2022年新高考北京數(shù)學(xué)高考真題試題（含答案）

2022年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試(北京卷)

數(shù)學(xué)

本試卷共5頁，150分。考試時長120分鐘?？忌鷦?wù)必將答案答在答題卡上，在試卷上作答無

效。考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。

第一部分(選擇題共40分)

一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分。在每小題列出的四個選項(xiàng)中，選出符合題目

要求的一項(xiàng)。

1.已知全集。={目-3<%<3},集合A={x|-2<xWl},則R,A=()

A.(-2,1]B.(-3,-2)U[l,3)C.[-2,1)D.(-3,-2]U(1,3)

2.若復(fù)數(shù)z滿足i-z=3-4i,則忖=()

A.1B.5C.7D.25

3.若直線2x+y-l=0是圓(x-a)2+y2=i的一條對稱軸，則。=()

11,

A.-B.——C.1D.-1

22

4.己知函數(shù)/(%)=二，，則對任意實(shí)數(shù)x,有()

A./(-%)+/(%)=()B./(-x)-/(x)=O

C./(T)+/(X)=1D.〃—x)；

5.己知函數(shù)/(x)=cos2_r-sin2x,則()

A.f(x)在1-5，-q)上單調(diào)遞減B.f(x)在(―a，正)上單調(diào)遞增

C./(X)在上單調(diào)遞減D./(X)在行上單調(diào)遞增

6.設(shè){??)是公差不為0的無窮等差數(shù)列，則“{q}為遞增數(shù)列”是“存在正整數(shù)No,當(dāng)n>N。時,an>0”

的()

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

7.在北京冬奧會上，國家速滑館“冰絲帶”使用高效環(huán)保的二氧化碳跨臨界直冷制冰技術(shù)，為實(shí)現(xiàn)綠色冬

奧作出了貢獻(xiàn).如圖描述了一定條件下二氧化碳所處的狀態(tài)與T和館戶的關(guān)系，其中7表示溫度，單位是

K；P表示壓強(qiáng)，單位是bar.下列結(jié)論中正確的是（）

A.當(dāng)7=220,P=1026時，二氧化碳處于液態(tài)

B.當(dāng)T=270,。=128時，二氧化碳處于氣態(tài)

C.當(dāng)T=3（）0,P=9987時，二氧化碳處于超臨界狀態(tài)

D.當(dāng)7=360,P=729時，二氧化碳處于超臨界狀態(tài)

8.若（2x-1）4=%/++“2*2+，則。（）+。2+。4=（）

A.40B.41C.-40D.-41

9.已知正三棱錐P-ABC"的六條棱長均為6,S是△ABC及其內(nèi)部的點(diǎn)構(gòu)成的集合.設(shè)集合

T={QeS|PQK5},則7表示的區(qū)域的面積為（）

3兀

A.—B.7iC.27tD.37t

4

10.在ZiABC中，AC=3,8C=4,NC=90°.尸為△ABC所在平面內(nèi)的動點(diǎn)，且PC=1,則麗?麗

的取值范圍是（）

A.[-5,3]B.[-3,5]C.[-6,4]D.[-4,6]

第二部分（非選擇題共110分）

二、填空題共5小題，每小題5分，共25分。

11.函數(shù)/（》）=工+>/心的定義域是.

X

2/o

12.已知雙曲線V+工=1的漸近線方程為y=±X二尤，則m=________.

m3

13.若函數(shù)/(x)=Asinx-Jicosx的一個零點(diǎn)為則4=；f\^j=.

—ax+1,x<a^

14.設(shè)函數(shù)/(x)=；若/(幻存在最小值，則a的一個取值為_________；a的最大值為

(九一2)~,x>a.

15.已知數(shù)列｛4｝的各項(xiàng)均為正數(shù)，其前〃項(xiàng)和S“滿足/￡=9(〃=1,2,…).給出下列四個結(jié)論：

①｛《,｝的第2項(xiàng)小于3；②｛為｝為等比數(shù)列；

③｛4｝為遞減數(shù)列；④｛4｝中存在小于荒的項(xiàng).

其中所有正確結(jié)論的序號是.

三、解答題共6小題，共85分。解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程.

