2024屆中考數(shù)學(xué)壓軸題攻略（湘教版）專題01 分式與分式的乘除法壓軸題六種模型全攻略（解析版）

專題01分式與分式的乘除法壓軸題八種模型全攻略考點(diǎn)一分式的判斷考點(diǎn)二分式有無意義考點(diǎn)三分式的值為0考點(diǎn)四分式的求值考點(diǎn)五最簡分式考點(diǎn)六分式乘除混合運(yùn)算考點(diǎn)七分式乘方考點(diǎn)八含乘方的分式乘除混合運(yùn)算典型例題典型例題考點(diǎn)一分式的判斷例題：（2022·吉林長春·八年級期末）下列各式中，是分式的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)分式的形式判斷即可．【詳解】解：A、是單項(xiàng)式，屬于整式，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；B、是單項(xiàng)式，屬于整式，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；C、是分式，故此選項(xiàng)正確，符合題意；D、是多項(xiàng)式，屬于整式，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了分式，解題關(guān)鍵是熟記分式是的形式，A、B都是整式，B中含有字母．【變式訓(xùn)練】1．（2022·福建泉州·八年級期末）下列代數(shù)式中，是分式的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)分式的定義，即可求解．【詳解】解：A、是整式，故此選項(xiàng)不符合題意；B、是分式，故此選項(xiàng)符合題意；C、是整式，故此選項(xiàng)不符合題意；D、是整式，故此選項(xiàng)不符合題意．故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了分式的定義，熟練掌握形如（其中為整式，其中B中含有字母且）的式子，稱為分式是解題的關(guān)鍵．2．（2022·四川遂寧·八年級期末）下列各式：，，，，，，中，分式有（

）個(gè)A．2 B．3 C．4 D．5【答案】C【分析】判斷分式的依據(jù)是看分母中是否含有字母，如果含有字母則是分式，如果不含有字母則不是分式．【詳解】解：分式有：，，，，共有4個(gè)．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查的是分式的定義，解題的關(guān)鍵是掌握，如果，表示兩個(gè)整式，并且中含有字母，那么式子叫做分式．考點(diǎn)二分式有無意義例題：（2022·甘肅·武威第九中學(xué)八年級期末）要使分式有意義，x需滿足的條件是________．【答案】【分析】根據(jù)分式有意義的條件解答．【詳解】解：∵分式有意義，∴x-3≠0，解得x≠3，故答案為：x≠3．【點(diǎn)睛】此題考查了分式有意義的條件：分母不等于零，熟記條件是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2022·江蘇南京·八年級期末）若分式在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，則x的取值范圍是_____．【答案】【分析】根據(jù)分式的分母不能為0即可得．【詳解】解：由題意得：，解得，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了分式有意義的條件，熟練掌握分式的分母不能為0是解題關(guān)鍵．2．（2022·江蘇無錫·八年級期末）當(dāng)x＝____時(shí)，分式無意義，當(dāng)x＝____時(shí)，分式的值為0．【答案】

