x其中、為常數(shù),并且>0,則稱服從正態(tài)分布,記為(,).(2)期望E=μ,方差.(3)正態(tài)分布的性質(zhì)正態(tài)曲線具有下列性質(zhì):①曲線在x軸上方,并且關(guān)于直線x=μ對稱.②曲線在μ時處于最高點,由這一點向左右兩邊延伸時,曲線逐漸降低.③曲線的對稱軸位置由μ確定;曲線的形狀由確定,越大,曲線越“矮胖”;反之越“高瘦”.三σ原則即為
數(shù)值分布在(μ—σ,μ+σ)中的概率為0.6526
數(shù)值分布在(μ—2σ,μ+2σ)中的概率為0.9544
數(shù)值分布在(μ—3σ,μ+3σ)中的概率為0.9974(4)標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布當(dāng)=0,=1時服從標(biāo)準(zhǔn)的正態(tài)分布,記作(0,1)(5)兩個重要的公式①,②.(6)與二者聯(lián)系.若,則;②若,則.2.線性回歸簡單的說,線性回歸就是處理變量與變量之間的線性關(guān)系的一種數(shù)學(xué)方法.變量和變量之間的關(guān)系大致可分為兩種類型:確定性的函數(shù)關(guān)系和不確定的函數(shù)關(guān)系.不確定性的兩個變量之間往往仍有規(guī)律可循.回歸分析就是處理變量之間的相關(guān)關(guān)系的一種數(shù)量統(tǒng)計方法.它可以提供變量之間相關(guān)關(guān)系的經(jīng)驗公式.具體說來,對n個樣本數(shù)據(jù)(),(),…,(),其回歸直線方程,或經(jīng)驗公式為:.其中,其中分別為、的平均數(shù).例1.如果隨機變量ξ~N(μ,σ2),且Eξ=3,Dξ=1,則P(-1<ξ≤1=等于()A.2Φ(1)-1 B.Φ(4)-Φ(2)C.Φ(2)-Φ(4) D.Φ(-4)-Φ(-2)解答過程:對正態(tài)分布,μξ=3,σ2ξ=1,故P(-1<ξ≤1)=Φ(1-3)-Φ(-1-3)=Φ(-2)-Φ(-4)=Φ(4)-Φ(2).答案:B例2.將溫度調(diào)節(jié)器放置在貯存著某種液體的容器內(nèi),調(diào)節(jié)器設(shè)定在d℃,液體的溫度ξ(單位:℃)是一個隨機變量,且ξ~N(d,0.52).(1)若90°,則ξ<89的概率為;(2)若要保持液體的溫度至少為80℃的概率不低于0.99,則d至少是?(其中若η~N(0,1),則Φ(2)(η<2)=0.9772,Φ(-2.327)(η<-2.327)=0.01).解答過程:(1
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