16.(本小題小分)

在ZvlBC中，sin2C=A/3sinC.

(I)求NC；

(ID若b=6,且△ABC的面積為6g,求ZkABC的周長.

17.(本小題14分)

如圖，在三棱柱ABC—A4G中，側(cè)面BCG4為正方形，平面BCG與，平面A84A,AB=5C=2,

M,N分別為44，4C的中點(diǎn).

(I)求證：〃平面BCC|B|；

(II)再從條件①、條件②這兩個條件中選擇一個作為已知，求直線48與平面8MN所成角的正弦值.

條件①：AB1MN；

條件②：BM=MN.

注：如果選擇條件①和條件②分別解答，按第一個解答計分.

18.(本小題13分)

在校運(yùn)動會上，只有甲、乙、丙三名同學(xué)參加鉛球比賽，比賽成績達(dá)到9.50m以上(含9.50m)的同學(xué)將

獲得優(yōu)秀獎.為預(yù)測獲得優(yōu)秀獎的人數(shù)及冠軍得主，收集了甲、乙、丙以往的比賽成績，并整理得到如下

數(shù)據(jù)(單位：m)：

甲:9.80,9.70,9.55,9.54,9.48,9.42,9.40,9.35,9.30,9.25；

乙：9.78,9.56,9.51,9.36,9.32,9.23；

丙：9.85,9.65,9.20,9.16.

假設(shè)用頻率估計概率，且甲、乙、丙的比賽成績相互獨(dú)立.

(I)估計甲在校運(yùn)動會鉛球比賽中獲得優(yōu)秀獎的概率；

(II)設(shè)X是甲、乙、丙在校運(yùn)動會鉛球比賽中獲得優(yōu)秀獎的總?cè)藬?shù)，估計X的數(shù)學(xué)期望所

(III)在校運(yùn)動會鉛球比賽中，甲、乙、丙誰獲得冠軍的概率估計值最大？(結(jié)論不要求證明)

19.(本小題15分)

22

己知橢圓E:j+[=1(。＞力＞0)的一個頂點(diǎn)為A(O,1),焦距為2百.

ab

(I)求橢圓E的方程；

(H)過點(diǎn)P(-2,l)作斜率為％的直線與橢圓E交于不同的兩點(diǎn)8,C,直線N8,4c分別與x軸交于點(diǎn)用，

N,當(dāng)|MN|=2時，求％的值.

20.(本小題15分)

己知函數(shù)/(x)=e'ln(l+x).

(I)求曲線y=/(x)在點(diǎn)(0,/(0))處的切線方程；

(II)設(shè)g(x)=/'(x),討論函數(shù)g(x)在[0,+。。)上的單調(diào)性;

(III)證明：對任意的s,re(0,+8),wf(s+t)＞/(5)+/(O.

21.(本小題15分)

己知…,%為有窮整數(shù)數(shù)列.給定正整數(shù)m,若對任意的〃e{l,2,,在Q中存在

ai?ai+l?ai+2，"',ai+j(J—°)，使得aj+aM+4+23---1生+J=〃,則稱。為"—連續(xù)可表數(shù)列.

(I)判斷Q:2,1,4是否為5-連續(xù)可表數(shù)列？是否為6-連續(xù)可表數(shù)列？說明理由;

（II）若Q:q,4,…，怎為8—連續(xù)可表數(shù)列，求證：4的最小值為4；

（HI）若Q:q,%…，4為20-連續(xù)可表數(shù)列，且4+4+…+%<20,求證：k>7.

2022年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試（北京卷）

數(shù)學(xué)參考答案

第一部分（選擇題共40分）

一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分.在每小題列出的四個選項(xiàng)中，選出符合題目要

求的一項(xiàng).

1.D2.B3.A4.C5.C6.C7.D8.B9.B10.D

第二部分（非選擇題共110分）

二、填空題共5小題，每小題5分，共25分.

11.（f0）D（0,l]

12.-3

13.①.1②.-V2

14.□.（）（答案不唯一）口.1

15.①③④

三、解答題共6小愿，共85分.解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程.