-1

1【分析】根據(jù)分式有意義的條件和分式值為0的條件列方程和不等式即可得答案．【詳解】解：由題意得使分式無意義時(shí)，則x=-1，當(dāng)分式的值為0時(shí)，則，，∴x=1．故答案為：-1；1【點(diǎn)睛】本題考查分式的值為零的條件及分式有意義的條件，要使分式有意義，分母不為0，分式的值為0，則分子為0，分母不為0．考點(diǎn)三分式的值為0例題：（2022·河南鄭州·八年級期末）若分式的值為0，則x的取值為_______．【答案】【分析】根據(jù)分式的值為零的條件可以求出x的值．【詳解】解：由題意得，，，由得或，由得，∴．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查分式為0的條件，若分式的值為零，需同時(shí)具備兩個(gè)條件：(1)分子為0；(2)分母不為0，這兩個(gè)條件缺一不可．【變式訓(xùn)練】1．（2022·江蘇揚(yáng)州·八年級期末）當(dāng)x＝_________時(shí)，分式的值為零．【答案】【分析】首先根據(jù)分式值為零的條件是分子等于零且分母不等于零，得出，進(jìn)而計(jì)算出x的值即可．【詳解】解：∵分式的值為零，∴，解得：．故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查了分式值為零的條件，熟練掌握“分式值為零的條件是分子等于零且分母不等于零”是解本題的關(guān)鍵．2．（2022·安徽滁州·七年級階段練習(xí)）當(dāng)x的值是________時(shí)，分式的值為零．【答案】-3【分析】根據(jù)分式值為零的條件是分子等于零且分母不等于零列出不等式，解等式或不等式即可．【詳解】解：由題意得|x|-3=0，且2x-6≠0，解得，x=±3，x≠3，∴x=-3．則x=-3時(shí)，分式的值為零．故答案為：-3．【點(diǎn)睛】本題主要考查的是分式值為零的條件，特別注意分母不為0的條件，熟練掌握相關(guān)知識(shí)是解題的關(guān)鍵．考點(diǎn)四分式的求值例題：（2022·江蘇淮安·八年級期末）已知，則分式的值為_______．【答案】3【分析】根據(jù)，可求得，，據(jù)此即可求得．【詳解】解：，，，，故答案為：3．【點(diǎn)睛】本題考查了代數(shù)式求值問題，熟練掌握和運(yùn)用代數(shù)式求值的方法是解決本題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2021·河北承德·八年級期末）若，則的值為____________．【答案】【分析】把代入求解即可．【詳解】解：把代入得，，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了求分式的值，解題關(guān)鍵是整體代入后熟練運(yùn)用分式的基本性質(zhì)進(jìn)行約分．2．（2021·江蘇泰州·八年級期中）若，則的值為________．【答案】【分析】先根據(jù)已知設(shè)出a=3k，b=2k，再把a(bǔ)，b的值代入即可求出答案．【詳解】解：，∴設(shè)故答案為：．【點(diǎn)睛】此題考查了分式的求值．此題比較簡單，解題的關(guān)鍵是注意掌握分式的求值方法．考點(diǎn)五最簡分式例題：（2022·山東省濟(jì)南第十二中學(xué)八年級階段練習(xí)）下列各分式中，是最簡分式的是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)最簡分式的定義“分子分母沒有公因式的分式為最簡分式”分析判斷即可．【詳解】解：A.，不符合題意；B.，不符合題意；C.，是最簡分式，符合題意；D.，不符合題意．故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了最簡分式，熟練掌握最簡分式的定義是解本題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2022·廣西賀州·七年級期末）在下列分式中，是最簡分式的是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)最簡分式的定義，逐項(xiàng)分析判斷即可求解．【詳解】A、原式，故A不是最簡分式，不符合題意；B、是最簡分式，符合題意；C、原式，故C不是最簡分式，不符合題意；D、原式，故D不是最簡分式，不符合題意；故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查最簡分式，解題的關(guān)鍵是正確理解最簡分式的定義，最簡分式定義，一個(gè)分式的分子與分母沒有非零次的公因式時(shí)(即分子與分母互素)叫最簡分式．2．（2022·河南平頂山·八年級期末）下列各分式中，最簡分式是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】判斷分式是否是最簡分式，看分式的分子分母能否進(jìn)行因式分解，是否能約分．【詳解】解：A項(xiàng)可化簡為，故錯(cuò)誤；B項(xiàng)可化簡為，故錯(cuò)誤；C項(xiàng)可化簡為，故錯(cuò)誤；D項(xiàng)是最簡分式，故正確．故選D．【點(diǎn)睛】此題考查了最簡分式，掌握分式在化簡時(shí)，應(yīng)先將分子、分母中能夠分解因式的部分進(jìn)行分解因式是解題的關(guān)鍵．考點(diǎn)六分式乘除混合運(yùn)算例題：（2022·上?！て吣昙壠谀┯?jì)算：【答案】【分析】先計(jì)算乘方，再將除法轉(zhuǎn)換成乘法進(jìn)行計(jì)算．【詳解】解：＝==．【點(diǎn)睛】本題主要考查了負(fù)整數(shù)指數(shù)冪和分式的乘除法，解題關(guān)鍵是熟記其計(jì)算法則和運(yùn)算順序．【變式訓(xùn)練】1．（2022·山東·曹縣教學(xué)研究室二模）計(jì)算：．【答案】【分析】根據(jù)分式的混合運(yùn)算法則即可求解．【詳解】解：．【點(diǎn)睛】此題主要考查分式的化簡，解題的關(guān)鍵是熟知其運(yùn)算法則．考點(diǎn)七分式乘方例題：（2021·吉林吉林·八年級期末）計(jì)算：_____．【答案】【分析】先計(jì)算分式的乘方運(yùn)算，再把除法運(yùn)算轉(zhuǎn)化為乘法運(yùn)算，再約分即可得到答案.【詳解】解：故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查的是分式的乘方運(yùn)算，分式的除法運(yùn)算，掌握分式的乘方與除法運(yùn)算的運(yùn)算法則是解本題的關(guān)鍵.【變式訓(xùn)練】1．（2021·湖南常德·八年級期中）計(jì)算：＝______．【答案】##【分析】首先計(jì)算乘方，把分子分母分別乘方，然后再計(jì)算乘法，即可得答案．【詳解】解：原式＝．故答案為：．【點(diǎn)睛】此題主要考查了分式的乘法，關(guān)鍵是掌握分式的乘法法則：分式乘分式，用分子的積作積的分子，分母的積作積的分母．分式的乘方法則：把分子、分母分別乘方．2．（2022·福建省華安縣第一中學(xué)八年級階段練習(xí)）計(jì)算（）2?的結(jié)果是____．【答案】【分析】直接利用分式的乘方，分式的乘法運(yùn)算法則化簡得出答案．．【詳解】解：故答案為：.【點(diǎn)睛】此題主要考查了分式的乘方和分式的乘法運(yùn)算，正確化簡分式是解題關(guān)鍵.考點(diǎn)八含乘方的分式乘除混合運(yùn)算例題：（2021·全國·八年級課時(shí)練習(xí)）計(jì)算（1）；（2）．【答案】（1）；（2）【分析】先根據(jù)積的乘方運(yùn)算法則去括號，再利用分式的乘除運(yùn)算法則化簡即可．【詳解】解：（1）原式＝；（2）原式＝＝．【點(diǎn)睛】此題主要考查了分式的乘除運(yùn)算，正確掌握相關(guān)運(yùn)算法則是解題關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2021·山東·東營市東營區(qū)實(shí)驗(yàn)中學(xué)八年級階段練習(xí)）計(jì)算：(1)(2)【答案】(1)(2)【分析】（1）先計(jì)算冪的乘方，然后進(jìn)行同底數(shù)冪的乘法運(yùn)算即可；（2）先因式分解，然后進(jìn)行乘除運(yùn)算即可．(1)解：原式(2)解：原式【點(diǎn)睛】本題考查了冪的乘方，同底數(shù)冪的乘法運(yùn)算，含平方差的分式乘除混合運(yùn)算．解題的關(guān)鍵在于正確的計(jì)算．2．（2021·全國·八年級課時(shí)練習(xí)）．【答案】．【分析】根據(jù)含乘方的分式乘除的混合計(jì)算法則進(jìn)行求解即可．【詳解】解：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了含乘方的分式乘除的混合計(jì)算，解題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握相關(guān)計(jì)算法則．課后訓(xùn)練課后訓(xùn)練一、選擇題1．（2021·浙江·溫州市第二中學(xué)三模）使分式有意義的字母x的取值范圍是（）A．x≠0 B．x≠3 C．x≠4 D．x≠3且x≠4【答案】C【分析】根據(jù)分式有意義的條件即可作出判斷．【詳解】解：根據(jù)題意得x﹣4≠0，則x≠4．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查分式有意義的條件，熟知分式的分母不能為零是解答的關(guān)鍵．2．（2022·河南·南陽市宛城區(qū)官莊鎮(zhèn)第一初級中學(xué)八年級階段練習(xí)）如果把中的、都擴(kuò)大為原來的10倍，則這個(gè)代數(shù)式的值（