16.（1）-

6

⑵6+673

17.（1）取AB的中點(diǎn)為K，連接MK,NK,

由三棱柱43C—可得四邊形ABB,\為平行四邊形，

而瓦M(jìn)=AM,，BK=必，則MK//BB、,

而MKU平面C88C，8gu平面C88C，故MK〃平面CBBC1,

而CN=N4,BK=K4,則NK//BC,同理可得NK//平面CBB￡,

而NKAMK=K,NK,MKu平面MKN,

故平面MKNH平面CBB?,而MNu平面MKN,故MNH平面CBB?,

（2）因?yàn)閭?cè)面CBB?為正方形，故CB，BB,,

而CBu平面CB4G，平面C8g￡，平面ABgA,

平面。?片Gc平面A=8與，故CB±平面ABB14,

因?yàn)镹K//BC,故NK，平面A8瓦4,

因?yàn)槠矫鍭8g4，故NKLAB,

若選①，則ABLMN,而NK工AB,NK^MN=N,

故AB_L平面MNK,而MKu平面MNK,故

所以ABL8耳，而CB_L3與，CBcAB=B,故8旦_1.平面ABC,

故可建立如所示的空間直角坐標(biāo)系，則3（0,0,0）,A（0,2,0）,N（l,l,0）,M（0,l,2）,

故麗=（0,2,0）,麗=（1』,0）,加=（0,1,2）,

設(shè)平面BNM的法向量為n=（x,y,z）,

n-BN=0x+y=0-/.

則《_____.，從而，°八，取z=—l，則〃=(-2,2,_1),

n-BM=0y+2z=0''

設(shè)直線AB與平面BNM所成的角為8,則

sin3=|cos^n,A2?^|=g,

若選②，因NKUBC,故NKJ_平面,而KMu平面"KN,

故NK1KM,而B、M=BK=1,NK=1,故B、M=NK,

而48=MK=2,MB=MN,故ABB、M三AMKN,

所以NBB]M=NMKN=90°,故Ag±BB},

而C8L84，CBcAB=B,故平面ABC,

故可建立如所示的空間直角坐標(biāo)系，則3(0,0,0),A(0,2,0),N(l,l,0),"(0,l,2),

故麗=(0,2,0),麗=(1/,0),麗;=((),1,2),

設(shè)平面BNM的法向量為n=(x,y,z),

n-BN-0y=0一/、

則〈一___，從而＜取zi則”(々I)，

n-BM=0

設(shè)直線A6與平面BMW所成的角為。，則

/------A42

sin，=cos(n,AB)=-----=—.

\!2x33

、7

18.(1)0.4(2)-

5

(3)丙

x2,

19.(1)—+y2=1

4-

(2)k=-4

20.(1)y=x

(2)g(x)在[(),+＜功上單調(diào)遞增.

(3)解：原不等式等價于/(s+f)-/")>/?)-/(0),

4-m(x)=f(x+t)-f(x),(x,r>0),

即證機(jī)(x)>加(0),

Vm{x}=f(x+t)-f(x)=e'+,ln(l+x+/)-erln(l+x),

e"+，ex

mr(x)=e*'ln(l+x+f)+------------eAln(l+x)--------=g(x+/)—g(x),

1+x+Z1+x

由(2)知8(/=八刈=^(111(1+幻+!?在［0,伏)上單調(diào)遞增，

g(x+t)>g(x),

m(x)>0

.?.”(x)在(0,+8)上單調(diào)遞增，又因?yàn)閤,f>0,

Am(x)>m(0),所以命題得證.

21.(1)是5-連續(xù)可表數(shù)列；不是6-連續(xù)可表數(shù)列.

(2)若ZW3,設(shè)為Q：a,6,c,則至多a+Z?,b+c,a+b+c,〃,反c,6個數(shù)字，沒有8個，矛盾；

當(dāng)％=4時，數(shù)列Q：l,4,l,2,滿足q=1,%=2,%+。4=3，%=4,at+a2=5,at+a2+a3=6,

%+%+%=7，q+/+/+%=8，kmin=4.

(3)。：q,g,…,4，若》=./最多有％種，若i±j,最多有C；種，所以最多有二+C'="(；+”種,

若左<5,則4,生，…，4至多可表空士"=