）．A．不變 B．?dāng)U大為原來的10倍C．縮小為原來的10倍 D．?dāng)U大為原來的100倍【答案】A【分析】根據(jù)分式的基本性質(zhì)，進(jìn)行計(jì)算即可解答．【詳解】解：由題意得：，∴如果把中的x、y都擴(kuò)大為原來的10倍，則這個(gè)代數(shù)式的值不變，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了分式的基本性質(zhì)，即分式的分子和分母乘（或除以）同一個(gè)不等于0的整式，分式的值不變，熟練掌握分式的基本性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．3．（2022·河南·南陽市宛城區(qū)官莊鎮(zhèn)第一初級中學(xué)八年級階段練習(xí)）下列運(yùn)算正確的是（

）．A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)分式的基本性質(zhì)逐一處理即可．【詳解】解：A．，故A選項(xiàng)不符合題意；B．是最簡分式，不能繼續(xù)化簡，，故B選項(xiàng)不符合題意；C．，故C選項(xiàng)不符合題意；D．，故D選項(xiàng)符合題意．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查分式的基本性質(zhì)，即分式的分子和分母乘（或除以）同一個(gè)不等于0的整式，分式的值不變，解題關(guān)鍵是掌握分式的基本性質(zhì)．4．（2022·河南·南陽市宛城區(qū)官莊鎮(zhèn)第一初級中學(xué)八年級階段練習(xí)）下列各式：，，，，中分式的個(gè)數(shù)有（

）．A．5個(gè) B．4個(gè) C．3個(gè) D．2個(gè)【答案】C【分析】根據(jù)分式的定義即可得出答案．【詳解】下列各式：，，，，中分式有：，，個(gè)數(shù)為3個(gè)，故選C【點(diǎn)睛】本題考查了分式的定義，掌握分式的概念：一般地，如果A，B表示兩個(gè)整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式是解題的關(guān)鍵，注意π是數(shù)字．5．（2022·山東菏澤·八年級期末）下列分式運(yùn)算，結(jié)果正確的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)分式的乘方，分式乘法分別進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：A.，故該選項(xiàng)錯(cuò)誤；

B.，故該選項(xiàng)錯(cuò)誤；C.，故該選項(xiàng)正確；

D.，故該選項(xiàng)錯(cuò)誤．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查分式的乘方及分式的乘法，解題關(guān)鍵是掌握相關(guān)的運(yùn)算法則．二、填空題6．（2022·浙江溫州·七年級期末）計(jì)算：________．【答案】【分析】根據(jù)分式的乘法計(jì)算法則求解即可．【詳解】解：，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了分式的乘法計(jì)算，熟知相關(guān)計(jì)算法則是解題的關(guān)鍵．7．（2022·陜西·西安鐵一中分校九年級期末）若，則＝________．【答案】##0.125【分析】用含b的式子表示a，再代入即把a(bǔ)換成含b的式子，最后約分即可．【詳解】解法一：∵，∴，∴．故答案為：．解法二：設(shè)，則，，∴．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查分式的的基本性質(zhì)，會(huì)利用“設(shè)k法”求解更簡便，能選擇適當(dāng)?shù)姆椒ㄇ蠼馐墙獯祟}的關(guān)鍵．8．（2022·江蘇常州·八年級期中）分式，，的最簡公分母是_________．【答案】【分析】根據(jù)最簡公分母的求法，即可得出答案．【詳解】解：因?yàn)榉质剑?，的分母分別是、、，數(shù)字部分取三個(gè)數(shù)字的最小公倍數(shù)，字母部分取相同因數(shù)指數(shù)最大的，可得最簡公分母為：；故答案為．【點(diǎn)睛】本題考查最簡公分母的找法，注意數(shù)字部分要找最小公倍數(shù)，相同的因數(shù)，包括有的是因式，要取相同因式指數(shù)最大的，然后乘積就是最簡公分母，這部分比較簡單，遇到分母為多項(xiàng)式的要先進(jìn)行因式分解．9．（2022·江蘇·江陰市周莊中學(xué)八年級階段練習(xí)）當(dāng)x_______時(shí)，分式有意義；當(dāng)x=_______時(shí)，分式的值是0．【答案】

≠1

-1【分析】分別根據(jù)分式有意義的條件及分式值為0的條件列出關(guān)于x的不等式，求出x的取值即可．【詳解】解：∵分式有意義，∴x-1≠0，解得x≠1；∵分式的值為0，∴=0，且x-1≠0，解得x=-1．故答案為：≠1；-1．【點(diǎn)睛】本題考查的分式有意義的條件及分式值為0的條件，即分子等于零且分母不等于零．從以下三個(gè)方面透徹理解分式的概念：（1）分式無意義?分母為零；（2）分式有意義?分母不為零；（3）分式值為零?分子為零且分母不為零．10．（2022·安徽合肥·七年級期末）已知一個(gè)分式可以進(jìn)行這樣的變形：，運(yùn)用上述方法，解決問題：若代數(shù)式的值為整數(shù)，則滿足條件的整數(shù)x的值為________．【答案】0或2##2或0【分析】利用題目給出例子的解題思路，化簡分式，分情況討論出x的值即可．【詳解】解：，若原式的值為整數(shù)，則x-1=±1，即x=0或x=2．故答案為：0或2．【點(diǎn)睛】本題考查對新定義的理解以及分式的基本性質(zhì)，關(guān)鍵要讀懂新定義，能靈活運(yùn)用分式的基本性質(zhì)．三、解答題11．（2022·陜西省漢陰縣初級中學(xué)八年級期末）化簡：【答案】-2【分析】根據(jù)分式的乘除運(yùn)算法則計(jì)算即可．【詳解】解：原式．【點(diǎn)睛】本題考查分式的乘除運(yùn)算，熟練掌握該知識(shí)點(diǎn)是解題關(guān)鍵．12．（2021·重慶市第二十九中學(xué)校八年級期中）計(jì)算：（1）；（2）；【答案】（1）；（2）．【分析】（1）先計(jì)算分式的乘法，再計(jì)算分式的除法即可得；（2）先計(jì)算分式的除法，再計(jì)算分式的乘法即可得．【詳解】解：（1）原式，，，；（2）原式，，，，．【點(diǎn)睛】本題考查了分式的乘除運(yùn)算，熟練掌握分式的乘除運(yùn)算法則是解題關(guān)鍵．13．（2021·全國·八年級課時(shí)練習(xí)）計(jì)算（1）；（2）．【答案】（1）；（2）【分析】（1）乘除運(yùn)算統(tǒng)一為乘法運(yùn)算，約分即可；（2）分子分母分別分解因式，乘除運(yùn)算統(tǒng)一為乘法運(yùn)算，約分即可；【詳解】（1）（2）【點(diǎn)睛】本題考查了分式乘除的混合運(yùn)算，一般兩種處理方法：一是按順序進(jìn)行，但要注意運(yùn)算順序，；二是乘除運(yùn)算統(tǒng)一為乘法運(yùn)算．當(dāng)分子或分母是多項(xiàng)式時(shí)，要先分解因式再計(jì)算．14．（2022·廣東廣州·八年級期末）如果b2﹣4a＝0且a≠0，求的值．【答案】4．【分析】先根據(jù)已知得出b2=4a，然后統(tǒng)一成a的分式，利用完全平方公式展開，合并后，約分化簡即可得答案．【詳解】∵b2﹣4a＝0，且a≠0，∴b2=4a，∴．【點(diǎn)睛】本題考查分式化簡求值，熟練掌握完全平方公式及分式的基本性質(zhì)是解題關(guān)鍵．15．（2022·浙江·浦江縣第五中學(xué)一模）化簡，并在-1、0、1這三個(gè)數(shù)中取一個(gè)你喜歡的數(shù)代入求值．【答案】；【分析】利用分式的除法運(yùn)算法則，化成乘法運(yùn)算，然后約分化簡，最后代入使原代數(shù)式有意義的的值即可．【詳解】∵或時(shí)，所求代數(shù)式的分母等于0，∴只能取，此時(shí)原式．【點(diǎn)睛】本題考查了分式的除法運(yùn)算，注意約分時(shí)的符號變化是解題的關(guān)鍵．16．（2021·山東·東平縣實(shí)驗(yàn)中學(xué)八年級階段練習(xí)）計(jì)算：（1）

（2）（3）

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